Lý thuyết ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trọn bộ lý thuyết, các dạng bài tập, các công thức tính nhanh, giải nhanh về dạng bài tập ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đây là đồ thị rất hữu ích cho các em ôn thi THPT quốc gia. Chúc các em học tập tốt

Ôn Tập Kiến Thức Chương I Lớp 12

1.Bảng các đạo hàm

 n n 1

u  n.u u 

x

2 x

u

2 u



 

2



   

 

   

 

 

 x   , c 01   ,

 k.u  k.u

u v    u v

 uv  u v uv  

2

  

 

 

s inx cos x sin u u cos u

cos x  s inx cos u  u sin u

1

tan x

cos x

u tan u

cos u



 

cot x 12

sin x

sin u



  

2 Xét dấu biểu thức

 Định lý về dấu của nhị thức

bậc nhất y f x =ax b a 0      

x

 b

a

 

y af x 0 0 af x 0

 Định lý về dấu của tam thức bậc

hai y ax 2bx c a 0   

 2



Nếu  0  0 phương trình y 0 vô

nghiệm

x  

y af x 0

+) Nếu    0  0phương trình y=0 có nghiệm kép x1,2 b

2a

 

x

 b

2a

 

y af x 0 0 af x 0

+) Nếu  0  0 phương trình y 0

có hai nghiệm phân biệt

x

nghiệm x1x2

x  x 1 x 2 

y af x 0 0 af x 0 0 af x 0

3 Phương trình tiếp tuyến (PT ) 3

 PT với đồ thị hàm số 3 y f x  

tại điểm M x ; y 0 0 có dạng :

y f x  x x y , y0 f x 0

M được gọi là tiếp điểm

0

x được gọi là hoành độ của tiếp điểm

0

y được gọi là tung độ của tiếp điểm

 0

f ' x được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến

 Nếu PT song song với đường 3

thẳng y ax b  thì f x 0 a

 Nếu PT vuông góc với đường 3

thẳng y ax b  thì  0

1

f x

a

 Nếu PT tạo với trục 0x một góc 3

 thì f x 0  tan

 Nếu PT cắt hai trục tọa độ tạo 3

thành một tam giác vuông cân thì

 0

f x  1

4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính đạo hàn f x , tìm các

điểm x i 1, 2 ni   mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định

 Sắp xếp x theo thứ tự tăng dần i

và lập bảng biến thiên

 Nêu các kết luận về sự đồng biến

nghịch biến của hàm số

5 Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính f x  , tìm các

điểm x i 1, 2 ni   mà tại đó đạo hàm

bằng không hoặc không xác định

 Sắp xếp x theo thứ tự tăng dần i

và lập bảng biến thiên

 Từ bảng biến thiên suy ra các

điểm cực trị của hàm số

6 Quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

 Tìm tập xác định

 Tính f x , giải phương trình

 

f x 0và kí hiệu x i 1, 2 ni   là các

nghiệm của nó

 Tính f x  và f xi

 Nếu f x 0 0 thì x là điểm 0

cực tiểu

 Nếu f x 0 0 thì x là điểm 0

cực đại

Chú ý nếu f x0 0 thì ta không kết luận

được về tính cực trị hàm số tại x 0

7.Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số

liên tục trên một đoạn

 Tìm các điểm x ; x ; ; x trên 1 2 n

 a; b mà tại đó f x 0 hoặc không xác

định

 Tính

f a ; f x ; f x ; ;f x ;f b

 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ

nhất m trong các số trên Khi đó:

 a;b    a;b  

M max f x , m min f x  Chú ý: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết luận Không phải hàm số nào cũng có GTLN, GTNN

8 Đường tiệm cận

 Đường tiệm cân ngang: y y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x  

nếu: xlim f x  y0

 Đường tiệm cận đứng: x x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x  

nếu

0

xlimx

  

