Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2018

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018Người viết luận văn

Phan Thị Thắm

của trưởng khoa Toán của người hướng dẫn khoa học

TS Bùi Thế Hùng

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới TS Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôitrong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể cácthầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiếnthức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng gópquý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạnhọc viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trongthời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

Tác giả

Phan Thị Thắm

1.1 Nón trong không gian Banach 31.2 Không gian metric nón và sự hội tụ 91.3 Một số định lý điểm bất động 14

2 Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón và

2.1 Khái niệm c-hội tụ đều trong không gian Banach 212.2 Định lý tương giao Cantor trong không gian metric nón 272.3 Ứng dụng 34

A ∩ B giao của hai tập hợp A và B

θ véctơ gốc trong không gian Banach EA\B hiệu của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và Bint A phần trong tôpô của tập hợp A

Mở đầu

Năm 2007, Huang và Zhang [10] lần đầu giới thiệu không gian metric nónbằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric thông thường bằngmột nón định hướng trong không gian Banach

Định nghĩa: Giả sử X là tập khác rỗng và  là quan hệ thứ tự bộ phậntrên không gian Banach E sinh bởi nón C xác định bởi: x, y ∈ E; x  y

nếu y − x ∈ C Ánh xạ d : X × X → E được gọi là metric nón trên X nếu(d1) θ  d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = θ nếu và chỉ nếu x = y;(d2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

(d3) d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) được gọi là không gian metric nón

Sau đó các tác giả đã chứng minh một số định lý điểm bất động củaánh xạ co trong không gian này với nón chuẩn tắc Năm 2008, Rezapour

và Hamlbarani [14] đã chứng minh lại các kết quả của Huang và Zhang màkhông cần tính chuẩn tắc của nón Từ sau các công trình này đã có khánhiều bài báo viết về vấn đề liên quan đến không gian này Ngoài việc nghiêncứu Nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co Banach và các mở rộng củachúng cho các không gian metric nón, người ta còn quan tâm đến các vấn

đề sau đây trong lớp không gian này: Nguyên lý thác triển liên tục, Nguyên

lý tương giao Cantor, Nguyên lý Baire về phạm trù, bổ sung đủ và một sốtính chất về tôpô của không gian metric nón Năm 2011 các tác giả Alnafei,Radenovic và Shahzad [2] đã chứng minh Định lý tương giao Cantor trongkhông gian metric nón với nón đa diện có phần trong khác rỗng trong khônggian Banach Sau đó, năm 2016 bằng phương pháp hội tụ theo nón của dãy,

Jachymski và Klima [12] đã chứng minh Định lý tương giao Cantor trongkhông gian metric nón mà không cần tính đa diện của nón.

Mục đích của luận văn là giới thiệu lại một số kết quả nghiên cứu của cáctác giả Jachymski và Klima [12] về định lý tương giao Cantor trong khônggian metric nón bằng phương pháp hội tụ theo nón của dãy và ứng dụngvào định lý điểm bất động Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nộidung, phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản về nón, không gianmetric nón, sự hội tụ trong không gian metric nón và tính chất của lớp khônggian này Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày nguyên lýđiểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón dưới giả thiết vềtính chuẩn tắc cũng như không chuẩn tắc của nón K

Chương 2 dành cho việc trình bày khái niệm c- hội tụ đều, sự hội tụtheo nón của dãy trong không gian metric nón và mối quan hệ giữa sự hội

tụ theo nghĩa của Huang- Zhang và sự hội tụ theo nón của dãy Nội dungchính của chương này là trình bày định lý tương giao Cantor trong khônggian metric nón và ứng dụng của nó vào định lý điểm bất động của ánh xạ

co suy rộng với hằng số co là một toán tử tuyến tính dương với bán kínhphổ nhỏ hơn 1

Chương 1

Không gian metric nón

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả vềnón trong không gian Banach, không gian metric nón và sự hội tụ trongkhông gian metric nón Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một cách chi tiếtđịnh lý điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón dưới giảthiết nón chuẩn tắc và nón không chuẩn tắc Một số ví dụ tính toán mô tảcho các kết quả cũng được trình bày Các khái niệm và kết quả của chươngnày được chúng tôi trình bày dựa trên hai bài báo [10] và [14]

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian tuyến tính trên trường K với điểmgốc θ Hàm k.k : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X và kxk = 0 ⇔ x = θ

(ii) kλxk = |λ|kxk với mọi x ∈ X và λ ∈ K.

