Nghiệm tổng quát cho phương trình monge ampere

Lời cảm ơn 11 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere 6 1.1 Ánh xạ pháp.. distx, A Khoảng cách từ điểm x đến tập ACkΩ Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên ΩDux, D2ux Gradient

KHOA TOÁN

*************

HOÀNG PHƯƠNG ANH

NGHIỆM TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG

TRÌNH MONGE-AMPERE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2018

KHOA TOÁN

*************

HOÀNG PHƯƠNG ANH

NGHIỆM TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG

Lời cảm ơn 1

1 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere 6

1.1 Ánh xạ pháp 7

1.2 Tính chất của ánh xạ pháp 9

1.3 Nghiệm suy rộng 15

1.4 Nghiệm nhớt 18

1.5 Nguyên lý cực đại 22

1.5.1 Nguyên lý cực đại Aleksandrov 24

1.5.2 Nguyên lý cực đại Aleksandrov-Bakelman- Pucci 25 1.5.3 Nguyên lý so sánh 31

2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere 34 2.1 Bài toán Dirichlet thuần nhất 34

2.2 Bài toán Dirichlet không thuần nhất 39

2.3 Nghiệm nhớt là nghiệm suy rộng 47

2.4 Ellipsoid có thể tích nhỏ nhất 50

Kết luận 56

Lời cảm ơn

Để hoàn thiện khóa luận em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy

cô trong khoa Toán Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến cácthầy cô, đặc biệt là TS.Trần Văn Bằng, người đã trực tiếp tận tìnhhướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy

cô trong trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tận tình dạy bảo em trong suốtquá trình học tập tại khoa

Khóa luận chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Hoàng Phương Anh

Lời cam đoan

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứucủa bản thân cùng với sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Khóa luận có sự tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhàkhoa học trong và ngoài nước Em xin cam đoan kết quả của khóaluận này là không sao chép từ bất cứ khóa luận nào Em xin chịu hoàntoàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh viên

Hoàng Phương Anh

dist(x, A) Khoảng cách từ điểm x đến tập A

Ck(Ω) Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên ΩDu(x), D2u(x) Gradient và Hessian của hàm u tại x

∆u(x) Laplace của hàm u tại x

∂u(x) Ánh xạ pháp hay dưới vi phân của hàm u tại x

χE(x) Hàm đặc trưng của tập hợp E

|E| Độ đo Lebesgue n chiều của tập hợp E ⊂ Rn

Lời nói đầu

Phương trình Monge-Ampere là phương trình có dạng

det D2u(x) = f (x), x ∈ Ω,

trong đó Ω ