Giáo trình cơ học lượng tử đại học BKHN

CÁC LÝ THUYẾT TIỀN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ2.1 Bức xạ của vật đen tuyệt đối – Thuyết lượng tử năng lượng Planck Năm 1900, trong nỗ lực giải quyết một vấn đề gây khủng hoảng trong vật lý học lúc đ

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ PHI TƯƠNG ĐỐI TÍNH

2012

CHƯƠNG 1: NHỮNG NGUYÊN LÝ CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Những nguyên lý cơ sở của cơ học cổ điển đã được biết từ thời Newton (1643-1727), nhưng cấu trúc toán học của nó đạt tới mức hoàn thiện là do công của Lagrange (1736-1813), Hamilton (1805-1865) và Jacobi (1804-1851) Do đó, cơ học cổ điển thường được trình bầy dưới dạng các

hình thức luận (formalism) tương đương với nhau là cơ học Lagrange, cơ học Hamilton và phương

trình Hamilton-Jacobi và từ đó ta có thể rút ra các định luật Newton như những hệ quả

1.1 Cơ học Lagrange

Trong cơ học Lagrange, trạng thái của một cơ hệ có s bậc tự do được mô tả bởi s2 đại lượng gồm s tọa độ suy rộng q(q1,q2, q s)và s tốc độ suy rộng q (q1,q2, qs) Mọi thông tin về

cơ hệ đều nằm trong hàm Lagrange LL(q,q,t)L(q1,q2, q s;q1,q2, qs;t) Phương trình

chuyển động của cơ hệ là hệ phương trình Lagrange

i s

q

L q

L dt

d

i i

,

2,1,

Đặc biệt, đối với cơ hệ một hạt (s3), tức là một hạt khối lượng m, hàm Lagrange hay

lagrangien trong hệ tọa độ Descartes của hạt có dạng tổng quát

( , , )

2

2 2 2

z y x U m

p p p U T

z y x U m

p p p U T H

y y

x x

mv p

mv p

mv p v m

z x y

y z x

yp xp L

xp zp L

zp yp L p

r

L [ ]

(1.5)

Phương trình Lagrange của hệ chính là định luật 2 Newton

r

U dt

Trong cơ học Hamilton, trạng thái của một cơ hệ có s bậc tự do được mô tả bởi s2 đại lượng gồm s tọa độ suy rộng q(q1,q2, q s)và s xung lượng suy rộng p(p1,p2, p s) Bản thân

cơ hệ được đặc trưng bởi hàm Hamilton: H H q p t( , , )H q q( ,1 2, ;q p p s 1, 2, p t s; ) Hàm

Hamilton hay hamiltonien có vai trò rất quan trọng vì nó chính là năng lượng của cơ hệ

Phương trình chuyển động của cơ hệ là hệ phương trình chính tắc Hamilton

i i

q

H p

p

H q

Để đơn giản, ta xét một hạt chuyển động trong trường lực Trong hình thức luận Hamilton –

Jacobi, người ta dùng hàm S phụ thuộc 3 tọa độ và thời gian, gọi là hàm tác dụng đặc trưng cho

hạt

S S(r,t)S(x,y,z,t) (1.9) Phương trình chuyển động của hạt khối lượng m trong trường lực U(x,y,z)là phương trình Hamilton – Jacobi

  ( , , )

2

z y x U S m t





  (1.10) Giải phương trình trên sẽ tìm được hàm tác dụng S(r,t)

, từ đó sẽ tìm được các biến động lực quan trọng như năng lượng và vector xung lượng của hạt theo các công thức sau

t

S E

1.4 Các dấu ngoặc Poisson

Giữa 2 biến động lực f và g có định nghĩa dẫu ngoặc Poisson

Như đã biết, một hạt có 7 biến động lực H,p x,p y,p z,L x,L y,L z Giữa các biến động lực này và các tọa độ Descartes x,y,z (không phải là biến động lực) có các dấu ngoặc Poisson sau

x i,x k0 ; p i,p k0 ; x i,p kik (1.14) Trong đó, i,k 1,2,3x,y,z Các dấu ngoặc Poisson (1.14) là các dấu ngoặc Poisson cơ bản

Giữa 3 thành phần của vector mômen xung lượng có các dấu ngoặc quan trọng

L x,L yL z ; L y,L zL x ; L z,L xL y (1.15) Hay

L i,L je j k L k (1.16)

Trong đó, e j k có giá trị bằng 1 nếu 3 chỉ số i, j,k là một hoán vị chẵn; e j k có giá trị bằng 1nếu 3 số i, j,k là một hoán vị lẻ; e j k có giá trị bằng 0 nếu trong 3 chỉ số i, j,k có từ 2 trong 3 chỉ số trùng nhau Qui ước: e123 1; Thí dụ: e321 e123 1 (số hoán vị lẻ: hoán vị 1 với 3);

1123 213

231 e e 

e (số hoán vị chẵn: hoán vị 1 với 3 và hoán vị 2 với 1); e122 0; e333 0

Ký hiệu e j k gọi là ký hiệu Levy – Civita tương tự như ký hiệu Kronecker ik

Cuối cùng là các dấu ngoặc Poisson giữa hamiltonien và các biến động lực khác

x L L L

L    là bình phương độ dài vector mômen xung lượng

Định nghĩa: nếu dấu ngoặc Poison giữa 2 biến động lực bằng không, ta nói 2 biến động lực giao hoán với nhau, thí dụ các dấu ngoặc Poisson cơ bản x i,x k0;p i,p k0 của (1.14) Nếu dấu

ngoặc Poisson giữa 2 biến động lực khác không, ta nói 2 biến động lực này là không giao hoán, thí

dụ các dấu ngoặc Poisson (1.15) giữa 3 thành phần mômen xung lượng

Nhận xét: Từ (1.17), nhận thấy hamiltonien H giao hoán với 3 thành phần vector xung

lượngp x,p y,p z và từ (1.18) hamiltonien H giao hoán với thành phần trên trục zcủa vector mômen xung lượng L và bình phương độ dài vector mômen xung lượng z L2

1.5 Nguyên lý tất định Laplace

Nguyên Lý Tất Định (Certainty Principe) hay Tất Định Luận (Determinism) có nguồn gốc từ Luật Nhân Quả (The Law of Causality) cho rằng: mọi kết quả xẩy ra ở hiện tại là do các nguyên nhân

đã gây ra trong quá khứ, hay những sự kiện xẩy ra bây giờ là nguyên nhân của mọi sự kiện sẽ diễn

ra trong tương lai

Trong cơ học cổ điển, nguyên lý tất định được phát biểu dưới dạng: Nếu biết trước trạng thái ban đầu của một cơ hệ, về nguyên tắc, cơ học cổ điển có thể tiên đoán chính xác trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ trong tương lai Đó là nguyên lý tất định Laplace của cơ học cổ điển

2 CÁC LÝ THUYẾT TIỀN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

2.1 Bức xạ của vật đen tuyệt đối – Thuyết lượng tử năng lượng Planck

Năm 1900, trong nỗ lực giải quyết một vấn đề gây khủng hoảng trong vật lý học lúc đó: bức xạ của một vật đen tuyệt đối, Planck (!858-1947) đã đề xuất một ý tưởng táo bạo về sự lượng tử hóa năng lượng , hoàn toàn xa lạ với vật lý học cổ điển Theo đó, vật đen tuyệt đối sẽ phát xạ hay hấp thụ năng lượng một cách gián đoạn dưới dạng từng lượng tử năng lượng (energy’s quantum) Mỗi

lượng tử năng lượng chứa một lượng năng lượng tỷ lệ thuận với tần số của bức xạ và có giá trị bằng

 hf  (2.1) Trong đó, f là tần số và  2 f là tần số góc của bức xạ Hệ số h là một hằng số cơ bản được

gọi là hằng số Planck h6,6251034Js và h 2 1,0541034Js gọi là hằng số Planck rút gọn Do đó, năng lượng của vật đen tuyệt đối sẽ là tổng các lượng tử năng lượng

,

3,2,1

Trong đó, c2,9979108m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không và k B 1,38061023J/K

là hằng số Boltzmann Với công thức Planck trên, vấn đề bức xạ nhiệt cân bằng của vật đen tuyệt

đối, một trong hai bế tắc lớn của vật lý học đầu thế kỷ 20, đã được giải quyết trọn vẹn

