Tổng hợp đề thi KSTN môn toán từ năm 20152017 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

on thikstn.comTổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60 Lời Dẫn Kĩ sư Tài năng là chương trình đào tạo đặc biệt của ĐH Bách Khoa Hà Nội.. Để thi vào chương t

Trang 2

on thikstn.com

Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ôn thi tại fb.com/onthikisutainangk60

Lời Dẫn

Kĩ sư Tài năng là chương trình đào tạo đặc biệt của ĐH Bách Khoa Hà Nội

Để thi vào chương trình này các em tân sinh viên cần có đủ điều kiện ( điểm xét hoặc điểm 2

môn Toán và Lý)

Sau đó phải thi 2 bài thi là Toán và Lý đều tự luận

Nội dung 1 nửa ôn thi đại học 1 nửa ôn thi HSG

Do nhiều em còn bỡ ngỡ nên chúng tôi mở lớp ôn thi Kĩ sư Tài năng với team dạy có trình độ

(Thủ khoa, Olympic sinh viên, HSG, ) và có kinh nghiệm : đào tạo được nhiều em đỗ Kĩ sư

Tài năng ( 80%)

Khóa học Khai giảng vào 9/7 và trước đó có 1 buổi học FREE để giải đáp thắc mắc và bổ túc

kiến thức Toán ngày 8/7

Chúng tôi có lời mời đến tất cả các bạn học sinh, anh chị sinh viên và quý phụ huynh cùng

tham gia

Xem thêm: goo.gl/jXPbQi

Liên hệ:

Fanpage : https://www.fb.com/onthikisutainangk60/

Fb admin : https://www.fb.com/vuvandung.bkhn

Hotline : 0162 978 0443

Gmail : luyenthikstn@gmail.com

Trang 3

ĐỀ THI

Trang 4

on thikstn.com

2015

Bài 1: Tìm tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:

x3− 3(m + 1)x2+ (6m + 3)x + 4m3− 3m = 0 Bài 2: Giải phương trình x2 − 2 =√5x2− 6x

Bài 3: Cho khai triển (3 + 2x + x2)20 = a0 + a1x + a2x2 + + a39x39 + a40x40 Xác định

a5

Bài 4: Cho 1 hình chóp đều có 10 cạnh và các cạnh đều có độ dài bằng a Tính thể tích

hình chóp

Bài 5: Tính tích phân

1

R

0

(1 − x2)2015(1 + x)dx

Bài 6: Các học sinh của một khối 12 bắt buộc phải đăng kí thêm 1 trong 3 môn: Toán,Lí, Văn

Sau khi kết thúc đăng kí có 23 học sinh chỉ đăng kí môn Toán, có 76 học sinh đăng kí học Văn,

có 76 học sinh đăng kí học Toán và Văn, có 37 học sinh đăng kí hai môn Lí và Toán Hỏi khối

12 kể trên có bao nhiêu học sinh?

Trang 5

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3) nội tiếp đường tròn (C)

tâm I(2;4) Đường cao AH cắt BC tại D(2;2)

Tính diện tích tam giác ABC

Bài 2: Một ghế đặt quanh bàn tròn có 10 chỗ ngồi thứ tự đánh số từ 1 đến 10.Sắp xếp

ngẫu nhiên 1 tổ gồm 10 học sinh gồm 7 nam và 3 nữ vào 10 ghế quanh bàn tròn đó

Tính xác suất để có đúng 2 học sinh nữ ngồi cạnh nhau

Bài 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp 1 liên tục trên [a; b] và tồn tại f00(x) trên [a; b]

sao cho

f0(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b]

f00(x) > 0∀x ∈ (a, b) Chứng minh rằng với mọi m ∈ [a, b] ta có

f (x) ≥ f (m) + (x − m)f0(m)∀x ∈ [a, b]

Bài 4: Cho 2 tia chéo nhau Aa và Bb 2 điểm C và D lần lượt chạy trên các tia Aa và Bb sao

cho AC=BD

Tìm quỹ tích trung điểm M của CD

Bài 5: Tìm các số nguyên không âm x, y, z thỏa mãn :

3x− 2y = 2016z

Bài 6: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên cho trước, phương trình

n

X

k=1

(akcos(kx) + bksin(kx)) = x

Trang 6

on thikstn.com

2017

Bài 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

y = x +√

x2− 9 Bài 2: Cho số phức z thảo mãn phương trình z2 − z + 1 = 0 Tính giá trị biểu thức:

A = z2018− z2017

Bài 3: Cho các số thực x,y thỏa mãn x2+ y2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

thức P = x5+ y5

Bài 4: Trong mặt phẳng (α) cho 2 điểm A, B cố định Trên nửa đường thẳng Bx nằm trong

(α) và vuông góc với AB lấy điểm C, và trên đường thẳng Ay vuông góc với (α) tại A lấy 1

điểm D sao cho BC+AD=l (l>0 cho trước ) Xác định vị trí của C, D sao cho mặt phẳng (β)

đi qua trung điểm CD và vuông góc với AB, cắt tứ diện ABCD theo 1 thiết diện có diện tích

lớn nhất

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Ozy cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng

với D qua A và H là hình chiếu vuông góc của D trên BE Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BDE có phương trình (c) : (x − 4)2 + (y − 1)2 = 25 và đường thẳng AH có phương trình

3z − 4y − 17 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AD

đi qua điểm M(7;2) vsf điểm E có tung độ âm

Bài 6: Cho số tự nhiên n>2 Chứng minh rằng:

a1cos x + a2cos 2x + + ancos nx = b1sin x + b2sin 2x + bnsin nx

khi và chỉ khi a1 = a2 = = an= b1 = b2 = = bn= 0

Bài 7: Giải phương trình:

p

1 + sin4x +√

cos4x + 2cos2x + 2 = 2√

2

Trang 7

LỜI GIẢI

Trang 8

on thikstn.com

2015

Bài 1:

Giả sử m thỏa phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt Đặt f (x) là VT của phương

trình đã cho

Theo Vi-ét thì :







a + b + c = 3 (m + 1) > 0

ab + bc + ca = 6m + 3 > 0 abc = 3m − 4m3 > 0

⇒ 0 < m <

√

3 2

Ta có: f0(x) = (x − 1)(x − 2m − 1)

⇒ f0(x) = 0 ↔ x = 1 hoặc x = 2m + 1

2 cực trị trên đều dương dẫn đến hàm số có nhiều nhất 1 giao điểm với trục hoành

Dẫn đến không tồn tại m thỏa đề bài

Bài 2:

ĐKXĐ: x ≥√

2 hoặc x ≤ −√

2

Ta có:

x2− 2 =√5x2− 6x ⇔ (x2− 2)2 = 5x2− 6x

⇔ (x2− 2)2− (2x − 1)2 = x2− 2x − 1 ⇔ (x2− 2x − 1) (x2 + 2x − 4) = 0

⇔ x = 1 +√2

x = −1 −√

5 (Đối chiếu ĐKXĐ)

Phương trình đã cho có nghiệm : x = 1 +√2

x = −1 −√

5 Bài 3:

Theo khai triển Newton:

3 + 2x + x220 =

20

X

k=0

x2k(2x + 3)20−k

Nhận thấy các hạng tử chứa k > 3 thì có bậc của x lớn hơn 5

Chỉ cần xét các hạng tử có k = 0, 1, 2

Dễ dàng tính được a5

Bài 5:

1

R

0

(1 − x2)2015(1 + x) dx

=

1

R

0

(1 − x2)2015dx + 12

0

R

1

(1 − x2)2015d (1 − x2)

=

1

R (1 − x2)2015dx + 40321

Trang 9

In =

1

R

0

(1 − x2)ndx

= x(1 − x2)n

1

0−

1

R

0

x.n.(1 − x2)n−1d (1 − x2)

= 2n

1

R

0

h (1 − x2)n−1(1 − (1 − x2))idx

= 2n (In−1− In) , ∀n > 1

⇒ In= 2n+12n In−1

= (2n+1)(2n−1) 32n.(2n−2) 2 I0 = (2n+1)!!2n!!

Đáp án cần tìm: 4030!!4031!! + 40321

Bài 6:

Nhìn nhận theo lí thuyết tập hợp, bài yêu cầu tìm lực lượng của hợp ba tập hợp học sinh đăng

kí Toán, Lí và Văn

Ta cần tính thêm số học sinh học cả Toán, Lí và Văn

Số học sinh học Toán bao gồm 4 loại học sinh: chỉ học Toán, chỉ học 2 môn Toán và Văn, chỉ

học hai môn Toán và Lí, học cả 3 môn

Suy ra số học sinh học cả 3 môn: 23 + 37 + 36 − 79 = 17

Số học sinh của khối:

76 + 76 + 79 − 35 − 36 − 37 + 17 = 140 học sinh

Trang 10

on thikstn.com

2016

Bài 1:

Gọi M là trung điểm của BC

HA đi qua H, A0 nên có PT là x + y − 4 = 0

BC vuông góc với HA và đi qua A nên có x − y = 0

Biết I và pt BC suy ra M (3; 3)

~

HA = 2 ~M I nên A(−1; 5)

Suy ra R và tìm được độ dài BC, đáp số 12

Bài 2:

Số cách xếp 10 người nam nữ vào bàn tròn được đánh số: 10!

Làm theo các bước để xếp theo yêu cầu bài toán:

* Chọn 2 bạn nữ ngồi cạnh nhau, chọn thứ tự trước sau, có 4 cách

* Chọn cặp vị trí cho 2 bạn nữ, có 10 cách

* Chọn vị trí cho bạn nữ còn lại, có 6 cách

* Chọn vị trí cho 7 bạn nam còn lại, có 7! cách

Xác suất cần tìm:7!.10.6.4

10! =

1

2. Bài 3:

Khai triển Taylor ta có:

F (x) = F (m) + (x − m)F0(m) + (x − m)2F

00(c)

2 với c nằm giữa x và m.

Suy ra đpcm

Bài 4:

Chỉ ra : OM =~ AC + ~~ BD

2

Do đó nếu gọi ~u, ~v là vector đơn vị của AC, BD thì:

~

OM = AC.~u + ~v

2 Suy ra quỹ tích cần tìm là đường thẳng, khá dễ chỉ ra đường này

Bài 5:

Xét : * y = 0

Dẫn đến z 6= 0, VT chia 3 dư 2 hoặc 0, VP chia 3 dư 0, do đó VT chia hết cho 3 dẫn đến x = 0,

từ đó suy ra vô nghiệm

* y 6= 0

Dẫn đến z = 0 theo tính chẵn lẻ, pt đã cho trở thành :

3x− 2y = 1 Xét y = 1, 2, 3

Với y > 3 thì 2y chia hết cho 16 nên 3x− 1 chia hết cho 16, suy ra x = 4k

⇒ (9k− 1)(9k+ 1) = 2y Duy chỉ có hai số 2 và 4 hơn kém nhau 2 và là lũy thừa của 2, đến đây

gặp mâu thuẫn

Đáp số: (x, y, z)=(1,1,0),(2,3,0)

Trang 11

X

k=1

(akcos(kx) + bksin(kx)) = x(1) Xét f (x) =

n

P

k=1

(akcos(kx) + bksin(kx)) − x, cho x tiến tới +∞ thì f (x) tiến tới −∞, do các đại lượng lượng giác và hệ số của chúng bị chặn

Tương tự thì khi cho x → −∞ thì f (x) → +∞

Theo định lí giá trị trung gian thì pt f (x) = 0 có nghiệm, suy ra đpcm

Trang 12

on thikstn.com

2017

Bài 1:

Ta thấy hàm số này không có tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang là y=0 và 1 tiệm cận xiên

là y=2x

Bài 2:

Nhân phương trình ban đầu với z+1 thu được z3 = −1 Do đó

A = (z3)672(z2− z) = (−1)672(−1) = −1 Bài 3:

Ta thấy

(x2+ y2)5− (x5 + y5)2 = 5x2y2(x6+ y6) + 9x4y4(x2 + y2) + x4y4(x − y)2 ≥ 0∀x, y

Do đó

−32 ≤ P ≤ 32 Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn tại (x,y)=(-2,0)

Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn tại (x,y)=(2,0)

Bài 4:

Không khó để nhận thấy thiết diện đó là 1 hình chữ nhật có 4 đỉnh M,N,P,Q lần lượt là trung

diểm CA,AB,BD,DC Do đó diện tích thiết diện

S = M N ∗ N P = BC ∗ AD

4 ≤ (BC + AD)

2

16 =

l2

16 Đẳng thức xảy ra khi BC=AD=l/2

Bài 5:

Bạn đọc tự vẽ hình Gọi I(4,1) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BED

Chú ý IE và AH vuông góc ( chứng minh) do đó ta có phương trình IE là 4x+3y-19=0

Kết hợp với IE=5 suy ra E(7,-1)

Do đó phương trình AE là x=7

Từ phương trình AE và phương trình AH tìm ra A(7,1)

Từ phương trình AE và ID=5 tìm ra D(7,5)

Từ phương trình AH và Eh vuông góc với DH suy ra tọa độ H ( có 2 điểm H)

Từ tọa độ H, viết phương trình EH và AB suy ra tọa độ B

Bài toán có 2 nghiệm

Bài 6:

1 Gọi f(x) =Vế trái= Vế phải

Nhận thấy f(x) vừa là hàm chẵn , vừa là hàm lẻ nên đồng nhất 0

2 Nhận thấy cos(nx) là đa thức bậc n theo cos(x)

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp, giả sử cos(kx) là đa thức bậc k của cos(x) với mọi k<n

cos(nx)=-cos((n-2)x)+2cos(n-1)x)cos(x) nên ta có cos(nx) là đa thức bậc n của cos(x)

Như vậy nếu αn6= 0 thì vế trái là đa thức bậc n của cos(x) ( vô lý)

Do đó αn= 0

Tương tự , ta có αk = 0∀

3 Vế phải = 0 với mọi x tương đương với

Trang 13

Dó đó , tương tự ý 2 ta có βn= 0.

Và ta có βk = 0∀

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài 7:

Áp dụng bất đẳng thức Mincopski ta có :

V T =

q

12+ (sin2x)2+

q

12+ (1 + cos2x)2 ≥

q (1 + 1)2+ sin2x + 1 + cos2x2 = V P

Đẳng thức xảy ra

⇔ sin2x = cos2x + 1

⇔ cos x = 0

⇔ x = π

2 + kπ

Trang 14

on thikstn.com

Tham gia hoàn thiện

*Thành viên của Team KSTN K60 của page onthikstn.com:

Lời giải năm 2016,2017

*Anh Sơn bên tungbk.me(email: sonnguyen0707pbc@gmail.com):

Lời giải năm 2015

Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60

Tham gia hoàn thi? ??n

*Thành viên Team KSTN K60 page onthikstn.com:... data-page="12">

on thikstn.com

2017

Bài 1:

Ta thấy hàm số khơng có... class="page_container" data-page="10">

on thikstn.com

2016

Bài

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,09 MB