skkn Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách xác định tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức đó

Trải qua một số năm tham gia dạy chươngtrình toán lớp 12, tôi thấy: Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận dụngcác em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tậ

1.MỞ ĐẦU

1 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thếgiới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam

Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung

“số phức” vào chương trình phổ thông Tính đến thời điểm này, cũng đã đượcgần 10 năm, mặc dù nội dung trong sách giáo khoa còn ở mức độ đơn giản song

nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượng không nhiều, mặt khác tài liệutham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội dung này đã được đưa và hầuhết các đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệnhất định Bắt đầu từ năm học 2016-2017 môn toán đã chuyển sang hình thứcthi trắc nghiệm, việc giúp học sinh nhận dạng và đưa ra cách giải nhanh, chínhxác là một yêu cầu tối cần thiết Vì vậy việc dạy và học “Số phức” có hiệu quảthật sự là một vấn đề cần nghiên cứu Trải qua một số năm tham gia dạy chươngtrình toán lớp 12, tôi thấy:

Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận dụngcác em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ ralúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt có em còn nhầm tưởngtính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức

Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn

số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh Các em chỉ cần nắmđược kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, cácphép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đườngtròn, đường Elíp, thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên Vấn đề là thông quabài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợpvận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị tronghình học, để từ đó giải quyết được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất,nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước” Trên cơ sở ấy các em có thể phát huyđược sức sáng tạo và tư duy logíc của mình Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ởmỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tácđộng tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiếnthức một cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của

học sinh Chính vì những lí do trên nên tôi chọn đề tài “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách xác định tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức đó ” để viết sáng kiến kinh

nghiệm Nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương số phức của lớp12

Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tôi là cách tìm tập hợp điểmbiểu diễn số phức z.

1 4 Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu đổi mới PPDH theohướng tích cực hóa việc học của học sinh

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình giải tích 12 (Chương

số phức)

2 Phương pháp thực tập sư phạm

Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT, tiến hành theo quy trình của đề tàisáng kiến kinh nghiệm để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu

3 Phương pháp thống kê toán học:

Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2 1 Cơ sở lí luận của SKKN.

Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:

Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R và i2 = -1

Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

2 1.1.2 Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau

' ' '

2 1.1.3 Biểu diễn hình học của số phức:

+ Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt

phẳng Oxy và ngược lại Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b)

Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ ( ; ) u a b

+ Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực Các điểm trên trục tung

Oy biểu diễn các số ảo.

2 1.1.4 Phép cộng, phép trừ hai số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b ’ i.

Tổng của hai số phức trên là số phức z+z ’ = (a+a ’ ) + (b+b’)i

Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z ’ = (a-a ’ ) + (b-b’)i

Khi đó, nếu ( ; ) u a b biểu diễn số phức z, u a b '( ; )' '

biểu diễn số phức z’ thì vectơ

Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b’i.

Tích của hai số phức trên là số phức zz ’ = (aa ’ –bb ’ )+ (ab ’ +a’b)i

Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách

hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R.

2 1.1.6 Phép chia số phức:

+ Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức z a bi 

+ Môđun của số phức z = a +bi là z  a2 b2

+ Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức 1 2

2 1.1.8 Tập hợp các điểm biễu diễn số phức thừơng gặp:

+ Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng :

Cho số phức z thoã mãn: z z 1  z z2 Giả sử M,A,B lầ lượt là điểm biểu diễn các số phức z, z1,z2

Ta có z z 1  z z2  MA MB  M thuộc :ax by c  0 là trung trực của AB

+Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn :

Cho số phức z thoã mãn: z a bi   R 0.Tập hợp điểm biễu diễn số phức z

là đường tròn ( ) : (C x a )2 (y b )2 R2

+Tập hợp điểm biểu diễn là elip:

Cho số phức z thoã mãn: z c  z c 2a Tập hợp điểm biễu diễn số phức z

2 Định lí về dấu tam thưc bậc hai

3 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

4.Giao điểm của đường thẳng với đường thẳng, của đường thẳng với đườngtròn

2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực trạng dạy học chương số phức nói chung và bài toán tìm số phức có

mô đun lớn nhất, nhỏ nhất nói riêng ở trường THPT được thể hiện ở một sốđiểm sau:

Thời lượng SGK dành cho chương số phức không nhiều, kiến thức đơngiản, không có nhiều dạng bài tập trong khi đó các đề thi hiện nay ,với hình thứcthi trắc nghiệm, nên các dạng bài tiịp hết sức đa dạng , phong phú Mức , độ yêucầu của đề ngày càng cao, vượt xa những gì GSK cung cấp gây nhiều hoangmang cho học sinh

Đối với học sinh, việc tiếp thu và vận dụng kiến thức về số phức của nhiều

em còn hạn chế một phần do đó là kiến thức mới.bài toán tìm số phức có môđunlớn nhất, nhỏ nhất lại càng khó hơn vì nó liên quan đến nhiều bài toán địnhlượng, bất đẳng thức, mối liên hệ giữa đại số với bài toán hình học

Qua các bài kiểm tra thường xuyên, bài kiểm tra định kì ở lớp 12C2 tôithấy nhiều học sinh thường không làm được bài tập phần này Vì thế điểm kiểmtra thường thấp hơn so với các phần học khác Cụ thể kết quả bài kiểm tra 15phút của lớp 12C2 (Năm học 2014-2015), trước khi tôi chưa đưa ra phươngpháp như sau:

M x y là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất.

OM nhỏ nhất khi và chỉ khi OM d hay M là hình chiếu vuông góc của O

trên đường thẳng d Khi đó, đường thẳng OM có phương trình là 2x y 0

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình :

+Nhiều em không làm được câu 1 do lúng túng không biết xử lí khi bài toán cho

cả ,z z Không nắm vững kiến thức về elip nên không tìm được tập hợp điểm M

biểu diễn số phức z

+ Nhiều em đi theo hướng 1 nhưng không lập được mối liên hệ giữa x và y

nên không thể tính được z do đó không giải được bài toán.

+Nhiều em đi theo hướng 2 nhưng không giải được bài toán do không nắm đượcbản chất “Hình học” của bài toán

2 3 Các giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn đề

2.3.1 Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình:

Bài toán1: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa

a b x

Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các sốphức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i  z z2i

2 3.2.1 Một số bài toán điển hình.

Dạng 1: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng :Giả sử M,A,B lầ

lượt là điểm biểu diễn các số phức z, z1,z2

Ta có : z z 1  z z2  MA MB  M thuộc :ax by c  0 là trung trực của AB

Khi đó zmin khi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là hình chiếu vuông góc của

O lên 

Nhận xét : Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khác,khi đó ta

cần thực hiện biến đổi đưa về dạng cơ bản:

Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z 1 5i   z 3 i , tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0

M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất  OM d

Tìm được M(-2;2) suy ra z= -2+2i. zmin 2 2

Dạng 2: Quỹ tích điểm biễu diễn số phức z là đường tròn

2 2

0 max

Nhận xét : Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khác,khi đó ta

cần thực hiện biến đổi đưa về dạng cơ bản:

Ví dụ :

+ Cho số phức z thoã mãn iz a bi  R Khi đó ta biến đổi:

+ Cho số phức z thoã mãn z a bi  R Khi đó ta biến đổi:

z a bi   R z a bi  R(Lấy liên hợp hai vế)

+ Cho số phức z thoã mãn (c di z a bi )   R Khi đó ta biến đổi:

Với mọi điểm M nằm trên đường tròn I R , ta luôn có ;  OM2 OM OM 1

Vậy giá trị lớn nhất của z bằng 3 10 và giá trị nhỏ nhất của z bằng

Giải:

TH1: A thuộc đường tròn (T)

Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A

AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I

TH2: A không thuộc đường tròn (T)

Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,I và đường tròn (T);

Giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua I, J;

d cắt đường tròn ( )T tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt 1 ( )T tại2hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC)

Với điểm M bất khì trên ( )T và điểm N bất kì trên 1 ( )T 2

Cho hai đường tròn ( )T có tâm I, bán kính R; đường thẳng  không có điểm chung với ( )T Tìm vị trí của điểm M trên ( )T , điểm N trên  sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d

Đoạn IH cắt đường tròn ( )T tại J

Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn ( )T , ta

(Bài toán qui về bài toán gốc số 1- Trường hợp 2)

Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt

Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng

thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá

Ví dụ 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z z(  2 4 )i là một số ảo, tìm

số phức z sao cho   z 1 i có môđun lớn nhất.

IA  A T (Bài toán được qui về bài toán gốc số 1 - trường hợp 1).

Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất

 AM là đường kính của (T)

 M đối xứng với A qua I

 I là trung diểm của AM

2 2

z  z  c a  d b MN

Ví dụ 7: (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu )

Cho số phức z thoã mãn z 2 3 i 1 Giá trị lớn nhất của z 1 i là

A 13 2  B.4 C.6 D 13 1

Giải:

Cách 1: Gọi z=x+yi, ta có z-2-3i=(x-2)+(y-3)i Nên ta có :(x 2)2 (y 3)2 1 Do đó điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I(2;3), bán kính R=1

Vậy Wmax OI R  1 13 Chọn đáp án D.