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Khi đó cặp (X, k.k) được gọi là không gian định chuẩn

Nhận xét Mọi không gian định chuẩn là không gian metric với khoảngcách d(x, y) = kx − yk Khoảng cách xác định như trên gọi là khoảng cáchsinh bởi chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Không gian định chuẩn X đầy đủ đối với khoảng cách

sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E là không gian Banach Tập con K của E đượcgọi là nón nếu

Tập con A ⊂ E được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại y ∈ E sao cho x  y

với mọi x ∈ A Tập con A ⊂ E được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại z ∈ E

sao cho z  x với mọi x ∈ A Một véctơ a được gọi là cận trên đúng củatập A nếu

(i) a là chặn trên của A, tức là x  a với mọi x ∈ A

(ii) a là chặn trên nhỏ nhất của A, tức là nếu tồn tạib ∈ E sao cho x  b

với mọi x ∈ A thì a  b

Ta kí hiệu cận trên đúng của tập A là sup A

Định nghĩa 1.1.6 Cho K là nón trong không gian Banach E Ta nói rằng(i) K là chuẩn tắc nếu tồn tại hằng số Λ > 0 sao cho

θ  x  y kéo theo kxk ≤ Λkyk

Hằng số Λ > 0 bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩntắc của K.

(ii) K là nón chính quy nếu mỗi dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên đềuhội tụ Tức là, nếu {xn}n≥1 là dãy thỏa mãn

x1  x2   xn   y,

với y ∈ E nào đó, thì tồn tại x ∈ E sao cho

kxn − xk → 0 khi n → ∞

Điều này tương đương với nón K là chính quy nếu mỗi dãy đơn điệu giảm

và bị chặn dưới đều hội tụ

(iii) K là nón đa diện nếu sup{x, y} tồn tại với mọi x, y ∈ E

(iv) K là nón đa diện mạnh nếu mọi tập con bị chặn trên của E đều cócận trên đúng

Mệnh đề 1.1.7 Không tồn tại nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc Λ < 1.Chứng minh Giả sử (X, d)là không gian metric nón và K là nón chuẩn tắcvới hằng số chuẩn tắc Λ < 1 Ta chọn 0 < ε < 1 sao cho Λ < 1 − ε Khi đó

với chuẩn kf k := sup

k, 1] Khi đó f ∈ K và fn → f Từ đósuy ra K là nón chính quy Theo Mệnh đề 1.1.7, tồn tại Λ ≥ 1 sao cho

0  g  f kéo theo kgk ≤ Λkf k, với mọi g, f ∈ E (1.1)Bây giờ ta chỉ ra Λ > k Thật vậy, vì f (x) = −kx + k ∈ K, g(x) = k ∈ K

k2

Điều này kéo theo

kgk > kkf k (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta thu được Λ > k

Mệnh đề 1.1.9 Mọi nón chính quy đều là nón chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử K là nón chính quy trong E nhưng không phải là nónchuẩn tắc Khi đó với mỗi n ≥ 1, tồn tại tn, sn ∈ K sao cho

Điều này mâu thuẫn với kxn k

n 2 > 1 với mọi n ≥ 1 Vậy K là nón chuẩntắc

Ví dụ sau đây chỉ ra một nón chuẩn tắc nhưng không chính quy

Ví dụ 1.1.10 Giả sử E := CR([0, 1]) với chuẩn kf k := supx∈[0,1]|f (x)|.Đặt

K := {f ∈ E : f ≥ θ}

Khi đó K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ = 1 Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và

θ  f  g Khi đó, 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [0, 1] Từ đó suy ra

Bây giờ ta chứng minh K không phải nón chính quy Thật vậy, xét dãy

{fn}n≥1 trong E cho bởi fn(x) = xn với mọi x ∈ [0, 1] và n ≥ 1 Khi đó

Mệnh đề 1.1.11 Mọi nón đa diện mạnh chuẩn tắc đều chính quy

Chứng minh Giả sử K là nón đa diện mạnh chuẩn tắc với hằng số Λ Giả

sử {xn}n≥1 là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên, tức là tồn tại y ∈ E saocho

x1  x2   xn   y

Vì K là nón đa diện nên tồn tại x := supn≥1xn ∈ E Ta chứng minh

limn→∞xn = x Thật vậy, với  > 0 tùy ý, ta chọn c  θ sao cho Λkck ≤ .Theo định nghĩa của x, tồn tại n0 ≥ 1 sao cho

x − c  xn0  x

Vì {xn}n≥1 là dãy đơn điệu tăng nên

θ  x − xn  x − xn0  c với mọi n ≥ n0

Từ tính chuẩn tắc của nón K với hằng số Λ ta suy ra

kx − xnk ≤ Λkck ≤  với mọi n ≥ n0

Điều này chứng tỏ limn→∞xn = x Vậy K là chính quy

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

K Ánh xạ d : X × X → E được gọi là metric nón trên X nếu

(i) θ  d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = θ nếu và chỉ nếu x = y.(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

