Công thức hook và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦUCông thức Hook là một kết quả rất nổi tiếng thể hiện số bảng chuẩn của phânhoạch ? thông qua khái niệm độ dài Hook của biểu đồ Young.. Trong luận văn, chúng tôi sẽ lựa chọn tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Nam

LỜI NÓI ĐẦU

Công thức Hook là một kết quả rất nổi tiếng thể hiện số bảng chuẩn của phânhoạch 𝜆 thông qua khái niệm độ dài Hook của biểu đồ Young Có rất nhiềuphương pháp chứng minh công thức Hook đã được thực hiện, với độ phức tạp

và phương thức rất khác nhau

Công thức Hook được tìm ra vào năm 1954 bởi J.S Frame, G.de B Robinson vàR.M Thrall trên cơ sở công thức được xây dựng bởi G Frobenius và A Youngvào năm 1900 và 1902 Năm 1979, C.Greene, A.Nijenhuis và H.S.Wilf tìm racách chứng minh bằng xác suất Vào năm 1982, J.B Remmel đưa ra cách chứngminh bằng song ánh Một cách chứng minh đơn giản khác bằng song ánh củaIgor Pak - Alexander năm 1982,về sau được hoàn thiện bởi Jean - Christophenăm 1997

Trong luận văn, chúng tôi sẽ lựa chọn trình bày một số phương pháp chứngminh công thức Hook bằng những phương pháp chứng minh đơn giản dựa trêncác kiến thức cơ bản của đại số, như phương pháp chứng minh bằng sơ cấpcủa J.Bandlow hay phương pháp chứng minh bằng xác xuất của C.Greene,A.Nijenhuis và H.S.Wilf Nội dung của các chương sẽ như sau:

Chương 1: Giới thiệu về công thức Hook và các khái niệm như phân hoạch 𝜆,biểu đồ Young, độ dài Hook, bảng chuẩn của phân hoạch 𝜆

Chương 2: Giới thiệu về một số cách chứng minh công thức Hook như chứngminh bằng sơ cấp, chứng minh bằng xác suất

Chương 3: Giới thiệu một số ứng dụng của biểu đồ Young và công thức Hook.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Lê Đình Nam Nhân dịpnày, tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy Thầykhông những hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm nghiêncứu khoa học mà còn cả những điều thật quý báu trong cuộc sống

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô đã giảng dạy tác giả vàcác thành viên trong lớp cao học Toán Tin 2014B trong suốt quá trình học tậpvừa qua

và người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình

học tập Đặc biệt là sự ủng hộ của vợ và con trai tác giả là Nguyễn Thị AnhPhương và Đỗ Oanh Việt Bảo đã luôn ở bên và là động lực to lớn để tác giảhoàn thiện luận văn này.

Tuy bản thân đã có nhiều cố gắng, song vì thời gian có hạn và điều kiện nghiêncứu hạn chế nên bản luận văn có thể còn mắc phải những thiếu sót Tác giả xintrân trọng đón nhận những ý kiến đóng góp và bổ sung để bản luận văn đượchoàn thiện hơn Tác giả xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2016

Tác giả

ĐỖ OANH CƯỜNG

Mục lục

1 Các khái niệm cơ bản về biểu đồ Young và công thức Hook 1

1.1 Khái niệm về phân hoạch 𝜆 1

1.2 Biểu đồ Young 2

1.3 Vết của phân hoạch 𝜆 3

1.4 Bảng liên hợp của phân hoạch 𝜆 4

1.5 Bảng chuẩn của phân hoạch 𝜆 5

1.6 Độ dài Hook 6

1.7 Công thức Hook 8

2 Một số cách chứng minh công thức Hook 10 2.1 Chứng minh công thức Hook bằng phương pháp sơ cấp 10

2.2 Chứng minh bằng phương pháp xác suất 19

3 Một số ứng dụng của biểu đồ Young và công thức Hook 24 3.1 Ứng dụng biểu đồ Young và công thức Hook trong bài toán đường đi lưới 24

3.2 Ứng dụng biều đồ Young và công thức Hook trong bài toán chuỗi tăng dài nhất 26

