Một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết (2018)

Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu các đại lượng động lực trong cơ học lý thuyết  Nghiên cứu quy luật bảo toàn trong cơ lý thuyết  Nghiên cứu một số bài tập về tích phân chuyển động t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

======

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

======

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trường Đại học Sư Phạm

Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng khóa luận tốt nghiệp này hòan tòan do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan và NCS

Đỗ Thị Thu Thủy, khóa luận này không hề sao chép từ các công trình nghiên cứu của người khác Các dữ liệu thông tin được sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và được trích dẫn rõ ràng

Tôi xin chịu hoàn tòan trách nhiệm về lời cam đoan này!

Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN II: NỘI DUNG 4

CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4

1.1 Phương trình chuyển động 4

1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm 4

1.1.2 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm 5

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng 6

1.3 Định luật bảo toàn moment xung lượng 9

1.4 Định luật bảo toàn năng lượng 14

CHƯƠNG 2 : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 16

2.1 Toạ độ suy rộng 16

2.2 Xung lượng suy rộng 17

2.3 Hàm Hamilton 18

2.4 Các phương trình Hamilton 20

2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân của chuyển động 21

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 30

3.1.Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm 30

3.2 Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ 33

PHẦN III: KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học chúng ta có thể dần khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên Một trong những ngành khoa học ngày càng phát triển đó là vật lý Trong ngành vật lý học có rất nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải những vấn đề của thế giới mà các ngành khoa học khác không thể giải thích rõ ràng được Một trong những công cụ chủ yếu của Vật lí học là Vật lí lý thuyết và Vật lí toán

Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần nâng cao và khái quát hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tống quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa học, đời sống

và kĩ thuật Với sự kết hợp những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra được những quy luật mới chưa tìm được bằng thực nghiệm và tiên đoán trước những mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý

Phương pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu cơ học được gọi là cơ lý thuyết Cơ lý thuyết là môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động, sự tương tác giữa chúng trong không gian theo thời gian

Để học tập tốt hơn phần cơ học lý thuyết cần có hệ thống kiến thức cũng

như hệ thống bài tập cơ bản Vì vậy, tôi xin chọn đề tài “Một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết” làm đề tài nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

 Nghiên cứu về đại lượng bảo toàn trong cơ lý thuyết

 Áp dụng để giải một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ học

lý thuyết

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu các đại lượng động lực trong cơ học lý thuyết

 Nghiên cứu quy luật bảo toàn trong cơ lý thuyết

 Nghiên cứu một số bài tập về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết

4 Đối tượng nghiên cứu

 Nghiên cứu quy luật bảo toàn đối với chất điểm và hệ chất điểm trong

hệ toạ độ suy rộng

 Áp dụng giải một số bài tập

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu trong cơ học

 Phương pháp giải tích toán học

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

1.1 Phương trình chuyển động

1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

1.1.2 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng

1.3 Định luật bảo toàn Moment xung lượng

1.4 Định luật bảo toàn năng lượng

Chương 2: Tích phân của chuyển động

2.1 Toạ độ suy rộng

2.2 Xung lượng suy rộng

2.3 Hàm Hamilton

2.4 Các phương trình Hamilton

2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân của chuyển động

Chương 3: Một số bài toán về tích phân của chuyển động

3.1 Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm

3.2 Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ

PHẦN III: KẾT LUẬN

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Phương trình chuyển động

1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính Theo

tiên đề độc lập tác dụng, chất điểm có khối lượng m sẽ chuyển động với gia

tốc ⃗⃗ thỏa mãn phương trình

⃗⃗ (1.1)

Trong đó ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Tùy theo những điều kiện cụ thể của bài toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ khác nhau và viết phương trình(1.1) trong

hệ toạ độ đã chọn để sao cho giải bài toán là đơn giản nhất

Trong trường hợp tổng quát ta chọn hệ toạ độ Descartess và chiếu phương trình (1.1) lên các trục của hệ toạ độ đã chọn với chú ý rằng:

Trong nhiều trường hợp ta biết trước quỹ đạo chuyển động của chất điểm,

do đó ta có thể xây dựng được hệ toạ độ tự nhiên ⃗ ⃗ , tại mỗi điểm trên đường cong Trong các trường hợp đó ta thường chọn các hệ toạ độ tự nhiên

để viết các phương trình hình chiếu của phương trình (1.1) với chú ý rằng:

Hệ phương trình vừa viết gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của

chất điểm dưới dạng tự nhiên

Trong các chuyển động phẳng ta còn dùng các hệ toạ độ cực để viết các phương tình hình chiếu Chú ý rằng:

⃗⃗ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇

Ta nhận được các phương trình hình chiếu của(1.1)

̇ ̇ (1.4.a)

̈ ̇ ̇ , (1.4.b)

Hệ phương trình vi phân vừa thu được

gọi là hệ phương trình vi phân chuyển

động của chất điểm dưới dạng toạ độ cực

Nói chung, tuỳ theo các bài toán cụ thể ta còn có

thể sử dụng các hệ toạ độ khác để viết các phương

trình vi phân chuyển động của chất điểm như hệ

toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ, v.v…

1.1.2 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm

 Nội lực

- Là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau

- Kí hiệu: là nội lực do chất điểm tác dụng lên chất điểm ;

là nội lực do (N – 1)chất điểm còn lại trong hệ tác dụng lên chất điểm

 Ngoại lực

- Là lực do các vật thể bên ngoài tác dụng lên chất điểm của hệ

- Kí hiệu: là ngoại lực tác dụng lên chất điểm của hệ

 Phương trình chuyển động của hệ chất điểm

- Xét chuyển động của hệ gồm N chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính, khi ấy chuyển động của hệ đối với hệ quy chiếu quán tính đó được xác định bởi N phương trình vi phân hạng hai sau đây:

(k =1, 2, 3, …, N)

Hay

⃗⃗ (k =1, 2, 3, …, N) (1.2)

Trong đó: là khối lượng của chất điểm thứ k

⃗⃗ là gia tốc của chất điểm thứ k

1.2 Định luật bảo toàn xung lượng

Định luật bảo toàn xung lượng liên quan chặt chẽ với tính đồng nhất của không gian

Do tính đồng nhất của không gian, các tính chất cơ học của hệ kín không thay đổi đối với sự dịch chuyển song song bất kì của cả hệ trong không gian Tương ứng với nhận xét trên chúng ta sẽ xem xét một sự dịch chuyển song song vô cùng nhỏ đi một đoạn và yêu cầu sao cho hàm Lagrange không thay đổi

Sự dịch chuyển song song có nghĩa là pháp biến đổi trong đó tất cả các điểm của hệ đã dịch chuyển đi cùng một đoạn, có nghĩa là các vector bán kính của chúng Sự thay đổi của hàm Lagrange trong kết quả của sự dịch chuyển song song đi một đoạn vô cùng nhỏ, khi vận tốc của các hạt không đổi sẽ là:

∑ ∑ (1.2.1)

Ở đây tổng được lấy theo tất cả số hạt của hệ

Vì được chọn tùy ý cho nên yêu cầu tương đương với yêu cầu

Tính chất cộng tính của xung lượng được thể hiên qua công thức trên một cách rõ rệt Khác với năng lượng, xung lượng của hệ bằng tổng các xung lượng của từng hạt của hệ

Định luật bảo toàn tất cả ba thành phần của véc tơ xung lượng chỉ xảy ra trong trường hợp không có trường ngoài Tuy nhiên từng thành phần của vector xung lượng có thể bảo toàn khi tồn tại trường ngoài có thế năng không phụ thuộc vào các toạ độ Descartes Khi dịch chuyển dọc theo trục toạ độ tương ứng nào đó hiển nhiên là các tính chất cơ học của hệ sẽ không thay đổi

và cũng bằng lí luận như trên chúng ta sẽ thấy rằng hình chiếu của xung lượng lên trục đó bảo toàn Như vậy trong trường đồng nhất hướng dọc theo trục z, thì các thành phần xung lượng dọc theo trục x, y được bảo toàn

Đẳng thức (1.2.2) có ý nghĩa vật lí đơn giản như sau:

∑

∑

∑ (1.2.6) Tổng các lực tác động lên tất cả các hạt của hệ kín bằng không

Trong trường hợp riêng khi hệ kín tạo bởi hai hạt thì

∑ (1.2.7)

Từ (1.2.7) ta thấy lực tác động lên hạt thứ nhất từ phía hạt thứ hai bằng vền giá trị nhưng ngược hướng với lực tác động lên hạt thứ hai từ phía hạt thứ nhất Đó chính là định luật cân bằng tác động lực và phản lực ( định luật thứ

̇

1.3 Định luật bảo toàn moment xung lượng

Bây giờ chúng ta xem xét định luật bảo toàn khác có nguồn gốc liên quan với tính chất đẳng hướng của không gian

Tính chất đẳng hướng của không gian có nghĩa là các tính chất cơ học của

hệ kín sẽ không đổi khi ta quay hệ như một thể thống nhất trong không gian Tương ứng với điều vừa nêu ra, ta xem xét một phép quay vô cùng nhỏ của

cả hệ và yêu cầu hàm Lagrange của hệ không đổi (

Ta đưa vào khái niệm vector yếu tố góc quay vô cùng nhỏ ⃗ , nó là vector hướng theo trục quay và có giá trị bằng góc quay ( sao cho chiều quay ứng với quy tắc đinh vít đối với chiều của ⃗ )

Trước hết ta tính xem trong phép quay đó số gia của bán kính bằng bao nhiêu; vector bán kính này vẽ từ gốc toạ độ chung( nằm trên trục quay ) đến một chất điểm nào đó thuộc hệ cơ học quay

O

𝛿𝜑

𝑟

Nhƣ vậy đối với hệ cơ học độc lập kín có bảy tích phân chuyển động đó là năng lƣợng , ba thành phần của vector xung lƣợng và ba thành phần của moment xung lƣợng

Vì trong định nghĩa của moment xung lượng có chứa vector bán kính của hạt nên nói chung giá trị của moment xung lượng phụ thuộc vào sự lựa chọn gốc toạ độ

Nếu và là các vector bán kính của cùng một điểm tương đối với các gốc toạ độ, cách nhau một khoảng thì các vector đó liên hệ với nhau bởi biểu thức

và khi đó ta có :

⃗⃗ ∑ [ ] ∑ [( ) ]

∑ [ ] [ ∑ ] (1.3.9) Hay

⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ] (1.3.10)

Ở đó ⃗ ∑

Từ công thức (1.3.10) ta thấy chỉ trong trường hợp hệ như một vât thể đứng yên ( có nghĩa ⃗ ) thì moment xung lượng của hệ mới không phụ thuộc vào việc chọn gốc toạ độ

Bây giờ chúng ta đi xét mối quan hệ của moment xung lượng đối với hai hệ quy chiếu quán tính khác nhau K và K’ Giả sử K’ chuyển động tương đối với

hệ quy chiếu quán tính K với vận tốc không đổi ⃗ và các gốc toạ độ của K và K’ ở một thời điểm cho trước nào đó trùng nhau Ở thời điểm này các vector bán kính của hạt ở trong hai hệ quy chiếu là như nhau , còn vận tốc của chúng thì liên hệ với nhau theo biểu thức:

⃗ (1.3.11)

Ở đó ⃗ là vectơ bán kính của tâm quán tính của hệ

Công thức trên xác định quy luật biến đổi của moment xung lượng khi chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác

Nếu hệ là hệ quy chiếu quán tính mà tượng đối với nó hệ cơ học bất động như một vật thể thống nhất thì khi đó ⃗ ⃗ chính là xung lượng của

hệ cơ học như một vật thể thống nhất tương đối với hệ quy chiếu quán tinh K và:

⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ⃗ ] (1.3.13)

Nói cách khác , moment xung lượng của hệ cơ học bằng tổng của moment riêng của hệ cơ học ⃗⃗ tương đối với hệ quy chiếu trong đó hệ cơ học bất động tuyến tính và moment [ ⃗ ⃗ ] liên quan với sự chuyển động của hệ như một vật thể thống nhất