(iii) d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) được gọi là không gian metric nón

Nhận xét Mọi không gian metric (X, d) đều là không gian metric nón với

E = R, K = R+ Tuy nhiên một không gian metric nón chưa chắc là khônggian metric Ví dụ sau minh họa cho điều đó

Ví dụ 1.2.2 Giả sử E := R2, X := R Xét nón K trong E xác định bởi

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử (X, d)là không gian metric nón Giả sử {xn}n≥1

là một dãy trong X và x ∈ X Ta nói rằng dãy {xn}n≥1 hội tụ tới x nếu vớimỗi c ∈ E, θ  c, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi lim

n→∞d(xn, x) = θ

Chứng minh Giả sử lim

n→∞xn = x Với mỗi  > 0, ta chọn c ∈ E sao cho

Ngược lại, giả sử lim

n→∞d(xn, x) = θ Lấy c ∈ E, θ  c tùy ý Khi đó tồn tại

c − d(xn, x) ∈ int K với mọi n ≥ n0

Điều này chứng tỏ d(xn, x)  c với mọi n ≥ n0 Vậy lim

n→∞xn = x

Mệnh đề 1.2.5 Giả sử (X, d) là không gian metric nón và {xn}n≥1 là dãytrong X Nếu {xn}n≥1 hội tụ tới x ∈ X và {xn}n≥1 hội tụ tới y ∈ X thì

x = y

Chứng minh Với c ∈ E tùy ý, θ  c Khi đó với mỗi k ≥ 1, tồn tại

n0(k) ∈ N∗ sao cho

d(xn, x)  c

2k và d(xn, y) 

c2k với mọi n ≥ n0(k).

Cho k → ∞, bởi tính đóng của K, ta thu được −d(x, y) ∈ K Từ đó suy ra

d(x, y) ∈ K ∩ (−K) = {θ} Điều này chứng tỏ d(x, y) = θ Vậy x = y

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử (X, d) là không gian metric nón và {xn}n≥1 làdãy trong X Dãy {xn}n≥1 được gọi là dãy Cauchy trong X, nếu với mỗi

c ∈ E, θ  c, tồn tại n0 sao cho d(xn, xm)  c với mọi n, m ≥ n0

Định nghĩa 1.2.7 Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếumọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ trong nó

Mệnh đề 1.2.8 Giả sử (X, d) là không gian metric nón và {xn}n≥1 là dãytrong X Khi đó dãy {xn}n≥1 là dãy Cauchy nếu lim

n→∞xn = x.Chứng minh Giả sử c ∈ E, θ  c tùy ý và lim

Vậy {xn}n≥1 là dãy Cauchy

Mệnh đề 1.2.9 Giả sử (X, d) là không gian metric nón, K là nón chuẩntắc với hằng số Λ và dãy {xn}n≥1 trong X Khi đó {xn}n≥1 là dãy Cauchykhi và chỉ khi lim

n,m→∞d(xn, xm) = θ

Chứng minh Giả sử {xn}n≥1 là dãy Cauchy trong X Với mỗi  > 0, tachọn c ∈ E sao cho θ  c và Λkck <  Bởi {xn}n≥1 là dãy Cauchy trong

X nên tồn tại n0 sao cho

Ngược lại, giả sử lim

n,m→∞d(xn, xm) = θ Lấy c ∈ E, θ  c tùy ý Khi đó tồntại δ > 0 sao cho

c − d(xn, xm) ∈ int K với mọi n, m ≥ n0

Điều này chứng tỏ d(xn, xm)  c với mọi n, m ≥ n0 Vậy {xn}n≥1 là dãyCauchy trong X

Mệnh đề 1.2.10 Giả sử (X, d) là không gian metric nón và K là nónchuẩn tắc với hằng số Λ Giả sử {xn}n≥1, {yn}n≥1 là hai dãy trong X và

n→∞yn = y, tồn tại n0 sao cho

d(xn, x)  c và d(yn, y)  c với mọi n ≥ n0

x ∈ [0, 1] Khi đóθ  g  f, ở đây θ là gốc E Vìkkf k ≤ kgk nênk không

là hằng số chuẩn tắc của nón K Vậy K không chuẩn tắc

trong đó fn(t) = tn với mọi t ∈ [0, 1], n ≥ 1.

