MỤC LỤC A. Mục đích, sự cần thiết 3 B. Phạm vi triển khai thực hiện 3 C. Nội dung 4 I. Tình trạng giải pháp đã biết 4 II. Nội dung giải pháp: 8 III. Khả năng áp dụng của giải pháp: 20 IV. Hiệu quả, lợi ích thu được (Kết quả của giải pháp): 21 V. Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp: 21 VI. Những kiến nghị đề xuất: Không 22 D. Danh sách đồng tác giả 22 E. Tài liệu tham khảo 22 A. Mục đích, sự cần thiết Giải bài toán bằng cách lập phương trình là Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đại lượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho. Qua thời gian giảng dạy tại trường PTDTBT THCS Mường Mươn, đồng thời qua việc trao đổi với đồng nghiệp tôi thấy Giải bài toán bằng cách lập phương trình là dạng bài khó dạy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc học và giải dạng toán này, phần vì mối quan hệ giữa các đại lượng phức tạp, phần vì bế tắc trong việc tìm ra phương trình và trình tự trình bày. Bởi đề bài cho không phải là những phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mối quan hệ toán học. Loại toán này có rất nhiều dạng vì vậy việc phân loại các dạng bài tập, hướng dẫn học sinh lập bảng số liệu (trực quan) để phân tích, suy luận, tìm ra mối liên hệ giữa các đại lượng, giúp các em dễ dàng lập được phương trình là rất cần thiết. Khi chưa dạy các em phương pháp lập bảng số liệu để tìm lời giải bài toán bằng cách lập phương trình, các em rất lúng túng khi giải toán dạng này. Thông thường các em chỉ tìm được đáp số, nhưng ở dạng mò mẫm, hoặc cũng lập được phương trình, nhưng lập luận để đi đến phương trình còn thiếu chặt chẽ, mất nhiều thời gian. Chính vì vậy, mà việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán bằng cách lập phương trình trên cơ sở lập bảng số liệu là rất cần thiết. Tôi xin trao đổi kinh nghiệm phương pháp dạy: Giải bài toán bằng cách lập phương trình trên cơ sở phân tích lập bảng số liệu để tìm ra phương trình. Rất mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp, để tôi có một phương pháp dạy tốt hơn nữa, giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn. B. Phạm vi triển khai thực hiện Học sinh lớp 8, lớp 9 trường PTDTBT THCS Mường Mươn. C. Nội dung I. Tình trạng giải pháp đã biết Giải pháp đã làm để giải các dạng bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8, lớp 9 tiến hành giải theo các bước sau: Bước 1: Lập phương trình + Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình (Tùy từng phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp) Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƯỜNG CHÀ
TRƯỜNG PTDTBT THCS MƯỜNG MƯƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Phương pháp dạy: Giải bài toán
Trang 2DANH MỤC (CHÚ THÍCH CHỮ VIẾT TẮT, KHÁI NIỆM)
Trang 3MỤC LỤC
A Mục đích, sự cần thiết 3
B Phạm vi triển khai thực hiện 3
C Nội dung 4
I Tình trạng giải pháp đã biết 4
II Nội dung giải pháp: 8
III Khả năng áp dụng của giải pháp: 20
IV Hiệu quả, lợi ích thu được (Kết quả của giải pháp): 21
V Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp: 21
VI Những kiến nghị đề xuất: Không 22
D Danh sách đồng tác giả 22
E Tài liệu tham khảo 22
Trang 4A Mục đích, sự cần thiết
Giải bài toán bằng cách lập phương trình là Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữthông thường sang ngôn ngữ đại số rồi dùng các phép biến đổi đại số để tìm ra đạilượng chưa biết thỏa mãn điều kiện bài cho
Qua thời gian giảng dạy tại trường PTDTBT THCS Mường Mươn, đồng thờiqua việc trao đổi với đồng nghiệp tôi thấy "Giải bài toán bằng cách lập phươngtrình" là dạng bài khó dạy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc học và giảidạng toán này, phần vì mối quan hệ giữa các đại lượng phức tạp, phần vì bế tắctrong việc tìm ra phương trình và trình tự trình bày Bởi đề bài cho không phải lànhững phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đạilượng, học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tảbằng lời văn sang mối quan hệ toán học