Mặc dầu định luật bảo toàn ba thành phần của vector moment xung lượng ( đối với điểm gốc toạ độ tùy ý) chỉ đúng với hệ kín, nhưng cả trường hợp khi

hệ cơ học nằm ở trường ngoài, định luật bảo toàn moment vẫn có thể dúng trong một dạng hẹp hơn Từ những suy luận ở trên ta thấy hình chiếu của

moment trên trục đối xứng của trường ngoài luôn được bảo toàn Vì rằng những tính chất cơ học của hệ không thay đổi khi quay hệ với một góc tùy ý xung quanh trục đó, dĩ nhiên moment ở đây phải được xác định đối với điểm (gốc toạ độ) nằm trên trục đối xứng của trường ngoài

Trường hợp quan trọng nhất về loại trường đó là trương đối xứng xuyên tâm, có nghĩa là trường có thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến một điểm nào đó xác định trong không gian ( tâm của trường) Dĩ nhiên nếu cơ học chuyển động trong một trường như vậy thì hình chiếu của momnen trên mọi trục đi qua tâm của trường đều được bảo toàn Nói ⃗⃗ được bảo toàn nhưng ở đây, ⃗⃗ xác định không phải đối với bất kì điểm nào trong không gian, mà phải đối với tâm của trường

Một ví dụ khác: trường đồng nhất dọc theo trục z trong đó hình chiếu M được bảo toàn, ở đây gốc toạ độ có thể lấy tùy ý

Ta nhận thấy rằng hình chiếu của moment trên trên trục z có thể tính bằng cách lấy đạo hàm hàm số Lagrange theo công thức :

∑ ̇ (1.3.14)

Với toạ độ là góc quay quanh trục z

Đúng vậy, trong toạ độ trụ ta có ; và ∑ ̇ ̇

∑ ̇ (1.3.15)

Mặt khác, hàm Lagrange trong toạ độ trụ của hệ có dạng

∑ ̇ ̇

Và nếu thay biểu thức này vào công thức (1.3.14) ta được ngay biểu thức (1.3.15

1.4 Định luật bảo toàn năng lượng

Khi chuyển động, các đại lượng qi, ̇i(i = 1,2,….,s) xác định trạng thái của

hệ cơ học sẽ thay đổi theo thời gian Tuy nhiên vẫn tồn tại các hàm của qi và ̇i có giá trị không đổi khi hệ chuyển động và chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu các hàm đó được gọi là các tích phân chuyển động

Tìm tất cả các tích phân chuyển động đối với một hệ cơ học tùy ý là rất phức tạp và trong một số ít trường hợp có thể đạt được dưới dạng giải tích

Mặt khác, không phải tất cả tích phân chuyển động có vai trò quan trọng như nhau trong cơ học Giữa chúng có vài đại lượng mà sự bảo toàn của chúng có nguồn gốc sâu xa liên quan đến các tính chất cơ bản của không gian và thời gian- tính chất đồng nhất và đẳng hướng của không gian và thời gian

Chúng ta bắt đầu xem xét tích phân chuyển động thứ nhất, đó là năng lượng Định luật bảo toàn năng lượng liên quan mật thiết với tính đồng nhất của thời gian

Do tính chất đồng nhất của thời gian, hàm Lagrange của hệ kín không phụ thuộc tường minh vào thời gian ( có nghĩa là

= 0 ) và ta có thể viết đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm Lagrange của hệ cơ học kín như sau:

= 0 Với i = 1,2,….s, ta suy ra:

*∑ ̇

̇ + , tức là : đại lượng *∑ ̇ ̇ + (1.4.4)

trong quá trình chuyển động của hệ cơ học kín

Đại lượng E không đổi đó được gọi là năng lượng của hệ cơ học

Tính chất cộng tính của năng lượng được trực tiếp suy ra từ tính chất cộng tính của hàm Lagrange

Định luật bảo toàn năng lượng đúng không chỉ riêng cho hệ kín mà còn đúng cho các hệ nằm trong trường ngoài không đổi ( trường ngoài không phụ thuộc vào thời gian)

Ta đã biết hàm Lagrange của hệ cơ học kín có các hạt tương tác lẫn nhau nhưng không tương tác với các hạt bên ngoài là