3.3 Ứng dụng biểu đồ Young và công thức Hook giải bài toán tìm kiếm và sắp xếp 31 3.4 Ứng dụng biều đồ Young và công thức Hook trong lý thuyết đồ thị 37

Chương 1

Các khái niệm cơ bản về

biểu đồ Young và công thức Hook

Biểu đồ Young được giới thiệu lần đầu bởi Alfred Young tại đại học Cambridgevào năm 1900 Vào năm 1903, biểu đồ Young đã được ứng dụng một cách độclập bởi George Frobenius và Young để nghiên cứu về nhóm đối xứng và lý thuyếtbiểu diễn Trong quá trình phát triển của Toán học, biểu đồ Young đã có nhữngứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lĩnh vực lý thuyết đồ thị, đường đilưới, chuỗi tăng dài nhất Sau đây tôi xin trình bày về một số khái niệm cơbản của biểu đồ Young và công thức Hook

Cho số tự nhiên 𝑁 , 𝜆 được gọi là một phân hoạch của 𝑁 và viết: 𝜆⊢ 𝑁 nếu 𝜆

là một tập hợp bao gồm (𝜆1, 𝜆2, , 𝜆𝑘) là các số tự nhiên thoả mãn:

⎧

⎨∑︀𝑘

Ví dụ: với 𝑁 = 5, có các phân hoạch sau:

Biểu đồ Young của một phân hoạch 𝜆 là một "mảng" với các ô, cột trên mặtphẳng được căn lề về phía bên trái và chiều của biểu đồ thì có thể biểu diễndưới theo các cách sau:

- Chiều theo hướng từ dưới lên trên:

Biểu đồ có 𝜆𝑖 ô tại hàng thứ i từ tính từ dưới lên, ô (i,j) biểu thị ô ở hàng i vàcột j, với i được tính theo thứ tự từ dưới lên

( hay là theo chiều từ dưới lên trên, từ trái sang phải )

Ví dụ 1.1 là biểu đồ Young của phân hoạch 𝜆 = (5,4,4,2) được biểu diễn theochiều từ dưới lên trên

- Chiều theo hướng từ trên xuống dưới:

Biểu đồ 𝜆𝑖 ô tại hàng thứ i từ tính từ trên xuống, ô (i,j) biểu thị ô ở hàng i vàcột j, với hàng i được tính từ trên xuống

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1.1 là biểu đồ Young của phân hoạch 𝜆 = (5,4,4,2) được biểu diễn theochiều từ trên xuống dưới

Biểu diễn theo chiều từ trên xuống Biểu diễn theo chiều từ dưới lên

( i, j )

( 3, 2 )

( 3, 2 )

( i , j )

Hình 1.1: Cách biểu diễn biểu đồ Young (5,4,4,2)

Ví dụ 1.2 là biểu đồ Young của phân hoạch 𝜆 = (6,5,4,3) được biểu diễn theochiều từ trên xuống dưới

Biểu diễn theo chiều từ trên xuống Biểu diễn theo chiều từ dưới lên

( i, j )

( i , j )

( 3, 4 )

(3, 4 )

Hình 1.2: Cách biểu diễn biểu đồ Young (6,5,4,3)

Vết của phân hoạch 𝜆 được định nghĩa là:

𝑡𝑟(𝜆) = max{𝑖|𝜆𝑖 ≥ 𝑖}

Vết của phân hoạch 𝜆 có thể minh hoạ trên biểu đồ Young, nó chính bằng số ôcủa biểu đồ Young của phân hoạch 𝜆 trên đường chéo chính

Hình 1.3: Vết của biểu đồ Young

Phân hoạch 𝜆 = (𝜆1, 𝜆2, , 𝜆𝑛) có biểu đồ Young tương ứng là 𝑌 (𝜆), với lần lượthàng 1 có 𝜆1 ô, hàng 2 có 𝜆2 ô, , hàng 𝑛 có 𝜆𝑛 ô

Biểu đồ 𝑌* có số số ô ở cột 1 là 𝜆1, cột 2 là 𝜆2, , cột 𝑛 là 𝜆𝑛 được gọi là biểu

đồ Young liên hợp của biểu đồ Y

Từ biểu đồ 𝑌*, ta thu được phân hoạch 𝜆* được gọi là bảng liên hợp của phânhoạch 𝜆

