Toán trắc nghiệm lớp 12 Full công thức

Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh Trắc nghiệm toán lớp 12 tư duy nhanh

Trang 2

Mục lục

1.1 Tính đơn điệu của hàm số 5

1.2 Cực trị của hàm số 14

1.3 GTLN và GTNN của hàm số 25

1.4 Điểm uốn và tịnh tiến hệ trục tọa độ 34

1.5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 38

1.6 KSHS và vẽ đồ thị hàm đa thức 43

1.7 KSHS và vẽ đồ thị của hàm phân thức 50

1.8 Một số bài toán thường gặp về đồ thị 55

2 Hàm số lũy thừa - Mũ - Logarit 61 2.1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ - thực 61

2.2 Lôgarit 67

2.3 Hàm số mũ và hàm số lôgarit 71

2.4 Phương trình mũ 77

2.5 Phương trình lôgarit 80

2.6 Hệ phương trình mũ và lôgarit 83

2.7 Bất phương trình mũ 86

2.8 Bất phương trình lôgarit 89

3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 92 3.1 Nguyên hàm 92

3.2 Một số phương pháp tìm nguyên hàm 96

3.3 Tích phân 102

3.4 Các phương pháp tính tích phân 106

3.5 Ứng dụng tích phân 111

3.6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể 117

4 Số phức 121 4.1 Số phức 121

4.2 Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2 125

4.3 Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng 127

II Hình học 135 1 Khối đa diện và thể tích của chúng 136 1.1 Khái niệm về khối đa diện 136

1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng 139

1.3 Thể tích của khối đa diện 148

Trang 3

MỤC LỤC Tăng Lâm Tường Vinh

2.1 Mặt cầu - Khối cầu 157

2.2 Khái niệm về mặt tròn xoay 163

2.3 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ 163

2.4 Mặt nón, hình nón và khối nón 169

3 Phương pháp tọa độ không gian 173 3.1 Hệ tọa độ trong không gian 173

3.2 Phương trình mặt phẳng 179

3.3 Phương trình đường thẳng 183

Trang 4

Phần I

Giải tích

Trang 5

Chương 1

Ứng dụng của đạo hàm

1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1 Nhắc lại

Giả sử K là 1 khoảng (1 đoạn hoặc nửa khoảng) là f 1 hàm số xác định trên K

(a) f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K : x1 < x2⇒ f(x1) < f (x2))

(b) f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x2∈ K : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f (x2))

2 Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu

(a) Điều kiện cần

Định lý 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì f0(x)≥ 0, ∀x ∈ K

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì f0(x)≤ 0, ∀x ∈ K

(b) Điều kiện đủ

Định lý 2: Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên 1 khoảng

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

Nếu f0(x) > 0,∀x ∈ K ⇒ f đồng biến trên khoảng K

Nếu f0(x) < 0,∀x ∈ K ⇒ f nghịch biến trên khoảng K

Nếu f0(x) = 0,∀x ∈ K ⇒ f không đổi trên khoảng K

Chú ý: Khoảng K trong định lý trên có thể được thay bởi 1 đoạn hay nửa khoảng Khi

đó ta phải bổ sung thên giả thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hay nửa khoảng đó ” Tức là

Trang 6

1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường VinhVD1: Chứng minh rằng hàm số f(x) =p4− x2 nghịch biến trên đoạnh0;√

2i.Hàm số f liên tục trên đoạn [0;√2] Ngoài ra

f0(x) = −x

√

4− x2 < 0, ∀x ∈ (0,√2)

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [0;√2]

VD2: Xét chiều biến thiên của hàm số y = x2− 4x + 4

x− 1

TXĐ: D = R\{1}

y0 = x

2− 2x(x− 1)2

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1, 2)

VD3: Xét chiều biến thiên của hàm số

12

−176

Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng

−∞;12

và

1

2; +∞

Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên R

Nhận xét: Trong trường hợp y0 = 0 có hữu hạn nghiệm, thì ta có định lý mởrộng sau

