Bán kính điều khiển được của hệ điều khiển tuyến tính

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng... Sinh vi¶n Nguy¹n Thà Ph÷ìng... Sinh vi¶n Nguy¹n Thà Ph÷ìng... Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìngkhæng i·u khiºn ÷ñc.. Tr¦n Thà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Líi c£m ìn 1

1.1 ¤i sè tuy¸n t½nh 8

1.2 Gi£i t½ch h m 9

1.3 nh x¤ a trà 11

1.4 H» i·u khiºn tuy¸n t½nh 15

1.5 Mët sè ti¶u chu©n x²t t½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh khæng câ r ng buëc 17

2 B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh 19 2.1 ành ngh¾a b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc 19

2.2 C¡ch t½nh b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc 21

2.3 V½ dö 27

2.4 H÷îng ph¡t triºn hi»n nay 29

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa khâa luªn, em xin gûi líi

c£m ìn tîi c¡c th¦y, cæ gi¡o trong Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc

S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ truy·n cho em ni·m c£m hùng còng nhúng tri

thùc quþ b¡u º em ho n th nh khâa luªn tèt nghi»p v  ho n th nh

nhi»m vö khâa håc

°c bi»t hìn núa, em xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u

s­c tîi cæ gi¡o Th.s Tr¦n Thà Thu l  ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n, ch¿

b£o tªn t¼nh, gióp ï em º em câ thº ho n th nh khâa luªn n y

Do buêi ¦u l m quen vîi cæng t¡c nghi¶n cùu khoa håc n¶n b£n

khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât m  b£n th¥n ch÷a

th§y ÷ñc V¼ vªy, em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp

cõa th¦y cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn ¦y õ v  ch½nh x¡c hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 4 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Ph÷ìng

Líi cam oan

D÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa cæ gi¡o Ths Tr¦n Thà Thu

khâa luªn chuy¶n ng nh to¡n gi£i t½ch vîi · t i B¡n k½nh i·u

khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh ÷ñc ho n th nh bði

qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu cõa b£n th¥n, khæng tròng vîi b§t

cù khâa luªn n o kh¡c

Trong khi nghi¶n cùu ho n th nh · t i nghi¶n cùu n y em ¢

tham kh£o mët sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o

H  Nëi, ng y 4 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Nguy¹n Thà Ph÷ìng

1 Lþ do chån · t i

Lþ thuy¸t i·u khiºn câ nguçn gèc tø 150 n«m tr÷îc khi sü thüchi»n cõa c¡c i·u khiºn cì håc b­t ¦u ÷ñc ph¥n t½ch b¬ng con ÷íngto¡n håc

T½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» ëng lüc ÷ñc khði x÷ðng bði nhúng

þ t÷ðng v  k¸t qu£ quan trång cõa R.Kalman tø nhúng n«m 60, trong

â ¢ chùng minh mët sè i·u ki»n ¤i sè v· t½nh i·u khiºn ÷ñc h»tuy¸n t½nh ìn gi£n Tø â ¸n nay b i to¡n i·u khiºn ¢ trð th nhmët h÷îng ÷ñc nghi¶n cùu v  l  mët h÷îng quan trång cõa lþ thuy¸t

i·u khiºn h» ëng lüc B i to¡n i·u khiºn ÷ñc nghi¶n cùu c¡c lîp

h m i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc sao cho d÷îi t¡c ëng cõa nâ h» thèng

÷ñc i·u khiºn v· c¡c và tr½ mong muèn Khi ¢ câ mët h» l  i·ukhiºn ÷ñc ta nhi¹u h» â mët l÷ñng, mët thæng sè n o â, li»u r¬ngh» â câ cán i·u khiºn ÷ñc núa hay khæng? â l  b i to¡n d¨n ¸nkh¡i ni»m b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc ch½nh

l  kho£ng c¡ch tø mët tªp c¡c h» i·u khiºn ÷ñc ¸n mët tªp c¡c h»

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

khæng i·u khiºn ÷ñc Nhªn th§y ÷ñc sü ph¡t triºn v  nhúng ùngdöng to lîn §y chóng tæi ¢ thüc hi»n · t i B¡n k½nh i·u khiºn

÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa cægi¡o Ths Tr¦n Thà Thu

Nëi dung ch½nh cõa khâa luªn gçm câ 2 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà: Trong ch÷ìng n y, chóng tæitr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð v· ¤i sè tuy¸n t½nh, gi£i t½ch h m,

¡nh x¤ a trà, h» i·u khiºn tuy¸n t½nh v  mët sè ti¶u chu©n x²t t½nh

i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh khæng câ r ng buëc.Ch÷ìng 2: B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸nt½nh: Trong ch÷ìng n y, chóng tæi t¼m hiºu c¡c k¸t qu£ v· c¡ch t½nhb¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh qua c¡c s¡ch,t¤p ch½ b¬ng Ti¸ng Anh Qua â chóng tæi t½nh to¡n mët sè v½ dö ¡pdöng º ng÷íi åc d¹ h¼nh dung Cuèi còng chóng tæi n¶u l¶n h÷îngph¡t triºn hi»n nay cõa lþ thuy¸t i·u khiºn ÷ñc

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

T¼m hiºu v  nghi¶n cùu ành ngh¾a v  c¡ch t½nh b¡n k½nh i·ukhiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

- Nghi¶n cùu v· c¡ch t½nh b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·ukhiºn tuy¸n t½nh

- Ùng döng cõa c¡ch t½nh b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u

khiºn tuy¸n t½nh thæng qua c¡c v½ dö cö thº.

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

- èi t÷ñng nghi¶n cùu: H» i·u khiºn tuy¸n t½nh

- Ph¤m vi nghi¶n cùu: B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Têng hñp ki¸n thùc thu thªp ÷ñc qua nhúng t i li»u li¶n quan

¸n · t i v  sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu cõa gi£i t½ch

6 âng gâp cõa · t i

X¥y düng khâa luªn th nh mët t i li»u têng quan tèt cho sinh vi¶nv· · t i B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh

Do l  l¦n ¦u ti¶n thüc tªp nghi¶n cùu, thíi gian câ h¤n v  n«ng lücb£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n b i nghi¶n cùu n y khâ tr¡nh khäi nhúngsai sât Em r§t mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp, þ ki¸n cõa c¡c th¦y

cæ gi¡o v  b¤n åc º · t i ÷ñc ho n ch¿nh v  ¤t k¸t qu£ cao hìn

Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

B£ng k½ hi»u

(Kn)∗ Khæng gian li¶n hñp cõa Kn

Km×n, Mat(m × n, K) Tªp hñp t§t c£ c¡c ma trªn c§p m × n tr¶n tr÷íng K.kxk Chu©n cõa vectì x trong Kn

A∗, AT, A−1 Ma trªn li¶n hñp, chuyºn và, nghàch £o cõa ma trªn A

σ(A) Gi¡ trà k¼ dà cõa ma trªn A

σmin(A) Gi¡ trà k¼ dà nhä nh§t cõa ma trªn A

rK(A, B) B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h» (A, B).

G Gi£ nghàch £o Moore-Penrose cõa FG

Wλ+ Gi£ nghàch £o Moore-Penrose cõa Wλ = (A − λI, B)

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 ¤i sè tuy¸n t½nh

Trong mưc n y chĩng tỉi c¦n nhi·u ki¸n thùc v· khỉng gian vectì,

ma trªn, to n c§u Chi ti¸t ¢ ÷đc tr¼nh b y trong t i li»u [6] Chĩngtỉi ch¿ h» thèng mët sè ki¸n thùc hay dịng sau ¥y

ành l½ 1.1.1 Cho A ∈ Mat(m × n, K) H¤ng cõa ma trªn A b¬ngc§p cao nh§t c¡c ành thùc con kh¡c 0 cõa A, ngh¾a l  rank A = r n¸u

câ mët ành thùc con c§p r cõa A kh¡c 0 v  måi ành thùc con c§plỵn hìn r (n¸u câ) cõa A ·u b¬ng 0

H» qu£ 1.1.1 rank A = rank At

ành l½ 1.1.2 nh x¤ tuy¸n t½nh f : V → W l  mët to n c¦u khi v ch¿ khi rank f = dim V

ành ngh¾a 1.1.1 Cho A ∈ Mat(n × n, K) Sè λ ∈ K ÷đc gåi l gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn A, n¸u tçn t¤i mët vectì u 6= 0, u ∈ Kn saocho Au = λu Khi â vectì u ÷đc gåi l  vectì ri¶ng cõa ma trªn Aùng vỵi gi¡ trà ri¶ng λ

ành l½ 1.1.3 Vîi måi ma trªn A ∈ Mat(n × n, K) b§t k¼, khi âmåi gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ATA ·u khæng ¥m.

ành ngh¾a 1.1.2 Cho A ∈ Mat(n × n, K), gåi λi l  gi¡ trà ri¶ngcõa ma trªn ATA v  vi l  vectì t÷ìng ùng Gi¡ trà k¼ dà cõa ma trªn

ành ngh¾a 1.2.1 Ta gåi khæng gian ành chu©n (hay khæng giantuy¸n t½nh ành chu©n) l  khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶n tr÷íng K còngvîi mët ¡nh x¤ tø X v o tªp sè thüc R, k½ hi»u l  k·k v  åc l  chu©n,thäa m¢n c¡c ti¶n · sau:

i (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = 0 ;

ii (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) kαxk = |α|kxk ;

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

ành ngh¾a 1.2.2 D¢y iºm (xn) cõa khæng gian ành chu©n X gåi

l  hëi tö tîi iºm x ∈ X, n¸u lim

i F (x) = f(x) (∀x ∈ X0) ;

ii kF kX = kf kX0

H» qu£ 1.2.1 Cho khæng gian ành chu©n X Vîi méi ph¦n tû x0

kh¡c khæng thuëc X ·u tçn t¤i mët phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc fx¡c ành tr¶n to n khæng gian X sao cho f(x0) = kx0k v  kfk = 1

1.3 nh x¤ a trà

nh x¤ a trà b­t ¦u ÷ñc quan t¥m, nghi¶n cùu v  ph¡t triºnm¤nh tø nhúng n«m 1950 Cho ¸n nay lþ thuy¸t n y ¢ ÷ñc nghi¶ncùu, ph¡t triºn kh¡ ho n ch¿nh v  ¢ t¼m ÷ñc nhúng ùng döng rëngr¢i, câ gi¡ trà trong to¡n håc công nh÷ c¡c l¾nh vüc íi sèng x¢ hëi.Ch¯ng h¤n nh÷ trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng, lþ thuy¸t tèi ÷u v  i·u khiºn,

º thuªn ti»n cho vi»c t¼m hiºu ð ch÷ìng sau, chóng tæi nh­c l¤imët sè kþ hi»u công nh÷ mët sè k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa ¡nh x¤ a tràs³ ÷ñc sû döng ð ph¦n sau Chi ti¸t cö thº ëc gi£ quan t¥m câ thºtham kh£o trong t i li»u [7,11]

ành ngh¾a 1.3.1 Cho X, Y l  hai tªp hñp b§t k¼ Mët ¡nh x¤ F tø

X v o tªp hñp gçm c¡c tªp hñp con cõa Y (÷ñc kþ hi»u l  2Y) ÷ñcgåi l  ¡nh x¤ a trà (¡nh x¤ tªp), k½ hi»u

F : X ⇒ Y

x 7→ F (x) ⊂ Y

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

T½nh ch§t 1.3.1 Theo ành ngh¾a 1.3.3, F(0) l  mët khæng giantuy¸n t½nh v  vîi måi x ∈ dom F(x) ta câ

y ∈ F (x) ⇔ F (x) = y + F (0) (1.1)

ành ngh¾a 1.3.4 Cho F : Kn

⇒ Km l  mët to¡n tû a trà tuy¸nt½nh Khi â cho chu©n cõa vectì tr¶n Kn v  Km th¼ chu©n cõa F x¡c

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

ii To¡n tû ng÷ñc cõa F l  F−1

) = Kn) ⇔ F∗ l  ìn ¡nh (F∗−1(0) = {0})hay F∗−1 l  ìn trà

T½nh ch§t 1.3.4 Cho F : Kn

⇒ Km, G : Km ⇒ Kl l  c¡c to¡n tû atrà tuy¸n t½nh Khi â

Im F ⊂ dom G ⇒ (G.F )∗ = F∗.G∗ (1.9)N¸u F l  to¡n tû a trà tuy¸n t½nh ành ngh¾a bði F(x) = FG(x) =G(x), trong â G ∈ Km×n v  x ∈ Kn th¼ chu©n cõa FG ÷ñc x¡c ành

kFGk = kGk

Tø ¥y khi · cªp ¸n to¡n tû n y vîi i·u ki»n nâ l  a trà tuy¸nt½nh, ta s³ sû döng k½ hi»u FG(x) = G(x) D¹ th§y to¡n tû li¶n hñp