Dưới đây là ví dụ:

Xét 𝜆 = ( 4, 3, 3, 2 ) chúng ta có bảng liên hợp 𝜆* = ( 4,4,3,1) như hình dưới :

Một bảng chuẩn của phân hoạch 𝜆 là một cách "điền" các số từ 1 tới 𝑁 vào

- với N = 3, phân hoạch 𝜆 = (2,1) chúng ta có 2 bảng chuẩn sau:

1 3 1 2Bảng 1.1: Phân hoạch 𝜆 = (2,1)

- với N = 5, 𝜆 = (3,2) ta có 3 bảng chuẩn sau:

4 5 3 5 2 5

1 2 3 1 2 4 1 3 4Bảng 1.2: Phân hoạch 𝜆 = (3,2)

- với N = 9, 𝜆 = (4,3,2) ta có một số bảng chuẩn sau:

Công thức Hook được tìm ra vào năm 1954 bởi J.S Frame, G.de B Robinson vàR.M Thrall trên cơ sở công thức được xây dựng bởi G Frobenius và A Youngvào năm 1900 và 1902 C.Greene, A.Nijenhuis và H.S.Wilf tìm ra cách chứngminh bằng xác suất năm 1979 Vào năm 1982, J.B Remmel đưa ra cách chứngminh bằng song ánh Một cách chứng minh đơn giản khác bằng song ánh củaIgor Pak - Alexander năm 1982,về sau được hoàn thiên bởi Jean - Christophenăm 1997 Sau đây chúng ta tìm hiểu về một số khái niệm để làm rõ về côngthức Hook: độ dài Hook

Độ dài Hook của một ô C(i,j) thuộc biểu đồ Young của 𝜆, kí hiệu là ℎ𝜆, đượcxác định là tổng số ô phía trên ( với chiều của biểu đồ từ dưới lên ) với số ô bênphải của ô C(i,j) và thêm 1.

Dưới đây là ví dụ bảng Hook của một biểu đồ Young (5,4,4,2)

1

4 5

Dưới đây là ví dụ bảng Hook của một biểu đồ Young (3,3,2,2)

Công thức Hook giúp ta giải quyết bài toán trên.

Chúng ta gọi 𝑓𝜆 là số các bảng chuẩn của phân hoạch 𝜆

Công thức Hook được phát biểu như sau:

𝑓 𝜆 = ∏︀ 𝑛!

𝑠∈𝜆 ℎ𝜆(𝑠)

Hiện nay công thức Hook có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn.Công thức Hook giúp chứng minh hoặc làm sáng tỏ một số bài toán Đại số, Xácsuất, Giải tích như số Catalan 𝐶𝑛 = 𝑓(𝑛,𝑛) hoặc dãy số tăng dài nhất 𝐿(𝜎𝑛)

Ví dụ:

Với 𝜆 = (3,3,2,2) như hình 1.7:

*5*2*5*4*1*3*2*2*1 = 252.

1 ví dụ khác, với 𝜆 = (5,5,5,5,5) như hình 1.8 bên dưới, ta có :

𝑓𝜆 = 701149020.

Hình 1.8: Bảng Hook (5,5,5,5,5)

pháp sơ cấp

Gọi 𝜆 là phân hoạch của 𝑁 và 𝜇 là phân hoạch của (𝑁 − 1)

Chúng ta nói rằng 𝜇 tiến tới 𝜆 ( Kí hiệu 𝜇 → 𝜆) nếu biểu đồ Young của 𝜇 đượcchứa trong biểu đồ của 𝜆

Góc ngoài của phân hoạch 𝜆

Góc ngoài của biểu đồ Young của phân hoạch 𝜆 là các ô mà khi bỏ đi sẽ biếnbiểu đồ của phân hoạch 𝜆 thành của 𝜇 → 𝜆 Với 1 phân hoạch 𝜆 cố định, chúng

ta kí hiệu góc ngoài của 𝜆 theo chiều từ trên xuống dưới là 𝑋𝑖 = (𝛼𝑖, 𝛽𝑖) với 1

≤ i ≤ m

Đặt 𝑋0 = (𝛼0, 𝛽0) = (0,0) và 𝛽0 = 0 = 𝛼𝑚+1.

Gọi tập hợp 𝑌𝑖 = (𝛼𝑖+1, 𝛽𝑖) với 0 ≤ i ≤ m là góc trong của biểu đồ Chúng ta

sẽ chứng minh biểu đồ 𝜇(𝑖) là biểu đồ của phân hoạch 𝜆 với cái ô 𝑋𝑖 bị bỏ đi.Hình dưới đây thể hiện minh hoạ của phân hoạch với các "góc ngoài" và "góctrong"

Hình 2.1: Phân hoạch với các Góc

Ta có nhận xét rằng: nếu đưa ra 1 bảng chuẩn của phân hoạch 𝜆, sau đó bỏ đicác ô chứa 𝑁 thì ta sẽ được bảng chuẩn của 𝜇 → 𝜆

Cho dễ hình dung ta có bảng chuẩn mà phân hoạch 𝜆 = (3,2) của 𝑁 =5, nếu bỏ

đi phần tử 𝑁 ta được phân hoạch 𝜇 = (3,1) của 𝑁1=4

4 5 4

1 2 3 1 2 3

𝜆 = (3,2) 𝜇 = (3,1)Bảng 2.1: Bảng chuẩn biến đổi từ 𝜆=(3,2) → 𝜇=(3,1)

Từ đó ta có công thức đệ quy sau:

Chúng ta sẽ chứng minh công thức Hook bằng 3 bước sau:

Giá trị của ô trong phân hoạch 𝜆

Chúng ta gọi: giá trị của 1 ô c = (i,j) là ct(c) = j - i

Với phân hoạch (4,3,2,2) ta được bảng dưới đây thể hiện giá trị ct(c) như sau:

- 3 - 2-2 -1-1 0 1

0 1 2 3

Bảng 2.2: Bảng giá trị ct(c) của phân hoạch (4,3,2,2)

Giá trị của 1 ô ct(c) là không đổi trong biểu đồ Young Gọi E(c) là ô ở phía cựcĐông của hàng chứa ô c, và N(c) là ô ở cực Bắc của cột chứ ô C Ta có côngthức sau:

Như vậy bài toán được chứng minh

Chúng ta sẽ biến đổi vế trái của (2):

với (i) cố định ta sẽ khử được rất nhiều trong phân số:

sẽ được khử trong công thức trên Thêm nữa là độ dài Hook của 2 ô ( 𝛼𝑖, 𝑏) và(𝛼𝑖, 𝑏− 1) là như nhau, vì vậy có thể khử trong việc tính toán Chỉ có những ôbên dưới góc sẽ không thể khử được.

Chúng ta gọi những ô không khử được thuộc phân hoạch 𝜆 trong hàng 𝑋𝑖 là :

𝐿𝑗 = (𝛼𝑖, 𝛽𝑗 + 1) với 0 ≤ i < j; Và những ô thuộc hàng 𝑋𝑖 phân hoạch 𝜇(𝑖) là

𝑀𝑗 = (𝛼𝑖, 𝛽𝑖) với 1 ≤ i < j

Lưu ý là chúng ta các ô 𝑋𝑖 có độ dài Hook là 1 trong phân hoạch 𝜆 và khôngxuất hiện trong phân hoạch 𝜇(𝑖)

Với các ô trong cột của 𝑋𝑖 thuộc phân hoạch 𝜆 ta gọi 𝐿𝑗 = (𝛼𝑗+1, 𝛽𝑗) với

𝑖 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 và 𝑀𝑗 = (𝛼𝑗, 𝛽𝑖) với 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑚 với các ô trong cột 𝑋𝑖 thuộc phânhoạch 𝜇𝑖

∏︀𝑚 𝑗=1 𝑗̸=𝑖

ℎ𝜇(𝑖)(𝑀𝑗)

Chúng ta áp dụng (1) vào phía biểu thức trên:

Với 0 < 𝑗 < 𝑖, 𝑦𝑗 = 𝑐𝑡(𝑁 (𝐿𝑗))− 1 với 𝑌𝑗 là cách 1 đơn vị về phía trái của 𝑁 (𝐿𝑗).Suy ra:

∏︀𝑚 𝑗=1 𝑗̸=𝑖

𝑗=𝑖−(𝑥𝑖− 𝑦𝑗)

∏︀𝑖−1 𝑗=1(𝑥𝑖− 𝑥𝑗)∏︀𝑚

∏︀𝑚 𝑗=1 𝑗̸=𝑖

Do đó đa thức 𝑄(𝑡) + 𝑃 (𝑡) có bậc cao nhất là 𝑡𝑚+1 và bằng 0 tại 𝑡 = 𝑥𝑠 với

1≤ 𝑠 ≤ 𝑚 Như vậy với 1 số 𝛼 bất kì:

βi(αi− αi+1 = n)

Hình 2.2: Biểu đồ hình chữ nhật của 𝜆

Công thức Hook được tìm ra vào năm 1954 bởi J.S Frame, G.de B Robinson

và R.M Thrall trên cơ sở công thức được xây dựng bởi G Frobenius và A.Young vào năm 1900 và 1902 Năm 1979, C.Greene, Nijenhuis và Wilf tìm racách chứng minh trực tiếp bằng phương pháp xác suất Trong chương này tôi sẽ

Như chúng ta đã biết: 𝑓𝜆 là số các bảng chuẩn của phân hoạch 𝜆.

Công thức Hook được phát biểu như sau:

𝑓𝜆 = ∏︀ 𝑛!

𝑠∈𝜆ℎ𝜆(𝑠)Với ℎ𝜆 là độ dài Hook của một ô C(i,j) thuộc biểu đồ Young của 𝜆 được xácđịnh là tổng số ô phía trên với số ô bên phải của ô C(i,j) và thêm 1

Hay đơn giản hơn ta có thể viết như sau:

𝑁 − 1

Với phân hoạch 𝜆 = (𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ≥ 𝜆𝑚) ta gọi biểu đồ Ferrers của phân hoạch

𝜆 là một mảng hai chiều được đánh dấu bằng cặp chỉ số (𝑖, 𝑗) với 1≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤

𝑗 ≤ 𝜆𝑖

Để chứng minh công thức Hook, chúng ta khai triển như sau:

𝑖𝑗 −1 Tương tự như thế vớicác ô mới được lựa chọn trong Hook 𝐻𝑖′ 𝑗 ′ Chúng ta tiếp tục làm như trên tớikhi gặp một ô góc (𝛼, 𝛽) thì dừng lại, kết thúc quá trình thử nghiệm đơn lẻ Ô(𝛼, 𝛽) được gọi là ô "kết thúc" của quá trình thử nghiệm.

Bất kì một ô góc nào đều có thể trở thành ô kết thúc của quá trình thử nghiệm.Đặt 𝑝(𝛼, 𝛽) là xác suất ô (𝛼, 𝛽) là ô kết thúc của thử nghiệm

Chúng ta có định lý sau:

Cho (𝛼, 𝛽) là một ô góc, vậy thì:

𝐹 =

1𝑛

Xét 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, , 𝑎𝑚) và 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, , 𝑏𝑚) 𝑝(𝐴, 𝐵|𝑎, 𝑏) thể hiện xác suấtphép thử bắt đầu tại (𝑎𝑏) và các dịch chuyển theo chiều dọc và ngang theo A

𝑝(𝐴, 𝐵|𝑎, 𝑏) = 𝑃 𝐼

Tiếp tục với cách chứng minh của 2.9, xác suất 𝑝(𝛼, 𝛽) có thể được tính toánbằng cách tổng hợp tất cả xác suất với lựa chọn ô đầu tiên, sau đó chọn ô tiếptheo theo chiều ngang và chiều dọc Do đó:

𝑝(𝛼, 𝛽) = 1

𝑛

∑︁

𝑝(𝐴, 𝐵|𝑎, 𝑏) (**)với việc phép cộng bao phủ hoàn toàn 𝐴, 𝐵, 𝑎, 𝑏 với 𝐴 ⊆ (1, 2, , 𝛼) và 𝐵 ⊆(1, 2, , 𝛽), a = min A , b = min B

Hook trong bài toán đường đi lưới

Một trong các mô hình cho thấy sự xuất hiện của biểu đồ Young đó là đồ thịtrong lưới hình chữ nhật cụ thể như sau:

Cho một lưới các ô kích thước m x n bao gồm m hàng và n cột Ô nằm ở giaođiểm giữa hàng i và cột j gọi là ô (i,j) Ví dụ của ô lưới kích thước m x n, với m

= 6 và n = 8

Bảng 3.1: Biểu đồ lưới

Vì cách đi chỉ là lên trên hoặc sang phải, nên tổng số bước đi là (m+n) Vớicách đi từ ô (0,0) đến ô (m,n), ta có 1 song ánh là 1 biểu đồ Young tương ứng.Dưới đây là ví dụ với lưới chữ nhật kích thước (4x8), với cách đi như trong hình

ta thu được biểu đồ Young của phân hoạch 𝜆 = (6,6,3) tương ứng ( trong hìnhđược đánh dấu bằng ô x):

(4,8)

(0,0)

x x

x x

x x

x x

x

Hình 3.1: Biểu đồ Young tương ứng của cách đi trong đường đi lưới (4x8)

Bài toán đặt ra là: chúng ta di chuyển từ gốc (0,0) đến ô cao nhất (m,n) vớicách thức: chỉ đi lên hoặc đi sang phải, thì có bao nhiều đường đi có thể đi ?

Do mỗi cách di chuyển chỉ lên trên hoặc sang phải, nên tổng số bước chính là(m+n) bước Số cách đi ta có thể dễ dàng thấy chính là tổ chợp chập m của

Một góc nhìn khác, mỗi đường đi tạo cho chúng ta 1 biểu đồ Young với song ánhtương ứng Bài toán trên chính là trả lời câu hỏi có bao nhiêu biểu đồ Youngvới số hàng không lớn hơn n, số cột không lớn hơn m?

Hook trong bài toán chuỗi tăng dài nhất

Bài toán đặt ra là cho 𝜋 = (𝜋1, 𝜋2, , 𝜋𝑛) là một chuỗi các số dương khác nhau,

độ dài của chuỗi tăng dài nhất của 𝜋 là bao nhiêu?

Ví dụ với chuỗi 𝜋1 = (1,9,10,12,15,2,3,6,7,8,9,20,13,15), chuỗi tăng dài nhất củachuỗi trên là (2, 3, 6, 7,8,9, 20) với độ dài là 7 Trong trường hợp độ dài chuỗi

𝜋 là số lớn hơn là 50, 100, 200 chứ ko phải chỉ là 14 như trong ví dụ, việc tìm

độ dài chuỗi lớn nhất sẽ rất phức tạp và tốn nhiều thời gian hơn rất nhiều Ví

Để tìm được biểu đồ Young phù hợp, chúng ta thực hiện một thuật toán có tên

là Insertion Thuật toán Insertion sẽ được đề cập chi tiết ở phần tiếp theo

Bảng bán chuẩn là một biểu đồ Young của 𝜆 thoả mãn tất cả các ô được điềnbởi các số nguyên dương, cho phép lặp lại và giá trị các ô không giảm

3.2.2 Nội dung của bảng bán chuẩn T

𝜇 =[𝜇1,𝜇2, ,𝜇𝑚] được gọi là nội dung của bảng bán chuẩn T nếu 𝜇𝑖 là số lần 𝑖xuất hiện tại T

Với bảng bán chuẩn S như sau:

7

5 5 7

1 3 3Bảng 3.3: Bảng bán chuẩn S

T, S lần lượt là bảng chuẩn và bảng bán chuẩn của 𝜆 =[3, 3, 1] Nội dung 𝜇 của

S có giá trị như sau: [1,0,2,0,2,0,2]

3.2.3 Thuật toán Insertion

Thuật toán nhằm đưa một số nguyên 𝑥 vào bảng bán chuẩn T ( cách đưa một

số nguyên cho bảng chuẩn chúng ta làm tương tự)

Thuật toán được thực hiện như sau:

Chúng ta bắt đầu ở hàng thứ nhất

1 Nếu 𝑥 lớn hơn tất cả các phần tử trong hàng, chúng ta đặt 𝑥 ở cuối hàng vàdừng lại