Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm một biến

Luyện tậpngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúphọc sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệ th

A MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình

thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động,

sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn

kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương

Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án

“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa,

hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế” Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới

mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan

2 Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạonhững con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy họckhông chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập Luyện tậpngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúphọc sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách

hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năngđộng sáng tạo

3 Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương phápdùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), các phương pháp trực quan, các phương pháp thựchành, luyện tập đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lýthuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có

sử dụng máy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới

4 Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông làđổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán ởtrường phổ thông Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay nhằm phát huytính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá tri thứccủa các em, tạo hứng thú trong học tập

5 Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phù hợpvới giáo dục trong giai đoạn hiện nay Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông,bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh

ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT Quốc Gia hay bồidưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của họcsinh còn nhiều hạn chế Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thiTHPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản và thêm mộtchút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các em gặp khó khăn Chúng tôi thấyrằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linhhoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm hơn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡngHSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trong các trường phổthông là việc làm rất cần thiết hiện nay

II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương trình, bấtphương trình vô tỉ trong trường phổ thông Phân loại các dạng toán thường gặp trongchương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các kì thi THPT, thi HSG

III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU

Trình bày đề tài thông qua hệ thống bài tập Hướng dẫn học sinh giải quyết các bàitoán trong một số tình huống cụ thể Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khảnăng sáng tạo tư duy

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách

tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan

2 Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học

phần bài tập này

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.

4 Phương pháp thống kê.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:

Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có

liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó ngườilàm toán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bàitoán này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội

dung: "Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một

điều kiện thiết yếu”.

Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến

thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bàybài toán theo một thể thống nhất Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức màtrong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiếtcho người làm toán

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Trong chương trình Toán cấp THCS và THPT học sinh thường gặp nhiều bàitoán về phương pháp tối ưu Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốtđược loại toán này? Để trả lời được câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức vànắm vững kỹ năng giải toán Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyếttốt loại toán này lại là một vấn đề không dễ Khi làm các bài tập dạng này đa số họcsinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kếtquả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng không cao

2 Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tàiliệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận cácbài toán tối ưu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cần thiếtcủa đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một

trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học

sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm một biến” Tôi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng thêm khả năng tư

duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về các bài toán liên quan đếnGTLN, GTNN của hàm số mà đa phần các em gặp khó khăn.

III NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH

PHẦN 1.2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ

Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liênquan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:

Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học.

Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thườnggặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giảiquyết bài toán mà họ đã đặt ra?

Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước tiên ta

phải “thiết lập được hàm số” Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây

Hình sau đây mô tả quá trình của việc mô hình hóa toán học cho một hiện tượng trong thực tế

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:

Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho

mô hình mô phỏng thực tiễn Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều môhình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa

chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.

Dự đoán cho vấn đề thực tế

Bài toán

thực tế

Mô hình toán học

Kết luận toán học

Giải thích cho thực tế

Kiểm tra lại

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến (Ở đây trong nội dung đang

xét ta chỉ xét với tình huống 1 biến)

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài

toán hình thành ở bước 2 Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thuđược có phù hợp với bài toàn thực tế đã cho chưa

Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình bày theo các chủ đề ứng dụng đạo hàm:

Bài toán 1 Từ một tấm lớn hình chữ nhật có kích thước là a b  với a b  Người ta cắt

bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp Một cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất?

 Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là b 2x 0   Đến đây

ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp V x(a 2x)(b 2x)   

Hướng dẫn giải

 Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 0 x a

2

 Khi đó thể tích hình hộp là V x(a 2x)(b 2x)     4x3 2(a b)x  2 abx V(x) 

Đạo hàm V ' f '(x) 12x   2  4(a b)x ab  

Ta có   ' 4(a b)  2  12ab 4(a  2  ab b ) 0  2  với mọi a, b

Do đó   ' 0 luông có hai nghiệm phân biệt

 Bình luận: Qua bài toán bày ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng Chúng ta không nên

chỉ ghi x 0  theo cách hiểu số đo đại số là một số dương

Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài toán này không

thể giải quyết tiếp được Điều này đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến thức đã học vào bài toán thực tế

Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V '(x) 0  cũng như lập bảng biến thiên của V(x) không hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến đổi đại số

Bài toán 2 Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tưởng và mặt đất,

ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ.

A Xấp xỉ bằng 5, 4902m B Xấp xỉ bằng 5,602m

C Xấp xỉ bằng 5,5902m D Xấp xỉ bằng 6,5902m

 Phân tích

 Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau Để xác định được

độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theohướng nào? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp Đối với hình vẽ trên và

các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là

AC  AB  AC và hướng thứ hai là AC AM MC  

 Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC x 0   , đến đây chỉ cầntính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f (x) biểu diễn độ dài AC.Nhưng bằng cách nào đây? MH 4 

   Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý

Thales thuận (MH / /AB) nên ta có: HCBC MHAB x 0,5x

 Bài toán trở thành tìmmin f (x) ? 

 Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC x 0   thì khi đó ta sẽ biểu diễn

độ dài AC  P(x)  Q(x) (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút nảo) Do

đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy

     Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi

vì khi đó MC MH sin   và AM MK cos   Khi đó bài toán trở thành tìmmin g( ) ?  

x 0 2



f '(x)  0 

f(2)Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (x) f (2)x 0 125

4

 Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:

Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn nhất định

khi giải tìm nghiệm của phương trình f '(x) 0  hay g '(x) 0  Dựa theo cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua f '(x) 0  hay g '(x) 0 

Hai là, ngoài việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN của hàm số

này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức Giả sử đặt AB b, BC a b 0,a 1

Bài toán trở thành tìm min AC 2  min a 2  b 2 thỏa 1 4 1

2a b 

1 ,a , b 4 2

2 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2 

Bài toán 3 Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V (

3

m ) không đổi, hệ số k 0  cho trước (k là tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy) Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

 Phân tích:

 Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều

rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn

toàn có thể biểu diễn được độ dài theo 1 biến

 Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm

nguyên vật liệu nhất là gì?” Đó chính là làm sao

cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích

nhỏ nhất hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

 Gọi x, y (0 x y)   lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáp hố ga

Gọi h là chiều cao của hố ga (h 0) 

x 0

(k 1)V min f (x) f

(k 1)V 2k



Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu bài toán trên ta đi đến quan hệ tỉ lệ giữa

chúng là

3 2

3

2

3

(k 1)V x

Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết V const  và thay thể y kx  hay

h ky  (k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài toán có thay đổi? Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với h kx  Do đó

Bài tập tương tự 1 Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật có thể

tích V (m ) 3 , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp

Dựa vào bài toán 3, ta có x,y,h ?

Bài toán 4: Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng

là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị dưới đây?

A 0,3 mét B 0,4 mét C 0,5 mét D 0,6 mét

Phân tích :

Ta đặt ra 1 số câu hỏi định hướng như sau :

Một là Làm sao để tốn ít nguyên vật liệu nhất ?

Hai là, có thể tổng quát bài toán này lên không ?

Ta nhận thấy để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh của phần vỏ bao bên ngoài bồn chứa nước cùng với diện tích của đáy và nắp phải nhỏ nhất Hay chính xác hơn ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho

Mà ta đã biết S tp S xq 2S day  2 rh 2 r2 (với r, h lần lượt bán kính đáy và chiều cao của bồn nước hình trụ) Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h Và đến đây

ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích V  r h const2  tức là đang cho mối liên hệ

giữa bán kình đáy r và chiều cao h của hình trụ Từ V r h h V

3 V f 2

Thay V = 20 vào ta được h 2,94 dm     0, 29 m   Ta chọn đáp án A.

Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta nhận thấy,

3

3

4V h

Bài toán 5 Màn hình TV đặt thẳng đứng tại một sân

vận động, cao 2,4m, cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm

mặt khán giả A ngồi dưới nó là 8,5m Một khán giả B

có góc quan sát TV là thuận lợi nhất khi góc đối diện

với màn hình TV là cực đại, khi đó khoảng cách giữa

khán giả A và B là bao nhiêu?

Gọi x là khoảng cách từ khán giả B đến khán giả A

Ta thấy rằng yêu cầu bài toán chính là xác định max  để từ đó suy ra khoảng cách x ? 

2 g(x)

 thỏa yêu cầu bài toán

 Bình luận: Có vài điều ta cần lưu ý khi giải với các bài toán liên quan đến góc là Một là, trong các tỉ số lượng giác thì max   max sin   max tan  với 0    10 o

Hai là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị

max g(x) như sau: g(x) x 1853Cauchy2 x1853 2 1853

1 tan tan

  

   

   giúp ta chuyển bài toán từ việc tìm góc sang tìm cạnh (đúng với tinh thần đặt ra của câu hỏi).Haibài tập tương tự dưới đây sẽ giúp các bạn rèn luyện và củng cố thêm cho mình