Hình học 10: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Hình học 10. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Bài giảng này trình bày đầy đủ phần: A. Lí thuyết cần nhớ B. Phương pháp giải các dạng toán tự luận C. Các dạng câu hỏi trắc nghiệm. Bạn đọc quan tâm có thể mua thêm phần: D. Đáp số Hướng dẫn Lời giải Các ví dụ Câu hỏi trắc nghiệm E. Luyện tập thêm Liên hệ tới Thầy Hoàng Hà của Nhóm HỒNG ĐỨC

Trang 1

CHƯƠNG I  TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA

Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc , kí hiệu là sin

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc , kí hiệu là cos

(với y  0) gọi là côtang của góc , kí hiệu là cot

Các số sin, cos, tan, cot gọi là các giá trị lượng giác của góc 

2 2

1

0 

2

1 2

Trang 2

3 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

a sin2 + cos2 = 1

b tan =



cos

sin

và cot =



sin

1

= 1 + cot2

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Giá trị cos450  3sin450 bằng:

1 sin (1 sin )

cos cos được rút gọn thành:

Câu 7 Biểu thức   



  

cot cot H

tan tan được rút gọn thành:

A tan.tan B tan.cot C cot.tan D cot.cot

Câu 8 Biểu thức A = 2(sin6 + cos6)  3(sin4 + cos4) được rút gọn thành:

1 sin 1 sin được rút gọn thành:

Trang 3

Câu 11 Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai ?

A sin00 + cos00 = 0 B sin900 + cos900 = 1

C sin1800 + cos1800 = 1 D sin300 + cos300 = 3 1

2



Câu 12 Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào không đúng ?

A (sin + cos)2 = 1 + 2sin.cos B (sin  cos)2 = 1  2sin.cos

C sin4  cos4 = sin2  cos2 D sin4 + cos4 = 1

Câu 13 Biểu thức A = (tan + cot)2  (tan  cot)2 được rút gọn thành:

1 cos 1 cos Lựa chọn đẳng thức đúng:

A A = 4cot2 B A = 2cot2 C A = 2tan2 D A = 4tan2

Câu 15 Cho các biểu thức A =

 

1 sin cos và B =tan2 + cot2 + 2 Lựa chọn biểu thức đúng:

a b (a b) C



2 2 2

a b (a b) D 



2

a b (a b)

a.sin 3a.sin cos p

a cos 3a.sin cos q

cot sin cos được rút gọn thành:

Trang 4

Câu 23 Cho a.sin.sin  b.cos.cos = 0, cos.cos ≠ 0 Tính giá trị của biểu thức:

Câu 24 Xác định m để A = sin6 + cos6 + m(sin4 + cos4) không phụ thuộc vào 

Câu 25 Biết cos = 4

5 và 0o <  < 90o Giá trị của sin bằng:

5 và 0o <  < 90o Giá trị của tan bằng:

5 và 0o <  < 90o Giá trị của cot bằng:

Câu 29 Biết sin = 5

13 và 90o <  < 180o Giá trị của cos bằng:

13 và 90o <  < 180o Giá trị của tan bằng:

13 và 90o <  < 180o Giá trị của cot bằng:

Trang 5

Câu 34 Biết tan = 2, với  là góc của một tam giác Giá trị của sin bằng:

Câu 35 Biết tan = 2, với  là góc của một tam giác Giá trị của    

  

sin 2 cosC

Câu 37 Biết cot = 3 Giá trị của cos bằng:

cos cos sin sin bằng:

Câu 40 Cho tan + cot = 2 Giá trị của sin bằng:

Câu 41 Cho tan + cot = 2 Giá trị của tan bằng:

32

Câu 42 Cho tan + cot = 2 Giá trị của cot bằng:

32

Câu 43 Cho tan + cot = 2 Giá trị của   

  

sin cosE

Câu 44 Cho sin + cos = 2 Giá trị của cos bằng:

Câu 45 Cho tan + cot = 2 Giá trị của sin bằng:

Trang 6

Câu 46 Cho sin + cos = 2 Giá trị của tan bằng:

32

Câu 47 Cho sin + cos = 2 Giá trị của cot bằng:

32

Câu 48 Cho sin + cos = 2 Giá trị của F = sin5 + cos5 bằng:

Câu 49 Cho 3sin4  cos4 = 1

2 Giá trị của biểu thức A = sin

tan188 2 cos278 cos98 được rút gọn thành:

1 sin cosB

2

1Bsin

2

1 sin cosB

2

1B

co s

Câu 52 Hãy lựa chọn đẳng thức đúng:

A cos(A + B + 2C) = cosC B cos(A + B  2C) = cosC

C cos(A + B + 2C) = cosC D cos(A + B  2C) = cosC

Câu 53 Hãy lựa chọn đẳng thức đúng:

Trang 7

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1 GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Cho hai vectơ a và b (a, b  0) Từ điểm O nào đó vẽ các vectơ OAa, OB  b Khi

đó sô đo góc AOB được gọi là số đó góc giữa hai vectơ a và b hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ a và b

Câu 59 Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC đều Góc nào sau đây bằng 1200 ?

A AB, BC B AO, OB C AB, OC D AB, AC

 Chú ý: Trong thực tế các kết quả trên có được nhờ trực quan với phép nhẩm

3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Với mọi vectơ a, b, c và với mọi số thực k ta đều có:

Trang 8

Câu 64 Cho ABC vuông cân có AB = AC = a Tích vô hướng AB.AC bằng:

Câu 65 Cho ABC vuông cân có AB = AC = a Tích vô hướng AB.CB bằng:

Câu 66 Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng, biết OB = b và OA = a Tích vô hướng OA.OB

khi điểm O nằm ngoài đoạn AB bằng:

Câu 67 Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng, biết OB = b và OA = a Tích vô hướng OA.OB

khi điểm O nằm trong đoạn AB bằng:

Trang 9

Câu 69 Cho ABC đều cạnh a Tích vô hướng AB.BC bằng:

Câu 71 Cho ABC đều cạnh a Gọi I là điểm thoả mãn IA  2IB + 4IC = 0 Tích vô

Câu 72 Cho ABC đều cạnh a Gọi I là điểm thoả mãn IA  2IB + 4IC = 0 Tích vô

Câu 73 Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c Tích vô hướng AB.AC bằng:

Câu 78 Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R A là điểm cố

định và OA = d Tích vô hướng AM.AM1 bằng:

Trang 10

Câu 79 Cho MM1 là đường kính bất kỳ của đường tròn tâm O, bán kính R A là điểm cố

định và OA = d Giả sử AM cắt (O) tại N Tích AM.AN bằng:

Câu 80 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp

hình vuông Tích vô hướng MA.MB + MC.MD bằng:

hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tích vô hướng NA.AB bằng:

hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Tích vô hướng NO.BA bằng:

Câu 84 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M và N là hai điểm thuộc

nửa đường tròn sao cho hai dây cùng AM và BN cắt nhau tại I Tích vô hướng

Trang 11

Câu 90 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 4 điểm A(7; 3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; 2) Lựa

chọn kết quả đúng nhất

Câu 91 Cho hai vectơ a(1; 1) và b(2; 1) Tính cos góc giữa hai vectơ a và b

Câu 93 Cho hai vectơ a(1; 1) và b(2; 1) Biết rằng (a + b)c = 1 và (a + 2c)b = 1 hãy

xác định toạ độ của vectơ c

A c(1; 1) B c(1; 1) C c(1; 1) D c(1; 1)

Câu 94 Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 1) Gọi B là điểm đối xứng với A qua gốc

toạ độ Tìm toạ độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho ABC vuông tại C

Câu 100 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB, biết rằng AB.AC = 4, CA.CB = 9,

CB.CD = 6 Tính độ dài các cạnh của hình thang

A AB = 2, CB = 3, CD = 2 2 , AD = 1 B AB = 2, CB = 3, CD = 2 , AD = 1

C AB = 2, CB = 3, CD = 2 2 , AD = 2 D AB=2, CB = 2 , CD =2 2 , AD = 1

Trang 12

Câu 101 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB, biết rằng AB.AC = 4, CA.CB = 9,

CB.CD = 6 Gọi EF là đường trung bình của hình thang Độ dài hình chiếu của EF lên BD bằng:

Câu 102 Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có:

MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Lựa chọn khẳng định đúng nhất

A ABCD là hình bình hành B ABCD là hình thoi

C ABCD là hình chữ nhật D ABCD là hình vuông

Câu 103 Cho ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, các đường cao AA1, BB1, CC1 cắt nhau

2 ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

tam giác ta có:

2R sin A  sin B  sin C 

Trang 13

3 TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI CẠNH VÀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường trung tuyến tương ứng là ma, mb,

4 DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Trong ABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường cao tương ứng là ha, hb, hc, ta có:

Câu 108 Cho ABC vuông tại A có AB = 6, BC = 10 Đường tròn nội tiếp tam giác có bán

Câu 110 Cho ABC vuông tại A, tanC = 2

3 và đường cao AH = 6 Độ dài đoạn thẳng HB, bằng:

3 và đường cao AH = 6 Độ dài đoạn thẳng HC bằng:

3 và đường cao AH = 6 Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

3 và đường cao AH = 6 Độ dài đoạn thẳng AC bằng:

Trang 14

Câu 114 Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA = 3

5 Độ dài đường cao ha của tam giác bằng:

Câu 115 Cho ABC, biết b = 7, c = 5, cosA = 3

5 Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R

của tam giác bằng:

Câu 116 Cho ABC, biết a = 6, b = 2, c = 3 + 1 Số đo ba góc A, B, C của tam giác là:



D 3 2

2



Câu 118 Cho ABC, biết a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm Khi đó:

A ABC góc A tù B ABC góc B tù C ABC góc C tù D ABC vuông

Câu 119 Cho ABC, biết a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm Độ dài trung tuyến AM nhận giá trị:

A AM  10,59 B AM  10,69 C AM  10,79 D AM  10,89

Câu 120 Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S = 3 3 Độ dài BC là:

A BC = 13 hoặc BC = 31 B BC = 37 hoặc BC = 31

C BC = 13 hoặc BC = 37 D BC = 31 hoặc BC = 15

Câu 121 Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4 Gọi M là trung điểm AC Bán kính

đường tròn ngoại tiếp MBC có độ dài bằng:

Câu 122 Cho ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7 Gọi trung điểm của AC là M Bán kính

đường tròn ngoại tiếp ABM có độ dài bằng:

Câu 123 Cho ABC cân tại A Đường cao BH = a, ABC =  Độ dài cạnh BC bằng:

Trang 15

Câu 126 Cho ABC cân tại A Đường cao BH = a, ABC =  Độ dài bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC bằng:

Câu 127 Cho ABC cân tại A Đường cao BH = a, ABC =  Độ dài bán kính đường tròn

nội tiếp ABC bằng:

Câu 128 Cho ABC, biết AB + AC = 13, AB > AC, A = 600 và bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác bằng 3 Độ dài các cạnh của ABC là:

A a = 7, b = 5, c = 8 B a = 8, b = 5, c = 7

C a = 7, b = 8, c = 5 D a = 5, b = 7, c = 8

Câu 129 Cho hai đường tròn (I1), (I2) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A

Nửa đường thẳng vuông góc với I1I2 cắt (I1), (I2) theo thứ tự tại B, C Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC có độ dài là:

A R = 1 B R = 2 C R = 3 D R = 4

Câu 130 Cho ABC, có AB = 3, AC = 6, Â = 600 Tính bán kính đường tròn cắt cả 3 cạnh của

ABC và chắn trên mỗi cạnh 1 dây có độ dài bằng 2

A R = 40 18 3



20 9 32

C R = 40 18 3



20 9 34

Câu 131 Cho ABC, biết BC = 6 Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song song

với BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ABC Tính chu ABC, biết EF = 2

A ABC nhọn B ABC tù C ABC vuông D ABC đều

Câu 136 Cho ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn a4 = b4 + c4 Khi đó:

Câu 137 Cho ABC nhọn, đường cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE Số đo góc

CBE bằng:

A CBE = 300 B CBE = 450 C CBE = 600 D CBE = 900

Trang 16

Câu 138 Cho ABC nhọn, đường cao AH và trung tuyến BE thoả mãn AH = BE Giả sử

AH là đường cao lớn nhất của ABC và  0

B 60 Khi đó:

Câu 139 Cho ABC, biết:

Câu 140 Cho ABC, biết S = 1

4 (a + b  c)(a  b + c) Khi đó:

Câu 141 Cho ABC, biết S = 1

6 (a.hb + b.hc + c.ha) Khi đó:

Câu 142 Cho ABC, cạnh a, b, c và Â = 600 Lựa chọn đẳng thức đúng:

A b(b2 a2) = c(a2  c2) B b(b2  a2) = c(a2  c2)

C b(b2  a2) = c(a2 c2) D b(b2 a2) = c(a2 c2)

Câu 143 Cho ABC đều cạnh bằng a M là điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp ABC

Câu 145 Cho ABC cân tại A, biết góc B = C = , AI = m với I là đường tròn nội tiếp tam

giác Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Lựa chọn đẳng thức đúng:

Trang 17

Câu 148 Cho ABC không cân tại đỉnh A, trung tuyến BD và CE, có các cạnh a, b, c Biết

AB.CE = AC.BD Lựa chọn đẳng thức đúng:

A b2 + c2 = 4a2 B b2 + c2 = 3a2 C b2 + c2 = 2a2 D b2 + c2 = a2

Câu 149 Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao HE, HF lần lượt là các đường cao của

AHB, AHC Đặt S = 3AH2 + BE2 + CF2 Lựa chọn đẳng thức đúng:

A bb1 + cc1 = aa1 B bb1 + cc1 = 2aa1 C bb1 + cc1 = 3aa1 D bb1 + cc1 = 4aa1

Câu 152 Cho hai tam giác vuông ABC và A1B1C1 vuông tại A và A1 và đồng dạng với

Trang 18

Bài 5 Giá trị tan1350 + cot450 bằng:

Bài 10 Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai ?

A sin 450  cos 450 B cos 450  sin1350 C cos 300  sin1200 D cos1200  sin 600

Bài 11 Cho hai góc nhọn  và  biết  <  Khẳng định nào sau đây là sai ?

A cos < cos

C cos = sin   +  = 900

B sin < sin

D tan + tan > 0

B30 Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai ?

Trang 19

Bài 19 Cho góc x với cosx = 1

3 Giá trị của biểu thức P = 3sin2 + cos2 bằng:

Bài 20 Biết cos = 4

5 Giá trị của biểu thức A = cot tan

trong hai trường hợp điểm O nằm ngoài đoạn AB bằng:

trong hai trường hợp điểm O nằm trong đoạn AB bằng:

nửa đường tròn sao cho hai dây cùng AM và BN cắt nhau tại I Giá trị của biểu thức

Trang 20

Bài 32: Cho ABC vuông cân tại A và AB = a Đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính r bằng:

Bài 33: Cho ABC có các cạnh bằng a, b, c Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm

ABC, độ dài các đoạn AM và AG là:

Trang 21

Bài 42: Cho ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4 Các bán kính R, r là:

Bài 45: Cho hai đường tròn (I1), (I2) có bán kính bằng 2, 8 tiếp xúc trong với nhau tại A

Nửa đường thẳng vuông góc với I1I2 cắt (I1), (I2) theo thứ tự tại B, C Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là:

A R = 1 B R = 2 C R = 3 D R = 4

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,29 MB