Trang 7

1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường Vinh

x(e) y = x +p4− x2

3x

3+ 1

2(2m + 2)x

2+ (m2+ 2m)x(e) y = 3x + 1

x + 2(f) y = (x− 2)2

1− x(g) y = x2− x

x2− x − 2(h) y = x3

3− x2

Trang 8

(i) y = x

x2+ 1(j) y = x2+ 2x + 2

x2− 1(d) y =p2x− x2

(e) y = |x − 1| +x2+ x + 2

x + 1(f) y = x2− 2x − 4|x − 2| + 3

x− m luôn tăng trên các khoảng xác định

(e) y = x3+ x− cos x − 4 luôn tăng trên các khoảng xác định

Chứng minh hàm số đồng (nghịch) biến trên đoạn (khoảng, nửa khoảng)

2 Chứng minh hàm số y = xp8− x2 đồng biến trên [−2; 2]

3 Chứng minh hàm số y =√x− 1 +√7− x nghịch biến trên đoạn [4; 7]

4 Chứng minh hàm số y = x2+ 2√

5p

9− x2 đồng biến trên [−3; −2] và nghịch biến trong[2; 3]

Trang 9

Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên K cho trước

1 Tìm m để hàm số y = x3+ (m− 3)x2+ (2m + 3)x + m− 4 luôn tăng trên R

2 Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

(a) y = mx + 7m− 8

x− m(b) y = 2x2+ x + 3m− 5

x− m đồng biến trên (2; +∞)

6 Định m để hàm số

Trang 10

1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường Vinh(a) y = x + (m + 1) sin x tăng trên [0; 2π]

(b) y = m sin x + 2 cos x + (m + 2)x tăng trên (0; 10π)

2

(e) 2 sin x + sin 2x ≤ 3

√3

2 ,∀x ∈hπ

3;

π2

Để CM pt F (x) = 0 có nghiệm duy nhất ta thực hiện

I Chỉ ra 1 nghiệm của pt hay dùng tính chất hslt để CM PT có nghiệm

I CM F (x) là hs ltục và luôn tăng hay luôn giảm ⇒ F (x) = 0 nếu có nghiệm thìnghiệm đó là duy nhất

4x + 13 = 18

Trang 11

1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường Vinh(d) √x + 1 +√

2x + 3 +√

3x + 7 +√

4x + 24 = 15(e) √x− 1 = −x3+ 3x2− 4x + 5

Sử dụng dấu của tam thức bậc 2 ⇒ m

* TH2: pt y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2)

· Tìm điều kiện để pt y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

· Lập bảng xét dấu của y0 và kết hợp ycbt (sử dụng Vi-ét) ⇒ m

Trang 12

Trang 13

x −∞ x1 x2 +∞

y0 + 0 − 0 +Hsđb trên (−∞; 0) ⇔ 0 ≤ x1 < x2 ⇔

(

x1+ x2 > 0

x1.x2≥ 0 ⇔ −6 ≤ mKết hợp điều kiện m < −4 ⇔ −6 ≤ m < −4

Kết hợp 2TH, vậy hsđb trên (−∞; 0) ⇔ m ≥ −6

Trang 14

1.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường Vinh

(b) x0 đgl 1 điểm cực tiểu của hàm số f nếu ∃ 1 (a; b) chứa điểm x0 sao cho(a; b)⊂ D và

f (x) > f (x0), ∀x ∈ (a; b)\{x0}Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu đgcl điểm cực trị Giá trị cực đại và giá trị cực tiểuđgcl cực trị

Nếu x0 là 1 điểm cực trị của hàm số f thì ta nói hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Chú ý:

(a) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất(nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) củahàm số f trên 1 khoảng (a; b) nào đó chứa điểm x0

(b) Hàm số f có thể đạt cực trị hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D Hàm sốcũng có thể không có cực trị trên 1 tập hợp số thực cho trước

(c) Nếu x0 là 1 điểm cực trị của hàm số f thì điểm x0; f (x0)

đgl điểm cực trị của đồthị hàm số f

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0thì f0(x0) = 0.Chú ý:

Trang 15

Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm x0 ∈ D mà tại x0 hàm số có đạo hàm bằng

0 hoặc hàm số không có đạo hàm

Chiều ngược lại của định lý 1có thể không đúng

Chẳng hạn:

♥ Có những hàm số có đạo hàm bằng 0 tại x0 nhưng tại x0 hàm số không đạt cực trị.Xét hàm số f(x) = x3, ta có f0(x) = 3x2 và f0(0) = 0 Tuy nhiên hàm số f khôngđạt cực trị tại điểm x = 0 Vì f0(x) = 3x2> 0, ∀x 6= 0 nên hàm số đồng biến trên R

♥ Có những hàm số f đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó hàm số không có đạo hàm.Xét hàm số y = f(x) = |x| xác định trên R Vì f(0) = 0 và f(x) > 0, ∀x 6= 0 nênhàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

Hàm số y = |x| không có đạo hàm tại điểm x = 0

Trang 16

Từ định lý2 ta có quy tắc1 tìm cực trị

Tính chất 1

B1: Tìm f0(x)

B2: Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm

số liên tục nhưng không có đạo hàm

B3: Xét dấu f0(x) Nếu f0(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trịtại xi (Lập BBT)

−233

+∞+∞

Vậy hs đạt cực đại tại điểm x = −1, GTCĐ của hs là f(−1) = 3

Hs đạt cực tiểu tại điểm x = 3, GTCT của hs là f(3) = −23

lim

Trang 17

+∞+∞

0

+∞+∞

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu của hàm số là f(0) = 0

Định lý 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f0(x0) = 0 và f

có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0

(a) Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

(b) Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

♦ Nếu f00(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

♦ Nếu f00(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

♠ f00(−1) = −4 < 0 nên hs đạt cực đại tại điểm x = −1, f(−1) = 3

♠ f00(3) = 4 > 0 nên hs đạt cực tiểu tại điểm x = 3, f (3) =−23

3

Trang 18

3x

3+ 5

2x

2+ 2x + 1(d) y = x4− 4x2− 5

x(c) y = x2− x + 1

x2+ x + 1(d) y = x2

Trang 19

(c) y = x3+ 3x2+ mx− 10

(d) y = x3− 3x2+ 3mx + 3m + 4

(e) y = x2− mx + 3

x− 1(f) y = x2− (m + 1)x + 2m − 1

Dạng 4

Tìm TXĐ và tính f0(x)

Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0 ⇒ f0(x0) = 0⇒ giá trị của tham số

Thay giá trị tham số vừa tìm được vào f0(x) thử lại

Chú ý

I Khi thử lại ta có thể dùng 1 trong 2 cách: Dùng Quy tắc 1 hay Quy tắc 2

I Khi phương trình y0 = 0 có thể xác định được nghiệm cụ thể thì ta lập BBT và dựa vàoBBT để suy ra ycbt

Trang 20

y0(10) = 0⇔ m2− 20m + 99 = 0 ⇔ m = 11 ∨ m = 9

I Khi m = 11 thì y0 = x

2− 22x + 120(x− 11)2 ⇒ y00 = 2

(x− 11)3 ⇒ y00(10) =−2 < 0 ⇒ hàm

số đạt cực đại tại x = 10

Khi m = 9 thì y0 = x

2− 18x + 80(x− 9)2 ⇒ y00= 2

(x− 9)3 ⇒ y00(10) = 2 > 0⇒ hàm số đạtcực tiểu tại x = 10

Vậy m = 11 thỏa yêu cầu bài toán

5 Xác định a, b, c sao cho hàm số f(x) = x3+ ax2+ bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x =−2

và đồ thị của hàm số qua điểm A(1; 0)

Trang 21

x + 1 đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1< x2 < 2

8 Định m để hàm số y = x3− (m − 3)x2 + (4m− 1)x − m đạt cực trị tại x1, x2 sao cho

x1<−2 < x2

9 Định m để hàm số y = mx2− 2x + m

x2− x(a) Đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ dương

Trang 22

Vì tại điểm cực trị ta có y0 = 0 nên

♣ Tiếp tuyến của đồ thị tại A(x1; y1) (cực trị thứ nhất): A

x1, (8m− 8)x1+ 4m

♣ Tiếp tuyến của đồ thị tại B(x2; y2) (cực trị thứ hai): B

x2, (8m− 8)x2+ 4mSuy ra d = d(y1, y2) =|y1− y2| = (8m − 8)(x1− x2)