Từ công thức Planck (2.3), dễ dàng tìm được các công thức của Rayleigh – Jeans và Wien coi như các trường hợp đặc biệt Thật vậy,

Khi k B T hay 0 h k B T , tức là bức xạ điện từ có bước sóng rất nhỏ, ta sẽ có

1)(

exp  k T  và có thể bỏ số 1 ở mẫu số Từ công thức Planck sẽ tìm được công thức Wien



(2.5)

Lưu ý rằng, sự khác biệt căn bản là: các công thức Rayleigh – Jeans và Wien đều dựa trên quan

niệm về sự phát ra hay hấp thụ một cách liên tục các bức xạ Chúng chỉ là các công thức gần đúng

2.2 Hiệu ứng quang điện – Thuyết lượng tử ánh sáng Eisntein

Năm 1905 Einstein (1879 - 1955) đã phát triển ý tưởng lượng tử năng lượng của Planck và đề

xuất thuyết lượng tử ánh sáng hay thuyết photon , theo đó cho rằng bức xạ điện từ và ánh sáng là tập hợp vô số các lượng tử ánh sáng hay các photon Nói khác đi, Einstein đã lượng tử hóa các

bức xạ điện từ, tức là xem bức xạ điện từ và ánh sáng cấu tạo rời rạc từ các “hạt ánh sáng” hay các photon

So sánh các đặc trưng sóng và các đặc trưng hạt của ánh sáng:

Như vậy, ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt, ánh sáng có lưỡng tính sóng – hạt

Theo thuyết lượng tử ánh sáng, các photon  có khối lượng m 0, tốc độ c3108m/s, điện tích q 0 nhưng có spin s 1, do đó chúng tuân theo phân bố Bose – Einstein

Thuyêt lượng tử ánh sáng đã giải thích thành công 3 định luật thực nghiệm của hiệu ứng quang điện, mà thuyết sóng điện từ về ánh sáng của Maxwell (1831-1879) đã không thể giải thích được

Lưu ý rằng để thiết lập công thức vector xung lượng của photon p k





 , Einstein đã sử dụng hệ thức giữa năng lượng và xung lượng của một hạt tương đối tính 2 4 2 2

c p c m

E  , đó là một hệ thức quan trọng của thuyết tương đối hẹp

Vì photon độ có khối lượng m 0, do đó, năng lượng của photon sẽ là

 hf  pc (2.6) Suy ra

k

c c

Trong đó, n là vector đơn vị chỉ phương truyền ánh sáng và  c2 cT 2 , với cT là

bước sóng ánh sáng trong chân không

Do đó, ta tìm được biểu thức vector xung lượng của photon

p k



  (2.8)

2.3 Hiệu ứng Compton

Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell cũng thất bại hoàn toàn trong giải thích hiệu ứng

Compton về tán xạ chùm tia X (tia Roentgen) lên các electron tự do giả thiết đứng yên

Để giải thích hiệu ứng Compton, ta không thể xem chùm tia X như là sóng điện từ có bước sóng cực ngắn theo thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell mà phải xem chúng là chùm photon có tần

số rất cao theo thuyết lượng tử ánh sáng của Einstein

Các photon có năng lượng cao va chạm đàn hồi với các electron tự do giả thiết đứng yên tuân theo định luật bảo toàn năng lượng

2 2

2 2

1 v c

c m f

h c m

Và định luật bảo toàn xung lƣợng

2 2

1 v c

v m k

   cos

1

cos

2 2

c v

v m c

c v

v m c

4 2 





 C (2.14) Trong đó, C  m e c2,21011m gọi là bước sóng Compton của electron

Dễ dàng tìm đƣợc động năng T của electron sau va chạm đàn hồi với photon

 

 2sin2

2sin2

Hiệu ứng Compton chứng minh tính đúng đắn của thuyết photon Einstein và khẳng định về tính chất hạt của ánh sáng Do đó, các photon cần được xem là những hạt tương tự như electron,

positron, proton, neutron, neutrino, …

Nhưng vì các hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng lại chứng minh bản chất sóng của ánh sáng Do đó, ánh sáng có tính lưỡng nguyên, vừa là hạt và vừa là sóng

2.4 Giả thuyết De Broglie

Năm 1924, Louis de Broglie (1892-1987) đã đưa ra một ý tưởng thiên tài cho rằng: không phải chỉ

ánh sáng hay các photon mới có lưỡng tính sóng hạt Nó là một thuộc tính phổ biến của mọi hạt

vật chất Do đó, tất cả các hạt vật chất đã biết như: electron, positron, proton, neutron, …đều có lưỡng tính sóng – hạt

Theo ý tưởng của De Broglie, một vi hạt tự do có năng lượng E và vector xung lượng p

liên kết với một sóng phẳng – đơn sắc có tần số E  và vector sóng k p 

Sóng phẳng – đơn sắc liên kết với vi hạt tự do có dạng

exp)

(exp)

,(r t 0 i p r Et 0 i k r t

gọi là sóng De Broglie hay sóng vật chất (matter wave)

So sánh vi hạt tự do và sóng De Broglie liên kết với nó

Ta biết rằng, photon liên kết với sóng điện từ phẳng – đơn sắc hay sóng ánh sáng phẳng – đơn sắc,

đó là các sóng tồn tại thực

Các hạt vật chất như electron, proton, neutron,…cũng tồn tại thực, nhưng các sóng De Broglie liên kết với chúng không phải là các sóng tồn tại thực như sóng điện từ hay sóng ánh sáng

Vậy bản chất của sóng De Broglie là gì?

Theo giải thích của tác giả, sóng De Broglie liên kết với các hạt vật chất tương tự như cái phao

tiêu dao động và trôi dạt trên sóng nước, do đó, sóng De Broglie còn được gọi là sóng hoa tiêu (pilot wave) hay sóng vật chất (matter wave) Nhưng giải thích De Broglie nhanh chóng bị bác bỏ

bởi Pauli (1900-1958) trong hiệu ứng tán xạ phi đàn hồi

Giải thích bản chất hàm sóng được thừa nhận trong vật lý hiện đại là giải thích thống kê do Max

Born (1982-1970) phát biểu năm 1953

2.5 Thí nghiệm Davisson – Germer

Năm 1927, Davisson (1891-1958) và Germer (1896-1971) đã thực hiện thí nghiệm tán xạ chùm tia electron trên đơn tinh thể, kết quả nhận được hình nhiễu xạ electron trên kính ảnh tương tự như hình nhiễu xạ của chùm tia X trên đơn tinh thể mà Laue (1879-1960) đã thực hiện

Điều này chứng tỏ rằng chuyển động của các electron có tính chất sóng, đồng thời giả thuyết De

Broglie đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm

Như vậy, lưỡng tính sóng-hạt không phải là đặc tính riêng của photon mà là một thuộc tính phổ biến của mọi hạt vật chất như electron, proton, neutron,…

Đây là một khám phá rất quan trọng và chứng tỏ rằng các định luật chuyển động của các hạt vi

mô hoàn toàn khác với qui luật vận động của các vật thể vĩ mô

Các cực đại nhiễu xạ electron thỏa mãn công thức

,

3,2,1,0

;

d  D (2.16) tương tự như công thức Wulf-Bragg dsin 2n trong nhiễu xạ chùm tia X

Thay D h 2m e E h 2m e eU vào (2.16) ta sẽ có công thức



sin

2m e U d

nh

e

 (2.17)

đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm

2.6 Vận tốc pha và vận tốc nhóm của sóng De Broglie

Khi đạo hàm pha  krt của sóng De Broglie theo thời gian, sẽ có: d dtku0

Do

đó

k u

u  

(2.18) Trong đó, u d r dt

 gọi là vận tốc pha của sóng De Broglie và độ dài của vector sóng bằng



k k

Quan hệ giữa tần số  và vector sóng k trong sóng De Broglie khá phức tạp Thật vậy,

i) Đối với sóng De Broglie liên kết với vi hạt phi tương đối tính, từ hệ thức giữa năng lượng và

xung lượng, E  p2 2m và từ các hệ thức Planck E  và Einstein p k

k m

k m

p E

22

22

2 2

ii) Đối với sóng De Broglie liên kết với vi hạt tương đối tính, từ hệ thức giữa năng lượng và xung

lượng trong thuyết tương đối hẹp, Ec p2 m2c2 , ta có

(k) c 2k2 m2c2



 (1.2.21) Trong trường hợp, vc hay k  m c, ta có thể khai triển

2

2 

Lưu ý: Đối với sóng điện từ hay sóng ánh sáng trong chân không, hệ thức giữa tần số  và vector

mc p

E k k u

2 2

Tóm lại, vận tốc pha u không phải là vận tốc chuyển động của vi hạt

Để thay thế khái niệm vận tốc pha u không có ý nghĩa vật lý, người ta đưa vào khái niệm vận tốc nhóm v được định nghĩa như sau g

k dk

d

v g      

(2.25)

Vận tốc nhóm vg

của sóng De Broglie trùng với vận tốc v

của vi hạt liên kết với nó

ii) Đối với vi hạt tương đối tính,

 

  dp

dE k d

d dk

Mặt khác, từ công thức F p dt

 , ta có

v p

dE v

v p dt

s d p s d dt

p s d F

2.7 Bó sóng De Broglie

Khi khảo sát kỹ hình nhiễu xạ electron, người ta thấy các vân tròn ứng với các cực đại nhiễu xạ không thanh nét mà có bề rộng

Điều này chứng tỏ rằng sóng De Broglie liên kết với các electron có thể có vector sóng k khác nhau chút ít và giá trị của k nằm trong một dải hẹp quanh giá trị k0 nào đó

k k k k

k0    0  (2.28)

Do đó, thay vì một hàm sóng De Broglie phẳng-đơn sắc, ta cần phải xét hàm sóng tổng hợp các

hàm sóng De broglie phẳng-đơn sắc ứng với các vector sóng k biến thiên trong dải hẹp như trên

Để đơn giản tính toán, ta chỉ xét trường hợp 1D (vi hạt chuyển động dọc theo trụcx) Ta có

x t C k ik x k t dk

k k

k k

)(exp

)()

,(

()

2 0

0

0 0

d k

k dk

d k

k

k k k

v k k

k dk

d k

()

g d dk

v    và ký hiệu 0

t v x k k

C t x C

 

t v x

t v x k k

C e

e t v x i

k C

d t v x i k

C d t v x i k

C t x

C

g

g k

t v x i k t v x i g

k k

k k

g g

g g

sin)(2]

[

)(

)][

(exp)

(exp

)(),

(

0 )

( )

( 0

Khi z0 suy ra xv g t 0 Do đó, vận tốc nhóm v g dx dtchính là vận tốc của tâm bó sóng

De Broglie Điều này gợi ý rằng không phải sóng De Broglie phẳng-đơn sắc mà chính là bó sóng

De Broglie mới liên kết với vi hạt tự do.Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được bó sóng De

Broglie không ổn định và nhanh chóng tan rã, trong khi đó vi hạt như electron rất bền vững Mặc dù nỗ lực giải thích bản chất sóng De Broglie và liên kết nó với vi hạt tự do thất bại, nhưng giả thuyết De Broglie đã góp phần rất quan trọng trong việc tìm hiểu và khám phá các qui luật vận động của thế giới vi mô

),

Bây giờ ta tính các đạo hàm riêng theo các tọa độ x,y,z và thời gian t

 (2.38)

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

p z

p y

p x

2 2 2 2 2







p p

p p z

y x

z y x

(2.40)

So sánh 2 phương trình (2.38) và (2.40) và từ hệ thức giữa năng lượng E và vector xung lượng ptrong cơ học cổ điển E  p2 2m, trong đó m là khối lượng vi hạt, dễ dàng tìm được phương trình sau

 2m2 [EU(x,y,z)]0

 (2.43)

Phương trình chuyển động của một vi hạt trong trường lực thế được tìm ra nhờ trực giác thiên tài của Schrodinger và nó chính là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối

Phương trình (2.43) là phương trình Schrodinger cho một vi hạt ở trạng thái dừng

Trường hợp tổng quát, phương trình Schrodinger cho một vi hạt chuyển động trong trường lực thế

có dạng như sau

i ˆ (2.44)

Trong đó, Hˆ là một toán tử gọi là toán tử Hamilton cho bởi công thức sau

),,(2

),,(2

ˆ

2 2 2 2 2

2 2 2

z y x U z y x m z

y x U m

2.9 Thí nghiệm Franck – Hertz

Năm 1913, Frank (1882-1964) và Hertz (1887-1975) đã tiến hành một thí nghiệm để chứng minh phổ năng lượng của nguyên tử là gián đoạn

Sơ đồ trên H 1.10, mô tả một triode gồm một cathode dạng trục K được đốt nóng để phát ra các electron và một anode A có dạng lưới hình trụ bao quanh trục cathode K Ngoài cùng là một cực góp (electrode) Z cũng có dạng hình trụ bao quanh anode A

Khi chuyển động trong điện trường giữa cathode và anode, các electron có năng lượng không vượt quá 4,9eV đều có thể xuyên qua lưới của anode mà không bị mất mát năng lượng Sự trao đổi năng lượng do va chạm đàn hồi giữa các electron và các nguyên tử thủy ngân (hơi thủy ngân choán đầy trong triode) có thể bỏ qua

Quan sát cho thấy, dòng điện được tăng dần đến khi năng lượng của các electron đạt mức 4,9eV , sau đó dòng điện sụt giảm rất nhanh Rõ ràng rằng các nguyên tử thủy ngân đã hấp thụ phần năng lượng mà các electron mất đi trong va chạm Các electron không đủ năng lượng sẽ đi đến cực góp

Z Nguyên tử thủy ngân sau khi hấp thụ năng lượng của electron sẽ phát ra photon có bước sóng

đặc trưng  0,2537m Tiếp tục tăng dòng điện, các electron sẽ có đủ năng lượng đến mức

2.10 Thuyết nguyên tử Bohr – Sommerfeld

a) Thuyết nguyên tử Rutherford: Năm 1911, sau khi nghiên cứu kết quả thí nghiệm tán xạ

chùm hạt  trên tấm vàng (Au) dát mỏng, Rutherford (1871-1937) đã đề xuất thuyết hành tinh

nguyên tử Theo thuyết này, nguyên tử là một hệ điện tích bao gồm một hạt nhân mang điện tích

dương Ze , khối lượng khoảng 1836m e, kích thước rất nhỏ cỡ 1015m và Z electron mang điện tích âm e 19C

106,

1  

101,

9   quay xung quanh hạt nhân tương tự như các hành tinh quay xung quanh mặt trời

Thuyết hành tinhnguyên tử của Rutherford tuy đẹp và có tính trực quan nhưng đã nhanh chóng

bị bác bỏ bởi một lý do rất đơn giản: Theo điện động lực học cổ điển Maxwell, các electron mang điện tích, trong chuyển động có gia tốc xung quanh hạt nhận, sẽ bức xạ ra sóng điện từ

Do đó, chúng sẽ mất dần năng lượng và rất nhanh (khoảng 108s) sẽ rơi vào hạt nhân, như vậy, nguyên tử không bền vững Nhưng thực tế chứng tỏ nguyên tử rất bền vững và điều này đã được chứng minh bởi các phản ứng hóa học: không thể phân chia được nguyên tử

Mặt khác, khi electron mất dần năng lượng do bức xạ ra sóng điện từ, quang phổ của hyđrô phải

là quang phổ liên tục, nhưng thực nghiệm cho thấy quang phổ của hyđrô lại là quang phổ vạch

b) Thuyết nguyên tử Bohr: Năm 1913, Bohr (1885-1962), trong nỗ lực cứu vớt thuyết nguyên tử Rutherford , đã bổ xung thêm ba tiên đề:

Tiên đề thứ nhất: Tồn tại một số các quĩ đạo dừng hay quĩ đạo lượng tử, sao cho khi chuyển động

trên các quĩ đạo này, electron không bức xạ ra sóng điện từ Nói khác đi, khi chuyển động trên các quĩ đạo dừng, năng lượng của electron bảo toàn

Tiên đề thứ hai: Khi electron di chuyển từ quĩ đạo dừng này đến quĩ đạo dừng khác, nguyên tử sẽ

phát xạ hay hấp thụ cóng điện từ (photon) có tần số xác định bởi công thức

h

E E

n m



 hay



n m n m

E



 (2.46)

Tiên đề thứ ba: Mômen xung lượng của electron trong chuyển động trên các quĩ đạo dừng xung

quanh hạt nhân có các giá trị gián đoạn

L z  p m e r vn ; n1,2,3, (2.47)

Kết hợp 3 tiên đề trên với cơ học và điện động lực học cổ điển, Bohr đã tìm được công thức năng lượng năng lượng của electron nhận các giá trị gián đoạn hay lượng tử hóa

Thật vậy, trong nguyên tử hyđrô, hạt nhân và electron tương tác với nhau bằng lực tĩnh điện

Coulomb F C và nó cũng chính là lực hướng tâm F n để giữ electron chuyển động trên quĩ đạo tròn

2

2 2

r

e r

v m F

v m

e r

e

 (2.49) Theo tiên đề thứ ba, ta có

r n (2.50)

Từ (2.49) và (2.50), dễ dàng tìm đƣợc bán kính lượng tử hóa của electron

r

e n

a

e

8 2

2 4 2

2

4 2

2

122

e m n

e m n

e m r

e v m U T

;1

1 2

e m

c) Thuyết nguyên tử Bohr-Sommerfeld

Năm 1916, Sommerfeld (1868-1951) đã tổng quát hóa thuyết nguyên tử Bohr bằng đề xuất một qui tắc lượng tử hóa mới thay thế cho tiên đề thứ ba của Bohr

p i dq i n i h (2.56) Trong đó, p i là xung lượng suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng q i và h6,6251034Js là hằng số Planck Các số lượng tử n i là các số nguyên và tích phân được lấy theo toàn bộ chu kỳ chuyển động của vi hạt

Đồng thời Sommerfeld giả thiết rằng các electron chuyển động theo các quĩ đạo ellipse xung quanh hạt nhân và hạt nhân nằm ở một trong hai tâm sai tương tự như các quĩ đạo của các hành tinh quay

xung quanh mặt trời

Trục chính của ellipse có độ dài bằng đường kính quĩ đạo tròn tương ứng trong mẫu nguyên tử Bohr, còn truc phụ có độ dài xác định theo tỷ số m n của độ dài trục chính

Thí dụ, n5,m1,2,3,4,5, tức là ứng với n5 sẽ có 5 quĩ đạo ellipse với trục phụ có độ dài bằng

55,54

Từ qui tắc lượng tử hóa (2.56), ta có thể tìm lại được hệ thức năng lượng của electron (2.55) trong

nguyên tử hyđrô do Bohr đã phát minh từ 1913

Thật vậy, theo qui tắc lượng tử hóa ((2.56), sẽ có hai tích phân

pd nh (2.57)

h n dr

 (2.58)

Khi chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm của hạt nhân ứng với thế năng U(r)e2 r , electron có hai biến động lực bảo toàn là năng lượng E

const

r

e m

p m

p E

e e

r   

2 222



(2.59)

và hình chiếu mômen xung lượng trên trục z: LL z

const r

m p

2

2

r m

L r

e E m p

e e

r    (2.62) Thay (2.62) vào tích phân (2.58), ta có

2 2

2 2

e r

r m

L r

e E m dr

p dr

Trong đó, rmin và rmax là bán kính ứng với các điểm cực cận và điểm cực viễn, được xác định từ phương trình r0

Tích phân trên được tính bằng phương pháp tích phân chu tuyến trong mặt phẳng phức khá

phức tạp Bỏ qua cách tính tích phân, ở đây ta chỉ đưa ra kết quả

h n C A

B i dr

r

C r

B A dr

r m

L r

e E m

2

max

min max

min

2 2

2 2

(2.64) Trong đó, ta ký hiệu:

2

0,

2

e m B

n i L i C

E E

m i

e m n

n E m

e m h

n n

i E m i

e m

e

e r

e

e r

Bình phương 2 vế hệ thức sau cùng của (2.66), ta sẽ có

,

3,2,1,

12

4 2

2 4 2

n E m

e

n e

e



Đó chính là công thức năng lượng của electron trong nguyên tử hyđrô mà Bohr đã tìm được từ

1913 Tuy nhiên, phương pháp Sommerfeld có tính tổng quát hơn

Nhận xét: Thuyết nguyên tử Bohr đã có thành công lớn trong việc thiết lập được công thức năng

lượng của electron trong nguyên tử hyđrô và chứng minh rằng năng lượng của electron lượng tử hóa Do đó đã giải thích thành công quang phổ vạch của hyđrô Phổ giá trị tần số ứng với các dải quang phổ tính theo thuyết nguyên tử Bohr hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm

Thuyết nguyên tử Bohr còn có thể mở rộng và áp dụng cho các nguyên tử đồng dạng hyđrô hay các nguyên tử kim loại kiềm Thuyết nguyên tử Bohr-Sommerfeld đã tổng quát hóa và hoàn

thiện thuyết nguyên tử Bohr

Tuy nhiên, thuyết nguyên tử Bohr-Sommerfeld có những yếu điểm lớn:

a) Thuyết Bohr-Sommerfeld là một lý thuyết hiện tượng luận (phenomendology), trong đó,

Bohr và cả Sommerfeld đã kết hợp cơ học cổ điển với các tiên đề hoàn toàn không liên quan đồng thời mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học cổ điển Đó là sự kết hợp thành công nhưng chỉ đúng cho nguyên tử hyđrô và các nguyên tử đồng dạng hyđrô

b) Thuyết Bohr- Sommerfeld hoàn toàn bất lực khi áp dụng cho nguyên tử hêli và các nguyên

tử có nhiều electron khác Điều đó chứng tỏ thuyết Bohr-Sommerfeld chỉ là một thuyết trung gian trong quá trình tìm kiếm một lý thuyết logic, phi mâu thuẫn cho các nguyên tử 2.11 Kết luận: Các lý thuyết tiền cơ học lượng tử dựa trên hai ý tưởng cơ bản

a) Lưỡng tính sóng-hạt là thuộc tính phổ biến của mọi hạt vật chất, tức là, chuyển động của các hạt vật chất có tính chất sóng, nhưng tính chất hạt của chúng vẫn giữ nguyên b) Lượng tử hóa là đặc trưng cơ bản của thế giới vi mô, tức là, các biến động lực cơ bản của các vi hạt nhận các giá trị gián đoạn

Mặc dù có các yếu điểm trên nhưng các thuyết lượng tử cũ là những tiền đề quan trọng để xây

dựng một học thuyết mới cho thế giới nguyên tử

Để xây dựng một học thuyết mới cho thế giới nguyên tử, cần có các cá nhân kiệt xuất có thể khái

quát hóa hai ý tưởng cơ bản trên Học thuyết đó chính là cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử, một học thuyết logic, phi mâu thuẫn cho thế giới nguyên tử, không phải do một vĩ nhân khám phá ra mà là do một tập thể các nhà vật lý thiên tài: Bohr, Einstein, De

Broglie, Schrodinger, Heisenberg, Max Born, John Von Neumann, Pauli, Dirac,…xây dựng trong khoảng thời gian tử 1925 đến 1935

Các kết luận và hệ quả rút ra từ cơ học lượng tử hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm

Lưu ý: Cơ học lượng tử hiện đại còn đưa vào ý tưởng cơ bản thứ ba là tính vướng mắc lượng tử (quantum entanglement) do đó đã giải thích thành công nghịch lý EPR và bác bỏ ý tướng tham

số ẩn của Einstein Đồng thời tính vướng mắc lượng tử là cơ sở cho các ngành khoa học và công

nghệ mới như mật mã lượng tử, viễn tải lượng tử, máy tính lượng tử…

3 NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH

3.1 Nguyên lý bất định Heisenberg (Heisenberg’s Uncertainty Principe)

Năm 1927, Heisenberg (1901-1976), trong nỗ lực tìm kiếm một thuyết lượng tử mới thay thế các

lý thuyết lượng tử cũ, cho rằng không thể áp dụng cứng nhắc các khái niệm cơ bản về chuyển động của cơ học cổ diển cho các hệ lượng tử

Trong quá trình phát triển cơ học ma trận, một phiên bản (version) của cơ học lượng tử,

Heisenberg đã phát biểu nguyên lý bất định, nội dung như sau: Trong nguyên tử, các electron không chuyển động chính xác theo các quĩ đạo xác định

Nói khác đi, không tồn tại khái niệm quĩ đạo đối với electron trong nguyên tử

Từ thí nghiệm Davisson-Germer, ta thấy rằng chuyển động của electron có tính chất sóng Đặc trưng của qúa trình sóng là sự lan truyền trong không gian, do đó, không thể biết chính xác vị trí của electron tại một thời điểm nào đó Tức là electron không thể có quĩ đạo xác định

Việc loại bỏ khái niệm quĩ đạo của electron sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu: tọa độ và tốc độ của

electron không được xác định đồng thời

Thật vậy, nếu tọa độ và tốc độ electron xác định đồng thời ở mọi thời điểm, ta có thể dễ dàng vẽ được quĩ đạo của nó

Xét hệ một hạt Trạng thái của hạt tự do cổ điển xác định bởi ba tọa độ không gian x,y,z và ba thành phần của vector vận tốc v x,v y,v z Nhưng theo hệ quả của nguyên lý bất định, tọa độ và tốc

độ của hạt tự do lượng tử không xác định đồng thời, do đó, trạng thái của một hạt tự do lượng tử

sẽ được xác định kém chi tiết hơn trạng thái của một hạt tự do cổ điển

Đó là bản chất của hệ lượng tử chứ không phải do kỹ thuật đo lường của chúng ta kém chính xác

Dù cho kỹ thuật đo lường sau này tinh vi đến mức nào, về nguyên tắc, không thể xác định đồng thời tọa độ và tốc độ của một hạt lượng tử

Cần lưu ý: mặc dù electron không chuyển động theo quĩ đạo xác định nhưng không có nghĩa electron sẽ là sóng theo ý nghĩa cổ điển mà chỉ ngụ ý rằng chuyển động của electron có tính chất sóng, nhưng bản chất electron vẫn là một hạt và không hề mất đi tính nguyên vẹn và tính bền vững của nó Quả vậy, mỗi electron khi đập vào kính (phim) ảnh đều để lại một chấm đen nhỏ xíu (trên

âm bản là chấm sáng) Tập hợp các chấm đen với số lượng ít được sắp xếp hầu như hỗn loạn

nhưng với số lượng đủ lớn, chúng lại được sắp xếp theo qui luật để tạo ra hình nhiễu xạ electron

3.2 Hệ thức bất định Heisenberg

Giải thích nguyên lý bất định bằng ngôn từ là một việc không hề dễ do tính khái quát cao của nó

Do đó, người ta thường giải thích nguyên lý bất định bằng toán học dưới dạng một bất đẳng thức

 hay bất định về xung lượng

 2 2

x x

 (theo định nghĩa của vật lý thống kê) không liên quan và không phải là các

sai số ngẫu nhiên hay bất kỳ loại sai số nào khác

m v

x x  2

 (3.2)

Trong đó, 2  2

x x



v x Nói khác đi, tọa độ và tốc độ của hạt vĩ mô được xác định đồng thời

Nhưng khi áp dụng hệ thức bất định (3.2) cho electron với khối lượng m e 9,11031kg, ta có

1010

1,9210

054,1





trong thế giới nguyên tử Do đó, ta có xv x 0, từ đó suy ra nếu x0 thì v x , tức là

nếu biết chính xác tọa độ của electron thì sẽ không thể xác định được tốc độ của nó Ngược lại

nếu v x 0 thì x, tức là nếu biết chính xác tốc độ của electron thì sẽ không biết nó ở đâu Tóm lại, tọa độ và tốc độ của một hạt vi mô không thể xác định đồng thời và đó cũng chính là nội

dung của nguyên lý bất định Heisenberg

Hệ thức bất định Heisenberg là biểu thức mô tả lưỡng tính sóng-hạt của các vi hạt rõ ràng nhất, điển hình nhất và chứng minh rằng vi hạt chuyển động không theo quĩ đạo 3.3 Vấn đề xác định tọa độ của vi hạt

Như trên ta đã biết: tọa độ và tốc độ của vi hạt không thể được xác định đồng thời Nhưng tại sao như vậy? Ta sẽ phân tích kỹ hơn về vấn đề này

Để xác định tọa độ của một vật thể vĩ mô, thí dụ, một cái ô-tô đang chuyển động trong đêm tối, từ trên máy bay trực thăng, người ta chiếu đèn pha vào nó Tương tự, để xác định tọa độ một vi hạt, thí dụ, electron đang chuyển động xung quanh hạt nhân nguyên tử, ta có thể chiếu vào nó một tia sáng với bước sóng xác định

Tuy nhiên nếu kích thước của vật được chiếu sáng nhỏ hơn hay cùng cỡ với bước sóng ánh sáng ta

sẽ không thể phân biệt được vật, vì sự nhòe sáng Do đó bước sóng ánh sáng phải nhỏ hơn kích

r hc

hc  0 6,62510 343108 10 15 10 10 109

electron một xung lượng khổng lồ Do đó, để xác định chính xác vị trí electron ta sẽ không thể xác định được xung lượng hay vận tốc của nó bằng bao nhiêu Ngược lại nếu xác định được chính xác

xung lượng hay vận tốc của electron ta không thể biết nó ở đâu Đó là sự nhòe lượng tử

Như vậy thế giới vi mô đã áp đặt một giới hạn đối với sự hiểu biết của chúng ta

Giả thiết nếu biết đầy đủ trạng thái của một vi hạt ở thời điểm ban đầu, về nguyên tắc, ta sẽ không thể xác định được một cách đơn trị trạng thái của vi hạt ở một thời điểm bất kỳ trong tương lai Điều này rõ ràng trái với nguyên lý tất định mà hầu tước Laplace hết lòng ca ngợi, tức là, nguyên

lý tất định Laplace không còn đúng trong thế giới vi mô Thay thế nó là nguyên lý bất định

Heisenberg

Cách mô tả như trên của cơ học cổ điển không thể áp dụng để mô tả trạng thái một hệ lượng tử có cùng bậc tự do, vì theo nguyên lý bất định Heisenberg, tọa độ và tốc độ hay tọa độ và xung lượng không thể xác định đồng thời

Thí dụ, một electron tự do có s3 bậc tự do, không thể sử dụng đồng thời 3 tọa độ x,y,z và 3 thành phần xung lượng p x,p y,p z Ta chỉ có thể sử dụng 3 tọa độ x,y,z hoặc sử dụng 3 thành phần xung lượng p x,p y,p z Trạng thái lượng tử của electron được xác định bởi hàm sóng tọa độ

),,

,

(x y z t





 hoặc hàm sóng xung lượng (p x,p y,p z,t)

Trường hợp tổng quát, trạng thái của một hệ lượng tử có s bậc tự do được xác định bởi hàm sóng tọa độ

s chiều gọi là không gian xung lượng (momentum space)

Đặc biệt nếu s 3, không gian cấu hình chính là không gian Euclide 3D có yếu tố thể tích vi phân

Nhận xét: Hàm sóng tọa độ của hệ lượng tử có s bậc tự do (q,t)(q1,q2, q s,t) có dạng

tương tự như hàm tác dụng của một hệ cổ điển có cùng bậc tự do S(q,t)S(q1,q2, q s,t) 4.2 Giải thích thống kê Max Born về hàm sóng

Ta biết rằng hàm sóng của một sóng đàn hồi hay sóng điện từ là các hàm thực có ý nghĩa vật lý trực tiếp Mặc dù ta có thể dùng số phức để biểu diễn chúng, nhưng đó chỉ là thủ thuật toán học và

phần thực của số phức mới có ý nghĩa vật lý

Nhưng trong cơ học lượng tử, hàm sóng của hệ lượng tử thực chất là hàm phức và không có ý nghĩa vật lý trực tiếp, không mô tả một sóng thực nào! Chính vì thế nên trong giai đoạn đầu phát

triển cơ học lượng tủ, người ta đã xem hàm sóng là một sản phẩm thứ yếu so với mục đích quan trọng hơn là tìm được phổ năng lượng của nguyên tử

Năm 1926, Max Born (1882-1970) đã đưa ra một giải thích hết sức độc đáo về bản chất của hàm sóng và là cách giải thích chính thống được thừa nhận hiện nay về hàm sóng trong cơ học lượng

tử Theo Max Born, bình phương môđun hàm sóng của một hệ lượng tử  2

,t q

suất tìm thấy hệ lượng tử tại thời điểm t có mặt trong một đơn vị thể tích lân cận điểm có tọa độ

),

 là mật độ xác suất tìm thấy vi hạt trong một

đơn vị thể tích lân cận điểm có tọa độ (x,y,z)ở thời điểm t Xác suất tìm thấy vi hạt trong yếu tố

thể tích vi phândV dxdydz là x,y,z,t 2dV Cuối cùng, xác suất tìm thấy vi hạt trong miền

không gian có thể tích V sẽ là

   

V

dV t z y

x, , , 2 1 (4.3)

Vì chắc chắn vi hạt ở trong đó Công thức (4.3) được gọi là điều kiện chuẩn hóa hàm sóng

Trường hợp tổng quát, xác suất tìm thấy hệ lượng tử có s bậc tự do trong yếu tố thể tích vi phân của không gian cấu hình s chiều là  q,t 2dq q1,q2, q s,t 2dq1dq2 dq s Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng đối với hệ lượng tử có s bậc tự do là

 , 2   1, 2, ,  2 1 2 1

 q t dq q q q s t dq dq dq s (4.4)

Như vậy, giải thích Born là giải thích thống kê về bản chất của hàm sóng

Cần nhấn mạnh rằng tính chất thống kê trong giải thích Born không liên quan gì đến tính chất thống kê phát sinh trong một hệ với số hạt vô cùng lớn của cơ học thống kê cổ điển

Điều khác biệt cơ bản là tính chất thống kê trong cơ học lượng tử chỉ liên quan đến một hạt Vấn đề đặt ra là tại sao tính thống kê có thể phát sinh trong hệ lương tử chỉ có một hạt?

Đây là một vấn đề vẫn còn đang là đề tài tranh luận giữa các nhà vật lý Einstein và một số nhà vật

lý nổi tiếng không thừa nhận giải thích Born và cho ràng cơ học lượng tử chưa phản ánh đúng thực tại vật chất Vì vậy giải thích thống kê về bản chất hàm sóng không dễ được các nhà vật lý chấp nhận Năm 1954, tức là, 28 năm sau, giải thích Born mới được thừa nhận rộng rãi và Max Born đã nhận được giải Nobel

cùng xác định trạng thái của một hệ lượng tử miễn là (x,t) là một hàm thực Quả vậy, ta có

),()

,()

,

(

exp i x t  q t   q t vì expi(x,t) 21

4.4 Nguyên lý chồng chất trạng thái

Nguyên lý chồng chất trạng thái là nguyên lý cơ sở thứ hai của cơ học lượng tử

Từ nguyên lý bất định suy ra rằng khái niệm trạng thái của một hệ lượng tử hoàn toàn có tính chất tương đối Quả vậy, giả thiết ở thời điểm ban đầu ta biết đầy đủ trạng thái của hệ, về nguyên tắc, ta

không thể biết hay tiên đoán được trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ trong tương lai Ngay ở cùng một thời điểm, hệ lượng tử cũng có thể tồn tại ở nhiều trạng thái khác nhau Giả thiết hệ lương tử có hai trạng thái xác định bởi hai hàm sóng 1 và 2, hệ có thể ở trạng thái xác định bởi 1

 hay ở trạng thái xác định bởi 2và hệ cũng có thể ở trạng thái xác định bởi hàm sóng là tổ hợp tuyến tính của hai hàm sóng1 và 2

2 2 1

1  



 a a (4.4) Trong đó, a và 1 a là những số phức Theo giải thích Max Born, xác suất để hệ lương tử ở trạng 2

thái 1 là a1 2 và xác suất để hệ lương tử ở trạng thái 2 là a2 2 Do đó, xác suất để hệ lượng

tử ở trạng thái  là

12 2 2

1  a 

a (4.5)

Vì hệ có hai trạng thái, do đó, tổng các xác suất khả dĩ phải bằng đơn vị (điều chắc chắn xẩy ra )

Từ đó, ta có thể phát biểu nguyên lý chồng chất trạng thái: Nếu 1 và 2 là hai trạng thái khác nhau của một hệ lượng tử thì a11a22 cũng là một trạng thái của hệ lượng tử

Trường hợp tổng quát, nếu một hệ có vô số trạng thái khác nhau 1,2, n, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là một trạng thái của hệ

a11a22  n  (4.6)

Hay

n

n n



  (4.7) Sao cho tổng bình phương các xác suất phải bằng đơn vị

1

22

2 2 1

Vấn đề đo các biến (đại lượng) động lực trong cơ học lượng tử hoàn toàn khác với việc đo chúng trong cơ học cổ điển

Thật vậy, ảnh hưởng của máy đo hay các dụng cụ đo đối với một hệ vĩ mô hay hệ cổ điển là rất nhỏ mặc dù có sai số, thể hiện ở độ chính xác của các số liệu đo được ngày càng cao, sai số tỷ đối của phép đo đối với hệ vĩ mô ngày càng nhỏ trong các đo đạc hiện đại Điều này khiến ta có thể tin chắc rằng trạng thái của hệ vĩ mô và các biến động lực của nó là hoàn toàn xác định và dường như

là rất hiển nhiên

Tuy nhiên ảnh hưởng của máy đo và các dụng cu đo đối với một hệ vi mô hay hệ lượng tử là rất lớn Hơn thế nữa, máy đo hay các dụng cụ đo còn làm thay đổi không những trạng thái và cả các biến động lực của hệ lượng tử.Ta đã thấy rõ điều này khi phân tích việc xác định vị trí của electron trong nguyên tử

Theo các nhà vật lý thuộc trường phái Copenhagen do Bohr đứng đầu, nguyên nhân của sự bất định là do máy đo Máy đo hay các dụng cụ đo cho dù được chế tạo tinh vi đến mức nào cũng vẫn chỉ là hệ cổ điển Do đó, khi đo tức là tác dụng hệ cổ điển vào hệ lượng tử và hệ cổ điển đã làm thay đổi trạng thái của hệ lượng tử Các tác động của máy đo rất ngẫu nhiên khó kiểm soát là nguyên nhân chủ yếu khiến trạng thái và các biến động lực của hệ lượng tử thay đổi sau mỗi phép

đo Mặt khác, giá trị đo được của các biến động lực trong cùng một điều kiện lại cho các kết quả khác nhau ứng với một xác suất nhất định Nhưng nếu không đo, ta cũng chẳng có thông tin gì về

hệ lượng tử Điều này dường như là một tình thế lưỡng nan

Do đó, nhiệm vụ chính của cơ học lượng tử là tiên đoán các xác suất giá trị của các biến động lực

từ đó xác định giá trị trung bình của chúng

4.6 Vấn đề suy sập (collapse) của hàm sóng

Một hệ lượng tử có thể có vô số trạng thái khác nhau: 1,2, n, Đồng thời, xác suất hệ ở trạng thái 1 là a1 2, xác suất hệ ở trạng thái 2 là a2 2,…, xác suất hệ ở trạng thái n là 2

n

a ,… Nếu hệ là hệ kín, rõ ràng ta không thể biết hệ đang ở trạng thái nào Muốn biết hệ ở trạng thái nào ta phải đo hay tác động vào hệ, khi đó hệ sẽ không còn là hệ kín, nhưng ta có thể biết hệ ở trạng thái nào ứng với xác suất bao nhiêu Giả thiết khi đo, hệ ở trạng thái k ứng với xác suất a k 210, khi đó các xác suất ứng với các trạng thái khác của hệ n đều bằng không

0

2

n

a với nk Sự kiện này gọi là sự suy sập hay sự co của hàm sóng, tương tự như sự kiện

tung con xúc sắc: khi chưa tung con xúc sắc khả năng xuất hiện của một trong sáu mặt con xúc sắc

là như nhau, nhưng chỉ một mặt xuất hiện khi tung nó

Einstein đã kịch liệt phản đối điều này trong một câu nói rất nổi tiếng “Chúa không chơi trò xúc sắc” – “God does not play dice” Schrodinger cũng phản bác nguyên lý chồng chất trạng thái bằng một thí nghiệm tưởng tượng cũng rất nổi tiếng – Nghịch lý con mèo Schrodinger

Tuy nhiên, sau gần một thế kỷ từ khi hình thành, mọi lý thuyết và các hệ quả suy ra từ cơ học lượng tử đều hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm

Stephen Hawking đã đặt câu hỏi: “Does God play dice?”

5 NGUYÊN LÝ TƯƠNG ỨNG

5.1 Sự tương tự giữa cơ học cổ điển và quang hình học

Từ lâu người ta đã nhận thấy giữa cơ học cổ điển và quang hình học có sự tương tự sâu sắc

So sánh các biến động lực của một hạt cổ điển với các đặc trưng của tia sáng, ta sẽ thấy chúng rất giống nhau về mặt hình thức

Thế năng trường lực thế: U(x,y,z) Chiết suất môi trường: n(x,y,z)

Nguyên lý Hamilton: S  L dt0 Nguyên lý Fermat: L n ds0

Ph/trình Hamilton-Jacobi tương đối tính:

2 2

2 1

c m t

S c



(m0,vc) Hàm tác dụng: S S(x,y,z,t)

Phương trình mặt đẳng pha:

(không có sự tương tự!)

2 2

e 





Sự khác biệt chủ yếu giữa các biến động lực của hạt và các đại lượng đặc trưng cho quá trình sóng

chỉ là thứ nguyên hay đơn vị đo Thí dụ: Pha (x,y,z,t) không có đơn vị, hàm tác dụng

),,

m , vector xung lượng có đơn vị  1

kgms ,…Nhận xét thấy tỷ số giữa các đại lượng của cơ học

cổ điển và các đặc trưng của quang hình học đều có cùng một đơn vị là Js Do đó nếu ta đưa vào một hằng số có đơn vị Js (như hằng số Planck), quan hệ giữa các đại lượng trên có thể viết dưới

Từ sự tương tự giữa quang hình học và cơ học cổ điển có thể suy ra sự tương tự giữa quang học

sóng và cơ học lượng tử (cơ học lượng tử còn được gọi là cơ học sóng) Như ta đã biết, quang

hình học là trường hợp riêng của quang học sóng khi bước sóng ánh sáng rất nhỏ so với kích thước của miền không gian truyền tia sáng (0), do đó cơ học cổ điển sẽ phải được xem là trường hợp riêng của cơ học lượng tử khi ta cho hằng số Planck tiến dần tới không (0)

Vấn đề đặt ra là phải tìm một hàm sóng vừa mô tả được động thái của một hạt cổ điển vừa biểu diễn được các tính chất của một hạt lượng tử

Theo giả thuyết De Broglie, một vi hạt tự do sẽ liên kết với một sóng phẳng-đơn sắc

là năng lượng và xung lượng của vi hạt tự do Theo cơ học Hamilton-Jacobi, hàm tác dụng của một hạt tự do có dạng

t E r p t r

trường hợp này, hàm sóng có thể dùng để mô tả động thái một vi hạt nằm trong miền ranh giới

giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển, vì vậy người ta gọi nó là hàm sóng chuẩn cổ điển

Hàm sóng chuẩn cổ điển (5.7) có vai trò quan trọng trong phương pháp gần đúng chuẩn cổ điển

và là một phương tiện cho phép so sánh và tương ứng các phương trình, các định luật, các biến động lực của cơ học lượng tử và với các phương trình, các định luật, các biến động lực của cơ học

cổ điển Đó là nguyên lý tương ứng có thể phát biểu như sau: Các phương trình, các định luật, các biến động lực của cơ học lượng tử nói chung sẽ chuyển thành các phương trình, các định luật, các biến động lực của cơ học cổ điển khi ta cho hằng số Planck dần tới không 0

Nguyên lý tương ứng cho thấy cơ học cổ điển là một trường hợp riêng của cơ học lượng tử Hơn thế, cơ học cổ điển còn là cơ sở để xây dựng cơ học lượng tử

Cần lưu ý rằng không phải mọi quá trình chuyển từ cơ học lượng tử thành cơ học cổ điển đều đúng khi 0, vì cơ học lượng tử có những đặc tính thuần lượng tử, không có sự tương ứng trong cơ học cổ điển

Sơ đồ dưới đây cho thấy sự tương tự giữa cơ học cổ điển và quang hình học gợi ý việc tìm kiếm một học thuyết mới: cơ học lượng tử

CƠ HỌC CỔ ĐIỂN ~ QUANG HÌNH HỌC

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ~ QUANG HỌC SÓNG

5.3 Sự chuyển từ phương trình Schrodinger về phương trình Hamilton – Jacobi

Bây giờ ta sẽ khảo sát sự chuyển từ phương trình Schrodinger của cơ học lượng tử về phương trình Hamilton-Jacobi của cơ học cổ điển khi 0 Từ phương trình Schrodinger cho một vi hạt trong trường lực

S i

2 2

2

1



 (5.10)

C C C

y

S y

S i

2 2

S i

2 2

2

1



 (5.12) Cộng ba đạo hàm riêng bậc hai (5.10) , (5.11) , (5.12) , ta có

C

C C

C C

C C

S S

i

z

S y

S x

S z

S y

S x

S i z y

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

1

m

S m

i t

S U

m t

n

a c

e dt

dE  (hệ đơn vị CGS)

Trong đó,

r

e v m

2 2

 là gia tốc pháp tuyến của

nó trong chuyển động theo quĩ đạo tròn bán kính r xung quanh hạt nhân Giả thiết ở thời

điểm ban đầu, electron chuyển động trên quĩ đạo tròn có bán kính r0 0,53108cm (bán kính Bohr thứ nhất) và bán kính hạt nhân vào cỡ r hn 1013cm Cho biết khối lượng của electron m e 9,11028g , điện tích của electron e4,8 10 10g cm s1 2 3 2 1 và tốc độ ánh sáng trong chân không c31010cm s1

1.2 Giả thiết bước sóng De Broglie của electron D trong nguyên tử vào cỡ bán kính quĩ đạo r

của nó, không dùng hệ thức bất định Heisenberg, chứng minh rằng electron không thể rơi vào hạt nhân

1.3 Dùng hệ thức bất định Heisenberg, chứng minh rằng electron không thể rơi vào hạt nhân 1.4 Dùng hệ thức bất định Heisenberg, ước lượng độ lớn vận tốc của electron trong nguyên tử

1.5 Dùng qui tắc lượng tử hóa Bohr-Sommerfeld, tìm các mức năng lượng của một dao động tử điều hòa 1D

1.6 Dùng hệ thức bất định Heisenberg, xác định năng lượng cực tiểu của một dao động tử điều hòa 1D

1.7 Dùng qui tắc lượng tử hóa Bohr-Sommerfeld, tìm các mức năng lượng của electron trong nguyên tử hyđrô với giả thiết electron chuyển động theo các quĩ đạo tròn

1.8 Xác định hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng (bó sóng Gauss)

)(

2 0 2

k k a A

k

Và xác suất tìm thấy hạt trong miền a 2 xa 2 Hướng dẫn: bó sóng Gauss là ảnh Fourier của hàm sóng xác định bởi

1( )x ( )k e i k x dk





1.9 Hàm sóng (x) của một hạt chuyển động dọc trục theo x có dạng

   i k x

a

x A

22exp)

(

a) Tìm hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng theo các tham số k và hằng số a

b) Tìm vị trí có tọa độ x sao cho mật độ xác suất tìm thấy hạt có giá trị lớn nhất

c) Tìm xác suất đề hạt nằm trong miền không gian axa

1.10 “Con mèo Schrodinger” là một thí nghiệm tưởng tượng do Schrodinger nêu ra từ năm 1935 nhằm phản bác nguyên lý chồng chất trạng thái của cơ học lượng tử Giả thiết người ta nhốt một con mèo vào một buồng kín để không thấy nó Trong buồng kín đó, có đặt một bình thủy tinh chứa khí độc bịt kín và một cái búa được điều khiển bởi một thiết bị cảm ứng rất nhậy với tia phóng xạ Khi một nguyên tử chất phóng xạ, thí dụ 235

U , phân rã phát ra tia phóng xạ tác động vào thiết bị điều khiển làm cho búa đập vỡ bình khí độc Con mèo sẽ chết ngay tức khắc Theo anh (chị) con mèo đang sống hay đã chết kể từ khi thí nghiệm bắt đầu?

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

6 KHÔNG GIAN HILBERT

6.1 Không gian Hilbert của cơ học lượng tử

a) Định nghĩa: Nguyên lý chồng chất trạng thái của cơ học lượng tử  

n

n n

a gợi ý có thể coi các hàm sóng ,, là các vector trong một không gian vector vô hạn chiều H xác định trên

trường số phức C Trong không gian vector H , khi định nghĩa một tích vô hướng giữa hai vector

bất kỳ   , H ( theo ký hiệu Dirac)

 





 * dq (6.1)

Không gian vector H sẽ được gọi là không gian Hilbert và là không gian cơ sở của cơ học lương

tử, tương tự như không gian Euclid 3D của cơ học cổ điển

Trong không gian Hilbert H , tích vô hướng giữa hai vector  ,  là một số phức:   C

Các vector  ,  , gọi là các ket-vector Các vector  ,  , gọi là bra-vector Tên gọi các

vector như trên xuất xứ từ chữ bracket trong tiếng Anh có nghĩa là dấu ngoặc Các bra-vector được

định nghĩa là liên hợp phức của các ket-vector:    *,    *,

b) Tính chất của các vector trong không gian Hilbert

       ;    , , H , tính giao hoán đối với phép cộng

             , tính kết hợp đối với phép cộng

  0   , tồn tại vector không 0 , suy ra     0 , trong đó   là

đối vector của 

d) Tính chất của phép nhân vô hướng các vector

1 2   1   2  tính phân phối bên trái đối với phép nhân

         tính phân phối bên phải đối với phép nhân

, tính hermite của tích vô hướng   0 , hai vector  và  trực giao với nhau

  là một số thực dương đối với mọi vector  H

  0 khi và chỉ khi   0

    là độ dài hay modul của vector 

    1 , độ dài của vector  được chuẩn hóa

6.2 Toán tử trong không gian Hilbert

a) Định nghĩa toán tử: Toán tử Fˆ là một phép toán biến một ket-vector  H thành một ket -

toán tử sau không phải là các toán tử tuyến tính

6.3 Hàm riêng và trị riêng của toán tử

Trường hợp phương trình (6.2a) có dạng đặc biệt

C f H f

Fˆ    ;   ;  (6.4)

Tức là khi tác dụng toán tử Fˆ vào vector  lại được chính vector đó  nhân với một số phức

f , ta sẽ nói rằng  là vector riêng tương ứng với giá trị riêng f

Phương trình (6.4) được gọi là phương trình hàm riêng và trị riêng của toán tử Fˆ

Tập các giá trị riêng  f được gọi là phổ trị riêng của toán tử Fˆ Phổ trị riêng  f có thể đếm được

hay có thể không đếm được Nếu phổ trị riêng có thể đếm được, người ta thường đánh số thứ tự của

các trị riêng bằng các số tự nhiên:  f n ;n1, 2,3, , khi đó ta có phổ trị riêng gián đoạn Nếu phổ

trị riêng không thể đếm được, ta không thể đánh số thứ tự các trị riêng  f và có một phổ trị riêng

liên tục

Do đó, phương trình hàm riêng và trị riêng (6.4) sẽ chia thành hai loại

Fˆ n  f n n (phổ gián đoạn) (6.5)

Fˆ   f  (phổ liên tục) (6.6)

6.4 Hệ vector riêng trực chuẩn (hệ hàm riêng trực chuẩn)

Để đơn giản, ta giả thiết trường hợp toán tử Fˆ có một hệ vector riêng n ứng với phổ trị riêng

gián đoạn  f n (trường hợp phổ trị riêng liên tục sẽ xét ở mục sau) Nếu các vector riêng trực giao

từng cặp và được chuẩn hóa , khi đó toán tử Fˆ có một hệ vector riêng trực chuẩn

Nếu toán tử Fˆ có một hệ vector riêng trực chuẩn n , khi đó ta có thể khai triển một vector bất kỳ

 theo các vector riêng đó dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các vector riêng trực chuẩn

a (6.8)

Trong đó,  a n ;n1,2,3, là các hệ số phức hay trong trường hợp tổng quát là các hàm phức

Ta cũng có thể viết dạng liên hợp phức của hệ thức (6.8)

a (6.9) hay

npktho@gmail.com – 0904999568 38

n n

n m

m m

m m n

môđun của chúng a n 2a n*a n là các số thực và có ý nghĩa vật lý quan trọng là xác suất để hệ

lượng tử ở trạng thái xác định bởi hàm riêng n Hiển nhiên tổng các xác suất sẽ bằng đơn vị

 

n n

(6.13)

6.5 Giá trị trung bình của các trị riêng

Tiếp theo ta định nghĩa giá trị trung bình của các trị riêng của toán tử Fˆ bằng hệ thức

n n n n n

f  a f a a f (6.14) Thay a n*   n

vào tổng (6.14), từ (6.5) và (6.8), ta có

f  a f    a f   a f    F 

n n n n

n n n

Hệ thức (6.16) chỉ đúng trong trường hợp vector trạng thái  đã được chuẩn hóa   1

Nếu vector trạng thái  không được chuẩn hóa   1, hệ thức giá trị trung bình của các trị

7 TOÁN TỬ HERMITE – PHỔ TRỊ RIÊNG GIÁN ĐOẠN

7.1 Định nghĩa toán tử hermite

Các toán tử tuyến tính nói ở trên có thể có trị riêng là thực hay trị riêng phức Tuy nhiên các đại

lượng vật lý là thực (đo đƣợc), vì vậy, cơ học lƣợng tử chỉ xét các toán tử tuyến tính có các trị

riêng thực Nếu các trị riêng thực thì giá trị trung bình của các tri riêng dĩ nhiên cũng sẽ là thực

Do đó, toán tử tuyến tính có trị riêng thực phải thỏa mãn điều kiện sau

 *

f

f  (7.1) Giả thiết  là một vector trạng thái chuẩn hóa, từ (6.16), ta có

*Fˆdq *Fˆdq*  Fˆ**dq (7.3)

Trong đó, ta định nghĩa F là toán tử liên hợp phức của Fˆ Thí dụ, ˆ* Fˆ   i Fˆ*   i

Tiếp theo ta định nghĩa F~ˆ là toán tử chuyển vị (của toán tử Fˆ ) là toán tử đổi chỗ hai hàm sóng

bất kỳ  và  cho nhau nhƣ sau

Fdq Fdq

~ˆ

ˆ (7.4)

Từ hệ thức (7.3), áp dụng toán tử chuyển vị đối với toán tử F , ta có ˆ*



Fˆ**dq *F~ˆ*dq (7.5)

Thay tích phân thứ ba của (7.3) bằng (7.5), sau đó chuyển vế phải sang vế trái và ghép hai tích

phân thành một tích phân nhƣ sau

Fˆ F~ˆ* Fˆ

(7.7)

Do đó, toán tử Fˆ bằng toán tử chuyển vị và liên hợp phức của chính nó F ~ˆ*

Đây cũng chính là điều kiện cần để toán tử Fˆ có phổ trị riêng thực

Đây là một điều kiện hết sức khắt khe Vì vậy, trong cơ học lượng tử, các toán tử hermite chỉ là

một tập hợp rất nhỏ vì nó đồng thời phải thỏa mãn điều kiện là một toán tử tuyến tính và điều

kiện là một toán tử hermite Từ nay về sau, ta sẽ chỉ xét các toán tử hermite (có phổ trị riêng

thực) tương ứng với các biến động lực (thực, đo được) trong cơ học lượng tử

7.2 Hàm riêng và trị riêng của một toán tử hermite

a) Phổ trị riêng của toán tử hermite là thực

Giả thiết toán tử hermite Fˆ có hệ hàm riêng n chuẩn hóa:

1

;

ˆ n  f n n n 

F n (7.10)

Trong đó, để đơn giản, người ta ký hiệu vector riêng của toán tử Fˆ là ket- vector n  n

Từ phương trình (7.10), nhân vô hướng bên trái cả 2 vế với bra-vector n  n , ta sẽ có

n Fˆ n  f n n n  f n (7.11)

Liên hợp phức cả 2 vế phương trình (7.10), ta có

n f n F n

f n

Fˆ* *  n* *  ˆ*  n* (7.12)

Từ phương trình (7.12), nhân vô hướng bên trái cả 2 vế với ket-vector n sau đó áp dụng toán

tử chuyển vị đối với F và vì ˆ* Fˆ F~ˆ* Fˆ

So sánh (7.11) và (7.13), suy ra f n*  f n Tức là phổ trị riêng của toán tử hermite Fˆ là thực

b) Các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau trực giao với nhau

Giả thiết hai hàm riêng n và m ứng với hai trị riêng khác nhau f n  f m của toán tử Fˆ