Một số dạng phương trình vi phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ ĐỖ THỊ THƯƠNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƯƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

Hà Nội – 2018

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong khoa Vật Lý – trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài Đặc biệt, em xin

chân thành cảm ơn cô giáo Th.s Nguyễn Thị Phương Lan đã tạo điều kiện tốt

nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành đề tài luận văn này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn trong khoa

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Đỗ Thị Thương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Th.s

Nguyễn Thị Phương Lan cùng với sự cố gắng của bản thân em.Trong quá trình

nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu em sai

em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đỗ Thị Thương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3

1.1 Một số khái niệm 3

1.1.1 Cấp của phương trình vi phân 3

1.1.2 Phương trình vi phân thường 3

1.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân 3

1.2 Phương trình vi phân cấp một 3

1.2.1 Định nghĩa 3

1.2.2 Một số dạng phương trình 4

1.2.2.1 Phương trình đẳng cấp cấp 1 4

1.2.2.2 Phương trình vi phân toàn phần 6

1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 7

1.2.2.4 Phương trình Bernoulli 9

1.3 Phương trình vi phân cấp 2 10

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN 13

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ 13

2.1 Phương trình vi phân cấp 1 13

2.1.1 Phương trình Bernoulli 13

2.1.2 Sự phân rã phóng xạ 14

2.1.3 Định luật Newton về nhiệt độ môi trường 15

2.1.4 Một số bài toán về cơ học 16

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 18

2.3 Một số dạng phương trình vi phân đặc biệt 21

2.3.1 Phương trình dao động của sợi dây 21

2.3.2 Phương trình truyền nhiệt 27

2.3.3 Phương trình Schrodinger 30

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC VÀ ĐỜI SỐNG 35 3.1 Trong y sinh và hóa lý (dược động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản, sự phát triển của dịch bệnh) 35

3.1.1 Dược động lực học và quá trình biến đổi các hóa chất đơn giản 35

3.1.2 Sự phát triển của dịch bệnh: 38

3.2 Trong lý kinh tế (tăng trưởng hàng hóa và giá cả) 39

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu của các phương trình vi phân tương ứng Phương trình vi phân có ứng dụng rộng rãi trong các ngành như kinh tế, trong điều tra tội phạm, trong mô hình tốc

độ tăng dân số, trong vật lí,… Đặc biệt là trong ngành Vật lí lý thuyết – một bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lí Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lí, các nhà khoa học vật lí xây dựng các thuyết vật lí, từ đó tìm

ra tính đúng đắn của các giả thuyết ấy Và phương trình vi phân là một công cụ, một giải pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán trong quá trình chứng minh các giả thuyết

Vì vậy, em đã quyết định lựa chọn đề tài: “Một số dạng phương trình vi

phân và áp dụng để giải các bài toán vật lí” để nghiên cứu

Khóa luận bao gồm các nội dung:

 Chương 1: Phương trình vi phân

 Chương 2: Áp dụng các phương trình vi phân để giải một số bài toán

 Chương 3: Một số ứng dụng trong khoa học và đời sống

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu về các dạng phương trình vi phân

- Ứng dụng giải các bài toán vật lí bằng phương trình vi phân

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các dạng phương trình vi phân

- Một số bài toán vật lí áp dụng phương trình vi phân

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về các dạng phương trình vi phân

- Nghiên cứu về các bài toán vật lý sử dụng phương trình vi phân để giải

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo trên sách, trên mạng,…

- Thống kê, lập luận, diễn giải

6 Những đóng góp mới của khóa luận

Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng của phương trình vi phân vào giải một số bài toán vật lý

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Cấp của phương trình vi phân

Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình vi phân được gọi là cấp hay bậc của phương trình vi phân đó

Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm, là đạo hàm cấp 1 của y,

là đạo hàm cấp n của y

1.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm hay tích phân của phương trình vi phân là mọi hàm số y = f(x) mà khi thay vào phương trình sẽ biến phương trình thành đồng nhất thức

Ví dụ: Phương trình ''

0,

y  y nhận các hàm số y = sinx, y = cosx, y = 2cosx – sinx và tổng quát là hàm số có dạng y = sinx + cosx là nghiệm của phương trình, với mọi hằng số và

 

Hoặc từ (1.1) ta giải ra được:

( , )

y  f x y

Ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm

Ta cũng có thể viết phương trình vi phân đã giải ra đạo hàm dưới dạng đối xứng

- Tích phân 2 vế phương trình (1.2) ta được tích phân tổng quát của (1.2): A x dx( ) B y dy( ) C

