Từ đó ta có đpcm.
Trang 1Học
Sơ
Cấp
? Tuyển chọn bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10
? Môn Toán
Câu 1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ 2; b ≥ 5; c ≥ 5 và 2a2+ b2+ c2 = 69
Tính giá trị nhỏ nhất của P = 12a + 13b + 11c
Hướng dẫn giải
Đặt
a = 2 + x
b = 5 + y
c = 5 + z
Khi đó từ giả thiết ta có
2x2+ y2+ z2+ 8x + 10y + 10z = 11 (∗)
Giả sử max{y, z} > 1 Nếu x, y, z > 1 thì V T (∗) > 11
Suy ra 0 ≤ y, z ≤ 1
Từ (∗) ta có x < 2 vì nếu trái lại thì V T (∗) ≥ 2.22+ 8.2 > 11
Khi đó ta có
4x ≥ 2x2 3y ≥ y2
z ≥ z2
⇒ 4x + 3y + z ≥ 2x2+ y2+ z2
⇒ 12x + 13y + 11z ≥ 2x2+ y2+ z2+ 8x + 10y + 10z = 11
Suy ra P = 12a + 13b + 11c = 12x + 13y + 11z + 144 ≥ 11 + 144 = 155
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 155 khi
a = 2
b = 5
c = 6
Câu 2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x > y và xy = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = 2x
2− 3xy + 2y2
x − y .
Hướng dẫn giải
Nhận xét
Cho hai số dương a, b ta có a + b − 2√
ab = √
a −√
b2 ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2√ab, đẳng thức xảy ra khi a = b
M = 2x
2− 3xy + 2y2
x − y =
2(x − y)2+ xy
x − y
Do x > y và xy = 2 nên
M = 2
Ç
(x − y) + 1
x − y
å
≥ 4
s
(x − y) 1
x − y = 4.
Trang 2Học
Sơ
Cấp
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
xy = 2
x − y = 1
x − y
x > y
⇔
xy = 2
x − y = 1
⇔
x = y + 1
y2+ y − 2 = 0
⇔
y = 1, x = 2
y = −2, x = −1
Kết luận: min M = 4 khi
x = 2, y = 1
x = −1, y = −2
Câu 3. Cho các số thực a, b ≥ 0, 0 ≤ c ≤ 1 và a2+ b2+ c2 = 3
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = ab + bc + ca + 3(a + b + c)
Hướng dẫn giải
Ta có
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2−Ä
a2+ b2+ c2ä= (a + b + c)2− 3 nên
2P = (a + b + c)2+ 6(a + b + c) − 3
Từ đánh giá quen thuộc (a + b + c)2 ≤ 3Ä
a2+ b2+ c2ä⇒ a + b + c ≤ 3 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
Ta cũng có (a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2 (ab + bc + ca) ≥ a2+ b2+ c2 = 3 ⇒ a + b + c ≥√
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c = 0 và một trong hai số a hoặc b bằng 0
Từ đó suy ra 6√
3 ≤ 2P ≤ 24 hay 3√
3 ≤ P ≤ 12
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 12 tại a = b = c = 1 và giá trị nhỏ nhất của P bằng 3√
3 tại a = √
3, b = c = 0 hoặc a = c = 0, b =√
3
Câu 4. Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác
a) Chứng minh rằng khi đó√
a,√
b,√
c cũng là số đo 3 cạnh của một tam giác nào đó
b) Chứng minh rằng (a + b)√
ab + (a + c)√
ac + (b + c)√
bc > (a + b + c)
2
2 .
Hướng dẫn giải
a) Giả sử c là cạnh lớn nhất trong tam giác, theo bất đẳng thức về độ dài 3 cạnh của một tam giác ta có a + b > c Khi đó, vì a, b, c luôn dương nên
c < a + b ⇔ √
c <√
a + b <
»
a + 2√
ab + b =
…
√
a +√
b2 =√
a +√ b
Vậy√
a +
√
b > √
c, từ đó suy ra đpcm
b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
(a + b)√
ab + (a + c)√
ac + (b + c)√
bc ≥ 2√
ab√
ab + 2√
ac√
ac + 2√
bc√ bc
= 2(ab + bc + ac) (1)
Trang 3Học
Sơ
Cấp
Theo ý a) ta lại có√
a +
√
b >√
c,√
a +√
c >
√ b,
√
b +√
c >√
a nên (a + b)√
ab + (a + c)√
ac + (b + c)√
bc = a√
a(√
b +√ c) + b√
b(√
a +√ c) + c√
c(√
a +√ b)
> a√
a ·√
a + b√
b ·√
b + c√
c ·√ c
= a2+ b2+ c2 (2) Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có
2(a + b)√
ab + (a + c)√
ac + (b + c)√
bc> a2 + b2+ c2+ 2(ab + bc + ac)
= (a + b + c)2
Từ đó ta có đpcm
Câu 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2+ b2 + c2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = ab
c +
bc
a +
ca
b .
Hướng dẫn giải
Ta có P = ab
c +
bc
a +
ca
b ⇒ P2 = a
2b2
c2 +b
2c2
a2 + c
2a2
b2 + 2(a2+ b2+ c2)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số dương ta có:
a2b2
c2 + b
2c2
a2 ≥ 2b2
b2c2
a2 +c
2a2
b2 ≥ 2c2
c2a2
b2 +a
2b2
c2 ≥ 2a2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có
P2 ≥ 3(a2+ b2+ c2) = 3 ⇒ P ≥√
3 (do P > 0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
√ 3
3 . Vậy min P =√
3 khi và chỉ khi a = b = c =
√ 3
3 .
Câu 6. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 6 1, y 6 1, z 6 1 và x + y + z = 3
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2+ y2+ z2
Hướng dẫn giải
1 Tìm giá trị lớn nhất
Ta có 0 6 x, y, z 6 1 Do vai trò x, y, z như nhau nên giả sử x > y > z Khi đó 1 > x > 1
2.
Ta có
y + z = 3
2− x ⇒ y2 + z2+ 2yz = 9
4 − 3x + x2
⇔ x2+ y2+ z2 = 9
4 − 3x + 2x2
− 2yz 6 9
4 − 3x + 2x2 = 5
4 + (x − 1)(2x − 1) 6 5
4.
Trang 4Học
Sơ
Cấp
Suy ra P 6 5
4. Vậy max P = 5
4 khi (x, y, z) =
Ç
1;1
2; 0
å
và các hoán vị x, y, z
2 Tìm giá trị nhỏ nhất
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có x2+1
4 > 2
x2·1
4 = x.
Tương tự y2+1
4 > y; z2+1
4 > z
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có x2 + y2+ z2+ 3
4 > x + y + z = 3
2. Hay x2+ y2+ z2 > 3
2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
2. Vậy min P = 3
2 khi x = y = z =
1
2.
Câu 7. Cho x > 1, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
y − 1 +
y2
x − 1.
Hướng dẫn giải
Theo BĐT Cô-si (AM-GM, Cauchy) ta có
P = x
2
y − 1+
y2
x − 1 ≥ 2
Ã
x2
y − 1· y
2
x − 1 = 2
Ã
x2
x − 1· y
2
y − 1.
Lại có
x2
x − 1 = x + 1 +
1
x − 1 = x − 1 +
1
x − 1+ 2 ≥ 2 + 2 = 4.
Tương tự cũng có y
2
y − 1 ≥ 4 Do đó P ≥ 8, dấu bằng xảy ra khi x = y = 2
Vậy GTNN của P là 8 khi x = y = 2
Câu 8. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = √ x
x2+ 3 +
y
√
y2+ 3 +
z
√
z2+ 3.
Hướng dẫn giải
Xét
x
√
x2+ 3 =
x
√
x2+ xy + yz + zx =
x
»
(x + y)(x + z)
≤ x 2
Ç
1
x + y +
1
x + z
å
= 1 2
Ç
x
x + y +
x
x + z
å
Tương tự ta cũng có
y
√
y2 + 3 ≤ 1
2
Ç
y
y + x+
y
y + z
å
z
√
z2 + 3 ≤ 1
2
Ç
z
z + x+
z
z + y
å
Trang 5
Học
Sơ
Cấp
Khi đó ta có
P ≤ 1 2
Ç
x
x + y +
x
x + z +
y
y + x +
y
y + z +
z
z + x +
z
z + y
å
= 3
2. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Vậy Pmax= 3
2 khi x = y = z = 1.
Câu 9. Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = »a(b + 1) +»b(a + 1)
Hướng dẫn giải
Có√
2P =»2x(b + 1) +»2b(a + 1)
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm
»
2a(b + 1) ≤ 2a + b + 1
2 ;
»
2b(a + 1) ≤ 2b + a + 1
2 .
⇒√2P ≤ 3(a + b) + 2
2 ≤ 4
⇒ P ≤ 2√2
Dấu "=" xảy ra ⇔
2a = b + 1 2b = a + 1
⇔ a = b = 1
Vậy P có GTLN là 2√
2 khi a = b = 1
Câu 10. Với x, y là các số dương thoả mãn x + y = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2+ y2+ 33
xy.
Hướng dẫn giải
Theo bất đẳng thức Côsi ta có x + y
2 ≥√xy ⇒ xy ≤ 9
Từ giả thiết ta có P = (x + y)2− 2xy + 33
xy = 36 − 2xy +
33
xy ≥ 18 +33
9 =
92
3 Đẳng thức xảy ra khi x = y = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng92
3 .
Câu 11. Cho x ≥ 0; y ≥ 0 và x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x
y + 1 +
y
x + 1.
Hướng dẫn giải
Ta có A = x
2+ y2 + x + y
(x + 1)(y + 1) =
(x + y)2− 2xy + x + y
xy + x + y + 1 =
2 − 2xy
xy + 2 .
Vì x + y ≥ 2√
xy ⇒ 4xy ≤ 1 ⇒ 0 ≤ xy ≤ 1
4. Đặt xy = t thì 0 ≤ t ≤ 1
4.
Ta có A = 2 − 2t
2 + t = −2 +
6
2 + t
Ta có 0 ≤ t ≤ 1
4 ⇒ 2 ≤ t + 2 ≤ 9
4. Suy ra A ≤ 1 ⇔ t + 2 = 2 ⇔ t = 0 ⇔
xy = 0
x + y = 1
x, y ≥ 0
⇔
x = 0; y = 1
x = 1; y = 0
Vậy Amax= 1 tại (x; y) = (0; 1) hoặc (x; y) = (1; 0)