Về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

Ngoài ra, chúng tôicũng trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer của lớp hệtuyến tính phân thứ và lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ.. Trong chương 2 của luận văn, chún

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON

THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 04/2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON

THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS MAI VIẾT THUẬN

Thái Nguyên, 4/2018

Mục lục

1.1 Giải tích phân thứ 51.1.1 Tích phân phân thứ 51.1.2 Đạo hàm phân thứ 61.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình viphân phân thứ Caputo 101.3 Một số bổ đề bổ trợ 121.4 Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ 13Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron

2.1 Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 182.2 Tính ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 21Chương 3 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron

3.1 Tính ổn định của một lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắnphân thứ 253.2 Tính ổn định hóa của hệ điều khiển nơ ron thần kinh khôngchắc chắn phân thứ 28

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phânphân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học donhững ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật [5, 6, 7]

Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộc vào cách người ta tổngquát đạo hàm d n

dx n cho trường hợp n không nguyên Tuy nhiên, hai khái niệmđược dùng phổ biến hơn cả là đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạohàm phân thứ Caputo Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville được phát triểnbởi Abel, Riemann và Liouville trong nửa đầu thế kỉ 19 Xét theo tiến trìnhlịch sử, đây là khái niệm đạo hàm phân thứ đầu tiên được xây dựng Tuy nhiên,khi áp dụng khái niệm này để mô tả các hiện tượng thực tế thì gặp hạn chế dođiều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ý nghĩa vật lý.Đạo hàm phân thứ Caputo được Caputo xây dựng năm 1969 So với đạo hàmphân thứ Riemann–Liouville, đạo hàm Caputo dễ áp dụng cho các bài toánthực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sử dụng đạo hàm Caputo có

ý nghĩa vật lý Những năm gần đây, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoàinước với nhiều bài toán khác nhau như nghiên cứu tính ổn định theo nghĩaLyapunov của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [8], nghiên cứu tính

ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo [9]

Những năm gần đây, hệ phương trình nơ ron thần kinh phân thứ nhận được

sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Có rất nhiều công trìnhđược công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín về bài toán ổn định theo nghĩaLyapunov, ổn định hữu hạn thời gian (xem [10] và các tài liệu tham khảo trongđó) Vì vậy, có thể nói việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa theo nghĩaLyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh là bài toán quan trọng và có

ý nghĩa khoa học Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định, tính ổn định

hóa theo nghĩa Lyapunov của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Luậnvăn gồm có 3 chương gồm những nội dung chính sau:

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phânthứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạohàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại vàduy nhất nghiệm Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề bổ trợ được dùng đểchứng minh một số kết quả trong Chương 3 của luận văn Ngoài ra, chúng tôicũng trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer của lớp hệtuyến tính phân thứ và lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Nội dung chínhcủa chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3, 4, 6, 7]

Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn chotính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ Nội dungchính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11]

Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn địnhhóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ Đây chính là nộidung nghiên mới cứu của luận văn

Danh mục ký hiệu

A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn, x 6= 0

kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, , xn)⊤

∈ Rn

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

ACm[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính

ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phươngtrình vi phân có trễ Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được

sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [3, 4, 6, 7]

1.1 Giải tích phân thứ

1.1.1 Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phânthứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệmtích phân lặp thông thường

Định nghĩa 1.1 ([7]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với

0 < α < 1 được cho bởi định lí sau

Định lí 1.1 ([3]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi

đó, tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t 0Itαx cũng làmột hàm khả tích.

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

Định nghĩa 1.2 ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R đượccho bởi

dt n là đạohàm thông thường cấp n

Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàmtuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữacác hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t)∈ AC[a, b]



dt

}.Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Mệnh đề 1.1 ([7]) Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạngnhư sau:

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứRiemann–Liouville

Định lí 1.2 ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f(t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ RL

Hệ quả 1.1 ([7]) Nếu 0 < α < 1 và f(t) ∈ AC[a, b] thì

RL

t 0 Dtαf (t) = 1

Γ(1− α)

 f (t0)(t− t0)α +

Z t

t 0

f′

(s)ds(t− s)α

.Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville làmột toán tử tuyến tính

Mệnh đề 1.2 ([6]) Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phânthứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

RL

t 0 Dαt [λf (t) + µg(t)] = λRLt0 Dtαf (t) + µtRL0 Dtαg(t)trong đó λ, µ ∈ R, f(t), g(t) ∈ ACn[a, b]

Định nghĩa 1.3 ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

C

t 0Dtαx(t) := t0Itn−αDnx(t),trong đó n := ⌈α⌉ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dxdnn làđạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứCaputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dαtx(t) := Ct0Dαtx1(t), Ct0Dαtx2(t), , Ct0Dαtxd(t)
T

.Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứcấp α

Định lí 1.3 ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f(t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạohàm phân thứ Caputo C

t 0Dtnf (t) biểu diễn dưới dạng sau:

Chứng minh Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.Mệnh đề 1.4 ([6]) Cho trước một số thực dương α Nếu ξ là hằng số thì

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịchđảo phải của tích phân phân thứ Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đâyĐịnh lí 1.5 ([7]) Cho α > 0, n = [α] + 1 Nếu f(t) ∈ ACn[a, b] thì

1.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương

trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) vàluôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Bây giờ chotrước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tụcnhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau

t∈[0,T ]kx(t)k,( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn)

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệmđịa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

C

với điều kiện ban đầu

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn

Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và(1.2)

Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.Mệnh đề 1.5 [3] Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy

ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân

Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:

Định lí 1.7 ([3] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T∗], Rn) là nghiệm của bài toán (1.1)với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).

Định lí 1.8 ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),(1.2) Giả sử f : R+× Rn −→ Rn thỏa mãn

kf(t, x) − f(t, y)k ≤ L(t)kx − yk,

ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý

x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞)

C

0Dαt xT(t)P x(t) ≤ 2xT(t)P C0Dαtx(t), ∀t ≥ 0

1.4 Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân

phân thứ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler

Định nghĩa 1.4 [6] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C−→ C xác định bởi

Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

+∞

X

k=0

zkk! = e

z

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ

Định nghĩa 1.5 [6] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C−→ C xác định bởi

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệphương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễuphi tuyến Caputo Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

(1.4)

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1, x2, , xn)T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 làthời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x

Định nghĩa 1.6 ([11]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệphương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.

Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọiđiểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thểchuyển về gốc tọa độ 0 Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệphương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) Đặt y(t) = x(t) − x Khi đó hệ(1.4) trở thành

Định nghĩa 1.7 ([11]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)

có một điểm cân bằng x = 0 Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Lefflernếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân

có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiêncứu tính ổn định Năm 2010, Y Li, Y Q Chen, và I Podlubny đưa ra phươngpháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình viphân phân thứ

Định lí 1.9 ([8]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương

α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:

(i) α1kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2kx(t)kab,

(ii) Ct0DtαV (t, x(t)) ≤ −α3kx(t)kab,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏamãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0trong Rn Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)

là ổn định Mittag–Leffler toàn cục

Áp dụng Định lí 1.9, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổnđịnh Mittag–Leffler của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo và lớp hệ có nhiễuphi tuyến phân thứ Caputo

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính Caputo

(1.6)

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A là ma trận vuông cấp n.Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của hệ(1.6)

Định lí 1.10 ([11]) Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục nếu tồn tạimột ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n sao cho bất đẳng thức matrận tuyến tính sau được thỏa mãn

Do điều kiện (1.7), ta có λmax(P A+ATP ) < 0 Suy ra điều kiện (ii) trong Định

lí 1.9 được thỏa mãn Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.6) là ổn định Mittag–Lefflertoàn cục

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định Mittag–Leffler của lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo

Xét hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo

(1.9)

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A, B là các ma trận hằng

số có số chiều thích hợp, g(x(t)) ∈ Rn là nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiệnsau: g(0) = 0 và g(x(t)) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên

Rn, tức là tồn tại một ma trận xác định dương Lg sao cho bất đẳng thức sauđược thỏa mãn:

Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn Lấy đạo hàm phân thứCaputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau:

Ω = P A + ATP + γ− 1P BBTP + γL2g

Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện (1.11)

Từ đó suy ra λmax(Ω) < 0 Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏamãn Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục

Chương 2

Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định

và ổn định hóa cho lớp hệ nổn thần kinh phân thứ Nội dung chính của chươngnày được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11]

2.1 Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân

(2.1)

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t))T ∈ Rn là véc tơ trạng thái,

n là số nơ ron, f(x(t)) = (f1(x1(t)), , fn(xn(t)))T ∈ Rn là hàm kích hoạt của

hệ nơ ron thần kinh, C = diag{c1, c2, , cn} là ma trận đường chéo chính, xácđịnh dương, B = (bij)n×n là ma trận hằng số Véc tơ hằng số I = (I1, , In)

là đầu vào bên ngoài (external input)

Để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1), ta cầncác giả thiết sau

Giả thiết 1 Các hàm kích hoạt fi(.)(i = 1, , n) liên tục, thỏa mãn điều

kiện Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz li > 0(i = 1, , n), tức là

|fi(yi)− fi(xi)| ≤ li|yi− xi|,với mọi xi, yi ∈ R Điều kiện trên tương đương với tồn tại một ma trận đườngchéo chính, xác định dương L = diag{l1, , ln} thỏa mãn

kf(y) − f(x)k ≤ kL(y − x)k,với mọi x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Rn

Giả thiết 2 C là một ma trận khả nghịch và tồn tại một số 0 ≤ θ < 1 thỏamãn

BT(C−1)TC−1B ≤ θ(L− 1)2.Định lí dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệmcủa hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1)

Định lí 2.1 ([11]) Giả sử các Giả thiết 1 và Giả thiết 2 được thỏa mãn Khi

đó hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệm

Chứng minh Vì C là ma trận không suy biến theo Giả thiết 2, nên ta xâydựng ánh xạ Ξ được xác định như sau Ξ : Rn −→ Rn