Ví dụ:

Giải phương trình: (1 x ydx)   (1 y xdy)  0

Nếu x ≠ 0, y ≠ 0, có thể viết phương trình thành:

x y x y

u dx du

C x y e

1.2.2.2 Phương trình vi phân toàn phần

Phương trình:

M(x, y) dx N(x, y) dy 0 (1.5)

Được gọi là phương trình vi phân toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện là

vế trái của phương trình (1.5) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào

đó Tức là tồn tại hàm U(x, y) khả vi nào đó sao cho:

dU(x, y)M(x, y) dx N(x, y) dy

Điều kiện để một phương trình vi phân dạng (1.5) trở thành một phương trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết một phương trình vi phân toàn phần) là:

1.2.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng:

- Nếu q(x) 0 thì (1.9) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất

- Nếu q(x) 0 thì (2.9) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất

Cách giải:

 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân

Nhân 2 vế của (1.9) với thừa số ep x dx( ) ta được:

( ) (x)dx ( ) '

( ) ' ( )

( y ep x dx) q x e( ) p x dx Lấy tích phân 2 vế ta được:

Nhân 2 vế của phương trình với thừa số 2 xdx x2

v sao cho triệt tiêu đi một hàm chưa biết

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho '

 Cách 3: Phương pháp Larrange (phương pháp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình có dạng yu x v x( ) ( ), với u(x) là nghiệm của phương trình (1.12) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được

( )

u x C e

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) lại là yep x dx( ) ( )v x

chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v(x)

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán Vậy:

Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình

( ) ( ) ( ) '

Khi đó, ta đặt: 1

zy Ta có ' '

(1 )

z    y y Thế vào phương trình (1.14) ta được:

2 2

y x y

Đây là phương trình Bernoulli với    1

Do đó, ta nhân hai vế của phương trình với 1

(1 ( 1))   y  2y

Ta có: ' 1 2 2

2yy .y x x

  (**) (phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x)

- Giải phương trình thuần nhất liên kết với (**) ta được: zC x.

- Nghiệm tổng quát của phương trình (**) có dạng: zv x x( ).

Thế vào (**) ta tìm được:

2

( ) 2

x

z C x

Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là:

3 2

2

Xét phương trình '' '

( , , )

y  f x y y

Nếu f x y y( , , ) là một hàm liên tục trong một miền nào đó có chứa điểm



 cũng liên tục trong miền nói trên thì nghiệm y y x( ) là nghiệm duy nhất

Người ta gọi nghiệm riêng của phương trình (1.16) là một hàm số

0 0; 0 1

y   y  Giải:

Phương trình trên là phương trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và

CHƯƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ

Phương trình này chính là phương trình Bernoulli với   0

Giải phương trình trên ta được:

0

( )

t RC

v t A e RI

Xác định A nhờ điều kiện đầu

0 0

( ).

t RC n

t RC

V RI dv

Bài toán:

Chu kì bán rã của Radium là 1600 năm, điều đó có nghĩa là cứ khoảng 1600 năm khối lượng của Radium giảm đi một nửa Nếu ban đầu một mẫu Radium có khối lượng là 50 gram thì sau bao lâu khối lượng của nó là 45 gram?

x t

2.1.3 Định luật Newton về nhiệt độ môi trường

Đây là mô hình toán học diễn tả sự thay đổi của đối tượng được khảo sát trong một môi trường nhất định Định luật phát biểu rằng tốc độ thay đổi (theo thời gian) của nhiệt độ tỷ lệ thuận với sai biệt giữa nhiệt độ T của đối tượng và nhiệt độ T e của môi trường xung quanh đối tượng

ln 26 26

0; (0) 100 100 26 74

74 1; (1) 96 96 74 26 ln

2.1.4 Một số bài toán về cơ học

 Vận tốc thoát khỏi trái đất

Xét bài toán xác định vận tốc của hạt chuyển động theo hướng xuyên tâm

đi ra trái đất và bị tác động bởi lực hấp dẫn của trái đất Giả sử vận tốc ban đầu theo hướng xuyên tâm sao cho chuyển động của hạt diễn ra trên toàn bộ đường

đi qua tâm trái đất

Theo định luật hấp dẫn của Newton thì gia tốc tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ hạt đến tâm trái đất Giả sử rlà biến khoảng cách và Rlà bán kính trái đất Nếu tbiểu diễn thời gian, vlà vận tốc của hạt, alà gia tốc và k

là hằng số tỷ lệ trong định luật Newton thì ta có:

2

dv k a

dt r

  Gia tốc là âm vì vận tốc giảm Vì thế hằng số klà dương Khi rRthì

2

k g R

  

Từ đó:

2 2

gR a r



Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách

v  gR thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế

phải của (2.4) bằng 0 Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dương sang âm và hạt sẽ trở lại trái đất

Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0mà 2

0 2

v  gRsẽ thoát khỏi trái đất Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là

 Vật thể rơi

Một vật thể rơi từ một độ cao ở thời điểmt 0 Nếu h(t) là độ cao của vật

ở thời điểm t, gia tốc a(t)và vận tốc v(t)thì ta có mối liên hệ giữa a,v,h

( ) dv

a t dt

 và v t( ) dh

dt

 Đối với một vật thể rơi thì a(t)là hằng số và bằng với g = - 9,8(m/s)

Kết hợp các phương trình vi phân trên ta được:

2 2

d h g

h t  gt v th

Phương trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu với vận tốc ban đầu

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, dưới tác dụng của các lực F F1, 2, ,F n. Đối với chất điểm tự do các lực này là lực đặt lên chất điểm Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả ngoại lực và phản lực liên kết Căn cứ vào phương trình cơ bản của động lực học ta có thể thành lập phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Gọi véc-tơ định vị của chất điểm là r ta có:

2 2

w d r r dr

Khi đó phương trình cơ bản viết cho chất điểm như sau:

2 2 1

n i i

- Bài toán cơ bản thứ nhất: cho biết chuyển động của chất điểm xác định lực gây ra chuyển động đó Bài toán này gọi là bài toán thuận

- Bài toán cơ bản thứ hai: cho biết lực tác dụng lên chất điểm và điều kiện ban đầu của chuyển động xác định quy luật chuyển động của chất điểm Bài toán này gọi là bài toán nghịch

Cách giải 2 bài toán trên:

Đối với bài toán thứ nhất ta thiết lập phương trình vi phân của chuyển động của chất điểm Từ phương trình vi phân ta xác định được lực tác dụng lên từng chất điểm Điểm cơ bản của bài toán là xác định gia tốc của chất điểm, điều này đã được giải quyết trong động học

Đối với bài toán thứ hai, ta thay lực vào vế phải của phương trình vi phân sau đó tích phân phương trình vi phân tìm được Để tìm dạng chuyển động cụ thể ta xác định hằng số tích phân căn cứ vào các điều kiện ban đầu của chuyển động

nó chuyển động theo đường elip x acosktvà ybsinkt, với a, b, k là các hằng

số, t là thời gian chất điểm chuyển động được Hãy tìm lực tác dụng lên chất điểm

Giải:

Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ nhất Căn cứ vào phương trình chuyển động:

cos y=bsinkt

x y

os( , ) os( , )

x

c r x

r y

Bài toán 2: Một chất điểm có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng

ngang dưới tác dụng của lực hút về tâm O là 2

mx k mx

my k my

 

  Khử khối lượng m ở hai vế phương trình trên ta được:

2 2

0 0

x k x

y k y

  

   Nghiệm tổng quát của hai phương trình trên có dạng:

1 2

3 4

cos sin cos sin

v l k

2.3 Một số dạng phương trình vi phân đặc biệt

2.3.1 Phương trình dao động của sợi dây

Xét sợi dây căng, có lực căng là T nghĩa là ở mỗi điểm của sợi dây có lực

T tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó Giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động

là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do có sức căng T là như nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động

Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x, còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục x

và nằm trong cùng một mặt phẳng chứa trục x Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa

độ Đề-các vuông góc x, u, trong đó u là kí hiệu độ lệch pha của dây khỏi vị trí cân bằng Trong quá trình dao động, u là hàm của hoành độ x và thời gian t, u=u(x,t) Ta thiết lập phương trình cho u(x,t)

Xét đoạn dây từ điểm đến điểm Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t và thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T Ta hãy xác định hình chiếu trên trục u của các lực tác dụng lên phần đang xét của dây

Gọi là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm , là góc tương ứng ở điểm

Tổng hình chiếu của lực căng sẽ là Tsin 2Tsin 1

Giả sử rằng lực ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngược chiều với trục

u (chẳng hạn trọng lượng của dây) Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi dây kí hiệu là  g x t( , )