Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không giãn tt

Phan Quèc Kh¡nh P.Q.. Ph¤m Ngåc Anh P.N.. Nguy¹n Quang Huy N.Q.. Nguy¹n Thà Thu Thõy N.T.T... çng thíi, thi¸t lªp.

„I HÅC TH„I NGUY„N

Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS Nguy¹n B÷íng

Ph£n bi»n 1:

Ph£n bi»n 2:

Ph£n bi»n 3:

Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p Tr÷íng håp t¤i:

Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n.

V o hçi gií ng y th¡ng n«m 2018

Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n:

- Trung t¥m håc li»u ¤i håc Th¡i Nguy¶n

- Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Mð ¦u

B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸k¿ XX, gn li·n vîi nhúng nghi¶n cùu cõa Lions, Stampacchia v cëng sü (Lions vStampacchia, 1965, 1967; Hartman v Stampacchia, 1966) Tø â ¸n nay, b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n luæn l mët chõ · nghi¶n cùu mang t½nh thíi sü v thu hót ÷ñc sü quan

t¥m cõa nhi·u nh khoa håc trong v ngo i n÷îc Nhi·u b i to¡n nh÷: b i to¡n cüc trà;

b i to¡n iºm b§t ëng; b i to¡n c¥n b¬ng; b i to¡n bò; ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u; b

i to¡n bi¶n câ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng : : : câ thº quy v· mæ h¼nh

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d÷îi c¡c gi£ thi¸t th½ch hñp V¼ th¸ b i to¡n n y l mët cæng cö m¤nh v thèng nh§t trong nghi¶n cùu nhi·u mæ h¼nh b i to¡n l½ thuy¸t v ùng döng thüc t¸.

Ð Vi»t Nam, theo nhi·u con ÷íng ti¸p cªn kh¡c nhau, c¡c nh khoa håc câ nhúng ânggâp quan trång cho b i to¡n n y câ thº kº ¸n nh÷ c¡c nhâm nghi¶n cùu cõa GS.TSKH Ph¤m Ký Anh (P.K Anh v tg, 2015, 2017); GS.TSKH Phan Quèc Kh¡nh (P.Q Kh¡nh

v tg, 2005, 2006); GS.TSKH inh Th¸ Löc (.T Löc v tg, 2008, 2014); GS.TSKH L¶ Dông M÷u (L.D M÷u v tg, 2005, 2012); GS.TSKH Ph¤m Húu S¡ch (P.H S¡ch v tg,

2004, 2008); GS.TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n (N.X T§n v tg, 2012, 2013); GS.TSKH Nguy¹n æng Y¶n (N Y¶n v tg, 2005, 2008); GS.TS Nguy¹n B÷íng (N B÷íng v tg,

2011, 2013, 2015, 2016); PGS.TS Ph¤m Ngåc Anh (P.N Anh v tg, 2004, 2005, 2010); PGS.TS Nguy¹n Quang Huy (N.Q Huy v tg, 2011) v PGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy (N.T.T Thõy v tg, 2013, 2016) : : : B¶n c¤nh â, b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n v mët sè b i to¡n li¶n quan công ¢ v ang l · t i

nghi¶n cùu cõa nhi·u t¡c gi£ l ti¸n s¾ v nghi¶n cùu sinh trong n÷îc.

Mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cê iºn câ d¤ng:

ëng chung cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n th¼

b i to¡n (0.1) câ li¶n h» vîi nhi·u b i to¡n thüc ti¹n nh÷ b i to¡n khæi phöc t½n hi»u, b i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng, kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA v k¾ thuªt xû l½ t½n hi»u b«ng t¦n.

º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v o thüc ti¹n, ái häi ph£i cânhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y V¼ l³ â, mët trong nhúng

h÷îng nghi¶n cùu quan trång hi»n nay d nh ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håctrong v ngo i n÷îc â l vi»c · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p mîi t¼m nghi»m cõa b i to¡n (0.1) ho°cc£i ti¸n hi»u qu£ cõa nhi·u ph÷ìng ph¡p ¢ câ Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢ thi¸t lªp ÷ñc nhi·u k¾thuªt gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n düa tr¶n ph÷ìng ph¡p chi¸u cõa Goldstein (1964),Polyak (1966, 1967, 1969), ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cõa Martinet (1970), Rokaffellar(1976), nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen (1980), ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh d¤ngBrowder-Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nhcõa Lehdili v Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) v ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh

do Alvarez v Attouch (2001) · xu§t ho°c düa tr¶n mët sè k¾ thuªt t¼m iºm b§t ëng nh÷ph÷ìng ph¡p l°p Krasnosel'skii-Mann (Mann, 1953; Krasnosel'skii, 1955), ph÷ìng ph¡pl°p Halpern (1967) v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m (Moudafi, 2000)

Ph÷ìng ph¡p l°p iºn h¼nh º gi£i b i to¡n (0.1) l ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient (Goldstein, 1964; Zeidler, 1990) ÷ñc mæ t£ nh÷ sau:

th¸ k¿ XX, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t ÷ñc Yamada v cëng sü (Yamada v

tg, 1998, 1999) · xu§t nh÷ l mët bi¸n thº cõa ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t º t¼m cüctiºu cõa mët h m lçi tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n °c iºm ch½nh cõa ph÷ìng ph¡p n y l dòng d¤ng âng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n b§t k¼

m tªp iºm b§t ëng chung cõa nâ l tªp r ng buëc cõa b i to¡n M°t kh¡c, trong nhi·u

b i to¡n thüc t¸, ch¯ng h¤n b i to¡n xû l½ t½n hi»u (Iiduka, 2010), kiºm so¡t n«ng l÷ñngcho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA (Iiduka, 2012) ho°c ph¥n phèi b«ng thæng(Iiduka v Uchida, 2011) : : : câ thº ÷a v· b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa mët ho°c mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Hìn núa, chóng

ta bi¸t r¬ng, måi tªp con lçi âng ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng giao ¸m ÷ñc cõa c¡cnûa khæng gian, do â l giao ¸m ÷ñc cõa tªp iºm b§t ëng c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n

l c¡c to¡n tû chi¸u l¶n nhúng nûa khæng gian n y V¼ th¸ b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) tr¶n mët tªp con lçi âng câ thº quy v· vi»c t¼m nghi»m b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Khi â, mëtv§n · °t ra l x¡c ành ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n(0.1) nh÷ th¸ n o n¸u chóng ta câ d¤ng hi»n cõa c¡c ¡nh x¤ khæng

gi¢n Ti? (i 2 I vîi I l tªp ch¿ sè n o â) Xu§t ph¡t tø þ t÷ðng n y, n«m 2001, Yamada

¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t m ph÷ìng ph¡p n y hëi tö m¤nh v·mët th nh ph¦n n¬m trong tªp iºm b§t ëng chung cõa hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤khæng gi¢n çng thíi thäa m¢n l nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1)

Cö thº, khi C := Fix(T ) l tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, Yamada ¢ thi¸t lªp ÷ñc ành l½ hëi tö m¤nh sau.

ành l½ 0.2.

Cho F : H ! H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v -ìn i»u m¤nh tr¶n H Cho

T : H ! H l ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi Fix(T ) 6= ; Gi£ sû 2 (0; 2 =L2) v d¢y

hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x cõa b i to¡n(0.1)

Trong tr÷íng hñp C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng

gi¢n Ti : H ! H (i = 1; 2; 3; :::; N), d¢y l°p xoay váng x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) ÷ñc Yamada x¥y düng câ d¤ng

xk+1 = T

[k+1](x

k)k+1 F (T

Cho F : H ! H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v -ìn i»uNm¤nh tr¶nH Cho

Ti : H ! H l hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C :=

i \

Fix(Ti) 6= ; v

=1

C = Fix(T1T2 : : : TN ) = Fix(T2T3 : : : TN T1) = = Fix(TN T1 : : : TN 1):