Do đóYCBT ⇔ d2 = 322

Ví dụ 2: Định m để hàm số y = 2x2+ (m + 2)x− 4 − m

2x− m có cực trị, cực tiểu sao cho

a Hai giá trị cực trị cùng dấu

b Hai điểm cực trị cùng với điểm A(1; 1) tạo thành 1 ∆ vuông tại A

Giải

TXĐ: D = R\nm

2o

Trang 23

⇔

(8m2− 32 > 0

Do đó

yCĐ= 4xCĐ+ m + 2

2 ; yCT =

4xCT+ m + 22

Trang 24

F Bài tập

1 Cho hàm số y = x2− 2mx + m + 1

u(x)v(x)(a) Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại các điểm có hoành độ dương

(b) Giả sử x0 là hoành độ cực trị Chứng minh rằng: y(x0) = u0(x0)

v0(x0)(c) Khi hàm số có CĐ và CT Tìm m để yCĐ và yCT cùng dấu

2 Cho hàm số y = mx3

3 − mx2+ x− 1(a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

(b) Giả sử x0 là hoành độ cực trị; R(x) là biểu thức dư khi chia y cho y0 CMR: f(x0) =R(x0)

4 Định m để các hàm số sau có CĐ và CT Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị đó

(a) y = x2− 2x + m + 2

x + m− 1(b) y = −x3+ 3mx2+ 3(1− m2)x + m3− m2

5 Cho hàm số (Cm) y = x

2+ (m + 1)x + m + 1

x + 1 CMR: Với m bất kì, (Cm) luôn có điểm

CĐ, CT và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng√20

Trang 25

1.3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường Vinh

1.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hệ quả 1

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D ⊂ R)

1 Nếu ∃ 1 điểm x0 ∈ D sao cho

f (x)≤ f(x0), ∀x ∈ Dthì M = f(x0) đgl GTLN của hàm số f trên D, kí hiệu M = max

x ∈Df (x)

2 Nếu ∃ 1 điểm x0 ∈ D sao cho

f (x)≥ f(x0), ∀x ∈ Dthì M = f(x0) đgl GTNN của hàm số f trên D, kí hiệu M = min

178

3

−1

−18

Từ bảng biến thiên ta được

max

x ∈[−32;32]f (x) = f (−1) = 3; min

x ∈[−32;32]f (x) = f (1) =−1

Đồ thị

Trang 26

Ví dụ 2: Một hộp không nắp được làm từ 1

mảnh các tông theo mẫu hình bên Hình có đáy

là 1 hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là

h (cm) và có thể tích là 500cm3

1 Hãy biểu diễn h theo x

2 Tìm diện tích S(x) của mảnh các tông

Trang 27

1.3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường VinhNhận xét:

Hàm số liên tục trên 1 đoạn thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó

Trong nhiều TH, có thể tìm GTLN và GTNN của hs trên 1 đoạn và không cần lậpBBT của nó

Giả sử hs f lt trên đoạn [a; b] và đạo hàm trên khoảng (a; b), có thể từ 1 số điểm hữuhạn Nếu f0(x) = 0 chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc (a; b) thì ta có quy tắc tìm giáGTLN và GTNN của hàm f trên đoạn [a; b] như sau

Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn [a; b]

Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn [a; b]

Trang 28

1.3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường VinhChú ý: Khi bài toán không chỉ rõ tập hợp X thì ta hiểu tập X chính là TXĐ D của hàm số.