Loại toán này có rất nhiều dạng vì vậy việc phân loại các dạng bài tập, hướng dẫn học sinh lập bảng số liệu (trực quan) để phân tích, suy luận, tìm ra
mối liên hệ giữa các đại lượng, giúp các em dễ dàng lập được phương trình là rấtcần thiết
Khi chưa dạy các em phương pháp lập bảng số liệu để tìm lời giải bài toánbằng cách lập phương trình, các em rất lúng túng khi giải toán dạng này Thôngthường các em chỉ tìm được đáp số, nhưng ở dạng mò mẫm, hoặc cũng lập đượcphương trình, nhưng lập luận để đi đến phương trình còn thiếu chặt chẽ, mất nhiềuthời gian Chính vì vậy, mà việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán bằng cáchlập phương trình trên cơ sở lập bảng số liệu là rất cần thiết
Tôi xin trao đổi kinh nghiệm phương pháp dạy: "Giải bài toán bằng cách lậpphương trình" trên cơ sở phân tích lập bảng số liệu để tìm ra phương trình Rấtmong nhận được góp ý của các đồng nghiệp, để tôi có một phương pháp dạy tốthơn nữa, giúp học sinh tiếp thu bài tốt hơn
B Phạm vi triển khai thực hiện
Trang 5C Nội dung
I Tình trạng giải pháp đã biết
Giải pháp đã làm để giải các dạng bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp
8, lớp 9 tiến hành giải theo các bước sau:
- Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
- Bước 2: Giải phương trình (Tùy từng phương trình mà chọn cách giải chongắn gọn và phù hợp)
- Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệmnào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận
Giáo viên yêu cầu học sinh đọc đề bài để biết được những yếu tố bài cho, nhữngyếu tố phải tìm Hướng dẫn học sinh lập phương trình bằng những câu hỏi dẫn dắtgợi mở căn cứ vào từng bài toán cụ thể và giải bài toán theo các bước nêu ở trên
Ví dụ: Giải bài toán sau (Bài 46 SGK Toán 8 tập hai trang 31)
Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã quy định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính quãng đường AB.
Khi đi dự giờ đồng nghiệp tôi thấy các giáo viên thường hướng dẫn học sinhgiải bằng các câu hỏi:
? Đọc bài 46?
? Bài toán cho biết gì? Yêu cầu gì?
? Tóm tắt nội dung bài toán?
? Đơn vị thời gian đã thống nhất chưa?
? Đổi 10 phút = ? giờ?
? Bài toán có mấy đại lượng? Liên hệ với nhau bởi công thức nào?
Trang 6? Tính quãng đường AB như thế nào?
? Hãy chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn? (Ẩn x: quãng đường AB Điều kiện: x>48)
? Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết?
Giáo viên gợi ý: Thời gian dự định bằng tổng thời gian đi và thời gian nghỉ.
? Tìm thời gan dự định? (quãng đường AB chia vận tốc dự định là
Giải phương trình tìm được x = 120 (thỏa mãn điều kiện)
Trả lời: Quãng đường AB dài 120km
Làm theo cách hướng dẫn như trên có:
Ưu điểm: Với những bài toán ngắn gọn mối quan hệ giữa các đại lượng đơn
giản học sinh có thể chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn, suy luận lập phương trình và giảiđược Chẳng hạn như bài: Tổng của hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14 Tìmhai số đó
Khuyết điểm: - Đối với học sinh khá, giỏi có thể suy luận và giải được
nhưng mất nhiều thời gian, với học sinh trung bình sẽ rất khó khăn
- Nếu thay đổi dữ kiện bài toán cho và bài toán yêu cầu học sinh lại không giải được đồng thời không có kĩ năng lập phương trình
- Những bài toán cho đề dài mối quan hệ giữa các đại lượng phức tạp đọc bàitoán không xác định được dạng bài, không biết giải bắt đầu từ đâu rất khó khăntrong việc lập phương trình, dẫn đến không giải được bài tập Hoặc có em cũng lậpđược phương trình nhưng lập luận để đi đến phương trình còn thiếu chặt chẽ, mấtnhiều thời gian Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó vớicác hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá
Trang 7trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp
số vô lí Ví dụ: ẩn số là con người, đồ vật, … phải nguyên dương nếu tìm ra đáp số
âm hoặc không nguyên là vô lí
Với bài tập 46 ở trên tôi hướng dẫn học sinh hoạt động nhóm lập bảng
số liệu bằng các câu hỏi dẫn dắt như sau:
? Đọc và tóm tắt nội dung bài toán?