Gi£ sû 2 (0; 2 =L2) v d¢y k 2 (0; 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

gi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n T i (Nguy¹n B÷íng v tg, 2011) Ho°c, x²t b i to¡n (0.1) trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn vîi C

l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Theo h÷îng

n y, mët sè ph÷ìng ph¡p l°p ÷ñc thi¸t lªp x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) thæng

qua vi»c dòng ¡nh x¤W

k (Iemoto v tg 2008; Yao v tg, 2010; Wang, 2011) Tuy vªy, ¡nh x¤W

k

câ c§u tróc phùc t¤p Ngo i ra, c¡c k¸t qu£ nâi tr¶n ·u ÷ñc thi¸t lªp trong

khæng gian Hilbert H v ð méi b÷îc l°p ·u ÷ñc thüc hi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n

â l c¡c ph÷ìng ph¡p tu¦n tü Mët h÷îng kh¡c l nghi¶n cùu mð rëng tø khæng gianHilbert H tîi c¡c lîp khæng gian Banach E (Ceng v tg, 2008; Chidume v tg, 2011;Nguy¹n B÷íng v tg, 2013, 2015) Nêi bªt trong â l hai ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach

cõa Nguy¹n B÷íng v cëng sü (2015) C¡c ph÷ìng ph¡p n y sû döng ¡nh x¤ S k câ c§u

tróc ìn gi£n v câ thº t½nh to¡n song song ÷ñc

Câ thº kh¯ng ành r¬ng, vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach l mët v§n · ÷ñc n£y sinh mët c¡ch tü nhi¶n v c¦n thi¸t º

l m phong phó v ho n thi»n th¶m cho lþ thuy¸t v· b i to¡n quan trång n y V¼ nhúngl½ do ¢ ph¥n t½ch ð tr¶n, chóng tæi lüa chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n l "X§px¿ nghi»m cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n"

Möc ½ch ch½nh cõa luªn ¡n n y l nghi¶n cùu · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»nx§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Cö thº, lîp b i to¡n â

l "B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u" Luªn ¡n gi£i quy¸t c¡c v§n · sau:

1 X¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho lîp b i to¡n nghi¶n cùu thæng qua vi»c · xu§t v sû döng c¡c ¡nh x¤ mîi ~ ^

S k ; S kv

c¡c v½ dö minh håa cö thº v t÷ìng quan vîi mët

sè ph÷ìng ph¡p ¢ câ.

2 „p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n t¼m iºm b§t ëng

chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n.

3 „p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n x¡c ành khæng iºm chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i.

Luªn ¡n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o Ch÷ìng 1 giîithi»u sì l÷ñc v· mët sè v§n · li¶n quan ¸n c§u tróc h¼nh håc cõa c¡c khænggian Banach, lîp b i to¡n nghi¶n cùu, mët sè m»nh · v bê · c¦n sû döng cho vi»cchùng minh c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc ð c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n Ch÷ìng

2 tr¼nh b y ba k¸t qu£ nghi¶n cùu mîi cõa chóng tæi v· c¡c v§n · n¶u tr¶n.Ch÷ìng 3 · cªp ¸n mët b i to¡n thüc t¸ li¶n quan còng c¡c v½ dö cö thº minh håa

Sk çng thíi, thi¸t lªp

Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t

v Cho F : E ! E l ¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh vîi h» sè v

câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u.-gi£ co ch°t vîi + > 1 Gi£

Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y chi ti¸t mët sè nghi¶n cùu

mð rëng ho°c c£i bi¶n ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ d¤ng (0.1) ho°c (1.2).

Khi C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trongkhæng gian Hilbert thüc, n«m 2003, Xu v Kim ¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü

ành l½ 0.2 v ành l½ 0.3 khi thay th¸ (L3) v (L3) t÷ìng ùng bði c¡c i·u ki»n

(L4) lim k= k+1 = 1 v (L4) lim k= k+N = 1:

Câ thº th§y r¬ng, i·u ki»n (L4) y¸u hìn thüc sü (L3), hìn núa i·u ki»n (L4) cho ph²p ta

câ thº lüa chån vîi d¢y tham sè ch½nh tc f1=kg trong khi â (L3) khæng thäa m¢n M°tkh¡c, khæng khâ kh«n º ch¿ ra r¬ng i·u ki»n (L3) suy ra i·u ki»n (L4) n¸u giîi h¤n

l°p công ÷ñc c£i bi¶n º £m b£o sü hëi tö.

C = Fix(T1T2 : : : TN ) = Fix(T2T3 : : : TN T1) == Fix(TN T1 : : : TN 1):

Gi£ sû k 2 (0; 2 =L2) vîi måi k 2 N v c¡c i·u ki»n sau b£o £m:

i) k 2 (0; 1) thäa m¢n i·u ki»n (L2),

th¼ d¢y l°p (1.3) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x cõa b i to¡n(0.1)

Rã r ng, n¸u k = vîi måi k 1 v 2 (0; 2 =L2) th¼ ta câ ii) N¸u th¶m gi£ thi¸t (L4) thäa m¢n th¼i·u ki»n iii) trong ành l½ tr¶n ÷ñc b£o £m Hìn núa, Zeng v cëng

sü công ¢ ch¿ ra r¬ng c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v (L4) l i·u ki»n õ º fx k g bà ch°n.çng thíi, i·u ki»n d÷îi ¥y ÷ñc thäa m¢n:

V¼ th¸, ành l½ 1.3 l sü c£i bi¶n v hñp nh§t c¡c i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p

so vîi k¸t qu£ m Yamada, Xu v Kim ¢ nhªn ÷ñc.

2 (0; 2 =L2) l h¬ng sè d÷ìng cè ành v d¢yk 2 (0; 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1)

v (L2) çng thíi, gi£ thi¸t r¬ng ki 2 ( ; ) vîi i = 0; 1; 2; : : : ; N, trong â ; 2 (0; 1) v

lim j ki+1 kij = 0 vîi i = 1; 2; 3; : : : ; N: Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 2 H , d¢y

k!1

l°p (1.5) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x cõa b i to¡n(0.1).

l mët cæng vi»c d¹ d ng çng thíi, ta nhªn th§y r¬ng (0.4), (1.3) v (1.5)

÷ñc thüc hi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p n y l tu¦n tü.

Nghi¶n cùu mð rëng cho tr÷íng hñp C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n

ii) k thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2) ,

th¼ d¢y l°p (1.7) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x cõa b i to¡n (0.1)

Cho F : H ! H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v-ìn i»u m¤nh tr¶n H Cho fTig l

sè thüc thäa m¢n 0 < k b < 1, k = 1; 2; 3; : : : Khi â, n¸u c¡c i·u ki»n sau b£o

£m

i) k 2 [ ; 1=2] vîi > 0,

ii) k thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2) ,

th¼ d¢y l°p (1.8) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x cõa b i to¡n (0.1)

Gièng nh÷ ph÷ìng ph¡p (1.7), ta th§y r¬ng ph÷ìng ph¡p (1.8) công câ c§u tróc phùc t¤p v â l ph÷ìng ph¡p tu¦n tü.

Mët n«m sau, Wang (2011) công ¢ nhªn ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ cõa Yao v cëng

sü d÷îi c¡c gi£ thi¸t mîi °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p K¸t qu£ cõa Wang thay th¸ (L1)

bði i·u ki»n 0 < k =L2 ", 8k k 0, vîi ½t nh§t mët sè nguy¶n k 0 > 1 l nhµ hìn thüc süi·u ki»n (L1) Ngo i ra, i·u ki»n °t l¶n cho k ch¿ ái häi t½nh giîi nëi cõa d¢ytham sè n y trong (0,1) Tuy nhi¶n i·u ki»n k v¨n y¶u c¦u phö thuëc v o h» sè

ìn i»u m¤nh v h¬ng sè Lipschitz L M°t kh¡c, i·u ki»n bê sung k F (xk) ! 0 khi k ! 1

