Giáo trình 11 toán nâng cao trắc nghiệm

Hình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng caoHình học nâng cao, giải tích nâng caoHình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng cao Hình học nâng cao, giải tích nâng cao

Mục lục

I Đại số và giải tích 4

1.1 Hàm số lượng giác 5

1.1.1 Góc và cung lượng giác 5

1.1.2 Công thức lượng giác 11

1.1.3 Các hàm số lượng giác 16

1.2 Phương trình và hệ phương trình lượng giác 26

1.2.1 Phương trình lượng giác cơ bản 26

1.2.2 Các dạng PT lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản 28

1.2.3 Những phương trình lượng giác khác 37

1.2.4 Hệ phương trình lượng giác 40

1.2.5 Bất phương trình lượng giác 41

1.3 Phương pháp lượng giác 41

1.3.1 Tóm tắt 1 số kĩ thuật thường dùng 41

1.3.2 Chứng minh đẳng thức đại số 43

1.3.3 Giải phương trình, bất phương trình và hệ đại số 44

1.3.4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 44

1.4 Hệ thức lượng trong tam giác 45

1.4.1 Kiến thức cơ bản 45

1.4.2 Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác 47

1.4.3 Chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 48

1.4.4 Nhận diện tam giác 50

Ôn tập chương 1 51

2 Tổ hợp và xác suất 55 2.1 Tổ hợp 55

2.1.1 Quy tắc đếm 55

2.1.2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 60

2.1.3 Nhị thức Newton 72

2.1.4 Chứng minh sự chia hết 78

2.2 Xác suất 80

2.2.1 Biến cố 80

2.2.2 Xác suất 80

Ôn tập chương 2 95

3 Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 101 3.1 Phương pháp quy nạp toán học 101

3.2 Dãy số 104

3.3 Cấp số cộng 113

3.4 Cấp số nhân 118

Ôn tập chương 3 124

4 Giới hạn 127

4.1 Dãy số có giới hạn 127

4.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn 129

4.3 Dãy số có giới hạn vô cực 133

4.4 Định nghĩa và 1 số định lý về giới hạn của hàm số 138

4.5 Giới hạn một bên 142

4.6 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 146

4.7 Các dạng vô định 148

4.8 Giới hạn hàm số lượng giác 150

4.9 Hàm số liên tục 153

Ôn tập chương 4 157

5 Đạo hàm 161 5.1 Khái niệm đạo hàm 161

5.2 Các quy tắc tính đạo hàm 169

5.3 Đạo hàm của hàm số lượng giác 174

5.4 Vi phân - Đạo hàm cấp cao 177

Ôn tập chương 5 182

II Hình học 187 1 Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng 188 1.1 Lý thuyết 188

1.2 Bài tập 190

Ôn tập chương 1 207

2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Quan hệ song song 210 2.1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 210

2.2 Hai đường thẳng song song 218

2.3 Đường thẳng song song với mặt phẳng 223

2.4 Hai mặt phẳng song song 228

2.5 Phép chiếu song song 236

Ôn tập chương 2 240

3 Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc 242 3.1 Vectơ trong không gian 242

3.2 Hai đường thẳng vuông góc 248

3.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 252

3.4 Hai mặt phẳng vuông góc 258

3.5 Khoảng cách 266

Ôn tập chương 3 272

Phần I

Đại số và giải tích

Chương 1

Lượng giác

1.1 Hàm số lượng giác

1.1.1 Góc và cung lượng giác

F Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

F HĐT lượng giác cơ bản:

Dạng 1: Rút gọn biểu thức lượng giác

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

A = 1 + sin xcos x ·

2



F = 12

1sin 2x + · · · +

1sin 2nx

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác cơ bản

Ví dụ: Chứng minh rằng:

sin4x − cos4x = 2 sin2x − 1

Giải

Ta có thể thực hiện theo 2 cách

1 Ta biến đổi VT của đẳng thức

VT = (sin2x − cos2x)(sin2x + cos2x)

1 + tan4xtan2x + cot2x

4 Cho a sin4x + b cos4x = ab

a + b Chứng minh rằng

a4 sin10x + b4 cos10x = a

4b4(a + b)4

5 Cho tan x, tan y là nghiệm của phương trình: at2+ bt + c = 0, chứng minh rằng

a sin2(x + y) + b sin(x + y).cos(x + y) + c cos2(x + y) = c

Dạng 3: Biến đổi lượng giác độc lập với biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A = (1 − cot

