Về phần tử bất khả quy trên một số miền nguyên (Khóa luận tốt nghiệp)

Về phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyênVề phần tử bất khả quy trên một số miền nguyên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THÚY NGỌC

VỀ PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY TRÊN MỘT SỐ MIỀN NGUYÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Quảng Bình, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNHKHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THÚY NGỌC

VỀ PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY TRÊN MỘT SỐ MIỀN NGUYÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

Th.S TRẦN MẠNH HÙNG

Quảng Bình, 2018

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lựccủa bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầygiáo, cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.s Trần MạnhHùng Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trongsuốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hộiđược những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứukhoa học

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trongKhoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè và những người luôn sát cánhbên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong quá trình học tậpcũng như thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này

Mặc dù đề tài đã được chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lưỡng về thờigian cũng như nội dung nhưng không khỏi có những thiếu sót Vì vậy, tôi rấtmong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo để khóa luận được hoànthiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

Sinh viênNguyễn Thị Thúy Ngọc1

MỤC LỤC

1.1 Miền nguyên và trường 6

1.2 Đa thức trên một trường 8

1.3 Trường phân rã của đa thức 12

1.4 Một số hàm số số học 13

2 Phần tử bất khả quy trên một số vành 16 2.1 Số nguyên tố trên vành số nguyên 16

2.2 Phần tử bất khả quy trên vành số nguyên phức 25

2.3 Đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỷ 32

3

MỞ ĐẦU

Phần tử bất khả quy là một trong những khái niệm quan trọng của lýthuyết vành và lý thuyết đa thức, đặc biệt các bài toán về số nguyên tố, đathức bất khả quy thường được đề cập trong các đề thi chọn học sinh giỏibậc THPT quốc gia, khu vực và Olympic Toán quốc tế Việc tìm hiểu một

số tính chất đặc trưng của phần tử bất khả quy là thực sự cần thiết vì vậychúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: Về phần tử bất khả quy trên một sốmiền nguyên

Mục đích của khóa luận là dựa vào các tài liệu Đa thức và ứng dụng ([2]),

Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galois ([6]), Cơ sở lý thuyết số và đa thức([?]) nhằm hệ thống lại và chứng minh chi tiết một số tính chất đặc trưngcủa phần tử bất khả quy (còn gọi là số nguyên tố) trên vành số nguyên, trênvành nguyên phức và trên vành đa thức

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung khóa luậnđược chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của miền nguyên,

Đa thức, trường phân rã của đa thức và một hàm số số học

Chương 2 Phần tử bất khả quy

Nội dung của chương này là hệ thống lại và chứng minh chi tiết một sốtính chất đặc trưng của phần tử bất khả quy trên một số vành nguyên, trênvành nguyên phức và trên vành đa thức

Khóa luận được hoàn thành tại trường Đại học Quảng Bình dưới sự hướng

4

dẫn của Th.S Trần Mạng Hùng Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy,người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôitrong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.

Quảng Bình, tháng 05 năm 2018

Sinh viênNguyễn Thị Thúy Ngọc

5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Miền nguyên và trường

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi một vành là một tập hợp R 6= ∅ cùng với haiphép toán, gồm phép cộng

iii Phép nhân phân phối đối với phép cộng

• Nếu phép nhân của vành có tính chất giao hoán thì ta nói vành đó làvành giao hoán

• Nếu phép nhân của vành có đơn vị thì ta nói vành đó là vành có đơn vị.Đơn vị của vành thường được ký hiệu bởi 1 Chú ý rằng tồn tại những vànhkhông có đơn vị

6

• Tập hợp chỉ gồm một phần tử không với phép cộng và phép nhân cũnglập thành một vành và gọi là vành không Hơn nữa, mọi vành bất kỳ chỉ gồmmột phần tử đều là vành không Nếu R là vành có đơn vị mà không phải làvành không thì1 6= 0 Thật vậy, nếu1 = 0 thì∀x ∈ Rta cóx = x1 = x0 = 0.Suy ra R cũng là vành không, mâu thuẫn, do đó 1 6= 0.

1.1.2 Ví dụ 1 Z,Q,R là những vành giao hoán, có đơn vị là 1.

2 Cho n > 1 là một số nguyên dương Tập hợp nZ cùng với phép cộng và

nhân các số thông thường là một vành giao hoán nhưng không có đơn vị

3 Tập hợpM (n, R)các ma trận vuông cấpn(n > 0)với phần tử thực cùngvới hai phép toán cộng và nhân mà trận là một vành có đơn vị

1.1.3 Định nghĩa Một vành giao hoán, có đơn vị, khác 0 và không chứaước của 0 được gọi là miền nguyên

Chẳng hạn, vành số nguyên Z là một miền nguyên Vành Z6 không phải

là miền nguyên

1.1.4 Định lí [4] Vành Zn là miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố.1.1.5 Định lí Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 hoặc là một sốnguyên tố

1.1.6 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị 1 6= 0 Khi đóphần tử x ∈ R được gọi là khả nghịch trong vành R nếu tồn tại y ∈ R saocho xy = 1 Với mỗi phần tử x ∈ R, phần tử y xác định như thế là duy nhất

và được gọi là nghịch đảo của x, ký hiệu là x−1

Gọi U là tập tất cả các phần tử khả nghịch của vành R Khi đó U là mộtnhóm đối với phép nhân trên R

Chẳng hạn, U (Z) = {1, −1}; U (Q) = Q∗;

7

1.1.8 Định lí [4] Zn là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

1.2 Đa thức trên một trường

1.2.1 Định nghĩa hàm đa thức Giả sử f (x) là một đa thức thuộc vành

đa thức K[x] Một ánh xạ f : K → K cho bởi a 7→ f (a), ∀a ∈ K được gọi làmột ánh xạ đa thức hay hàm đa thức Tập hợp F tất cả các ánh xạ đa thứclập thành một vành con của vành tất cả các ánh xạ từ K tới K, với phépcộng và phép nhân theo từng điểm:

(f + g)(a) = f (a) + g(a); (f g)(a) = f (a).g(a), ∀a ∈ K

1.2.2 Định nghĩa [4] Nếu K là một trường con của trường E, thì ta gọi E

là một trường mở rộng (hay nói gọn hơn là một mở rộng) của trường K.Cho E là một trường mở rộng của trường K Một phần tử u ∈ E gọi làmột nghiệm của đa thức f (x) ∈ K[x] nếu f (u) = 0 Khi đó, ta cũng nói u

là một nghiệm của phương trình đại số đa thức f (x) = 0

1.2.3 Định lí (Định lí về phép chia có dư) [4]

Giả sử f (x), g(x) ∈ K[x] là hai đa thức với hệ tử ở trong trường K,

f (x) 6= 0 Khi đó tồn tại duy nhất hai đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] sao cho:

f (x) = g(x).q(x) + r(x),trong đó r(x) = 0 hoặc r(x) 6= 0 thì degr(x) <degg(x)

8

1.2.4 Định lí Bezout [2] Cho đa thức f (x) ∈ K[x] Khi đó phần tử u ∈ K

là nghiệm của f (x) khi và chỉ khi f (x) chia hết cho x − u trong vành đa thức

K[x]

1.2.5 Định nghĩa Giả sử k là một số tự nhiên khác 0 Một phần tử α ∈ K

được gọi là một nghiệm bộik của đa thức f (x) ∈ K[x] nếu f (x) chia hết cho

(x − α)k và f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 trong vành K[x]

Nếu k = 1, thì α gọi là nghiệm đơn Nếu k = 2, thì α gọi là nghiệm kép

Ta cũng nói trong trường hợp k ≥ 2, α là nghiệm bội nếu không cần thiếtphải nói số bội k Vậy α ∈ K là một nghiệm bội k của f (x) nếu và chỉ nếu

f (x) = (x − α)kg(x) với g(α) 6= 0 và khi đó ta có:

degf(x)= k +degg(x), k ≤ degf(x)

1.2.6 Công thức Viete Cho đa thức f (x) bậc n trên trường K, với hệ tửcao nhất bằng 1:

f (x) = xn+ a1xn−1+ + akxk−1 + + an (1.1)Giả sử f (x) có n nghiệm α1, α2, , αn trong K hoặc trong một số mở rộngnào đó của K Khi đó ta có:

1.2.7 Định nghĩa Cho K là trường, K[x] là vành đa thức của biến x trên

K, f (x) ∈ K[x] với bậc n ≥ 1 Ta gọi f (x) là đa thức bất khả quy trên K

9

Khóa luận đủ ở file: Khóa luận full