BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH NHIỀU TIÊU CHUẨN với THÔNG TIN mờ

DA NH MỤC CÁC HèNH VẼ, ĐỒ THỊ 1 Hỡnh TQ-1 Mô hình bài toán quyết định tập thể 2 Hỡnh TQ-2 Mô hình bài toán quyết định tập thể với bộ ý kiến đánh giá cho bằng số 3 Hỡnh TQ-3 Mô hình bài t

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH NHIỀU TIÊU

CHUẨN VỚI THÔNG TIN MỜ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

BÀI TOÁN QUYẾT ĐỊNH NHIỀU TIÊU CHUẨN

VỚI THÔNG TIN MỜ

NGÀNH: TOÁN TIN

L Ê THỊ HỒNG NHUNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Bùi Công Cường

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình tìm hiểu nghiên cứu, tôi gặp không ít khó khăn, những lúc như vậy, tôi luôn nhận được sự động viên, khích lệ của thầy giáo, PGS – TSK H Bùi Công Cường Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu, hướng dẫn tận tình trong cách thức và phương pháp nghiên cứu khoa học cũng như đã hỗ trợ tôi trong việc tìm kiếm tài liệu Thầy đã cho tôi có cơ hội được trình bày vấn đề nghiên cứu của mình tại Hội thảo quốc tế về hệ mờ, được giao lưu cũng như tiếp xúc với các giáo sư đầu ngành

Để có những kết quả trong luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, PGS – TSKH Bùi Công Cường, đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán ứng dụng, trường ĐHBKHN, các đồng nghiệp ở công ty Việt Khánh CCS, gia đình và các bạn của tôi những người đã động viên để tôi có được những kết quả này

Hà Nội, ngày 09 tháng 12 năm 2005

Tác giả

Lê Thị Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Lê Thị Hồng Nhung, học viên lớp cao học khóa 2003 – 2005, chuyên ngành Toán tin ứng dụng Tôi xin cam đoan bài luận văn “Bài toán quyết định nhiều tiêu chuẩn với thông tin mờ” là do tôi nghiên cứu, tìm hiểu dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TSKH Bùi Công Cường, không phải là

sự sao chép của người khác Tôi xin chịu trách nhiệm về lời cam đoan này

Hà Nội, ngày 08 tháng 12 năm 2005

Tác giả

Lê Thị Hồng Nhung

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

LỜI CAM ĐOAN 4

MỤC LỤC 5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 8

DANH MỤC CÁC BẢNG 9

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 10

MỞ ĐẦU 11

TỔNG QUAN 13

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 18

I.1- TẬP MỜ [1] 19

I.1.1- ĐỊNH NGHĨA 19

I.1.2- NGUYÊN LÝ SUY RỘNG CỦA ZADEH 20

I.2- LÔGIC MỜ 21

I.2.1- PHÉP PHỦ ĐỊNH 21

I.2.2- PHÉP HỘI 21

I.2.3- PHÉP TUYỂN 22

I.2.4- LUẬT DE MORGAN 23

I.2.5- PHÉP KÉO THEO 23

I.3- QUAN HỆ MỜ 24

I.3.1- KHÁI NIỆM QUAN HỆ MỜ 24

I.3.2- PHÉP HỢP THÀNH 25

I.3.3- TÍNH CHUYỂN TIẾP 26

CHƯƠNG II: MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ TRUNG BÌNH 27

II.1- TOÁN TỬ TRUNG BÌNH TRỌNG SỐ CÓ SẮP XẾP (OWA) [1,8,9.10,12] 27

II.1.1- ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ OWA 27

II.1.2- ĐỐI NGẪU CỦA TOÁN TỬ OWA 29

II.1.3- NGỮ NGHĨA KẾT HỢP VỚI TOÁN TỬ OWA 32

II.1.4- CÁCH XÁC ĐỊNH TRỌNG SỐ w 34

II.1.5- CÁC HÀM ĐỊNH LƯỢNG VÀ ĐỘ ĐO TÍNH TUYỂN - orness 36

II.2- TOÁN TỬ TÍCH HỢP NGÔN NGỮ [5,6,7] 37

II.2.1- SUY RỘNG TOÁN TỬ TRUNG BÌNH LÊN MIỀN GIÁ TRỊ NGÔN NGỮ 37

II.2.2- TOÁN TỬ TÍCH HỢP NGÔN NGỮ LOWA 39

II.3- MỘT SỐ ỨNG DỤNG [1,2,4] 40

II.3.1- THUẬT TOÁN PHÂN CỤM 1 40

II.3.2- ĐỘ NHẤT TRÍ VÀ ĐỘ TRỘI ĐỊA PHƯƠNG 42

CHƯƠNG 3: NGHIỆM TẬP THỂ MỜ 45

III.1- ĐỊNH NGHĨA [2] 45

III.2- ỨNG DỤNG 46

III.2.1- THUẬT TOÁN PHÂN CỤM 2 [4] 46

III.2.2- HAI QUY TRÌNH LỰA CHỌN TRONG BÀI TOÁN LẤY QUYẾT ĐỊNH TẬP THỂ [2] 47

CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG 50

IV.1- BÀI TOÁN 50

IV.2- GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN 50

IV.3- PHẦN MỀM TÍNH TOÁN 53

IV.3.1- NHẬP THÔNG TIN CÁC CHỈ TIÊU 53

IV.3.2- NHẬP THÔNG TIN CÁC CHUYÊN GIA 54

IV.3.3- NHẬP THÔNG TIN CÁC DỰ ÁN 55

IV.3.4- NHẬP THÔNG TIN CÁC NHÃN 55

IV.3.4- NHẬP Ý KIẾN CÁC CHUYÊN GIA 56

IV.3.5- MỘT MÃ CÁC HÀM CHÍNH SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH 57

IV.4- KẾT QUẢ CHẠY CHƯƠNG TRÌNH 60

IV.4.1- BỘ SỐ LIỆU ĐẦU VÀO 60

IV.4.2- KẾT QUẢ 62

IV.4.3- NHẬN XÉT 63

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

PHỤ LỤC 67

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

1 OWA Ordered Weighted Averaging

2 LOWA Linguistic Ordered Weighted Averaging

3 FCS Fuzzy Collective Solution

DANH MỤC CÁC BẢNG

1 Bảng I.2 Quan hệ giữa t-chuẩn T và t-đối chuẩn S

2 Bảng IV.4-1 Bộ số liệu về các chỉ tiêu

3 Bảng IV.4-2 Bộ số liệu về các chuyên gia

4 Bảng IV.4-3 Bộ số liệu về các dự án

5 Bảng IV.4-4 Bộ số liệu về các nhãn

6 Bảng phụ lục Bảng số liệu ý kiến chuyên gia

DA NH MỤC CÁC HèNH VẼ, ĐỒ THỊ

1 Hỡnh TQ-1 Mô hình bài toán quyết định tập thể

2 Hỡnh TQ-2 Mô hình bài toán quyết định tập thể với bộ ý kiến

đánh giá cho bằng số

3 Hỡnh TQ-3 Mô hình bài toán quyết định tập thể với bộ ý kiến

đánh giá cho bằng từ

4 Hỡnh TQ-4 Qui trình tổng hợp

5 Hỡnh TQ-5 Qui trình tổng hợp của nhóm F Herrera

6 Hỡnh TQ-6 Qui trình tổng hợp của nhóm PGS TSKH Bùi Công

Cường

7 Hỡnh I.1 Hệ thống MISO

8 Hỡnh II.1 Mối liờn hệ giữa toỏn tử OWA và t-chuẩn và t-đối

chuẩn

9 Hỡnh II.2 Đồ thị hàm liờn thuộc nhón đỏnh giỏ

10 Hình IV.3-1 Giao diện chớnh của ứng dụng

11 Hình IV.3-2 Giao diện nhập thụng tin cỏc chỉ tiờu

12 Hình IV.3-3 Giao diện nhập thụng tin cỏc chuyờn gia

13 Hình IV.3-4 Giao diện nhập thụng tin cỏc dự ỏn

14 Hình IV.3-5 Giao diện nhập thụng tin cỏc nhón

15 Hình IV.3-6 Giao diện nhập thụng tin cho bởi ý kiến chuyờn gia

16 Hình IV.4 Kết quả chạy chương trỡnh

MỞ ĐẦU

Quá trình tích hợp thông tin xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng của các

hệ tri thức, ví dụ tích hợp trong mạng nơron, điều kiển mờ, hệ chuyên gia và

hệ trợ giúp quyết định, đặc biệt trong các bài toán phải xử lý những thông tin bất định R.Yager đã giới thiệu một kĩ thuật tích hợp mới đặt cơ sở trên toán

tử trung bình có sắp xếp (OWA) Toán tử OWA này chỉ định nghĩa trên các vectơ số thực, tuy nhiên như chúng ta sẽ thấy toán tử này có thể suy rộng để phát huy thế mạnh của nó trong các hệ tri thức Đặc biệt, toán tử OWA đã được ứng dụng có hiệu quả trong các bài toán quyết định tập thể

Thêm vào đó, việc ứng dụng lý thuyết mờ trong thực tế ngày càng trở nên phổ biến Thực tế cho thấy ứng dụng lý thuyết mờ là ứng dụng công nghệ cao và hiện đại, đưa quá trình phát triển khoa học gần với thực tế hơn Ngày nay việc tích hợp thông tin dưới dạng từ càng trở nên cần thiết, có rất nhiều lý thuyết khoa học được ứng dụng để tiến hành quá trình này và lĩnh vực lý thuyết mờ cũng đã được ứng dụng vào quá trình này bằng cách chuyển các thông tin ở dạng từ sang dạng số mờ Chính vì thế, một phát triển của toán tử OWA: Toán tử LOWA, là sự kết hợp của tri thức cho ta một công cụ được sử dụng trong việc tích hợp ngôn ngữ phục vụ cho việc tích hợp các ý kiến chuyên gia được cho bằng từ

Trong luận văn này, tác giả đề cập đến việc sử dụng toán tử LOWA và Nghiệm tập thể mờ FCS như thế nào trong các giai đoạn tổng hợp thông tin

mờ Với cấu trúc của luận văn bao gồm:

• Phần Tổng quan

• Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản sử dụng trong luận văn

• Chương II trình bày vấn đề cơ sở của luận văn này, bao gồm: Toán

tử OWA, toán tử LOWA và một số ứng dụng của toán tử này

• Chương III trình bày vấn đề nghiên cứu: Nghiệm tập thể mờ và ứng dụng trong thực tiễn

• Chương IV giới thiệu một công cụ phần mềm tính toán để xử lý các bài toán trong ứng dụng thực tiễn của đề tài

TỔNG QUAN

Để xử lý thông tin trong các hệ tri thức cũng như trong nhiều bài toán thực tiễn chúng ta cần tới các toán tử tích hợp cho giá trị trên tập từ như vẫn thường dùng trong ngôn ngữ đời thường Để dễ hình dung chúng ta xét mô hình bài toán quyết định tập thể:

Hình TQ-1: Mô hình bài toán quyết định tập thể

Thông thường khi xem xét , đánh giá các dự án trước tiên người ta quan tâm tới một số chỉ tiêu định lượng Ví dụ chỉ tiêu : Tổng vốn đầu tư, Thời gian hoàn vốn Hay như các chỉ tiêu thường được nhắc trong các bài giảng về quản

lý dự án như : Tỷ suất nội hoàn IRR (Internal Rate of Return ) Bên cạnh các chỉ tiêu định lượng , chẳng hạn với các dự án công nghệ thông tin, người ta vần thường xuyên nhắc tới một số chỉ tiêu định tính như : Độ may rủi (Potential Risk) , Tính khả thi (Feasibility), Độ tương thích ( Suitability ), v.v

Đã có những Hội đồng mong muốn các cố vấn cho đánh giá bằng số về các chỉ tiêu định tính này Chẵng hạn họ muốn các chuyên gia phát biểu dưới dạng : ‘ độ khả thi của dự án A4 là 35% ', hay ‘ độ may rủi của dự án A2 là 25% ' Đó là một mong muốn chẵng thể nào thực hiện được một cách nghiêm túc

Hình TQ-2: Mô hình bài toán quyết định tập thể

với bộ ý kiến đánh giá cho bằng số Một cách tiếp cận khoa học, khách quan, tương đối dễ thực hiện là để các cố vấn – chuyên gia phát biểu bằng từ như vẫn dùng trong ngôn ngữ thông thường Ví dụ với chỉ tiêu ‘Độ may rủi ‘ có thể chọn tập nhãn S sau

đây để các chuyên gia lựa chọn phát biểu:

S = {hầu như không, rất thấp , thấp , trung bình , cao, khá cao, rất cao }

Cùng với các cách tính toán truyền thống thông qua các công thức , các mô hình chặt chẽ, rõ ràng, cần bổ sung các cách thu thập và tính toán với thông tin từ nhiều nguồn ,đặc biệt từ thu thập ý kiến đánh giá, kinh nghiệm của các cố vấn - chuyên gia Chấp nhận và tổ chức tốt để thu nhận được những đánh giá cho bằng từ vẫn dùng trong ngôn ngữ thông thường Ví dụ để

ước lượng ‘độ may rủi ‘ của các dự án công nghệ thông tin ta xét tới bộ 3 các chỉ tiêu sau :

Bộ các ý kiến

đánh giá = Số

HìnhTQ- 3: Mô hình bài toán quyết định tập thể

với bộ ý kiến đánh giá cho bằng từ

Với việc biểu diễn những từ này dưới dạng các số mờ có hàm thuộc dạng hình thang việc tổng hợp ý kiến dưới dạng từ trở nên rõ ràng hơn và ý kiến phát biểu của các chuyên gia bây giờ có thể trực tiếp cho bằng từ

Vấn đề bây giờ là sử dụng công cụ tổng hợp nào

Việc tổng hợp ý kiến chuyên gia được chia ra làm 2 giai đoạn: Khai thác, gom nhóm Mục đích của giai đoạn khai thác là tính toán độ trội của của từng ý kiến đã được đưa ra Mục đích của giai đoạn gom nhóm là tập hợp các thông tin riêng lẻ dạng từ có trọng số

HìnhTQ- 4: Qui trình tổng hợp

Sử dụng khái niệm tổ hợp lồi cảu J.Delgao, F Herrera và các cộng sự đã trình một lớp các toán tử LOWA trực tiếp suy rộng toán tử OWA và áp dụng vào bài toán lấy quyết định tập thể [13] F.Herrera sử dụng khái niệm 'Quatifier guide linguistic dominance degree' (QGLDD) Trong giai đoạn khai thác là giai đoạn tìm kiếm độ trội : Individual quantifier guided linguistic

Tập các lựa chọn

phát biểu

dominance degree (IQGLDD) - đây là độ trội của mỗi phần tử riêng lẻ theo các ý kiến chuyên gia và được ký hiệu: IQGLDDik và được xác định theo:

IQGLDDik = φQi (pk

ij; j = 1, ,n; j ≠ i) (TQ-1) Toán tử φQi chính là toán tử LOWA theo định nghĩa với trọng số là trọng số của các chuyên gia

Trong giai đoạn gom nhóm, họ tính toán độ trội: aggregated quantifier guided linguistic dominance degree (AQGLDD) được xác định bởi 2 thành phần: AQGLDDi1 - chứa độ trội, AQGLDDi2 - độ chấp nhận của độ trội tập hợp và được xác định:

(AQGLDDi1, AQGLDDi2) = WAO[(àE(k), IQGLDDik) k = 1, , m] (TQ-2)

Toán tử WAO có thể là một trong các toán tử sau: LWD, LWC, LWD Các toán tử này được định nghĩa như sau:

MAX

, , 1

MAX

, , 1

Neg(a) neu w

) , (

0

s

a w MIN

s a) MAX(w, neu

) , (

0

T

s

a w MIN

trong

a neu w

trong )

), ( (

a neu w

a w Neg MAX

s T

với : {(c1, a1), , (cm, am)} là bộ các đánh giá có trọng số của các chuyên gia E

= {e1, ., em}, ai thể hiện đánh giá của chuyên gia thứ i, ci là độ thuộc của chuyên gia i

Hình TQ-5: Qui trình tổng hợp của nhóm F Herrera

Với quá trình này, năm 1999, PGS TSKH Bùi Công Cường đưa ra định nghĩa Nghiệm tập thể mờ FCS [2] để đánh giá độ trội gộp, sử dụng thay cho

Độ trội của từng phương

Toán tử LOWA và hàm học trọng số Q1

Toán tử OWA và hàm học trọng số Q2

Gom nhóm Khai thác

toán tử mà nhóm nhóm F.Herrera đã sử dụng Phần này, tác giả của luận văn này trình bày chi tiết ở chương 3

Hình TQ-6: Qui trình tổng hợp của nhóm PGS TSKH Bùi Công Cường.

Và mô hình này đã được ứng dụng trong qui trình Quy hoạch nguồn

điện của Thạc sỹ Nguyễn Văn Điệp và PGS TSKH Bùi Công Cường [3] Với các dự án Quy hoạch nguồn điện được xây dựng dựa trên cơ sở giải các bài toán quy hoạch động ứng với một giai đoạn Tt nào đó, với và tập các chỉ tiêu, các chuyên gia dùng từ để đánh giá theo cặp phương án và các đánh giá đó

được biểu diễn bởi ma trận số liệu Dựa trên ma trận số liệu đó tiến hành tính toán để lựa chọn phương án phát triển nguồn điện bằng Mô hình lấy quyết

định nhiều mục tiêu mờ

Qua xem xét và đánh giá các công trình của nhóm F.Herrera, PGS.TSKH Bùi Công Cường và ứng dụng của Thạc sỹ Nguyễn Văn Điệp trong nghành điện, tác giả đã lựa chọn Mô hình lấy quyết định PGS.TSKH Bùi Công Cường để nghiên cứu, nắm bắt và đưa ra một chương trình ứng trên máy tính để xử lý thông tin trong các hệ tri thức

Độ trội của từng phương

Gom nhóm Khai thác

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.1- TẬP MỜ [1]

Định nghĩa I.1.1.2: Các phép toán đại số trên tập mờ

Cho A, B là 2 tập mờ trên không gian nền X, có các hàm thuộc µA, µB Khi đó phép hợp A ∪ B, phép giao A ∩ B là 2 tập mờ trên X với các hàm thuộc

µA∪B(x) = max{µA(x), µB(x)} (I.1-3a)

µA∩B(x) = min{µA(x), µB(x)} (I.1-3b)

và phép lấy phần bù AC là tập mờ với hàm thuộc μ (x) = 1 - µA C A(x)

Định nghĩa I.1.1.3: Số mờ

Tập M mờ trên đường thẳng số thực R1 là một số mờ, nếu

a) M chuẩn hóa, tức là có điểm x’ sao cho µM(x’) = 1,

b) Ứng với mỗi α ∈ R1, tập mức {x: µM(x) ≥ α} là đoạn đóng trên R1 Người ta thường dùng các số mờ dạng tam giác, hình thang và dạng hàm Gauss

I.1.2- NGUYÊN LÝ SUY RỘNG CỦA ZADEH

Định nghĩa I.1.2: Cho Ai là tập mờ với hàm µAi trên không gian nênd Xi, (i=1, 2, …, n) Khi ấy tích trực tiếp:

A = Ai x A2 x … x An là tập mờ trên không gian nền

X = X1 x X2 x … x Xn với hàm thuộc

µA(x) = min{µA1(x1), µA2(x2), …, µAn(xn) } (I.1-4)

trong đó x = (x1, x2, …, xn)

I.1.2.1- Nguyên lý suy rộng

Ta xét hệ thống ‘Multi In Single Out’ như hình vẽ sau:

Hình I.1: Hệ thống MISO Giả sử mỗi biến vào xi lấy giá trị Ai (i = 1, 2, …, n) với Ai là tập mờ trên không gian nền Xi với hàm thuộc µAi(xi) Hàm f: X → Y chuyển các giá trị đầu vào Ai thành giá trị đầu ra B Khi đó B sẽ là tập mờ trên Y với hàm thuộc µB(x) được tính theo công thức sau:

µµ

−

−

−

)(

)()

(:

)(), ,(

),(min(

max

yneuf

yneufy

fxxx

1

1 1

2 1

0

2 1

(I.1-5a)

ở đây f-1(y) = {x = (x1, x2, …, xn) ∈ X : f(x) = y} (I.1-5b)

I.1.2.2- Suy rộng phép cộng hai số mờ

Áp dụng nguyên nguyên lý suy rộng, chúng ta có thể cho ngay định nghĩa suy rộng phép cộng cho 2 số mờ bằng cách sử dụng hàm 2 biến:

ƒ

y là B

x1 là A1

xn là An

Z = f(x, y) = x + y (I.1-6)

Định nghĩa I.1.2.2:

Cho M, N là hai số mờ có hàm thuộc µM(x), µN(x) Khi đó cộng suy rộng M⊕N là tập mờ trên R1 có hàm thuộc xác định với mỗi số thực z cho bởi:

µM⊕N(z) = max {min(µM(x), µN(x) : x + y = z} (I.1-7)

Định lý I.1.2.2: Nếu M, N là hai số mờ hình thang thì M ⊕ N cũng là số mờ

đề Với mỗi mệnh đề P ∈ P, ta gán một giá trị v(P) là giá trị chân lý của mệnh

đề với v(P) ∈ [0, 1] Sau đây chúng ta đi vào các phép toán cơ bản nhất

c) T(x, y) ≤ T(u, v) với mọi x ≤ u, y ≤ v,

d) T(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z) với mọi 0 ≤ x, y, z ≤ 1

Từ những tiên đề trên chúng ta có thể suy ra ngay T(0, x) Tiên đề d) đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến

I.2.3- PHÉP TUYỂN

Định nghĩa I.2.3: Hàm S: [0, 1]2 → [0, 1] gọi là t-đối chuẩn nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

a) S(0, x) = x với mọi 0 ≤ x, y ≤ 1,

b) S(x, y) = S(y, x) với mọi 0 ≤ x, y ≤ 1,

c) S(x, y) ≤ S(u, v) với mọi 0 ≤ x ≤ u ≤ 1, 0 ≤ y ≤ v ≤ 1, d) S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) với mọi 0 ≤ x, y, z ≤ 1

Định lý I.2.3: Cho n là phép phủ định mạnh, t là một t-chuẩn, khi ấy hàm S

xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức

S(x, y) = nT(nx, ny) (I.2-1) với mọi 0 ≤ x, y ≤ 1, là một t-đối chuẩn

Chọn phép phủ định n(x) = 1 - x chúng ta có quan hệ giữa T và S như trong bảng

Bảng I.2: Quan hệ giữa t-chuẩn T và t-đối chuẩn S

+1yxÕu

1yxnÕun 0

y)min(x,

>+1yxÕu

1yxnÕun 1

y)max(x,

1y)max(x,nÕu

n 0

y)min(x,

0y)min(x,nÕu

n 1

y)max(x,

I.2.4- LUẬT DE MORGAN

Định nghĩa I.2.4: Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định chặt

Chúng ta nói bộ ba (T, S, n) là bộ 3 De Morgan nếu:

n(S(x, y)) = T(nx, ny) (I.2-2) I.2.5- PHÉP KÉO THEO

Định nghĩa I.2.5.1: Phép kéo theo là một hàm số I: [0, 1]2 → [0, 1] thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Nếu x ≤ z thì I(x, y) ≥ I(z, y) với mọi y ∈ [0, 1],

b) Nếu y ≤ u thì I(x, y) ≥ I(x, u) với mọi x ∈ [0, 1],

c) I(0, x) = 1 với mọi x ∈ [0, 1],

d) I(x, 1) = 0 với mọi x ∈ [0, 1],

e) I(1, 0) = 0

Để tính toán được ta cần dạng cụ thể của phép kéo theo Sau đây là một

số dạng hàm kéo theo, xây dựng dựa vào các phép toán logic mờ đã suy rộng

ở trên

Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định mạnh

Định nghĩa I.2.5.2: Hàm IS1(x, y) xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức

IS1(x, y) = S(n(x), y) (I.2-3)

Định lý I.2.5: Với bất kỳ t-chuẩn T, t-đối chuẩn S và phép phủ định mạnh n

nào thì IS1là một phép kéo theo thỏa mãn Định nghĩa II.2.5.2

Định nghĩa I.2.5.3: Cho (T, S, n) là bộ 3 De Morgan với n là phép phủ định

mạnh, phép kéo theo IS xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức

IS(x, y) = S(T(x, y), n(x)) (I.2-4)

I.3- QUAN HỆ MỜ

I.3.1- KHÁI NIỆM QUAN HỆ MỜ

Định nghĩa I.3.1.1: Cho X, Y là 2 không gian nền R là một quan hệ mờ trên

X x Y nếu R là một tập mờ trên X x Y, tức là nó có một hàm thuộc:

µR: X x Y → [0, 1] (I.3-1)

ở đây µR(x, y) = R(x, y) là độ thuộc của (x, y) vào quan hệ R

Định nghĩa I.3.1.2: Cho R1 và R2 là 2 quan hệ mờ trên X x Y, ta có định nghĩa

a) Quan hệ R1 ∪ R2 với

b) Quan hệ R1 ∩ R2với

Định nghĩa I.3.1.3: Quan hệ mờ trên tập mờ

Cho tập mờ A với µA(x) trên X, tập mờ B với µB(y) trên Y Quan hệ

mờ trên các tập A và B là quan hệ mờ R trên X x Y thỏa mãn điều kiện:

µR(x, y) ≤ µA(x) ∀ y ∈ Y (I.3-3a)

µR(x, y) ≤ µB(x) ∀ x ∈ X (I.3-3b)

Định nghĩa I.3.1.4: Cho quan hệ mờ R trên X x Y

Phép chiếu của R lên X là:

projXR = {x, maxyµR(x, y): x ∈ X} (I.3-4a) Phép chiếu của R lên Y là:

projYR = {y, maxxµR(x, y): y ∈ Y} (I.3-4b)

Định nghĩa I.3.1.5: Cho quan hệ mờ R trên X x Y Thác triển R trên không

gian tích X x Y x Z là

extXYZR = {(x, y, z), µext(x, y, z) = µR(x, y) ∀ z ∈ Z} (I.3-5)

I.3.2- PHÉP HỢP THÀNH

Định nghĩa I.3.2.1: R1 là quan hệ mờ trên X x Y và R2 là quan hệ mờ trên Y

x Z Hợp thành R1° R2của R1, R2là quan hệ mờ trên X x Z

a) Hợp thành max - min được xác định bởi

b) Hợp thành max - prod cho bởi

c) Hợp thành max - * được xác định bởi toán tử *: [0, 1]2 → [0, 1]

Giả thiết (T, S, n) là bộ ba De Morgan, trong đó T là t-chuẩn, S là t-đối

chuẩn, n là phép phủ định

Định nghĩa I.3.2.2: Cho R1, R2 là quan hệ mờ trên X x X, phép T-tích hợp thành cho một quan hệ R1°TR2trên X x X xác định bởi

R1°TR2(x, z) = supy∈XT(R1(x, y), R2(y, z)) (I.3-7)

Định lý I.3.2: Cho R1, R2, R3 là quan hệ mờ trên X x X, khi đó:

a) R1°T (R2°TR3) = (R1°TR2 )°T R3

b) Nếu R1 ⊆ R2 thì R1°TR3 ⊆ R2°T R3 và R3°TR1 ⊆ R3°T R2

I.3.3- TÍNH CHUYỂN TIẾP

Định nghĩa I.3.3: Quan hệ mờ R trên X x X gọi là:

a) min-chuyển tiếp yếu nếu

min{R(x, y), R(y, z)} ≤ R(x, z) ∀ x, y, z ∈ X b) chuyển tiếp yếu nếu ∀ x, y, z ∈ X có

R(x, y) > R(y, z) và R(y, z) > R(z, y) thì R(x, z) > R(z, x)

c) chuyển tiếp tham số nếu có một số 0 < θ < 1 sao cho:

nếu R(x, y) > θ > R(y, z) và R(y, z) > θ > R(z, y) thì R(x, z) > θ > R(z, x) ∀ x, y, z ∈ X

Định lý I.3.3:

a) Nếu R là quan hệ có tính chất min-chuyển tiếp thì R là quan hệ mờ

có tính chất chuyển tiếp tham số với mọi 0 < θ < 1

b) Nếu R là quan hệ có tính chất chuyển tiếp tham số thì R là quan hệ

mờ có tính chất chuyển tiếp yếu

CHƯƠNG II: MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ TRUNG BÌNH

II.1- TOÁN TỬ TRUNG BÌNH TRỌNG SỐ CÓ SẮP XẾP (OWA) [1,8,9.10,12]

II.1.1- ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ OWA

II.1.1.2- Một số tính chất

Tính chất II.1.1.2.1: Tính hoán vị

Đặt (a1, a2, …, an) là một gói cần tích hợp, và (d1, d2, …, dn) là một trong các hoán vị của các ai, khi ấy

F(a1, a2, …, an) = F (d1, d2, …, dn) (II.1-2)

Tính chất II.1.1.2.2: Tính đơn điệu

Cho ai và cilà các phần tử được chọn lựa của tích hợp

Nếu ai ≥ ci, với mỗi i = 1, 2, …, n, thì:

F(a1, a2, …, an) ≥ F (c1, c2, …, cn) (II.1-3) Trong đó, toán tử OWA – F có trọng số w cố định

Tính chất II.1.1.2.3: Tính lũy đẳng

Nếu a = a với mọi i thì F(a , a , …, a ) = a

II.1.1.3- Hai độ đo quan trọng gắn với toán tử OWA

Định nghĩa II.1.1.3.1: Độ phân tán

Độ phân tán hay entropy của vectơ w được xác định bởi Disp(w) =

-∑iwilnwi

Khi sử dụng toán tử OWA như là một toán tử trung bình thì Disp(w)=ln(n) chính là mức độ khi ta sử dụng tất cả các phần tử tích hợp bằng nhau, khi đó giá trị của độ đo lag lớn nhất

Định nghĩa II.1.1.3.2: Độ đo tính tuyển và độ đo tính hội

a) Độ đo tính tuyển (orness) của một vectơ w được cho bởi:

i

i)w(n1n

1

(II.1-4) b) Độ đo tính hội (andness) của vectơ w được định nghĩa:

andness(w) = 1- orness(w) (II.1-5) Nói chung, các độ đo này sẽ đánh giá toán tử OWA với nhiều trọng số gần đỉnh hơn sẽ là toán tử “orlike” (giống toán tử tuyển “or”) và khi đó orness(w) ≥ 0.5

Khi các trọng số là khác 0 và gần với đáy thì toán tử OWA được gọi là giống toán tử hội “andlike”, khi đó orness ≤ 0.5

Định lý sau đây minh họa đặc tính này

Định lý II.1.1.3: Nếu w và w’ là hai vectơ OWA có n thứ nguyên và với ∆>0,

i)w(n1n

1n1

= orness(w’) +

1n

1

− ∆(k - j)

Vì k > j nên orness(w) > orness(w’)

Định lý này chỉ ra rằng, nếu chúng ta chuyển trọng số của vectơ w lên thì chúng ta sẽ làm tăng orness(w), khi chuyển trọng số xuống thì làm giảm orness(w)

II.1.2- ĐỐI NGẪU CỦA TOÁN TỬ OWA

= (1 - wi)/(n-1)

Trong biến đổi này chúng ta làm cho mỗi wiphân tán đều trong khoảng

n – 1 vị trí còn lại ở dạng các trọng số của vectơ mới

Nếu wi = 1/n thì wi

= (1 – 1/n)/(n-1) = 1/n

wi)(n1n

i

n

wi

n

11

in

)

11

in

1

− orness(F)

12

1)(

)

(

−

−n

nn

- 1n

II.1.2.2- Độ trội

Định nghĩa II.1.2.2: Cho F là toán tử OWA với trọng số w

a) F có độ trội nếu các trọng số thỏa mãn điều kiện: wi ≥ wj với mọi i < j b) F có độ trội mở rộng nếu như điều kiện là chặt theo nghĩa wi > wj với mọi i < j

Định lý II.1.2.2: Nếu F có độ trội thì orness(F) ≥ 0.5

i

i)w(n1n

i

i)w(n1n

1

-

21

mà ∑iwi = 1, vậy

2

1∑iwi =

21

, nên:

i)w(n1n

in

−

+

−n

in

−

+

−n

in

−

++

−

−n

in

−

−+

−n

in

= q-i Trường hợp n chẵn, ta có n = 2m và khi ấy i = a, a ≤ m

a n a

a w wq

1

1 )

21

−

+

−n

a n a

a w wq

1

1 )

( + qm+1wm+1 ≥

21

vì qm+1 =

)(

)(

12

112

12

−

++

−+n

mm

j i

w

1

với i = 1, 2, …, n-1 (II.1-6)

II.1.3- NGỮ NGHĨA KẾT HỢP VỚI TOÁN TỬ OWA

II.1.3.1- Toán tử OWA được coi là toán tử trung bình

Ở đây độ phân tán Disp(w) chỉ ra lượng biến thông tin được sử dụng trong quá trình tính trung bình

Với phép lấy trung bình thông thường thì orness(w) = 0.5, do đó chúng

ta có thể sử dụng độ đo orness để xác định độ chệch khỏi trung bình:

Từ định nghĩa của Bias(w), cho ta nhận xét sau:

Bias(w) > 0: giá trị cao hơn được nhấn mạnh

Bias(w) < 0: giá trị thấp hơn được nhấn mạnh

Bias(w) > 0: không nhấn mạnh giá trị nào

Độ chệch này cùng với giá trị độ phân tán cho chúng ta một hình ảnh tốt và toán tử được thể hiện

II.1.3.2- Toán tử OWA được coi là một phân phối xác suất đặc biệt

Do wi ∈ [0, 1] và ∑iwi= 1, rõ ràng trọng số của toán tử OWA có những tính chất của một phân phối xác suất

Giả sử, chúng ta có một quyết định cần đưa ra Ứng với mỗi phương án lựa chọn có một tập các kết quả xảy ra A = {a1, a2, …, an} Trên A xác định phân phối xác suất P, với pi là xác suất mà kết quả thứ i xảy ra tốt nhất

Gọi V là giá trị của một phương án thì:

V = F (a1, a2, …, an) (II.1-8) Trong đó, F là toán tử OWA với trọng số wi = pi

Nếu wn = pn = 1 thì giả sử rằng khả năng tồi nhất sẽ xảy ra, sự lựa chọn này của toán tử OWA chính là kỹ thuật Max, Min

Trong môi trường lấy quyết định, chúng ta sẽ thấy rằng độ phân tán có thể được hiểu như entropi của phân phối xác suất Hơn nữa, độ orness của W

có thể như là độ lạc quan của quyết định, trong đó độ andness là chỉ tiêu về độ

−

−

−+α

nwn

11

11

11

1

II.1.3.3- Toán tử OWA được sử dụng trong lý thuyết tập mờ

Nếu A và B là 2 tập mờ của x, ta có với mỗi x ∈ X, thì độ thuộc A(x), B(x) có thể được xác định bởi những số trong khoảng [0, 1] Khi đó phép giao

E = A ∩ B và phép hợp F = A ∪ B được định nghĩa bằng:

E(x) = T(A(x), B(x)) (II.1-10a) F(x) = S(A(x), B(x)) (II.1-10b) Trong đó T và S là cặp toán tử t-chuẩn và t-đối chuẩn Các toán tử này

là họ toán tử cần thiết của logic đa trị “and” và “or”

Vậy Min là phép hội thuần túy và Max là phép tuyển thuần túy nhỏ nhất

Hình II.1: Mối liên hệ giữa toán tử OWA và t-chuẩn và t-đối chuẩn Chúng ta thấy rằng toán tử OWA cung cấp sự biến đổi liên tục từ “pure and” tới “pure or” Trong quá trình này orness đo mức độ toán tử là ‘orlike’

hoặc ‘and like’ Nếu orness lớn hơn 0.5 thì toán tử đó là ‘orlike’ còn nếu nhỏ hơn 0.5 thì toán tử dó là ‘andlike’

Max Min

II.1.3.4- Vai trò của toán tử OWA trong việc lượng tử hóa ngôn ngữ

Theo logic cổ điển có 2 lượng hóa quen thuộc, đó là “có tồn tại” và

“với mọi” Trong ngôn ngữ tự nhiên chúng ta sử dụng rất nhiều lượng tử hóa khác “mờ hơn” như: hầu hết, một ít, đa số, gần một nửa, … Zadeh cho rằng việc lượng hóa tất cả những gì chúng ta dùng trong ngôn ngữ thông thường đều có thể làm được bằng những tập mờ trong một khoảng nào đó

Do vậy, nếu Q là một lượng tử, ví dụ là “đa số” thì Q có thể được thể hiện dưới một tập mờ của L trong đó với mỗi r ∈ L thì Q(r) sẽ chỉ ra mức độ của vị trí r được thỏa mãn bởi nội dung được định nghĩa ở Q, do vậy nếu Q là

“đa số” thì Q(0.8) = 1 chúng ta sẽ nói rằng 80% là hoàn toàn thỏa mãn với ý định đưa ra bởi sự lượng hóa “đa số”

II.1.4- CÁCH XÁC ĐỊNH TRỌNG SỐ w

Chúng ta đều nhận thấy việc chọn vecto w có ý nghĩa rất quan trọng Sau đây là hai cách xcs định vecto trọng số

II.1.4.1- Xác định qua các lượng tử mờ Q

Hãy xét bài toán thực tiẽn sau: Cho tập phương án x và một tập các tiêu chuẩn, những tiêu chuẩn này được biểu diễn như các tập mờ trên X, với độ thuộc Ai(x), theo tiêu chuẩn thứ i

Ta đánh giá giá trị chân lý v(P) của mệnh đề mờ P sau:

P = “x thỏa mãn đa số các tiêu chuẩn”

R.Yager đã đề nghị thuật toán tính v(P) với mỗi phương án x

Thuật toán II.1.4.1: Thuật toán đánh giá v(P)

Cố định phương án x, thực hiện các bước:

Bước 1: Xác định định lượng “đa số” bằng một hàm Q đơn điệu không

giảm trên [0,1], thỏa mãn điều kiện Q(0) = 0, Q(1) =1

Bước 2: Với mỗi tiêu chuẩn Ai tính ai = Ai(x), i = 1, 2, …, n

Bước 3: Xác định wi = Q(i/n) – Q((i-1)/n)

Bước 4: Đánh giá v(P) của mệnh đề P bằng sử dụng toán tử OWA với

vecto a và w vừa xác định

II.1.4.2- Học trọng số w từ dữ liệu

Filev và Yager trong đã giới thiệu một thuật toán học ytọng số w từ mẫu dữ liệu Kỹ này chịu ảnh của các thuật học trong mạng noron nhân tạo và cũng dựa vào phương pháp tụt gradient

Giả sử, ta có m mẫu dữ liệu dạng vecto n chiều:

ak = (ak1, ak2, …, akn) và một giá trị gộp dk, với k = 1, 2, …, m

Mục đích là sử dụng toán tử OWA để mô hình hóa vấn đề gộp này Vấn đề trở thành bài toán xác định vecto w thích hợp - vậy đây làbài toán học trọng số w từ mẫu dữ liệu

Gọi bk = (bk1, bk2, …, bkn) là vecto dữ liệu đã sắp xếp Hạy tìm w = (w1,

w2, …, wn) sao cho:

bk1w1 + bk2w2 + … + bknwn = dk (II.1-11) với k = 1, 2, …, m

Phương pháp giải là phép lặp sao cho đạt min sai số:

ek =

2

1

(bk1w1 + bk2w2 + … + bknwn - dk)2 (II.1-12)

Thuật toán II.1.4.2: Thuật toán được tính lặp theo t

Bước 1: Tại bước lặp t, ta đang có giá trị tham số u, ui(t) và một quan sát mới: bk = (bk1, bk2, …, bkn) cùng với giá trị gộp dk