Tổng hợp đề thi KSTN môn toán từ năm 19992015 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần tứ diện ABCD là nhỏ nhất... Bài 4: Cho mặt phẳng P và hai điểm C, D ở về hai phía đối với P sao cho CD không vuông góc với P... Trong số cá

on thikstn.com

Tổng hợp đề thi KSTN và lời giải môn Toán

ĐH Bách Khoa Hà Nội (1999-2017)

on thikstn.com

Lời giải 1999-2007 của anh Vũ Hữu Tiệp K52 KSTN ĐTVT

email vuhuutiep@gmail.com

https://goo.gl/bo6X1w

Lời giải 2010-2013 của anh Lương Văn Thiện K55 KSTN ĐTVT , Trần Vũ Trung

K55 KSTN ĐKTĐ, Nguyễn Văn Hưởng K58 KSTN ĐKTĐ

on thikstn.com

Kĩ sư Tài năng là chương trình đào tạo đặc biệt của ĐH Bách Khoa Hà Nội

Để thi vào chương trình này các em tân sinh viên cần có đủ điều kiện ( điểm xét hoặc điểm 2

môn Toán và Lý)

Sau đó phải thi 2 bài thi là Toán và Lý đều tự luận

Nội dung 1 nửa ôn thi đại học 1 nửa ôn thi HSG

Do nhiều em còn bỡ ngỡ nên chúng tôi mở lớp ôn thi Kĩ sư Tài năng với team dạy có trình độ

(Thủ khoa, Olympic sinh viên, HSG, ) và có kinh nghiệm : đào tạo được nhiều em đỗ Kĩ sư

Tài năng ( 80%)

Khóa học Khai giảng vào 9/7 và trước đó có 1 buổi học FREE để giải đáp thắc mắc và bổ túc

kiến thức Toán ngày 8/7

Chúng tôi có lời mời đến tất cả các bạn học sinh, anh chị sinh viên và quý phụ huynh cùng

on thikstn.com

Bài 3:Chứng minh rằng phương trình

a cos(x) + b sin(2x) + c cos(3x) = xluôn có nghiệm trên đoạn [ − π; π] với mọi số thực a, b, c

Bài 4:Tìm hàm số f (x) xác đinh trên đoạn [0; 1] biết rằng 0 ≤ f (x) ≤ 1 với mọi x ∈ [0; 1] và

|f (x1) − f (x2) | ≥ |x1− x2| với mọi x1, x2 ∈ [0; 1]

Bài 2: Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện

|f (x1) − f (x2) | ≤ |x1− x2|3∀x1, x2 ∈thì f (x) là hàm hằng

Bài 3: Cho hàm số f (x) xác định và liên tục tại mọi x 6= 0 và

Bài 4: Cho hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện

f00(x) ≥ 0∀xChứng minh rằng

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈, t ∈ [0; 1]

Bài 5: Cho các số thực k1, k2, , kn phân biệt

Chứng minh rằng:

a1ek1 x+ a2ek2 x+ + anekn x= 0∀x ∈ R ⇔ a1 = a2 = = an = 0

3 Chứng minh rằng f0(x) tăng trên đoạn [12; 1], từ đó suy ra tồn tại k sao cho : |un+1− θ| =

k |un− θ| với mọi n nguyên dương

4 Chứng minh rằng lim

n→∞un= θ

Bài 2: Với hai số thực x, y, ta đặt d(x, y) = 1+|x−y||x−y|

Chứng minh tằng với ba số thực x, y, z tùy ý, ta luôn có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Bài 3: Cho hàm số f (x) có f00(x) và a < b là các số thực Chứng minh rằng:

1 f (tx + (1 − t)y) > tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈ [a, b], t ∈ (0; 1)

on thikstn.com

Bài 1: Cho bất phương trình:

x

1 + |x| ≥ mx2 + x(1)

1 Giải bất phương trình (1) với m = 2

2 Tìm số thực m lớn nhất sao cho (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Bài 2: Cho dãy số xác định như sau:

 x1 = −13

xn+1 = xn2

2 − 1∀n ≥ 1Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó

Bài 3: Cho các số thực a1, a2, , a2002 thỏa mãn:

a0 6= 0 và a0 +a1

2 +a2

3 + + a2002

2003 = 0Chứng minh rằng phương trình: a0+ a1x + a2x2+ + a2002x2002 = 0 có nghiệm trên [0; 1]

Bài 4: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai f00(x) ≥ 0 trên R và a là 1 số thực cố

định Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) = f (x) + (a − x)f0(x) trên R

Bài 3:

1 Cho hàm số f (x) xác định và f0(x) > 0∀x ∈ R Biết rằng tồn tại x0 ∈ R sao cho:

f (f (f (f (x0)))) = x0Chứng minh rằng f (x0) = x0

 x1 = 2

x1+ x2+ + xn = n2xnTìm giới hạn lim

n→∞(n2xn)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi tham số m thì phương trình x3 − 9x + m(x2 − 1) = 0

luôn có 3 nghiệm

Bài 3: Cho hàm số f (x) xác định trên [0; 1] thỏa mãn:

|f (x) − f (y)| < |x − y| với mọi x, y ∈ [0; 1]

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 điểm x0 ∈ [0; 1] sao cho f (x0) = x0

Bài 4:

1 Chứng minh rằng nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì :

≤ (b − a)

2

4 Mvới M = max

[a;b] |f0(x)|

0

f (x)dx < 1Chứng minh rằng phương trình f (x) = sinx có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;π2)

Bài 4: Cho hàm số f (x) = xαsin1x với x 6= 0 và f (0) = 0(α là hằng số dương)

Với giá trị nào của α thì hàm số f (x) có đạo hàm tại mọi x

Bài 5: Tìm tất cả hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn:

f (x + y) = f (x) + f (y) + 2xyvới mọi x, y ∈ R

on thikstn.com

Bài 1: Tìm số nghiệm của phương trình

x3− ax2+ 4 = 0trong đó a là tham số

Bài 2: Cho dãy số un xác định như sau:

Bài 5: Cho x, y là hai đường thẳng chéo nhau A, B là hai điểm cố định trên x CD là đoạn

thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần tứ

diện ABCD là nhỏ nhất

0

x2n−1(sin x)2ndx và Vn =

π 4

R

0

x2n−1(cos 2x)2n−1dxChứng minh rằng:

1 Nếu f (x1) = f (x2) thì x1 = x2

2 Hàm số f (x) đơn điệu tăng và lim

x→+∞= f (x+1)f (x) = 1

Bài 4: Cho mặt phẳng P và hai điểm C, D ở về hai phía đối với (P ) sao cho CD không

vuông góc với (P ) Xác định vị trí hai điểm A, B thuộc (P ) sao cho AB = a (a > 0 cho trước

) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 Cho k1, k2, kn là các số thực dương khác nhau từng đôi một Chứng minh rằng nếu:

a1cos k1x + a2cos k2x + + ancos knx = 0 với mọi x ∈ Rthì a1 = a2 = = an= 0

on thikstn.com

Bài 1: Cho dãy số an thỏa mãn:

a1 = 2 và a1+ a2 + + an= n2an∀n ≥ 1Tìm lim

Bài 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn:

f (0) = 0, f (1) = 1Chứng minh rằng tồn tại hai số phân biệt a, b thuộc (0; 1) sao cho:

f0(a)f0(b) = 1

Bài 5: Cho hàm số f : [a; b] → [a; b] thỏa mãn:

|f (x) − f (y)| < |x − y| với mọi x, y ∈ [a; b], x 6= yChứng minh rằng phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất trên [a; b]

Bài 6: Cho IK là đoạn vuông góc chung của hải đường thẳng chéo nhau a, b(I ∈ a, K ∈ b).M, N

là hai điểm bất kì lần lượt thuộc a và b sao cho IM + KN = M N Trong số các điểm cách đều

các đường thẳng a, b, M N , hãy tìm điểm có khoảng cách đến mỗi đường thẳng trên là ngắn

nhất

on thikstn.com

Bài 1: Cho phương trình: x4+ x2− mx + 4 = 0(1) trong đó m là tham số

1 Giải phương trình (1) khi m = 6

2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

Bài 2:

1 Chứng minh rằng với mọi số thực a cho trước thì hàm số f (x) = |x − a| có đạo hàm

tại mọi điểm x 6= a và không có đạo hàm tại điểm x0 = a

2 Cho trước các số thực a1, a2, an khác nhau từng đôi một Chứng minh rằng:

k1|x − a1| + k2|x − a2| + + kn|x − an| = 0∀x ∈ Rkhi và chỉ khi k1 = k2 = = kn = 0

Bài 3:

1 Tìm tất cả các số thực x, y, z, p, q, r thảo mãn:

 x2+ y2+ z2− 2x − 2z − 7 = 0

p2 + q2+ r2+ 10p − 16q + 14r + 47 = 0sao cho biểu thức A = x2+ y2+ z2 + p2+ q2+ r2− 2xp − 2yq − 2zr đạt giá trị lớn nhất

2 Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By và AB = a > 0 là đoạn vuông góc chung Góc

giữa Ax, By bằng 30◦ Hai điểm C, D lần lượt chạy trên Ax, By sao cho AC + BD = d > 0

không đổi Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

Bài 4: Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn:

 f (x) ≤ x

f (x) + f (y) ≥ f (x + y)với mọi x, y ∈ R

Bài 5: Cho hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn:

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)∀x, y ∈ R, t ∈ (0; 1)Chứng minh rằng:

b

R

a

f (x)dx ≥ (b − a)f (a+b2 )

Bài 2:

1 Cho hàm số f (x) khả vi liên tục cấp hai trên [0; 1] thỏa mãn:

f00(0) = 1, f00(1) = 0Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [0; 1] sao cho f00(c) = c

1 Hàm số f (x) khả vi tại x0 được gọi là lồi(lõm) tại điểm này nếu tồn tại lân cận của điểm x0

là U (x0) sao cho với mọi x ∈ U (x0) ta có:

f (x) ≥ f (x0) + f0(x0)(x − x0)(tương ứng f (x) ≤ f (x0) + f0(x0)(x − x0)

Chứng minh rằng hàm số bất kì khả vi trên đoạn [a; b] sẽ lồi(lõm) tại ít nhất 1 điểm x0 ∈ (a; b)

2 Số nào lớn hơn trong hai số sau:

11+ 22+ + 10001000 và 22 222

Bài 4: Trong một phòng có 5 người, giữa 3 người bất kì luôn tìm được 2 người quen nhau và

2 người không quen nhau Chứng minh rằng nhóm này có thể ngồi quanh 1 bàn tròn sao cho

mỗi người đều quen với 2 người ngồi cạnh mình

Bài 5: Cho A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nhọn Chứng minh rằng:

tannA + tannB + tannC ≥ 3 + 3n

2

[cos2(cos x) + sin2(sin x)]dx.

2 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn:

2, 5m và 60 đoạn 1, 6m Hỏi cần dùng bao nhiêu thanh và cắt như thế nào để tổng số thanh là

ít nhất

x2 + 2x − 3 = 2√

x + 2

2 Hàm số y = sin(x2+ 4x + 4) có phải hàm tuần hoàn không?

3 Tìm điều khiện của a, b để phương trình x3+ ax + b = 0 có nghiệm duy nhất

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

có 1 phương án đúng Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời Hỏi xác suất thí sinh đó

đạt điểm nào là cao nhất, biết rằng 1 câu trả lời đúng được 1 điểm và trả lời sai không được

điểm nào

on thikstn.com

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:

A = sin3x + cos3x − sin x cos x + sin x + cos x

Bài 2: Cho cấp số cộng a1, a2, an, với công sai d và cấp số nhân b1, b2, , bn, với công bội

q Tính giá trị biểu thức:

A = a1b1+ a2b2+ + anbntheo a1, b1, d, q

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a Xác định

tâm và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 4: Giải hệ phương trình:







5x = 2y2− 4y + 75y = 2z2− 4z + 75z = 2x2 − 4x + 7Bài 5: Cho hàm sô sf (x) khả tích thỏa mãn:

Bài 6: Một cửa hàng bán hoa có 5 loại: Hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với

số lượn lớn Một khách hàng đến mua 20 bông hoa Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa

y = sin x sin 2x sin 3xBài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và:

SA = SB = SC = AD = 2a, AB = BC = CD = a

1 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

2, Mặt phẳng (P ) qua BC và tạo với đáy một góc 30◦ Tính theo a thể tích thiết diện của hình

chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P )

Bài 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:

y =√

x2− 2x − 3 +√2x2+ 8x + 15Bài 5: Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho 1 mảnh đất hình vuông kích thước 10m × 10m và những viên gạch hình chữ T gồm

4 ô vuông kích thước 1m × 1m Hỏi có thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch hay không? Vì

sao?

on thikstn.com

Bài 1: Tìm tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:

x3− 3(m + 1)x2+ (6m + 3)x + 4m3− 3m = 0Bài 2: Giải phương trình x2 − 2 =√5x2− 6x

Bài 3: Cho khai triển (3 + 2x + x2)20 = a0 + a1x + a2x2 + + a39x39 + a40x40 Xác định

Bài 6: Các học sinh của một khối 12 bắt buộc phải đăng kí thêm 1 trong 3 môn: Toán,Lí, Văn

Sau khi kết thúc đăng kí có 23 học sinh chỉ đăng kí môn Toán, có 76 học sinh đăng kí học Văn,

có 76 học sinh đăng kí học Toán và Văn, có 37 học sinh đăng kí hai môn Lí và Toán Hỏi khối

12 kể trên có bao nhiêu học sinh?

on thikstn.com

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3) nội tiếp đường tròn (C)

tâm I(2;4) Đường cao AH cắt BC tại D(2;2)

Tính diện tích tam giác ABC

Bài 2: Một ghế đặt quanh bàn tròn có 10 chỗ ngồi thứ tự đánh số từ 1 đến 10.Sắp xếp

ngẫu nhiên 1 tổ gồm 10 học sinh gồm 7 nam và 3 nữ vào 10 ghế quanh bàn tròn đó

Tính xác suất để có đúng 2 học sinh nữ ngồi cạnh nhau

Bài 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 liên tục trên [a; b] và tồn tại f00(x) trên [a; b]

sao cho



f0(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b]

f00(x) > 0∀x ∈ (a, b)Chứng minh rằng với mọi m ∈ [a, b] ta có

f (x) ≥ f (m) + (x − m)f0(m)∀x ∈ [a, b]

Bài 4: Cho 2 tia chéo nhau Aa và Bb 2 điểm C và D lần lượt chạy trên các tia Aa và Bb sao

cho AC=BD

Tìm quỹ tích trung điểm M của CD

Bài 5: Tìm các số nguyên không âm x, y, z thỏa mãn :

on thikstn.com

Bài 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

y = x +√

x2− 9Bài 2: Cho số phức z thảo mãn phương trình z2 − z + 1 = 0 Tính giá trị biểu thức:

A = z2018− z2017

Bài 3: Cho các số thực x,y thỏa mãn x2+ y2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức P = x5+ y5

Bài 4: Trong mặt phẳng (α) cho 2 điểm A, B cố định Trên nửa đường thẳng Bx nằm trong

(α) và vuông góc với AB lấy điểm C, và trên đường thẳng Ay vuông góc với (α) tại A lấy 1

điểm D sao cho BC+AD=l (l>0 cho trước ) Xác định vị trí của C, D sao cho mặt phẳng (β)

đi qua trung điểm CD và vuông góc với AB, cắt tứ diện ABCD theo 1 thiết diện có diện tích

lớn nhất

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Ozy cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng

với D qua A và H là hình chiếu vuông góc của D trên BE Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BDE có phương trình (c) : (x − 4)2 + (y − 1)2 = 25 và đường thẳng AH có phương trình

3z − 4y − 17 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AD

đi qua điểm M(7;2) vsf điểm E có tung độ âm

Bài 6: Cho số tự nhiên n>2 Chứng minh rằng:

a1cos x + a2cos 2x + + ancos nx = b1sin x + b2sin 2x + bnsin nx

on thikstn.com

 1+e x1

Đây là bài toán có ý tưởng giải rất trực quan

on thikstn.com

−π

(a cos x + b sin 2x + c cos 3x − x) dx

= a sin x + b2(− cos 2x) + 3csin 3x − x22

π

−π

= 0Theo định lí trung bình tích phân:

Tìm f (x) xác định trên [a; b] sao cho f (x) ∈ [a; b]∀x ∈ [a; b] và

|f (x) − f (y)| ≥ |x − y|∀x, y ∈ [a; b](1)

Giải: Trong (1), cho x = b, y = a

f (b) = a

Xét hàm g(x) = a + b − f (x) thỏa mãn điều kiện ban đầy và  g(a) = a

g(b) = bDẫn đến chỉ cần xét f (a) = a và f (b) = b

Trong (1); cho y = a:

f (x) − a ≥ x − a ⇒ f (x) ≥ x∀x ∈ [a; b]

Trong (1); cho y = b⇒ b − f (x) ≥ b − x ⇒ f (x) ≤ x∀x ∈ [a; b]

Do đó f (x) = x∀x ∈ [a; b]

Ta lại sử dụn BĐT x ≥ ln(x + 1)∀x ≥ 0 Đẳng thức xảy ra ⇔ x = 0

Nên ta kết luận ∃ lim

n→+∞xn = 0Bài 2:

Lời giải đi vào 3 ý:

f (x2) − f (x)

x2 − x

... 4: Cho hàm số f (x) = xαsin1x với x 6= f (0) = 0(α số dương)

Với giá trị α hàm số f (x) có đạo hàm x

Bài 5: Tìm tất hàm số f (x) có đạo hàm liên... nghiệm

Bài 2:

1 Chứng minh với số thực a cho trước hàm số f (x) = |x − a| có đạo hàm

tại điểm x 6= a khơng có đạo hàm điểm x0 = a

2 Cho trước số thực a1,... − 4x + 7Bài 5: Cho hàm sô sf (x) khả tích thỏa mãn:

Bài 6: Một cửa hàng bán hoa có loại: Hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với

số lượn lớn Một khách hàng đến mua 20 bơng