2x)2cot2x −

1sin2x cos2xGiải

2

sin2xcos2x

sin2x cos2x

= (sin

2x − cos2x)2sin2x cos2x −

(sin2x + cos2x)2sin2x cos2x

= −4 sin

2x cos2xsin2x cos2x

= −4

F Bài tập:

1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x

A =psin4x + 4 cos2x +pcos4x + 4 sin2x

B = sin8x + cos8x − 2(1 − sin2x cos2x)2

C = 2(sin6x + cos6x) − 3(sin4x + cos4x)

D = 1 − sin

6xcos6x −

3 tan2xcos2x

E = sin2



x −2π3

+ sin2x + sin2



x + 2π3

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức lượng giác

Ví dụ: Biết cos x = 4

5 và 0 < x < 90

0.a) Tính sin x, tan x, cot x

b) Tính giá trị của biểu thức

A = cot x + tan xcot x − tan xGiải

a) Ta có

sin2x + cos2x = 1 ⇔ sin x =p1 − cos2x = 3

5tan x = sin x

cos x =

34cot x = 1

tan x =

43b) Từ câu a) ta được

A = cot x + tan xcot x − tan x =

257

2 Cho tan x + cot x = 2

a) Tính cos x, sin x, tan x, cot x

b) Tính giá trị của biểu thức

C = sin x cos xtan2x + cot2x

3 Cho

sin x + cos x =√2a) Tính cos x, sin x, tan x, cot x

b) Tính giá trị của biểu thức

D = sin5x + cos5x

4 Tính cos x, sin x, tan x, cot x, biết

3(cos x − 3 sin x − 1) = cot x, với 0 < x < 1800

5 Tính giá trị của biểu thức

E = sin6 π

48+ cos

6 π48

tan 1050 = tan(1800− 750) = − tan(750) = −2 −√3cot 1050 = 1

tan 1050 =√3 − 2cos 1050 = cos(1800− 750) = − cos 750 = −√ 1

1 + tan2750 = 1 −

√3

2√2sin 1050 = tan 1050 cos 1050=

√

3 + 1

2√2b)

B = cos 100+ cos 300+ · · · + cos 1500+ cos 1700

C = tan 10 tan 20 tan 880 tan 890

3 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

D = 1 − cot2(x + 900)2

cot2(x − 900) −

1sin2(1800− x) sin2(900− x)

4 Tính giá trị của biểu thức

E = 2 sinπ

6 + kπ

, với k ∈ Z

F =

4 sin2



x −kπ2



tan



x + kπ2

 cot x, với k ∈ Z và x = π

4

1.1.2 Công thức lượng giác

Lý thuyết

1 Công thức cộng

a cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y

b cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y

c sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

d sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x

e tan(x + y) = tan x + tan y

1 − tan x tan y

f tan(x − y) = tan x − tan y

1 + tan x tan y

2 Công thức nhân đôi

a sin 2x = 2 sin x cos x

b cos 2x = cos2x − sin2x

= 2 cos2x − 1

= 1 − 2 sin2x

c tan 2x = 2 tan x

1 − tan2x

3 Công thức nhân ba

a cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

b sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x c tan 3x =

i

b sin x sin y = 1

2

hcos(x − y) − cos(x + y)i

c sin x cos y = 1

2

hsin(x + y) + sin(x − y)i

d cos x sin y = 1

2

hsin(x + y) − sin(x − y)

i

5 Công thức biến đổi tổng thành tích

a cos x + cos y = 2 cosx + y

2 cos

x − y2

b cos x − cos y = −2 sinx + y

2 sin

x − y2

c sin x + sin y = 2 sinx + y

2 cos

x − y2

d sin x − sin y = 2 cosx + y

2 sin

x − y2

e tan x + tan y = sin(x + y)

7 Công thức rút gọn a sin x + b cos x.

Dạng 1: Biến đổi biểu thức lượng giác thành tổng

F Bài tập:

Biến đổi biểu thức sau thành tổng:

1 A = sin x sin 2x sin 3x

2 B = 4 cos x cos 2x sin5x

2

3 C = 8 sinx − π

6

 cos 2x sinx +π

6



4 D = 4 cos(x − y) cos(y − z) cos(z − x)

Dạng 2: Biến đổi biểu thức lượng giác thành tích

F Bài tập:

Biến đổi biểu thức sau thành tích:

1 A = sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + sin 6x

2 B = 1 + sin x + cos 3x − (cos x + sin 2x + cos 2x)

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức lượng giác

3c) | sin α| sin x + | cos α| cos x ≤ 1

2 Cho 0 ≤ x + y ≤ 2π, chứng minh rằng

1

2(sin x + sin y) ≤ sin

x + y2

3 Cho tan x = 3 tan y, chứng minh rằng

√3

3 ≤ tan(x − y) ≤

√33

4 Cho 0 < x1 < x2 < < xn< π

2, chứng minh rằngtan x1< sin x1+ sin x2+ + sin xn

cos x1+ cos x2+ + cos xn < tan xn

Dạng 4: Tính GTLN và GTNN của biểu thức lượng giác

Phương pháp chung

1 Tính bị chặn của các hàm số lượng giác cơ bản:

| sin x| ≤ 1 và 0 ≤ sin2nx ≤ 1, với n nguyên dương

| cos x| ≤ 1 và 0 ≤ cos2nx ≤ 1, với n nguyên dương

2 Phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 có nghiệm x ∈ R khi và khi

1cos x, x ∈



0,π2

2 Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả

a Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a 6= 0 tuần hoàn với chu kỳ 2π

5x



; r(x) = 1

sin xGiải

• Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π

5

= 5π2

2 thì sin x = 1 và do đósinπ

f (x) = cos x + 2 cos2x + 4 cos3x

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó

• Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực hiện bước 2

• Nếu D không phải là tập đối xứng,ta kết luận hàm số không chẳn cũngkhông lẻ

3 TXĐ: D = R, là 1 tập đối xứng qua 0.

Ta có : f là hàm số không chẵn, không lẻ Thật vậy, với x0= π

4, ta có(f(−x0) = cos 0 = 1

3 Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = x

3 với đồthị của hàm số y = sin x đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn

√10

Dạng 4.

Hàm số y = sin x

• TXĐ: D = R

• Tính chẵn lẻ: Hàm số lẻ

• Tính tuần hoàn: Chu kì T = 2π

• Bảng biến thiên của hàm số y = sin x trên [−π; π]

• Đồ thị

• Nhận xét

 Tập giá trị của hàm số y = sin x là đoạn [−1; 1]

 Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đốixứng

Dạng 5.

Hàm số y = cos x

• TXĐ: D = R

• Tính chẵn lẻ: Hàm số chẵn

• Tính tuần hoàn: Chu kì T = 2π

• Bảng biến thiên của hàm số y = cos x trên [−π; π]

• Đồ thị

• Nhận xét

 Tập giá trị của hàm số y = cos x là đoạn [−1; 1]

 Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đốixứng

• Tính tuần hoàn: Chu kì T = π

• Bảng biến thiên của hàm số y = tan x trên −π

2;

π2



• Đồ thị

• Nhận xét

 Tập giá trị của hàm số y = tan x là R

 Hàm số y = tan x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đốixứng

Dạng 7.

Hàm số y = cot x

• TXĐ: D = R\ {kπ|k ∈ Z}

• Tính chẵn lẻ: Hàm số lẻ

• Tính tuần hoàn: Chu kì T = π

• Bảng biến thiên của hàm số y = cot x trên (0; π)

• Đồ thị

• Nhận xét

 Tập giá trị của hàm số y = cot x là R

 Hàm số y = cot x là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đốixứng

Dạng 8.

Chứng minh tính tuần hoàn và tìm chu kì

của một hàm số lượng giác

1 Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hoàn và chu kì của nó:

• Hàm số y = f (x) xác định trên D là tuần hoàn nếu có số T 6= 0 sao cho ∀x ∈

• Hàm số y = A tan(ax + α), (A.a 6= 0) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T = π

c) y = sin 2x

5

 cos 2x

3 trên Rb) Ta biến đổi y = cos2x − 1 = 1 + cos 2x



= 1

2sin

 4x5



Do đó hàm f là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π

 45

 =5π2

d) TXĐ: D = R\{kπ/k ∈0 Z}

Ta xét đẳng thức f (x + T ) = f (x) ⇔ 1

sin(x + T ) =

1sin x ⇔ sin(x + T ) = sin x.