(FG)∗ : (Km)∗ −→ (Kn)∗

v∗ 7−→ (FG)∗(v∗) = v∗G

công l  to¡n tû a trà tuy¸n t½nh

º ìn gi£n ta çng nh§t (FG)∗ vîi G∗ v  vi¸t

(FG)∗(v∗) = G∗(v∗) = v∗G, v∗ ∈ (Km)∗ (1.10)

Ta ¢ bi¸t G∗v l  t½ch cõa ma trªn G∗

∈ Kn×m v  vectì cët v ∈ Km

v  ta câ (G∗v)∗ = G∗(v∗)

1.4 H» i·u khiºn tuy¸n t½nh

Trong thüc ti¹n, nhi·u b i to¡n · cªp ¸n c¡c v§n · kÿ thuªt,

i·u khiºn th÷íng li¶n quan ¸n c¡c h» ëng lüc mæ t£ b¬ng c¡cph÷ìng tr¼nh to¡n håc vîi thíi gian li¶n töc hay ríi r¤c d¤ng

x0(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0

ho°c

x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2, trong â x(t) l  bi¸n tr¤ng th¡i mæ t£ èi t÷ñng ¦u ra, u(t) l  bi¸n

i·u khiºn mæ t£ èi t÷ñng ¦u v o cõa h» thèng C¡c èi t÷ñng i·ukhiºn trong c¡c mæ h¼nh i·u khiºn h» thèng ÷ñc mæ t£ nh÷ nhúng

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

kh¡c câ thº l m £nh h÷ðng ¸n sü vªn h nh ¦u ra cõa h» thèng.Nh÷ vªy ta hiºu mët h» thèng i·u khiºn l  mët mæ h¼nh to¡n håc

÷ñc mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nh to¡n håc biºu thà sü li¶n h» v o ra

x(t)

−−→ x0(t) = f (t, x, u) −−→u(t)

H» i·u khiºnMët trong nhúng möc ½ch ch½nh cu£ b i to¡n i·u khiºn h» thèng

l  t¼m i·u khiºn (¦u v o) sao cho h» thèng (¦u ra) câ nhúng t½nhch§t m  ta mong muèn Trong ph¤m vi cõa khâa luªn, chóng tæi it¼m hiºu h» i·u khiºn tuy¸n t½nh Nëi dung chi ti¸t ¢ ÷ñc tr¼nh b ytrong [4,8,12], sau ¥y chóng tæi ch¿ h» thèng l¤i mët sè ki¸n thùc cìb£n

ành ngh¾a 1.4.1 H» i·u khiºn tuy¸n t½nh x0(t) = Ax(t)+Bu(t) (∗)trong â x ∈ Kn

, A ∈ Kn×n, B ∈ Kn×m vîi K = R ho°c C ( º cho ìngi£n ta x²t K = R) ÷ñc gåi l  i·u khiºn ÷ñc n¸u vîi b§t k¼ tr¤ngth¡i ban ¦u x(0) = x0 v  b§t k¼ tr¤ng th¡i mong muèn k¸t thóc x1 th¼tçn t¤i T > 0 v  mët h m i·u khiºn o ÷ñc u(t) : [0; +∞] → Km,kh£ t½ch àa ph÷ìng sao cho x(0, 0, u) = x0, x(T, 0, u) = x1

Khi â ta công nâi r¬ng c°p ma trªn (A, B) ∈ Kn×n

× Kn×m l  i·ukhiºn ÷ñc

ành ngh¾a 1.4.2 H» i·u khiºn (∗) l  i·u khiºn ÷ñc ho n to n(GC) n¸u vîi b§t k¼ hai tr¤ng th¡i x0, x1 s³ t¼m ÷ñc mët thíi gian

t1 > 0 sao cho (x0, x1) l  i·u khiºn ÷ñc sau thíi gian t1

ành ngh¾a 1.4.3 N¸u tçn t¤i mët l¥n cªn gèc V (0) ⊂ Rn sao choh» (∗) l  i·u khiºn ÷ñc ho n to n trong V (0), th¼ h» ÷ñc gåi l 

i·u khiºn ÷ñc àa ph÷ìng (LC)