Nhận xét: có thể dùng lượng giác để giải bài toán này.

(Bài toán được qui về bài toán gốc số 2).

Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại

Ví dụ 8: Cho các số phức z z thoả mãn: 1; 2 z1 1 ;z z2 2  (1 i)  6 2 ilà một sốthực Tìm số phức z z sao cho 1; 2 Pz2 2 z z1 2z z1 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

(Bài toán được qui về Bbài toán gốc số 3).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên : x y  6 0  H(3;3)

Đoạn OH cắt đường tròn ( )T tại 2; 2

Ví dụ 9: ( PTNK TP HỒ CHÍ MINH).Cho số phức z thoả mãn z  1 i 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 2 i2  z 2 3 i2

Giải Cách 1: Gọi z x yi x y  ( ,  ), M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z.Ta có :

Mặt khác do N nằm ngoài đường tròn (C) nên

MNmax =NI+R=2 10 Pmax 38 8 10

Vậy z lớn nhất bằng 5 khi hoặc z=-5

2 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Với cách làm tôi vừa trình bày ở trên, giáo viên cần gơị mở để học sinhchủ động phát hiện ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z để có thể đưa bàitoán phức tạp về bài toán cơ bản đơn giản hơn.

Sau khi dạy xong chủ đề: “Giúp học sinh giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách xác định tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức đó ” Tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút như sau:

Đề bài:

Câu 1: ( ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)

Cho số phức z  thỏa mãn z  Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số 4phức w3 4 i z i 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn I0;1 , R  20

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện wz 3 i z   1 3i là một số

thực Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Giải

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng :d x y  4 0 Giả sử

M x y là điểm biểu diễn của z thì z nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất

OM nhỏ nhất khi và chỉ khi OM d hay M là hình chiếu vuông góc của O

trên đường thẳng d Khi đó, đường thẳng OM có phương trình là x y 0.Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình 4 0 2

Kết quả của bài kiểm tra thể hiện cụ thể như sau:

3 Kết luận và kiến nghị.

3.1 Kết luận.

Dạng bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong chươngtrình giải tích lớp 12 nói chung rất đa dạng, phong phú và là dạng bài tập khóđối với đa số học sinh THPT Để có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của bảnthân có hiệu quả vào đối tượng học sinh thì yêu cầu cả người dạy và người họcphải không ngừng học hỏi và tìm kiếm những tri thức mới Các em học sinhphải luôn cố gắng, tìm tòi, sáng tạo, phân tích vấn đề và khái quát hoá vấn đề, Trong khuôn khổ bài viết của mình, tôi chỉ xin đưa ra một số bài toán về tìm

số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất của số phức qua việc tìm tập hợp điểmbiểu diễn số phức đó Từ đó, giúp các em giải quyết bài toán một cách dễ dànghơn và nhanh nhất khi làm trắc nghịêm

3.2 Kiến nghị.

Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương

pháp cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏithiếu sót Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKNnày được hoàn thiện hơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người

khác.

Ký và ghi rõ họ tên

Nguyễn Huy Quang

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12 NXB Giáo dục.

2.Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh Nguyễn Tiên Tiến,THPT Gia Viễn B

-3.Bài toán Max-Min số phức-Lương Văn Huy –Thanh Trì- Hà Nội

4 Đề thi thử đại học và THPT Quốc Gia (Từ 2006-2018) -Nguồn internet5.Trích một số bài tập từ Word toán

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1 1 Lí do chọn đề tài 1

1 2 Mục đích nghiên cứu 2

1 3 Đối tượng nghiên cứu 2

1 4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2 1 Cơ sở lí luận 3

1.1.Số phức 3

2 1.1.1 Định nghĩa 1. 3

2 1.1.2 Định nghĩa 2. 3

2 1.1.3 Biểu diễn hình học của số phức. 3

2 1.1.4 Phép cộng, phép trừ hai số phức. 3

2 1.1.5 Phép nhân số phức. 3

2 1.1.6 Phép chia số phức 3

2 1.1.7 Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực 4

2 1.1.8 Tập hợp các điểm biễu diễn số phức thường gặp 4

2 1.1.9 Một số kiến thức áp dụng 4

2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……….5

2 3 Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… 7

2 3.1 Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức điển hình… 7

2 3 2 Bài toán tìm cực trị của số ……….…… 9

2 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ……… 18

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……….… 19

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 21

Trang