Số dương nhỏ nhất trong các số T là 2π

Rõ ràng ∀x ∈ D, x + k2π ∈ D, x − k2π ∈ D và f (x + k2π) = 1

sin(x + k2π) =

1sin x = f (x).Vậy f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π

e) TXĐ: D = R\

nπ

2 + kπ, k ∈ Z

o

Ta xét đẳng thức f (x + T ) = f (x) ⇔ 1

cos(x + T ) =

1cos x ⇔

(cos(x + T ) = cos x

Chọn x = π thì cos x = −1, do đó cos(π + T = −1 ⇔ π + T = π + k2π, k ∈ Z ⇔ T = k2π, k ∈Z

Lại có 2π là số dương nhỏ nhất trong các số T Rõ ràng ∀x ∈ D, x − k2π ∈ D, x + k2π ∈ D

và f (x + k2π) = 1

cos(x + k2π) =

1cos x = f (x).

Vậy f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π

f) TXĐ: D =nx ∈ R/ −π

2 + k2π ≤ x ≤

π

2 + k2π, k ∈ Zo.Với x ∈ D và x + T ∈ D, xét đẳng thức f (x + T ) = f (x) ⇔ pcos(x + T ) = √cos x ⇔cos(x + T ) = cos x

Chọn x = π thì cos x = −1 và do đó cos(π + T ) = −1 ⇔ π + T = π + k2π, k ∈ Z ⇔ T =k2π, k ∈ Z

Ta thấy 2π là số dương nhỏ nhất trong các số T

Rõ ràng ∀x ∈ D, x − k2π ∈ D, x + k2π ∈ D, f (x + k2π) =pcos(x + k2π)√cos x = f (x).Vậy f là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π

F Bài tập:

1 Chứng minh rằng các hàm số y = f (x) sau đây tuần hoàn và tìm chu kì của mỗi hàm số:a)y = sin 2x + cos 5x

c)y = sin3x + cos3x

b)y = cos22x sin xd)y = sin 3x



x +π8

f )y = cos x + 2 cos 2x + 3 cos 3x

Dạng 9.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mộthàm số lượng giác trên tập D

• Sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác trên một đoạn:

c) y = y = sin x − cos x trên h−π

4;

π4i

d) y = −4 cos2x + 2 sin x + 3 trên R

Giảia) Vì −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ ∈ R ⇒ −√3 ≤√3 cos x ≤√3, ∀x ∈ R

nên ta có: −π

3 .Vậy min

[− π

3 ;π6](y) = −

√

3, max[− π

3 ;π6](y) =

√33

c) Ta có y = sin x − cos x =√2 sinx −π

4

 Có x ∈h−π

4;

π4

inên ta có: −1 ≤ sinx −π

(y) = −√2

d) Ta biến đổi y = −4 cos2x + 2 sin x + 3 = −4(1 − sin2x) + 2 sin x + 3 = 4 sin2x + 2 sin x − 1.Xét hàm số y = g(t) = 4t2+ 2t − 1 trên [−1; 1] Đồ thị của hàm số g là một parabol có bềlõm quay lên trên và có tọa độ đỉnh là S



−1

4;

54

.Giá trị của hàm số tại x = −1 và tại x = 1 là: g(−1) = 1 và g(1) = 5

4;

π4i

b) y = cotx +π

4

trên



−3π

4 ; −

π2



2 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) y = sin x + cos x − sin x cos x trên R

b) y = 4 cos2x + cos x − 1 trên R

c) y = | sin x − cos 2x| trên R

3 Tìm GTLN, GTNN của mỗi hàm số sau:

a) y = 4 cos2x +π

4

b) y =

q

3 − 2 sin3(x2+ π) − 4c) y = 4 tan2x, x ∈

h

−π

4;

π4id) y =√sin x −√cos x

1.2 Phương trình và hệ phương trình lượng giác

1.2.1 Phương trình lượng giác cơ bản

b cos 3x = 1

2

c tan x = −

√33

d cot 3x = 1Giải

a Ta có

sin 2x =

√3

x = −π

9 + k

2π3(k ∈ Z)

c Ta có

tan x = −

√3

5 cos(π − x) = 1

6 cos 2x =

√22

i

=

√22



x −3π2

1.2.2 Các dạng PT lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản

• Sử dụng những biến đổi lượng giác để đưa phương trình ban đầu về các phương trình này