1.5 Mët sè ti¶u chu©n x²t t½nh i·u khiºn ÷ñc

cõa h» i·u khiºn tuy¸n t½nh khæng câ r ng buëc

X²t h» i·u khiºn tuy¸n t½nh







x0 = Ax + Bux(0) = x0, x ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, t ≥ 0

(1.11)

trong â A ∈ Rn×n

, B ∈ Rn×m

ành l½ 1.5.1 (Ti¶u chu©n h¤ng Kalman)

H» (1.11) l  i·u khiºn ÷ñc ho n to n khi v  ch¿ khi rank(A|B) = nvîi (A|B) = (B, AB, , An−1B) ∈ Mat(n, n × m)

Ti¶u chu©n h¤ng Kalman cán t÷ìng ÷ìng vîi k¸t qu£ sau

ành l½ 1.5.2 (Ti¶u chu©n Hautus) H» (1.11) l  i·u khiºn ÷ñc

ho n to n khi v  ch¿ khi rank(A − λI, B) = n, ∀λ ∈ C

V½ dö 1.5.1 X²t t½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h»:





Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

Kiºm tra i·u ki»n Kalman vîi n=2 ta câ

rank(A|B) = rank(B, AB) = rank

to n

Tø hai ành l½ tr¶n ta câ thº chùng minh ÷ñc ành l½ sau

ành l½ 1.5.3 Cho h» i·u khiºn (1.11), khi â c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng

i H» l  GC

ii H» l  LC

iii rank(A|B) = n

iv rank(A − λI, B) = n, ∀λ ∈ C

Chùng minh chi ti¸t ëc gi£ quan t¥m câ thº tham kh£o trong [4,5].Sau n y nâi ¸n h» (1.11) i·u khiºn ÷ñc quy ÷îc â l  i·u khiºn

÷ñc ho n to n

B¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa h»

i·u khiºn tuy¸n t½nh

Ta câ c°p (A, B) i·u khiºn ÷ñc, sau â nhi¹u (A, B) (A, ee B)

v  ta mong muèn (A, ee B) i·u khiºn ÷ñc Mët k¸t qu£ ¢ bi¸t â l ,n¸u nhi¹u (A, B) (A, ee B) mët l÷ñng  õ b², hay

e

A = A + e

B = B + th¼ ta th§y (A, ee B) v¨n i·u khiºn ÷ñc C¥u häi °t ra l  ë lîn cõanhi¹u nh÷ th¸ n o l  õ b² Düa v o b i to¡n â, th¶m núa Lee Markus

¢ chùng minh ÷ñc tªp c¡c h» khæng i·u khiºn ÷ñc l  tªp âng,n¶n ng÷íi ta ¢ ành ngh¾a b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc l  kho£ng c¡chnhä nh§t tø mët tªp h» i·u khiºn ÷ñc ¸n tªp c¡c h» khæng i·ukhiºn ÷ñc Cö thº chóng tæi s³ tr¼nh b y ð c¡c möc d÷îi ¥y

2.1 ành ngh¾a b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc

ành ngh¾a 2.1.1 Cho c°p (A, B) i·u khiºn ÷ñc, nhi¹u

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

(∆1, ∆2) ∈ Kn×(n+m) Khi â b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc rK(A, B) cõac°p (A, B) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

rK(A, B) = inf{k(∆1, ∆2)k : (∆1, ∆2) ∈ Kn×(n+m)

sao cho (A, B) + (∆1, ∆2)khæng i·u khiºn ÷ñc} (2.1)vîi k · k l  mët chu©n cõa ma trªn Sè rK(A, B) cho bi¸t ta c¦n nhi·uc°p ma trªn (A, B) bao nhi¶u º khæng ph¡ vï t½nh i·u khiºn ÷ñc.Nhªn x²t 2.1.1 Mët trong nhúng k¸t qu£ ¦u ti¶n t½nh b¡n k½nh

i·u khiºn ÷ñc l  cõa Eising, ng÷íi chùng minh cæng thùc

rC(A, B) = inf

λ∈Cσmin([A − λI, B]) (2.2)vîi σmin l  gi¡ trà k¼ dà nhä nh§t cõa ma trªn v  chu©n trong (2.2) l chu©n phê ho°c chu©n Frobenius