£m b£o sü hëi tö phö thuëc v o gi¡ trà F (x k ) t¤i méi b÷îc l°p V¼ th¸, vi»c chånti¶n nghi»m f k g thäa m¢n i·u ki»n n y s³ khâ kh«n

N«m 2008, Ceng v cëng sü ¢ nghi¶n cùu cho tr÷íng hñp C l tªp iºm b§t ëng cõa

mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc Mët i·u ki»n quan trång

£m b£o sü hëi tö èi vîi ph÷ìng ph¡p mîi cõa c¡c t¡c gi£ l gi£ thi¸t v· t½nh li¶n töc y¸u theod¢y cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc Tuy nhi¶n, i·u â ¢ l m giîi h¤n ph¤m vi ùng döng cõaph÷ìng ph¡p èi vîi nhi·u b i to¡n ÷ñc thi¸t lªp trong c¡c khæng gian Banach

quan trång m khæng câ t½nh ch§t n y, ch¯ng h¤n khæng gian Lp[a; b] (1 <

p < 1) N«m 2011, Chidume v cëng sü ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Xu v Kim tîi lîp khæng

gian Banach q-trìn ·u vîi h¬ng sè dq; q > 1 Ph÷ìng ph¡p n y câ thº ¡p döng tr¶n c¡c khæng gian Lp[a; b]; (1 < p < 1) Tuy nhi¶n, gi£ thi¸t °t l¶n k l t÷ìng tü cõa Xu v

Kim çng thíi tham sè v¨n ái häi phö thuëc v o h» sè , L v h¬ng sè dq Th¶m v o â, c¡c t¡c gi£ v¨n c¦n sû döng gi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa

c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti

Khi C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng

t¤p Wk, ta câ thº sû döng ¡nh x¤ Vk ìn gi£n hìn ÷ñc x¡c ành bði

Trong nhúng n«m g¦n ¥y, khc phöc nh÷ñc iºm khæng t½nh to¡n song song ÷ñctr¶n m¡y t½nh v khâ kh«n n£y sinh tø vi»c ¡p döng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p ©n, n«m 2015, Nguy¹n B÷íng v c¡c cëng sü ¢ x¥y düng ¡nh x¤ S k tr¶n E nh÷ sau

xk+1 = (1 k)Sk(xk) + kFk(xk); k = 1; 2; 3; : : : (1.18)

ð ¥y, Fk = IkF v f kg, f kg l d¢y c¡c tham sè l°p d÷ìng Sü hëi tö m¤nh cõa c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n ÷ñc ph¡t biºu trong ành l½ d÷îi ¥y.

ành l½ 1.12.

Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc lçi ch°t, câ chu©n kh£ vi G¥teaux

·u Cho F : E ! E l ¡nh x¤ j-ìni»u m¤nh vîi h» sè v -gi£ co ch°t vîi + > 1 Cho

1

fTig l hå væ h¤n¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti) 6= ;: N¸u

=1

c¡c i·u ki»n sau b£o £m

i) k 2 (0; 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2),

Ch֓ng 2

C¡c ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

ð ¥y i 2 (0; 1), Ti l c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n v I l ¡nh x¤ ìn và tr¶n E C¡c d¢y tham

sè k 2 (0; 1) v fsig t÷ìng ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v

Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t câ chu©n kh£ vi

G¥teaux ·u Cho F : E ! E l ¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh vîi h» sè v -gi£ co ch°t vîi + > 1

1

\

Cho fTig l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti) 6= ; Gi£ sû

i=1

k 2 (0; 1) v sit÷ìng ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2)

x¡c ành bði (2.1) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x cõa b v (2.4) Khi §y, d¢y

2.1.3 Mët sè h» qu£

N«m 2008, Ceng v cëng sü c£i bi¶n ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc

nh§t cõa Yamada º thi¸t lªp d¢y l°p hi»n

A

(xk)); k 0;

xk+1 = (I kF )( kxk + (1 k)Jrk (2.15)

x¡c ành khæng iºm x cõa ¡nh x¤ A v çng thíi x l nghi»m cõa b i to¡n (1.2) vîi

B¬ng c¡ch thay th¸ c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti bði c¡c to¡n tû gi£i JAi := (I + Ai) 1

trong (2.1) th¼ chóng tæi nhªn ÷ñc k¸t qu£ x²t cho lîp b i to¡n têng qu¡t hìn sau ¥y

M»nh · 2.1 Cho E, F , i, k v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü ành l½ 2.1 Cho fAig l

1

i \

hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i tr¶n E vîi C := Zer(Ai) 6= ; Khi §y, vîi

iºm ban ¦u tòy þ x1 2 E, d¢y fxkg x¡c ành bði

Rã r ng, i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè f kg v f kg £m b£o sü hëi tö cõa ph÷ìng

ph¡p (2.16) l nhµ hìn so vîi c¡c gi£ thi¸t i) v iii) Tuy nhi¶n, c¡c tham sè rk v si t÷ìng

ùng trong (2.15) v (2.16) l kh¡c bi»t, âng vai trá kh¡c nhau v khæng so s¡nh ÷ñc

V¼ th¸, (2.15) v (2.16) cho ta c¡c quy tc t¼m khæng iºm kh¡c nhau

Nhªn x²t 2.5 Ta °t f := aI vîi a 2 (0; 1) l sè thüc cè ành Khi â, F := I f l

¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh vîi h» sè v -gi£ co ch°t tr¶n E thäa m¢n + > 1 V¼ th¸, vîi

x1 tòy þ thuëc E, n¸u thay F bði I f trong cæng thùc (2.1) th¼ ta câ l÷ñc ç l°p

M»nh · 2.2 Cho E, fTig, i, k v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü ành l½ 2.1 Gi£ sû a l sè

thüc cè ành thuëc (0;1) Khi §y, vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 2 E, d¢y fxkg x¡c ành bði

hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p 2 C khi k ! 1 v p thäa m¢n(2.19).

N«m 2007, Qin v Su ¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p l°p kiºu Halpern t¼m khæng iºm cõa mët ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i A tr¶n

khæng gian Banach trìn ·u

A

(xk)); k 1;

xk+1 = ku + (1 k)( kxk + (1 k)Jrk (2.21)

trong â x1 2 E tòy þ, u 2 E l ph¦n tû cè ành, k; k v r k l c¡c tham sè l°p i·u

ki»n £m b£o sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p (2.21) l t÷ìng tü ph÷ìng ph¡p (2.15) v

ch¿ x²t cho b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa mët ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i m khæng gi£i

÷ñc b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n n o Do â, n¸u ch¿ x²t ri¶ng theo kh½a c¤nh

k v

k l nhúng y¶u c¦u ch°t ch³ hìn so vîi k¸t qu£

cõa chóng tæi n¶u trong M»nh · 2.1 Tuy nhi¶n, công ph£i l÷u þ r¬ng c§u tróc cõa

c¡c ph÷ìng ph¡p (2.15) ho°c (2.16) so vîi (2.21) l thüc sü kh¡c bi»t

Nhªn x²t 2.6 Ta °t f := aI + (1 a)u vîi a 2 (0; 1) l sè thüc cè ành v u l ph¦n

tû cè ành thuëc E Khi â, d¹ th§y r¬ng F := I f công l ¡nh x¤ j-ìn i»u m¤nh

vîi h» sè v -gi£ co ch°t thäa m¢n + > 1 Do â, vîi x1 tòy þ thuëc E, thay

F bði I f trong (2.1), ta câ ph÷ìng ph¡p l°p kiºu Halpern

k+1 = k0u + 1 k0 i=1 (1i+ i=1 i ikJ k k (xk); k 1: (2.23)

trong â 0 := (1 a) k v k := s =s~X Trong tr÷íng hñp n y, ta công nhªn ÷ñc c¡cX

h» qu£ trüc ti¸p d÷îi d¥y cõa ành l½ 2.1