• Lưu ý các công thức lượng giác

sin4x + cos4x = 1 − 2 sin2x cos2x = 1 −1

Ví dụ: Giải phương trình √

3 cot2x − 4 cot x +√3 = 0

GiảiĐK: sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z

Đặt cot x = t, khi đó phương trình có dạng

t = √13

⇔





cot x =

√3

4x + cos4x

cos2x − sin2x = −

1

2tan 2xk) sin8x + cos8x = 17

18cos

22xl) sin6x + cos6x − sin 2x = 0

m) (cos x)(2 sin x + 3

√2) − 2 cos2x − 1



· cotπ

6 − x

o) sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)

2 Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (làm tròn một chữ số thậpphân)



= 1 + 2 sin xb) √2(2 sin x − 1) = 4(sin x − 1) − cos

2x + π4

a sin x + b cos x = c (a2+ b2 6= 0) (1.1)Trường hợp đặc biệt:

• a 6= 0, b 6= 0, c = 0, do cos x = 0 không là nghiệm nên (1.1) có dạng

tan x = −a

bPhương pháp giải (trường hợp a, b, c 6= 0):

Chia 2 về phương trình cho pa2+ b2 ta sẽ phương trình

Cách khác: Thực hiện theo các bước:

Bước 1 : Với cosx

2 = 0 ⇔ x = π + k2π, k ∈ Z, kiểm tra vào phương trình

Bước 2: Với cosx

Ta có

√

3 sin x − cos x =√2 ⇔

√3

2 sin x −

1

2cos x =

√22

⇔ sinx −π

6



= sinπ4

4 cos 7x −√3 sin 7x = −√2

5 x

2 + cos

x2

10 2

√

2(sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2x

11 2(√3 sin x − cos x) = 3 sin 2x +√7 cos 2x

12 (1 − 2 sin x) cos x

(1 + 2 sin x)(1 − sin x) =

√3

13 Giải và biện luận phương trình

4m(sin x + cos x) = 4m2+ 2(cos x − sin x) + 3

14 a) Chứng minh pt sau vô nghiệm: sin x − 2 cos x = 3

b) Định m để pt m(sin x + 2 cos x) + 3 cos x = 3m + 5 + 4 sin x có nghiệm

c) Định m để pt (2m − 1) sin 3x + m cos 3x = 3m − 1 có nghiệm

d) Định m để pt (2 sin x − cos x)2 = m(cos 2x + sin 2x) có nghiệm

15 Cho hàm số y = sin x + 2 cos x + 1

sin x + cos x + 2 CMR: −2 ≤ y ≤ 1, ∀x ∈ R

Dạng 3.

Phương trình đối xứng theo sin x và cos x

Phương pháp chungPhương trình đối xứng theo sin x và cos x có dạng

a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0 (1.3)a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0 (1.4)Đặt t = sin x + cos x = 2√2 sin



x +π4

, |t| ≤√2 Khi đósin x cos x = t

2− 12Thay vào phương trình (1.3), ta được

4 − x



=√2 cos zsin x cos x = 1

2 Phương trình (1.4) được giải tương tự (1.3) với ẩn phụ

t = sin x − cos x, |t| ≤√2 ⇒ sin x cos x = 1 − t

2

2

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 3(sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 3 = 0

GiảiĐặt t = sin x + cos x =√2 sin



x +π4

 Điều kiện |t| ≤√2

Ta có t2 = 1 + 2 sin x cos x ⇒ 2 sin x cos x = t2− 1 Phương trình trở thành

1 Giải phương trình

a) sin x + cos x + sin x cos x = 1

2−

√2b) 2(cos x − sin x) + 6 sin x cos x = −2

c) 1 + sin3x + cos3x = 3

2sin 2xd) (1 +

√

2)(sin x + cos x) − sin 2x − 1 −

√

2 = 0e) 2 sin x cos x +

√

2 cos



x −π4



= 1f) 6(sin x − cos x) + sin x cos x + 6 = 0

g) 1 + tan x = 2√2 sin x

h) √2(sin x + cos x) = tan x + cot x

i) cos3x + sin3x = sin 2x + sin x + cos x

j) 2 sin3x − cos 2x + cos x = 0

k) (sin x + cos x)2= | cos x − sin x|

l) 1 + sin x + cos x

1 + sin x = 2 − tan x

m) (sin3x)(1 + cos x) + (cos3x)(1 + tan x) = 2√sin x + cos x

2 Chứng minh phương trình sau đây vô nghiệm: 5 sin 2x + sin x + cos x + 6 = 0

Dạng 4.