? Bài toán này thuộc dạng toán nào?
? Trong bài toán ô tô dự định đi như thế nào? (ô tô dự định đi cả quãng đường ABvới vận tốc 48km/h) Giáo viên vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễtìm thấy số liệu để điền vào các ô của bảng sắp lập
? Thực tế diễn biến như thế nào? (1 giờ đầu ô tô đi với vận tốc 48km/h, ô tô bị tàuhỏa chắn 10 phút, đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc: 48 + 6 = 54km/h)
Giáo viên bổ sung tiếp thông tin vào sơ đồ trên
? Dạng toán chuyển động có những đại lượng nào? Liên hệ với nhau bởi công thứcnào?
Giáo viên hướng dẫn học sinh lập bảng điền tên các đại lượng liên quan: Độ dàiquãng đường (km), thời gian đi (giờ), vận tốc (km/h) tương ứng với dự định vàthực tế thực hiện
? Thảo luận nhóm chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn và suy luận điền các thông tin từng
ô trong bảng?
Lập bảng:
Độ dài quãngđường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)
Trang 8Gọi độ dài quãng đường AB là x km Điều kiện x>48
Thời gian ô tô dự định đi quãng đường AB là:
48
x
(giờ)Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc 48km/h ô tô bị tàu hỏa chắn ngang đường trong
10 phút, do đó thời gian ô tô đi quãng đường sau là: 48
Giải phương trình tìm được x = 120 (thỏa mãn điều kiện)
Trả lời: Quãng đường AB dài 120km
Trong quá trình thực hiện tôi thấy: Điểm khác biệt, tính mới ở đây chính là phân tích lập được bảng số liệu có những ưu điểm:
- Giáo viên dễ hướng dẫn, tự nhiên và không mang tính áp đặt
+) Chủ động tích cực thực hiện giải các bài tập
Trang 9+) Đối với học sinh khỏ, giỏi làm nhanh hơn, học sinh trung bỡnh cũng khụngcũn tõm lớ ngại giải bài toỏn dạng này.
II Nội dung giải phỏp:
Với tỡnh trạng trờn tụi xin đưa ra phương phỏp dạy "Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh" trờn cơ sở phõn tớch lập bảng số liệu để tỡm ra phương trỡnh nhằm nõng cao chất lượng giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh núi riờng bộ mụn toỏn ở trường PTDTBT THCS Mường Mươn núi chung như sau:
1 Phõn loại cỏc dạng bài tập
Cỏc bài tập về giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh tụi đó phõn thành cỏc dạng cơ bản như sau:
* Loại toỏn tỡm hai số
1) Toỏn tỡm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số của chỳng
2) Toỏn tỡm số sỏch trong mỗi giỏ sỏch, tỡm tuổi, tỡm số cụng nhõn củaphõn xưởng
3) Toỏn tỡm số dóy ghế và số người trong một dóy
* Loại toỏn chuyển động:
1) Toỏn cú nhiều phương tiện tham gia chuyển động
2) Toỏn chuyển động thường
3) Toỏn chuyển động cú nghỉ ngang đường
4) Toỏn chuyển động ngược chiều
5) Toỏn chuyển động cựng chiều
6) Toỏn chuyển động một phần quóng đường
* Loại toỏn làm chung, làm riờng
* Loại toỏn năng suất
* Toỏn cú nội dung hỡnh học
* Toỏn cú nội dung vật lý, húa học
* Toỏn liên quan đến phần trăm cú chứa tham số
Trang 102 Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán và lập bảng tương ứng với từng dạng
* Loại toán tìm hai số
1) Toán tìm hai số biết tổng hoặc hiệu hoặc tỉ số của chúng
Ví dụ 1: Hiệu hai số là 12 Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ
nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị Tìm hai số đó.