Trang 29

Trang 30

I Dựa vào BBT ta xđ được số gđ của đồ thị (C) : y = f (x) với đồ thị (d) : y = m

I Từ đó suy ra số nghiệm của pt trên X

(*) có nghiệm x∈ X ⇒ (d) và (C) trên X có giao điểm

(*) có k nghiệm x∈ X ⇒ (d) và (C) trên X có k giao điểm

Giả sử trên X hàm số đạt GTLN và GTNN Khi đó

Trang 31

1.3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tăng Lâm Tường VinhVậy 0 < m < 32 thỏa ycbt.

Ví dụ 2: Tìm tham số m để pt x3− 6x2+ m = 0 (∗) có 3 nghiệm pb thuộc [−1; 6]

(∗) có 3 nghiệm phân biệt thuộc [−1; 6]

⇔ (d) và (C) có 3 giao điểm pb thuộc [−1; 6]

Trang 32

Xét G(x) = x√x +√

x + 16 có G0(x) = 3

√x

2 +

1

2√

x + 16 > 0, ∀x ∈ [0; 9], G(x) lt trên[0; 9]

12

8

Dựa vào BBT ta có: (1.3) có nghiệm⇔ (d) và (C) có giao điểm ⇔ 1

2 ≤ m ≤ 8Vậy 1

2 ≤ m ≤ 8 thỏa ycbt

Ví dụ 4: Tìm m để bpt x +p2x2+ 2 > m (∗) có tập nghiệm là R

GiảiXét hàm số y = x +p2x2+ 2

TXĐ: D = R

y0 = 1 + 4x

2√2x2+ 2 =

√2x2+ 2 + 2x

√2x2+ 2

y0 = 0⇔p2x2+ 2 =−2x ⇐

(

−2x ≥ 02x2+ 2 = 4x2 ⇔ x = −1

1

+∞+∞

Trang 33

Dựa vào BBT ta có: (∗) có tập nghiệm là R ⇔ m < 1

Vậy m < 1 thỏa ycbt

Ví dụ 5: Tìm m để bpt√4x− 8 +√16− 4x ≤ m (∗) có nghiệm

GiảiXét hàm số f(x) =√4x− 8 +√16− 4x

TXĐ: D = [2; 4]

f0(x) = 4

2√4x− 8+

2√2

4

2√2

Dựa vào BBT ta có (∗) có nghiệm ⇔ m ≥ 2√2

1 Cho pt sin6x + cos6x = m sin 2x Với giá trị nào của tham số m thì pt có nghiệm

4 Tìm m để pt 4 sin x + 2

sin x + 2 = m có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [0; π]

5 Cho phương trình 4 cos x cos 2x cos 3x + m = 14(cos2x− sin2x) Với giá trị nào của tham

số m thì pt có nghiệm thuộc đoạn h−π

3;−π6i

Trang 34

1.4 ĐIỂM UỐN VÀ TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Tăng Lâm Tường Vinh

1.4 Điểm uốn của đồ thị hàm số và tịnh tiến hệ trục tọa độ

1 Khái niệm điểm uốn của đồ thị

Điểm U(x0; f (x0)) đgl điểm uốn của đồ

thị hàm số f(x) nếu tồn tại 1 khoảng

(a; b) chứa điểm x0 sao cho trên 1 trong 2

khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ

thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và

trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới

đồ thị

Định lý 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên 1 khoảng chứa điểm x0; f00(x0) = 0 và

f00(x) đổi dấu khi x qua điểm x0 thì điểm U(x0; f (x0)) là 1 điểm uốn của đồ thị hàm

số y = f(x)

2 Tịnh tiến hệ tọa độ

(a) Công thức chuyển hệ tọa độ

Giả sử I là 1 điểm của mặt phẳng và (x0; y0) là tọa độ của điểm I và 2 trục IX, IYtheo thứ tự có cùng các vecto đơn vị ~i,~j với 2 trục Ox, Oy

Giả sử M là 1 điểm bất kì của mp Gọi (x; y) là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa

độ Oxy và (X; Y ) là tọa độ của điểm M đối với IXY Khi đó

−−→

OM =−→OI +−−→IMhay

x~i + y~j = (x0~i + y0~j) + (X~i + Y ~j)

= (X + x0)~i + (Y + y0)~j

x = X + x0

y = Y + y0Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép

tịnh tiến theo vecto OI

(

x = X + x0

y = Y + y0(b) Phương pháp tìm phương trình của đường cong đối với hệ toạ độ mớiGiả sử (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) đối với hệ tọa độ Oxy đã cho Khi đóphương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ Oxy là y = f(x) Ta sẽ viếtphương trình của (C) đối với hệ tọa độ mới IXY

Giả sử M là 1 điểm bất kì của mp, (x; y) và (X; Y ) là tọa độ của điểm M, theo thứ

Trang 35

tự, đối với hệ tọa độ Oxy và IXY Khi đó

(

x = X + 2

y = Y − 1Phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là

Y − 1 = 12X3− 1 ⇔ Y = 12X3(b) Vì Y = 1

Xét dấu y00 và kết luận theo định lý1

Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số

1 y = x3− 3x2+ 3

2 y = 3x5− 5x4+ 3x + 1

3 y = x3− 6x2− 3x + 5

Trang 36

Trang 37

1.4 ĐIỂM UỐN VÀ TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Tăng Lâm Tường Vinh(a) Có 2 điểm uốn

(b) Không có điểm uốn

5 Cho hàm số y = x3− 3x2− 9x + 6 Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến với đồthị hàm số, tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

6 Tìm a, b để đồ thị hàm số

(a) y = x3− ax2+ x + b nhận điểm I(1; 4) làm điểm uốn

(b) y = ax3+ bx2 nhân điểm I(1; 8) làm điểm uốn

(c) y = ax3+ bx2+ x + 1 nhận điểm I(1;−2) làm điểm uốn

(d) y = x3− 3x2+ 3mx + 3m + 4 nhận điểm I(1; 2) làm điểm uốn

Công thức chuyển hệ trục

Dạng 4

1 Cho hàm số y = x3− 3x2+ 4 có đồ thị là (C)

(a) Tìm điểm uốn I của đồ thị hàm số

(b) Viết công thức chuyển hệ trục trong phép tịnh tiến theo −→OI và tìm phương trình của(C) đối với hệ tọa độ IXY

(c) Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C)

2 Cho đường cong (C) : y = 3 − 1

x− 2 và điểm I(2; 3) Viết công thức chuyển hệ tọa độtrong phép tịnh tiến theo −→OI và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độIXY Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của đường cong (C)

3 Chứng minh đồ thị

(a) Hàm số y = 5x− 2

x− 1 nhận điểm I(1; 5) làm tâm đối xứng

(b) Hàm số y = x4− 4x3− x2+ 10x + 5 có trục đối xứng vuông góc với Ox

(c) Hàm số y = (x − 2a)2(x + 2)2 có trục đối xứng vuông góc với trục Ox

Trang 38

1.5 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tăng Lâm Tường Vinh

1.5 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1 Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất

1 trong các điều kiện sau được thỏa mãn

f (x) =−∞;

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang và đứng của đồ thị y = 3x− 7

4x− 4Giải

Trang 39

3 Đường tiệm cận xiên

Trang 40

CHÚ Ý: Để xác định các hệ số a, b trong phương trình đường tiệm cận xiên, ta áp dụng

Ví dụ 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y =px2− 4x + 4x

Công thức chuyển hệ trục

Dạng

1 Cho hàm số y = x3− 3x2+ có đồ thị (C)

(a) Tìm điểm uốn I đồ thị hàm số

(b) Viết công thức chuyển... : y = f (x) với đồ thị (d) : y = m

I Từ suy số nghiệm pt X

(*) có nghiệm x∈ X ⇒ (d) (C) X có giao điểm

(*) có k nghiệm x∈ X ⇒ (d) (C) X có k giao điểm

Giả sử...

x + 16 > 0, ∀x ∈ [0; 9], G(x) lt trên[0; 9]

12

8

Dựa vào BBT ta có: (1.3) có nghiệm? ?? (d) (C) có giao điểm ⇔ 1

2 ≤ m ≤ 8Vậy 1

Định dạng
Số trang	232
Dung lượng	10,18 MB