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với

sin x và cos x

Phương pháp chungPhương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x có dạng

a sin x2+ b sin x cos x + c cos x2= d (1.6)

a tan2x + b tan x + c = d(1 + tan2x)

• Giải phương trình theo tan x

2 Sử dụng các công thức

sin2x = 1 − 2 cos 2x

2cos2x = 1 + 2 cos 2x

2sin x cos x = 1

2sin 2x

ta được

b sin 2x + (c − a) cos 2x = 2d − c − a

Ngoài ra chúng ta cũng có một dạng phương trình tương tự

a sin3x + b cos3x + c sin2x cos +d sin x cos2x + e sin x + f cos x = 0

2 sin 2x + 1 + cos 2x = 1

⇔ 1

2cos 2x −

√3

2 sin 2x = −

12

của phương trình: 2 sin2x − 4√3 sin 2x + 6 cos2x = −1Giải

√33tan x = 7

√33

3 + kπ

Vì x ∈



0;5π4

nên ta được x = π

6; x =

7π

6 ; x = arc tan

7√33

d) cos22x −√3 sin 4x = 1 + sin22x

e) 3 sin2x − sin 2x − cos2x = 0

f) 5 sin2x − 4 sin x cos x − cos2x = 4

g) cos3x − 4 sin3x − 3 cos x sin2x + sin x = 0

h) sin2x(tan x − 2) = 3(cos 2x + sin x cos x)

i) 3 cos4x − sin22x + sin4x = 0

j) sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0

2 Giải các phương trình sau:

3x + cos2x

2 cos x − sin x = cos 2x

d) 6 sin x − 2 cos3x = 5 sin 4x cos x

2 cos 2xe) sin3x − 3 sin 2x sin x + 11 sin x cos2x − 6 cos3x = 0

1.2.3 Những phương trình lượng giác khác

Dạng 1.

Phương pháp biến đổi về dạng tích

Ví dụ: Giải phương trình sin 5x + sin 3x + sin x = 0

cos 2x = −1

2 = cos

2π3

1 sin x + sin2x + sin3x + sin4x = cos x + cos2x + cos3x + cos4x

2 sin3x + cos3x = cos 2x

3 sin4x + cos 2x + m cos6x = 0 với x ∈0;π

2



3 sin2x = cos22x + cos23x

4 1 + 2 cos2 3x

5 = 3 cos

4x5

5 sin4x + sin4



x + π4

+ sin4



x −π4



= 98

2 Khi đó phương trình tương đương với hệ Ai= 0, ∀i = 1, n

3 Giải hệ phương trình ở bước 2

F Bài tập: Giải phương trình

1 cos24x + cos28x = sin212x + sin216x + 2

2 4 cos2x + 3 tan2x − 4√3 cos x + 2√3 tan x + 4 = 0

3 cos 2x − cos 6x + 43 sin x − 4 sin3x + 1= 0

4 sin2x + 1

4sin

23x = sin x sin23x

Dạng 6: Phương pháp đánh giáGiải phương trình

I Tính chất của hàm số lượng giác, biểu thức lượng giác:

1.sin x +√3 cos xsin 3x = 2

2 cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x cos 2x cos 3x + 2

3 sin8x + cos8x = 2 sin10x + cos10x
+5

4cos 2x

4 4 cos x − 2 cos 2x − cos 4x = 1

5 sin 4x − cos 4x = 1 + 4(sin x − cos x)

7 cos5x + sin5x + sin 2x + cos 2x = 1 +√2

4cot x

n

= sinnx + cosnx

I Bunhiacopxki:

10 sin x +p2 − sin2x + sin xp2 − sin2x = 3

11 2 cos x +√2 sin 10x = 3√2 + 2 cos 28x sin x

1.2.4 Hệ phương trình lượng giác

I Hệ phương trình lượng giác cơ bản

p

5 cos5ytan x =

q

4 − sin3y

7 Giải hệ phương trình

(sin x + sin y =√2cos x + cos y =√2