- Phân tích bài toán: Có hai đại lượng tham gia vào bài toán, đó là số bé và
số lớn Nếu gọi số bé là x thì số lớn biểu diễn bởi biểu thức nào?
Yêu cầu học sinh điền vào các ô trống còn lại ta có thương thứ nhất là
Ví dụ 2: Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách Nếu chuyển từ thư viện
thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện
- Phân tích bài toán: Có hai đối tượng tham gia vào bài toán: Thư viện 1 và thư
viện 2 Nếu gọi số sách lúc đầu của thư viện 1 là x, thì có thể biểu thị số sách củathư viện hai bởi biểu thức nào? Số sách sau khi chuyển ở thư viện 1, thư viện 2biểu thị như thế nào?
- Lập bảng:
Số sách lúc đầu Số sách sau khi chuyển
Trang 11Thư viện 1 x x - 3000
3) Toán tìm số dãy ghế và số người trong một dãy
Ví dụ 3: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144.
Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?
- Phân tích bài toán: Bài toán có hai tình huống xảy ra: Số ghế ban đầu và sốghế sau khi thêm Nếu chọn số ghế lúc đầu là x, ta có thể biểu thị các số liệu chưabiết qua ẩn và có thể điền được vào các ô trống còn lại Dựa vào giả thiết: Mỗi dãyghế phải kê thêm 2 người ngồi, ta có thể lập được phương trình:
* Loại toán chuyển động:
Nhìn chung mẫu bảng ở dạng toán chuyển động gồm 3 cột: Quãngđường, vận tốc, thời gian - Các trường hợp xảy ra như: Quãng đường đầu, quãngđường cuối, nghỉ, đến sớm, đến muộn hoặc các đại lượng tham gia chuyển độngđều được ghi ở hàng ngang Đa số các bài toán đều lập phương trình ở mối liên hệthời gian
1) Toán có nhiều phương tiện tham gia trên nhiều quãng đường
Ví dụ 4: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A
đến B mất 2h20 ' ,ô tô đi hết 2h Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h.
Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
- Phân tích bài toán: Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô
và Ô tô.Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ Cầntìm vận tốc của chúng Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x(x>0)
Trang 12Từ đó điền các ô thời gian, quãng đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên.
Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường
- Lập bảng:
Công thức lập phương trình: Sôtô -Scanô = 10
2) Toán chuyển động thường
Với các bài toán chuyển động dưới nước, yêu cầu học sinh nhớ công thức: vxuôi = vthực + vnước
vngược = vthực - vnước
Ví dụ 5: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất
8h20' Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước
Trang 13Ví dụ 6: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội Sau khi đi được 43km nó dừng
lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc
cũ Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.
- Phân tích bài toán: 163km
43km
Vì Ôtô chuyển động trên những quãng đường khác nhau, lại có thời gian nghỉ,nên phức tạp Giáo viên cần vẽ thêm sơ đồ đoạn thẳng để học sinh dễ hiểu, dễ tìmthấy số liệu để điền vào các ô của bảng Giáo viên đặt câu hỏi phát vấn học sinh:Thời gian dự định đi? Thời gian đi quãng đường đầu, quãng đường cuối?
Chú ý học sinh đổi từ số thập phân ra phân số cho tiện tính toán
Công thức lập phương trình: tđầu + tdừng + tcuối = tdự định
4) Toán chuyển động cùng chiều
Học sinh cần nhớ:
Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau
Cùng khởi hành: tc/đ chậm - tc/đ nhanh = tnghỉ (tđến sớm)
Xuất phát trước sau: tc/đ trước - tc/đ sau = tđi sau
tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước
Trang 14Ví dụ 7: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5h20' một chiếc ca
nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.
- Phân tích bài toán:
Chuyển động của thuyền và ca nô nhưng không có vận tốc dòng nước vì thế các
em làm như chuyển động trên cạn
Công thức lập phương trình: tthuyền - tca nô = tđi sau
* Loại toán làm chung, làm riêng
Khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này, cần chú ý rằng, đối với loại toán này
ta coi toàn bộ công việc là một đơn vị và biểu thị bởi số 1 Sau đó học sinh cần biết biểu thị phần việc của mỗi người tham gia vào công việc, trên cơ sở đó có thể thiết lập được phương trình hoặc hệ phương trình
Ví dụ 8: Hai người làm chung công việc thì hoàn thành trong 4 ngày Nếu như
một trong hai người làm nửa công việc sau đó người kia làm nốt nửa công việc còn lại thì toàn bộ công việc sẽ hoàn thành trong 9 ngày.
Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì hoàn thành công việc trong bao lâu?
- Phân tích bài toán: Ở bài toán này cần chú ý năng suất của mỗi người khi làm
chung và làm riêng là không thay đổi
Bài này cột thời gian được chia làm hai (cả công việc, nửa công việc)
Khi lập phương trình dựa vào năng suất mỗi người
LËp b¶ng:
Trang 15Thời gian Năng suất
Cả công việc Nửa công việc
* Loại toán n¨ng suÊt
Ở dạng toán này học sinh phải nắm vững mối quan hệ giữa 3 đại lượng trong bàitoán: Khối lượng (KL), năng suất (NS), thời gian (t)
- Thời gian dự định thường lớn hơn thời gian thực tế
- Hoàn thành kế hoạch là 100%, còn số lẻ là vượt mức
- Toàn công việc dự định thực tế với mẫu bảng chung gồm 3 cột: Tổng khối lượng,năng suất, thời gian
- Lập phương trình ở mối liên hệ thời gian dự định và thời gian thực tế
- Các em hay nhầm số liệu khối lượng và năng suất nên cần phân biệt rõ qua đơn vịcủa hai đại lượng này
- Khi trình bày bài giảng dạng này nên theo cột dọc
Ví dụ 9: Một tập đoàn đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt 20 tấn
cá, nhưng đã vượt mức 6 tấn mỗi tuần, nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch.
- Phân tích bài toán:
Nếu gọi mức cá đánh là x tấn (x >0), thì mức cá đánh bắt thực tế là bao nhiêu?
Trang 16Năng suất dự định,thực tế? Thời gian dự định, thực tế đánh bắt cá?
+ Hướng dẫn học sinh lập phương trình qua câu "Hoàn thành kế hoạch sớm 1tuần" nên thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định, từ đó có công thức lập phươngtrình: tdự định - tthực tế = 1
- LËp b¶ng:
Tổng khối lượng
(tấn)
Năng suất(Tấn /tuần) Thời gian(tuần)
* Toán có nội dung hình học
VÝ dô 10: Diện tích hình thang là 28cm 2 , chiều cao là 4cm Xác định chiều dài các cạnh đáy của nó nếu các cạnh đáy hơn kém nhau 6cm.
- Phân tích bài toán: Các đại lượng cần tìm là đáy nhỏ và đáy lớn Ta có thể lậpphương trình một ẩn số
+ Nếu lập phương trình bậc nhất một ẩn, ta gọi đấy nhỏ là x, yêu cầu học sinhđiền số liệu vào các ô còn lại và dùng công thức:
Sht = 1
2(đáy lớn + đáy nhỏ) chiều cao
3 Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải và sửa những lỗi sai mà học sinh hay mắc phải khi trình bày
Với các ví dụ ở phần 2, có thể trình bày lời giải như sau:
Trong qu¸ tr×nh gi¶i giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiệncho ẩn và đối chiều với điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kếtluận bài toán
Ví dụ 1: