Định lý METRIC hóa các không gian tô pô (2018)

Phùng Thị Phượng ĐỊNH LÝ METRIC HÓA CÁC KHÔNG GIAN TÔ PÔ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội – 2018... Phùng Thị Phượng ĐỊNH LÝ METRIC HÓA CÁC KHÔNG GIAN TÔ PÔ KHÓ

Phùng Thị Phượng

ĐỊNH LÝ METRIC HÓA CÁC KHÔNG GIAN TÔ PÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội – 2018

Phùng Thị Phượng

ĐỊNH LÝ METRIC HÓA CÁC KHÔNG GIAN TÔ PÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Tất Thắng

Hà Nội – 2018

Tác giả khóa luận tốt nghiệp chân thành cảm ơn TS Nguyễn Tất Thắng

đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu, tập dượt nghiên cứu và đãgóp ý chi tiết về cách trình bày một số kết quả trong khóa luận tốt nghiệp.Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Hình học, đã tạo điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này

Dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng dẫn TS Nguyễn Tất Thắngcùng với sự cố gắng của bản thân khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoànthành Các nội dung trình bày trong khóa luận là kết quả của quá trìnhhọc tập, tổng hợp, tham khảo và kế thừa những thành quả nghiên cứu củacác nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơncủa tôi Tôi xin cam đoan nội dung trong khóa luận này không có sự trùnglặp với nội dung của các đề tài khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm.

Lời cảm ơn

1.1 Các khái niệm cơ sở 4

1.1.1 Không gian tô pô 4

1.1.2 Cơ sở của tô pô 7

1.1.3 Không gian tô pô con 9

1.1.4 Lân cận, tập đóng và tập mở 9

1.1.5 Tập hợp trù mật và không gian khả ly 12

1.1.6 Quan hệ thứ tự 13

1.1.7 Ánh xạ liên tục 14

1.1.8 Không gian metric 15

1.1.9 Tô pô tích 16

1.2 Các tiên đề tách 18

1.2.1 Không gian T0 18

1.2.2 Không gian T1 181.2.3 Không gian T2 191.2.4 Không gian T3 191.2.5 Không gian T31

2 201.2.6 Không gian T4 201.2.7 Tiên đề đếm được 21

2.1 Bổ đề Urysohn 232.2 Định lý metric hóa Urysohn 262.3 Hệ quả của định lý metric hóa Urysohn 31

3.1 Định lý metric hóa Nagata-Smirnov 34

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò cực kì quan trọng trong thực tiễn đời sống cũng nhưtrong nghiên cứu khoa học Nó là nền tảng và là cơ sở để nghiên cứu cácmôn khoa học khác

Hình học tô pô là một lĩnh vực chính của Toán học, trong đó các khônggian tô pô là đối tượng nghiên cứu cơ bản Các không gian tô pô trên đó

có thể trang bị một "khoảng cách" mà sinh ra tô pô sẵn có được gọi là cáckhông gian tô pô metric hóa được Chúng có đầy đủ các tính chất của mộtkhông gian metric, chẳng hạn Hausdorff, paracompact, đếm được thứ nhất, Đối với các không gian đó, việc nghiên cứu các tính chất tô pô, hìnhhọc, giải tích trở nên thuận tiện hơn Vì vậy, việc metric hóa một khônggian tô pô là một vấn đề quan trọng, đã được nhiều nhà Toán học quantâm, nghiên cứu Nhận thấy tầm quan trọng của chủ đề này và mong muốnđược học hỏi, trau dồi kiến thức, em đã chọn đề tài "Định lý metric hóacác không gian tô pô" cho khóa luận tốt nghiệp của mình

Khóa luận gồm ba chương:

Chương 1 "Các khái niệm cơ sở và các tiên đề tách" trình bày một sốkhái niệm và ví dụ cơ bản.

