TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊNTỔ TỰ NHIÊN 1 MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC A... Tính diện tích tam giác ABC... Tính diện tích tam giác HIK.
Trang 1TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN
TỔ TỰ NHIÊN 1
MỘT SỐ SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI TOÁN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC
A BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN
T
T
1) Tìm x để biểu thức P ≥ a hoặc P ≤ a, P > a, P < a
Ví dụ 1: Cho P =
với x ≥ 0, x ≠ 1
Tìm x để biểu thức P ≥ 1
Sai sót 1:
Sai sót 2:
Ví dụ 2: Cho A =
với x ≥ 0, x ≠ 4
Tìm x để biểu thức
Sai sót 1:
Điều kiện để có nghĩa là:
Trang 2Sai sót 2:
Mà x ≥ 0, x ≠ 4 0 ≤ x ≤
Mà x ≥ 0, x ≠ 4 (3)
Từ (1)(2)(3)
Các bài tập tương tự
x ≥ 0, x ≠ 1
2) Tìm giá trị của tham số để phương trình hoặc bất phương trình có nghiệm
Ví dụ 1: Biết A =
với x ≥ 0, x ≠ 1
Tìm m để A = m có nghiệm x.
Sai sót 1:
Vì
Sai sót 2:
Vì
Vì x ≠ 1
Trang 3Vì
Vậy m ≥ 0; m ≠ 2
Ví dụ 2: Biết A =
với x ≥ 0, x ≠
Tìm m để A = m có nghiệm x.
Đặt t = (1) t2 + (1 – 3m)t + m = 0 (2)
= (1 – 3m)2 – 4m
Sai sót 1:
(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm
= (1 – 3m)2 – 4m ≥ 0
(m – 1)(9m – 1) ≥ 0
Sai sót 2:
(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm cùng không âm
Sai sót 2:
Đặt t = (1) t2 + (1 – 3m)t + m = 0 (2)
Vì a = 1 ≠ 0 (2) luôn là pt bậc 2
= (1 – 3m)2 – 4m = (m – 1)(9m – 1) (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm ít
TH1: Phương trình (2) có nghiệm
t = 0 m = 0
Trang 4 = (1 – 3m)2 – 4m ≥ 0
(m – 1)(9m – 1) ≥ 0
TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép
= 0 (m – 1)(9m – 1) = 0 Khi đó, phương trình có 2 nghiệm t1, t2
Vì
(**) Kết hợp (*) và (**) m ≥ 1
Sai sót 3: Phương trình có ít nhất 1 nghiệm
không âm
TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép t ≥ 0
= 0 (m – 1)(9m – 1) = 0
Với m = 1 t = 1 (TMĐK)
TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái
dấu ac < 0 m < 0
TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm phân
biệt cùng dương
Với m = 1 t = 1 (TMĐK) TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu và
TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dương
Trang 5
Các bài tập tương tự
Bài 3: Biết P = với
x ≥ 0, x ≠ 1
Tìm m để P = m có nghiệm x
Bài 4: Biết P = với x ≥ 0, x ≠ 1
Bài 5: Biết P = với x ≥ 0, x ≠ 1
nghiệm x
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL
1) Tìm m thỏa mãn số nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: Cho phương trình
x2 – 2mx + m2 – m + 3 = 0
Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 và tìm giá trị
nhỏ nhất của A =
Sai sót 1: Phương trình có hai nghiệm
x1; x2 ’ > 0 m2 – (m2 – m + 3) > 0
… m > 3
Sai sót 2: Phương trình có hai nghiệm
x1; x2 ’ ≥ 0 … m ≥ 3
Theo Viet ta có:
Phương trình có hai nghiệm
x1; x2
’ ≥ 0 m2 – (m2 – m + 3) ≥ 0
… m ≥ 3
Theo Viet ta có:
Trang 6A =
= … =
Vì
A =
= … =
Vì m ≥ 3
Ví dụ 2: Cho phương trình
(m +1)x2 – 2(m–1)x+m+3 = 0
Tìm m để phương trình có 1
nghiệm x < 0
Sai sót 1: Phương trình chỉ có 1 nghiệm
x < 0 nên nghiệm còn lại là x > 0
phương trình có hai nghiệm trái dấu
ac < 0 (m + 1)(m + 3) < 0
… –3 < m < –1
Sai sót 2:
TH1: Phương trình có nghiệm kép x < 0
’ = 0 (m – 1)2 – (m + 1)(m + 3) = 0
… m = Khi đó phương trình có nghiệm
Xét: m + 1 = 0 m = –1
Khi đó ta được phương trình:
–2(m – 1)x + m + 3 = 0 4x + 2 = 0
Xét: m + 1 ≠ 0 m ≠ 1 TH1: P.trình có nghiệm kép x < 0
’ = 0
(m – 1)2 – (m + 1)(m + 3) = 0
… m = Khi đó phương trình có nghiệm
Trang 7x1 = x2 = m – 1 = (TMĐK) TH2: Phương trình chỉ có 1 nghiệm x < 0 nên nghiệm còn lại là x > 0
phương trình có hai nghiệm trái dấu
ac < 0 (m + 1)(m + 3) < 0
… –3 < m < –1 Kết hợp lại ta có: –3 < m < –1; m =
x1 = x2 = m – 1 = (TMĐK) TH2: P.trình có hai nghiệm trái dấu
ac < 0 (m + 1)(m + 3) < 0
… –3 < m < –1 Kết hợp lại với các giá trị m cần tìm là: –3 < m < –1; m =
Ví dụ 3: Cho phương trình
x2 + 2(m–1)x – m – 3 = 0(*)Tì
m tất cả các giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm
Xét ’ = (m – 1)2 + m + 3 = m2 – m + 4
Dễ dàng chứng minh được ’ > 0 với mọi
m phương trình có hai nghiệm phân biệt
với mọi m.
Sai sót 1: Học sinh không lý luận đưa ra
Vì a = 1 ≠ 0 xét
’ = (m – 1)2 + m + 3 = m2 – m + 4
Dễ dàng chứng minh được ’ > 0 với
mọi m phương trình có hai nghiệm
phân biệt với mọi m.
phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 ≤
1 < x2
luôn: Phương trình có hai nghiệm Vì x1 ≤ 1 < x2
TH1: Tìm m để x1 = 1; x2 > 1
x1 = 1 12 + 2(m – 1).1 – m – 3 = 0
m = 4 (*) x2 + 6m – 7 = 0
TH2: Tìm m để x1 < 1; x2 > 1
x1 – 1< 0; x2 – 1 > 0
(x1 – 1)(x2 – 1) < 0
Trang 8Sai sót 2: Vì x1 ≤ 1 < x2 x1 < x2
Phương trình có hai nghiệm:
(Không xét các dấu
x1x2 – (x1 + x2) + 1 < 0
Theo Viet:
(1)(2) –m – 3 + 2(m – 1) + 1 < 0
m – 4 < 0 m < 4 Vậy với m < 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
x1 ≤ 1 < x2
của 2 vế trước khi bình phương)
Sai sót 3: Vì x1 ≤ 1 < x2
x1–1 ≤ 0, x2 –1> 0 (x1 –1)(x2 – 1) ≤ 0
x1x2 – (x1 + x2) + 1 ≤ 0
Trang 9Theo Viet:
(1)(2) –m – 3 + 2(m – 1) + 1 ≤ 0
m – 4 ≤ 0 m ≤ 4 Các bài tập tương tự:
Bài 4: Tìm m để phương trình
(m + 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0
có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: x2 + (m + 2)x – m – 4 = 0 Tìm tất cả
các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
x1 ≤ 0 < x2
(Đề khảo sát chất lượng môn Toán lớp 9 năm học 2015 – 2016 của Phòng Giáo dục
và Đào tạo quận Hoàn Kiếm)
Bài 6: Tìm m để phương trình
x4 – (2m – 1)x2 + 2m – 2 = 0 có hai
nghiệm phân biệt (Đề thi thử vào lớp 10 năm học 2018 –
2019 của trường THCS và THPT Lương Thế Vinh)
2) Quan hệ giữa đường thẳng và parabol
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
(d): y = 2x + m2 – 1 và
parabol (P):
Vẽ hình
Dễ dàng tìm được m ≠ 0 thì (d) cắt (P) tại
2 điểm phân biệt A, B
Vẽ hình
Dễ dàng tìm được m ≠ 0 thì (d) cắt (P)
tại 2 điểm phân biệt A, B
y = x2 (với m là tham số)
trong mặt phẳng tọa độ Oxy
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A và B.
b) Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A, B
trên trục hoành Tìm m để độ
Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B
Sai sót 1:
HK = HO + OK
HO = |x1|; OK = |x2| HK = |x1| + |x2| …
Sai sót 2: ’ = m2 Phương trình có hai
Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của A, B
Cách 1: ’ = m2 Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai
nghiệm
Trang 10dài đoạn thẳng HK bằng 3
(đơn vị độ dài)
(Đề thi học kì II môn Toán
lớp 9 năm học 2017 – 2018
của Phòng Giáo dục và Đào
tạo quận Hoàn Kiếm)
nghiệm
HK = x2 – x1 = 1 + m – 1 + m = 2m = 3
m =
HK = |x2 – x1| = |1 + m – 1 + m|
= |2m| = 3 m =
Cách 2: Theo Viet:
HK = |x1 – x2| = 3
(x1 + x2)2 – 4x1x2 = 9 m = Kết luận…
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa
độ cho Parabol (P): y = x2 và
đường thẳng (d): y = 2x + 3
a) Tìm tọa độ các giao điểm
của (d) và (P).
b) Gọi A, B là giao điểm của
(d) và (P) Lấy điểm C thuộc
Parabol (P) có hoành độ bằng
2 Tính diện tích tam giác
ABC.
Vẽ hình
Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của
(d) và (P) là (–1;1); (3;9)
Sai sót 1: C(2;0)
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành.
…
Sai sót 2: Vì C (P) C(2;4)
Vẽ hình
Dễ dàng tìm được tọa độ giao điểm của
(d) và (P) là (–1;1); (3;9)
Vì C (P) C(2;4) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành.
H (–1;0); I(2;0); K(3;0)
(Đề khảo sát chất lượng môn
Toán lớp 9 năm học 2017 –
2018 của trường THCS Ngô
Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C, B trên trục hoành.
AH = |yA| = |1| = 1;
CI = |yC| = |4| = 4;
BK = |yB| = |9| = 9;
Trang 11Sĩ Liên – Hoàn Kiếm)
Không lý luận, đưa ra luôn kết quả
(đvdt)
HI = |xI – xH| = |2 – (–1)| = 3;
IK|xK – xI| = |3 – (–1)| = 4;
Lý luận chứng minh ABHK, AHIC, BKIC là các hình thang vuông
(đvdt) Các bài tập tương tự
Bài 3: Cho đường thẳng (d): y
= x – m + 1 (với m là tham số)
và parabol (P): y = x2 trong
mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm m
để (d) cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2)
sao cho một trong hai giao
điểm có hoành độ lớn hơn 1
và y1 + y2 = 4(x1 + x2)
Bài 4: Cho đường thẳng (d): y = mx+m+1
và parabol (P): y = x2 (với m là tham số) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(xA; yA) và B(xB; yB)
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK bằng 4 (đơn vị độ dài) c) Tìm m để |xA| + |xB| = 4
Bài 5: Cho đường thẳng (d) đi qua I(0;2)
có hệ số góc m và parabol (P): y = x2
trong mặt phẳng tọa độ Oxy a) Chứng minh (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(xA; yA) và B(xB; yB)
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tính diện tích tam giác HIK.