Dễ thấy d là metric nón trên X và (X, d) là không gian metric nón Hơnnữa ta có

Định lý 1.3.1 Giả sử (X, d) là không gian metric nón đầy đủ và K là nónchuẩn tắc với hằng số Λ Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện cosau

d(T x, T y)  λd(x, y) với mọi x, y ∈ X,

trong đó λ ∈ [0, 1) là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∈ X.¯

Hơn nữa với mỗi x ∈ X, lim

n→∞Tnx = ¯x

Chứng minh Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn}n≥1 ⊂ X bởi công thức

xn = Tnx0, với mọi n ≥ 1 Khi đó ta có

d(xn+1, xn) = d(T xn, T xn−1)

 λd(xn, xn−1)

 λ2d(xn−1, xn−2)

T ¯x = ¯x Vậy x¯ là một điểm bất động của T

Giả sử tồn tại y ∈ X¯ sao cho T ¯y = ¯y Khi đó ta có

d(¯x, ¯y) = d(T ¯x, ¯y)

 λd(¯x, ¯y)

Suy ra kd(¯x, ¯y)k = 0 Điều này kéo theo x = ¯¯ y Vậy x¯ là điểm bất động duynhất của T.

Nhận xét Trong trường hợp E = R, C = R+, Định lý 1.3.1 trở về Nguyên

lý điểm bất động của ánh xạ co Banach cổ điển

Ví dụ sau đây minh họa cho Định lý 1.3.1

3|x − y|),d((x, 0), (0, y)) = d((0, y), (x, 0)) = (4

Năm 2008, Sh Rezapour- R Hamlbarani [14] đã chứng minh lại kết quảcủa Huang- Zhang [10] mà không cần đến tính chuẩn tắc của nón K

Định lý 1.3.3 Giả sử (X, d) là không gian metric nón đầy đủ Giả sử ánh

xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau

d(T x, T y)  λd(x, y) với mọi x, y ∈ X,

trong đó λ ∈ [0, 1) là hằng số Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∈ X.¯

Hơn nữa với mỗi x ∈ X, lim

n→∞Tnx = ¯x

Chứng minh Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn}n≥1 ⊂ X bởi công thức

xn = Tnx0, với mọi n ≥ 1 Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự nhưĐịnh lý 1.3.1, ta có

n→∞xn = ¯x.Theo định nghĩa giới hạn trong không gian metric nón, với mỗi

m ≥ 1, tồn tại số tự nhiên N2(m) sao cho

d(xn, ¯x)  c

2m với mọi n > N2(m).

T ¯x = ¯x Vậy x¯ là một điểm bất động của T

Giả sử tồn tại y ∈ X¯ sao cho T ¯y = ¯y Khi đó ta có

d(¯x, ¯y) = d(T ¯x, ¯y)

 λd(¯x, ¯y)

Điều này suy ra −d(¯x, ¯y) ∈ K Vậy d(¯x, ¯y) = θ Điều này chứng tỏ x = ¯¯ y

Vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của T

Định nghĩa 1.3.4 Không gian metric nón (X, d) được gọi là compact dãynếu mọi dãy {xn}n≥1 ⊂ X đều chứa một dãy con hội tụ trong nó

Định lý 1.3.5 Giả sử (X, d) là không gian metric nón compact dãy và K

là nón chính quy Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều co sau

d(T x, T y) ≺ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, x 6= y

Khi đó T có điểm bất động duy nhất x ∈ X.¯

Chứng minh Vì K là nón chính quy nên K là nón chuẩn tắc Gọi Λlà hằng

số chuẩn tắc của nón K Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn}n≥1 trong

X bởi công thức xn = Tnx0, với mọi n ≥ 1 Ta đặt dn = d(xn, xn+1) vớimọi n ≥ 1 Khi đó từ giả thiết ta suy ra

dn+1 = d(xn+1, xn+2) = d(T xn, T xn+1)  d(xn, xn+1) = dn

Vậy dãy {dn}n≥1 đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi θ Bởi K là chính quynên tồn tại d∗ ∈ E sao cho lim

n→∞dn = d∗ Mặt khác, vì X là compact dãynên tồn tại dãy con {xni}i≥1 của {xn}n≥1 và x ∈ X¯ sao cho lim

i→∞d(T2xni, T xni) = d(T2x, T ¯¯ x)

Vì lim

i→∞d(T xni, xni) = lim

i→∞dni = d∗ nên d∗ = d(T ¯x, ¯x) Ta chứng minh

T ¯x = ¯x Thật vậy, giả sử T ¯x 6= ¯x Khi đó d∗ 6= θ và

Điều này mâu thuẫn Vậy T ¯x = ¯x và x¯ là điểm bất động của T Tính duynhất điểm bất động của T là hiển nhiên.

Ví dụ sau chỉ ra tính chính quy của nón K trong Định lý 1.3.5 không bỏđược

Ví dụ 1.3.6 Giả sử E = C[0,1] với chuẩn kf k := supx∈[0,1]|f (x)| và