Chương 2 "Định lý metric hóa Urysohn" thảo luận điều kiện đủ để mộtkhông gian tô pô là metric hóa được

Chương 3 "Định lý metric hóa Nagata-Smirnov" thảo luận điều kiệncần và đủ để một không gian tô pô là metric hóa được

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu vấn đề metric hóa các không gian tô pô Cụ thể hơn, tìm hiểucác điều kiện để có thể trang bị cho một không gian tô pô một metric màsinh ra tô pô sẵn có

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Các không gian tô pô

• Phạm vi nghiên cứu: Các định lý metric hóa trong không gian tô pô

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các định lý metric hóa trong không gian tô pô, cụ thể làđịnh lý metric hóa Urysohn và định lý metric hóa Nagata-Smirnov từ đóđưa ra điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ để một không gian tô pô là metrichóa được

5 Phương pháp nghiên cứu

Trước hết tìm và tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo trình có liênquan về hình học, tô pô đại cương

Phân tích và tổng hợp các ví dụ và bài tập minh họa, tham khảo ý kiếngiáo viên hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán học

Hà Nội, ngày / /2018

Tác giả khóa luận

Phùng Thị Phượng

Các khái niệm cơ sở và

các tiên đề tách

1.1 Các khái niệm cơ sở

1.1.1 Không gian tô pô

Định nghĩa 1.1 Một tô pô trên X là một họ các tập con τ của X saocho:

(1) ∅ và X ∈ τ

(2) Với tập con bất kỳ {Uα}α∈J của τ thì ∪α∈JUα ∈ τ

(3) Cho tập con hữu hạn bất kì {U1, , Un} của τ thì

U1 ∩ ∩ Un ∈ τ

Một không gian tô pô là một cặp (X, τ ), trong đó, X là tập hợp và tô

pô τ cho trước Đôi khi ta nói X là không gian tô pô khi tô pô τ đã biết.Các tập con U ∈ τ được gọi là mở Chú ý rằng định nghĩa đó chỉ tínhchất của tập mở Với thuật ngữ đó, các tiên đề trên khẳng định rằng:(1) ∅ và X là mở (như các tập con của X)

Chú ý rằng, cho mỗi điểm x ∈ X, tập chỉ gồm một phần tử duy nhất{x} là tập con của X, do đó là mở trong tô pô rời rạc Với hai điểm x, yphân biệt thì được tách nhau bởi hai tập mở {x}, {y}

Ví dụ 1.1.2 (Tô pô tầm thường) Tô pô tầm thường trên X là tô pô τtriv

mà chỉ các tập con ∅ và X được định nghĩa là mở Do đó, τtriv := {∅, X}

Nó thỏa mãn các tiên đề của một tô pô Vì có rất ít họ các tập con là mởnên chúng ta gọi (X, τtriv) là không gian tô pô tầm thường (một vài tài liệugọi đó là tô pô không rời rạc)

Ví dụ 1.1.3 Nếu X là một tập hữu hạn và τ là tô pô trên X, ta gọi (X, τ )

là không gian tô pô hữu hạn

Khi X là hữu hạn, họ các tập con P (X) của X và tô pô bất kỳ τ ⊂

P (X) chỉ gồm hữu hạn phần tử Do đó, việc lấy hợp hữu hạn hay hợp tùy

ý các tập con của X không đóng vai trò quan trọng Do đó, để kiểm trađiều kiện (2) và (3) cho một tô pô, ta cần kiểm tra rằng: với U1, U2 ∈ τ thì

U1 ∪ U2 ∈ τ và U1 ∩ U2 ∈ τ

Ví dụ 1.1.4 Cho X := {a, b, c} Có 29 tô pô khác nhau trên X Đây là 9

tô pô trong số đó:

(1) Tô pô tầm thường τ1 = τtriv = {∅, X}

(7) τ7 = {∅, {a}, {a, b}, {a, c}, X}

(8) τ8 = {∅, {a}, {c}, {a, b}, {a, c}, X}

(9) Tô pô rời rạc τ9 = τdisc = P (X) (với 8 phần tử)

Dễ kiểm tra rằng mỗi tập là hợp và giao các bao đóng Các tô pô cònlại trên X sinh ra bởi hoán vị các phần tử a, b, c

Định nghĩa 1.2 Không gian tô pô X gọi là compact nếu mỗi phủ mở của

X đều có một phủ con hữu hạn, tức là, với mỗi phủ mở (Us)s∈S của X đều

tồn tại một tập hợp hữu hạn S0 = {s1, , sk} ⊂ S sao cho X =

1.1.2 Cơ sở của tô pô

Định nghĩa 1.3 Cho X là một tập Tập hợp B gồm các tập con của X

là cơ sở cho một tô pô τ nếu:

(1) Cho mỗi x ∈ X tồn tại B ∈ B với x ∈ B

(2) Nếu B1, B2 ∈ B và x ∈ B1 ∩ B2 thì tồn tại B3 ∈ B sao cho

x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2

Các tập B ∈ B trong cơ sở được gọi là các phần tử cơ sở

Chú ý rằng, các phần tử cơ sở là các phần tử trong B và là các tập concủa X

Định nghĩa 1.4 Cho B là cơ sở cho tô pô trên X Tô pô τ sinh bởi B

là họ các tập con U ⊂ X sao cho với mỗi x ∈ U tồn tại B ∈ B với x ∈ B

⊂ U

Bổ đề 1.1 Tập hợp τ sinh bởi cơ sở B là tô pô trên X

Chứng minh Gọi τ là họ các tập con của tập hợp X mà mỗi tập hợp là hợpcủa một họ nào đó những tập hợp thuộc B, tức là, với mỗi A ⊂ X, A ∈ τkhi và chỉ khi A = [

s∈S

Us, trong đó, {Us}s∈S là một họ con nào đó của B

Ta cần chứng minh τ là tô pô Thật vậy, ∅ ∈ τ vì ∅ là hợp của họ rỗngnhững tập hợp thuộc B, X ∈ τ nên từ điều kiện (1) suy ra rằng X là hợpcủa tất cả các tập hợp thuộc B Hiển nhiên, hợp của một họ tùy ý nhữngtập hợp thuộc τ là một tập hợp thuộc τ Bây giờ, giả sử U, V ∈ τ , khi đó,

(Us ∩ Vt) Vậy muốn chứng minh U ∩ V ∈ τ ta chỉ

cần chỉ ra rằng Us ∩ Vt ∈ τ với mọi s ∈ S, t ∈ T Từ điều kiện (2), suy ra,với mỗi x ∈ Us ∩ Vt, tồn tại một Ux ∈ B sao cho:

x ∈ Ux ⊂ Us ∩ Vt

Do đó, Us ∩ Vt = [

x∈Us∩V t

Ux Vậy Us∩ Vt ∈ τ với mọi s ∈ S, t ∈ T Từ cách

xây dựng τ , ta thấy ngay rằng B là một cơ sở của τ Tô pô xác định nhưtrên gọi là tô pô xác định bởi cơ sở B

Ví dụ 1.1.5 Cho X := R2 là mặt phẳng Cho B là họ của tất cả các hìnhcầu mở trong mặt phẳng R2

Đó là họ của tất cả ε - các hình cầu trong R2 liên quan đến metric Euclidd(x, y) := ky − xk trong mặt phẳng

Ví dụ 1.1.6 Cho X := R2 là xy - mặt phẳng và cho B0

là họ tất cả cáchình chữ nhật mở:

(a, b) × (c, d) ⊂ R × RVới a < b và c < d Đó là hình chữ nhật bị chặn bởi các đường thẳng đứng

x = a và x = b, các đường nằm ngang y = c và y = d

Ví dụ 1.1.7 X là một tập và B0 là họ của các tập chỉ gồm một phần tửduy nhất {x} với x ∈ X Dễ thấy, đó là cơ sở cho tô pô rời rạc τdisc trên X

1.1.3 Không gian tô pô con

Định nghĩa 1.5 Cho (X, τ ) là không gian tô pô và Y ⊂ X là tập con Họ

thì B là cơ sở cho tô pô và tô pô sinh bởi B là tô pô chuẩn của R

Cho R2 là họ tất cả các cặp thứ tự của các số thực Cho B là họ tích Đề các của tất cả các khoảng mở (a, b) × (c, d) thì B là cơ sở cho tô pô và tô

-pô sinh bởi B là tô pô chuẩn của R2

Định nghĩa 1.7 (Lân cận) Cho X là không gian tô pô, U ⊂ X là tập con

Định nghĩa 1.8 (Tập con đóng) Tập con A của không gian tô pô X đượcgọi là đóng khi (và chỉ khi) phần bù X − A là mở Nói cách khác, các tậpcon đóng của X là các tập con có dạng X − U mà U là mở.

Ví dụ 1.1.8 Khoảng [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} là đóng trong R (với

tô pô chuẩn), suy ra, phần bù R −[a, b] = (-∞, a) ∪ (b, ∞) là mở

Định nghĩa 1.9 (Điểm trong) Giả sử A là một tập hợp con của khônggian tô pô X Điểm xo của X gọi là một điểm trong của tập hợp A nếu

A chứa một lân cận của xo Hiển nhiên, nếu xo là điểm trong của A thì

Cho X là không gian tô pô và A ⊂ X là tập con

Định nghĩa 1.10 (Phần trong) Phần trong IntA của A là hợp của họ cáctập con mở của X được chứa trong A

Định nghĩa 1.11 (Bao đóng) Bao đóng ClA = ¯A là giao của họ các tậpcon đóng của X chứa A

Hợp của họ các tập mở là mở, giao của họ các tập đóng là đóng Các

bổ để sau là hiển nhiên

Bổ đề 1.2 (1) Bao đóng ClA là tập con đóng của X.

(2) A ⊂ ClA

(3) Nếu A ⊂ K ⊂ X với K− đóng thì ClA ⊂ K

Bổ đề 1.3 (1) Phần trong IntA là tập con mở của X

(2) IntA ⊂ A

(3) Nếu U ⊂ A ⊂ X với K mở thì U ⊂ IntA

Ví dụ 1.1.10 Cho X = R và A = [a, b) với a < b thì bao đóng của A

là khoảng đóng [a, b] và phần trong của A là khoảng mở (a, b) Bao đóngkhông thể là tập nhỏ hơn nên [a, b) là không đóng, phần trong không thể

là tập lớn hơn nên [a, b) là không mở

Bổ đề 1.4 Phần bù của bao đóng là phần trong của phần bù và phần bùcủa phần trong là bao đóng của phần bù, tức là:

X − ClA = Int(X − A)

X − IntA = Cl(X − A)Mệnh đề 1.2 Cho A là tập con của không gian tô pô X Điểm x ∈ Xnằm trong bao đóng ¯A khi và chỉ khi A có giao khác rỗng với mỗi tập mở

U trong X mà chứa x Tương đương x ∈ ¯A khi và chỉ khi A có giao khácrỗng với U với mỗi U là lân cận của x

Chứng minh Xem xét phần bù X − A và phần trong của nó Ta có x ∈Int(X − A) khi và chỉ khi tồn tại U mở với x ∈ U sao cho U ⊂ X − A.Phủ định của x ∈ Int(X − A) là x ∈ X − Int(X − A) = ¯A Phủ định của

U ⊂ X − A là A ∩ U 6= ∅ Phủ định của "tồn tại U mở với x ∈ U sao cho

U ⊂ X − A" là "với mỗi U mở với x ∈ U ta có A ∩ U 6= ∅" Do đó, x thuộcbao đóng của A khi và chỉ khi A có giao khác rỗng với mỗi lân cận U củax.

Mệnh đề 1.3 Cho B là cơ sở cho tô pô trên X và cho A ⊂ X là tập con.Điểm x ∈ X nằm trong ¯A khi và chỉ khi A có giao khác rỗng với mỗi phần

n ∈ A với mỗi n > 1

ε Bao đóng của A là ¯A = {0} ∪ A Đó làtập con đóng của R, vì phần bù là hợp của các tập mở (-∞, 0), ( 1

(n + 1),1

Định nghĩa 1.14 (Không gian khả ly) Không gian tô pô (X, τ ) là khônggian khả ly (tách được) nếu tồn tại một tập A ⊂ X sao cho A đếm được

ta nói 2 phần tử a và b là so sánh được với nhau Tập A với quan hệ thứ

Ví dụ 1.1.13 Quan hệ bao hàm ⊆ giữa các tập con của một tập hợp X

là quan hệ thứ tự trên tập P (X)− tập tất cả các tập con của X

Định nghĩa 1.16 (Tập sắp thứ tự tốt) Một tập hợp được gọi là sắp thứ

tự tốt nếu nó là được sắp thứ tự < và mọi tập con khác rỗng của nó đều

có phần tử bé nhất

Ví dụ 1.1.14 Tập các số tự nhiên với quan hệ thứ tự 6 thông thường làtập sắp thứ tự tốt

Định nghĩa 1.17 (Phần tử bé nhất) Giả sử X là một tập sắp thứ tự.Một phần tử a ∈ X được gọi là phần tử bé nhất của X nếu từ mọi x ∈ Xđều có a ≤ x.

Định nghĩa 1.19 (Ánh xạ mở) Ánh xạ f : X → Y từ không gian tô pô

X vào không gian tô pô Y Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mở nếu ảnh f (A)của mỗi A ⊂ X là mở trong Y

Định nghĩa 1.20 (Phép đồng phôi) Song ánh f : X → Y từ không gian

tô pô X vào không gian tô pô Y Song ánh f được gọi là phép đồng phôinếu f và ánh xạ ngược f−1 của nó đều liên tục

Ví dụ 1.1.15 Ánh xạ đồng nhất id : X → X là một phép đồng phôi.Định nghĩa 1.21 Cho X và Y là các không gian tô pô, ánh xạ f : X → Yliên tục khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X và mỗi lân cận V của f (x) có lân cận

U của x thỏa mãn f (U ) ⊂ V

Định nghĩa 1.22 Ta nói rằng f liên tục tại x nếu mỗi lân cận V của f (x)

có lân cận U của x với f (U ) ⊂ V Do đó, f : X → Y là liên tục khi và chỉ

1.1.8 Không gian metric

Định nghĩa 1.23 Một metric trên tập X là một hàm số d : X × X → Rsao cho :

(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X (Bất đẳng thức tamgiác)

Một không gian metric là một cặp (X, d) với tập hợp X và một metric

d cho trước Đôi khi ta nói X là không gian metric nếu metric d đã biết.Định nghĩa 1.24 Cho (X, d) là một không gian metric Với mỗi điểm x

∈ X và mỗi số thực dương ε > 0, họ:

Bd(x, ε) := {y ∈ X | d(x, y) < ε}

là hình cầu quanh x trong X, bán kính ε

Định nghĩa 1.25 Cho (X, d) là một không gian metric Tô pô τd sinh bởimetric d trên X là họ các tập con U ⊂ X thỏa mãn: cho mỗi x ∈ U tồn tại

của họ tùy ý {Bα = Uα× vα}α∈J của các phần tử cơ sở.

Định nghĩa 1.28 Cho J là tập chỉ số Cho tập X, ta gọi J bộ các phần

tử của X là ánh xạ x : J → X Nếu α ∈ J , giá trị của x tại α được kí hiệu

là xα, kí hiệu này thừơng được sử dụng hơn kí hiệu là x(α); ta gọi đó làtọa độ thứ α của x Ánh xạ x thường được kí hiệu

Tập J bộ các phần tử của X được kí hiệu là XJ

Định nghĩa 1.29 Gọi {Aα}α∈J là một họ được đánh chỉ số theo J , kí hiệu

nó được gọi là ánh xạ chiếu liên kết với chỉ số β

Định nghĩa 1.30 Cho Sβ là họ xác định bởi

Sβ = {πβ−1(Uβ)|Uβ mở trong Xβ},

và cho S là hợp của các họ đó,

Ví dụ 1.2.1 Đường thẳng thực là không gian T0.

1.2.2 Không gian T1

Định nghĩa 1.32 Không gian tô pô (X, τ ) gọi là một không gian T1 nếuvới hai phần tử bất kì x1 và x2 của X, tồn tại một tập mở U chứa x1 nhưng

Ví dụ 1.2.2 Không gian tô pô phản rời rạc có ít nhất hai phần tử khôngphải là một không gian T1.

1.2.3 Không gian T2

Định nghĩa 1.33 Không gian tô pô X gọi là một không gian T2 hoặckhông gian Hausdoff nếu với mỗi cặp điểm khác nhau x1, x2 ∈ X, tồn tạimột lân cận U của x1 và một lân cận V của x2 sao cho U ∩ V = ∅

Mỗi không gian T2 đều là một không gian T1 Tên không gian tách cũngđược sử dụng

Ví dụ 1.2.3 Không gian khả ly là một không gian T1 nhưng không phải

Dễ dàng thấy rằng (B(x))x∈X thỏa mãn các điều kiện a), b), c) của bài tập

5 trong chương II Do đó, tồn tại một tô pô trên X sao cho (B(x))x∈X làmột hệ thống đầy đủ các lân cận trong không gian (X, τ ) Dễ dàng thấyrằng, (X, τ ) là một không gian Hausdoff, Y là một tập hợp đóng trong X

x ∈ X và mỗi tập hợp đóng F không chứa x tồn tại một ánh xạ liên tục

f : X → I sao cho f (x) = 0 và f (y) = 1 với mọi y ∈ F

Mỗi không gian tô pô hoàn toàn chính quy đều là một không gian chínhquy

1.2.6 Không gian T4

Định nghĩa 1.36 Không gian tô pô X gọi là một không gian T4 hoặckhông gian chuẩn tắc nếu nó là một không gian T1 và với hai tập hợp đóngrời nhau bất kì A, B trong X, tồn tại các tập hợp mở U và V sao cho

U ⊃ A, V ⊃ B và U ∩ V 6= ∅.

Hiển nhiên, mỗi không gian T4 là một không gian T3 Từ bổ đề Urysohn,

ta sẽ chứng minh được rằng mỗi không gian T4 là một không gian T31

2

Ví dụ 1.2.5 Gọi P là nửa mặt phẳng trên, tức là,

P := {(x, y) ∈ R2 : y > 0}, P1 := {(x, y) ∈ R2 : y = 0}, P2 := P \ P1 Vớimỗi z ∈ P1, và mỗi số thực dương r, gọi U (z, r) là tập hợp các điểm của P2nằm trong hình tròn bán kính r tiếp xúc với P1 tại z Đặt Ui(z) := U (z,1

i)∪zvới i = 1, 2, 3, Với mỗi z ∈ P2 và mỗi số thực dương r, gọi U (z, r) làtập hợp các điểm của P nằm trong hình tròn tâm z bán kính r Đặt

Ui(z) thỏa mãn các điều kiện của một hệ thống đầy đủ các lân

cận của một không gian tô pô Gọi τ là tô pô xác định bởi hệ thống đầy đủcác lân cận {B(z)}z∈P Có thể chứng minh được rằng (P, τ ) là một khônggian hoàn toàn chính quy nhưng không phải là một không gian chuẩn tắc.Mệnh đề 1.4 ([1]) Không gian chính quy X có một cơ sở đếm được làmột không gian chuẩn tắc