Têng qu¡t hìn x²t nhi¹u c§u tróc d¤ng

(A, B) ( eA, eB) = (A, B) + D∆E (2.3)trong â D ∈ Kn×l

ành ngh¾a 2.1.2 Cho mët chu©n k·k tr¶n Kl×q,b¡n k½nh i·u khiºn

÷ñc cõa c°p (A, B) chàu nhi¹u d¤ng (2.3) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

K (A, B) = inf{k∆k : ∆ ∈ Kl×q sao cho (A, ee B) = (A, B) + D∆E

khæng i·u khiºn ÷ñc}

(2.4)N¸u c°p (A, ee B) vîi (A, ee B) = (A, B) + D∆E i·u khiºn ÷ñc vîi måi

∆ ∈ Kl×q th¼ ta °t rD,E

K (A, B) = +∞

Nhªn x²t 2.1.2 Khi D, E l  c¡c ma trªn ìn và v  ∆ = (∆1, ∆2)th¼ cæng thùc (2.4) trð v· cæng thùc (2.1)

2.2 C¡ch t½nh b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc

Sau cæng thùc cõa Eising, câ nhi·u nh  to¡n håc nghi¶n cùu v 

÷a ra mët sè cæng thùc t½nh b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc Trong ph¤m

vi khâa luªn, chóng tæi t¼m hiºu ph÷ìng ph¡p mîi sû döng ¡nh x¤ atrà tuy¸n t½nh thæng qua c¡c t i li»u [10, 11] Tr÷îc ti¶n, ta câ mët v i

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

to n ¡nh

V¼ vªy, ta câ ∃y∗

0 ∈ (Cn)∗, y0∗ 6= 0 sao cho(Gλ0,∆)∗(y0∗) = (Wλ0 + D∆E)∗(y∗0) = Wλ∗

0(y0)∗ + (E∗∆∗E∗)(y0∗) = 0

Tø W∗−1

λ 0 l  ìn trà ta câ

y∗ = −(W∗−1E∗∆∗)(D∗(y∗)) v  do â (D∗(y∗)) 6= 0

Khi â

D∗(y0∗) = D∗(−(Wλ∗−1

0 E∗∆∗)(D∗(y0∗)) = −(D∗Wλ∗−1

0 E∗)(∆∗(D∗(y∗0))).V¼ vªy, tø (1.3) ta câ

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

Vîi måi ε > 0 sao cho sup

ε 6= 0) hay t÷ìng ÷ìng Wλ 0 + D4εE khæng l  to n ¡nh

Tø nhúng i·u tr¶n ta câ c°p bà nhi¹u (A, ee B) vîi (A, ee B) + D∆εE l khæng i·u khiºn ÷ñc Do â, theo ành ngh¾a ta câ

ên ành ti»m cªn v  chàu nhi¹u câ c§u tróc d¤ng A A + D∆E.

ành ngh¾a 2.2.1 Cho to¡n tû tuy¸n t½nh FG(z) = Gz trong â

G ∈ Cm×p, gi£ nghàch £o Moore-Penrose têng qu¡t F+

èi vîi nhi¹u khæng câ c§u tróc (A, B) (A, B) + (∆1, ∆2) ÷ñc chobði

Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc Nguy¹n Thà Ph÷ìng

Cæng thùc (2.10) ch½nh l  cæng thùc t½nh b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñccõa Eising

H» qu£ 2.2.2 Gi£ sû E∗E Ker Wλ ⊂ Ker Wλ vîi måi λ ∈ C Khi â,b¡n k½nh i·u khiºn ÷ñc cõa c°p (A, B) èi vîi nhi¹u câ c§u tróc d¤ng(A, B) (A, B) + D∆E, ∆ ∈ Cl×q trong â D ∈ Cn×l

Tø â suy ra d(0, (EW−1

λ D)(u)) = kEWλ+Duk vîi måi λ ∈ C

Tø ành ngh¾a 1.3.4 v  ành lþ 2.2.1 ta câ i·u ph£i chùng minh.Nhªn x²t 2.2.2

i Khi D, E l  c¡c ma trªn ìn và v  ∆ = (∆1, ∆2) th¼ cæng thùc(2.11) trð th nh cæng thùc (2.10)