9 Sơ đồ khảo sát hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét chiều biến thiên của hàm số +Tìm y’

+Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm

số (đồng biến,ngịch biến)

 Tìm cực trị

 Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên

 Vẽ đồ thị

10 Tương giao của hai đồ thị

 Xét hai hàm số y f x   và

 

y g x tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm

số là nghiệm của hệ phương trình

 

 

y f x

y g x











 Đường thẳng y ax b  là PT3 của đồ thị hàm số y f x  , khi và chỉ khi phương trình  

 



  

 có nghiệm

11 Một số hàm số thường gặp:

11.1 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0):

 Tập xác định D = R

 Các dạng đồ thị:

y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

  ’ = b2 – 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép

  ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm

  ’ = b2 – 3ac < 0

Một số cơng thức cần nhớ:

 y' 3 a22bx c

 Hàm số khơng cĩ cực trị: b23ac 0

 Hàm số cĩ hai điểm cực trị: 2

b  ac

 Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về

2 phía 0y): ac 0

 Hàm số cĩ hai cực trị cùng dấu( đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về một phía trục 0y): y' 3 a22bx c cĩ hai nghiệm phân biệt cùng dấu

1 2

' 0

x x

 



 Hàm số cĩ hai cực trị cùng dương ( đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về bên phải

trục 0y: y' 3 a22bx c cĩ hai nghiệm dương phân biệt 1 2

1 2

' 0 0 0

x x

 





  



y

x

0

I

y

x

0

I

y

x

y

x

0

I

 Hàm số cĩ hai cực trị cùng âm (đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về bên trái trục

y  a  bx c cĩ hai nghiệm âm phân biệt 1 2

1 2

' 0 0 0

x x

 





  



 Phương trình y cĩ ba nghiệm tạo thành một cấp số cộng: Phương trình cĩ ba 0 nghiệm phân biệt trong đĩ cĩ một nghiệm là:

3

b a



 Phương trình y cĩ ba nghiệm tạo thành một cấp số nhân: Phương trình cĩ ba 0 nghiệm phân biệt trong đĩ cĩ một nghiệm là: 3 d

a



 Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của hàm số: 4 16 3 , 2 3

9

e

11.2 Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a( 0):

 Tập xác định D = R

 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Các dạng đồ thị:

Một số cơng thức cần nhớ:

1 3

2

0

2

x

x

a







  



2 Hàm số cĩ một cực trị ab 0

3 Hàm số cĩ ba cực trị ab 0

y’ = 0 có 3 nghiệm

phân biệt

 ab < 0

y’ = 0 chỉ có

1 nghiệm

 ab > 0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

4 Hàm số có đúng một cực trị và là cực tiểu: 0

0

a b





 

5 Hàm số có đúng một cực trị và là cực đại: 0

0

a b





 

6 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại: 0

0

a b





 

7 Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu: 0

0

a b





 

8 Đồ thị hàm số có ba cực trị A 0;c , ; ; ;

2

4

cần điều kiện ab0và

Tam giác ABC vuông cân:

3

1 0 8

b

a  Tam giác ABC đều:

3

3 0 8

b

a  Diện tích tam giác ABC:

2

4

2

b b a a



Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

3 8 8

a b



9 Phương trình y có 4 nghiệm tạo thành một cấp số cộng: 0 2 100

9

ac

11.3 Hàm số y ax b (c 0,ad bc 0)

cx d



 Tập xác định D = R\ d

c



  ,

ad bc

y '

cx d







 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x d

c

  và một tiệm cận ngang là y a

c

 Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 Các dạng đồ thị:

Các cơng thức cần nhớ:

Diện tích hình chữ nhật tạo thành giữa hai tiệm cận và hai trục tọa độ d a

c c

Điểm thuộc đồ thị thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm đĩ đến hai cực trị là nhỏ nhất cĩ hồnh

độ là nghiệm của phương trình:  2

cx d  ad bc

0

ad – bc > 0

x

y

0

ad – bc < 0

x

y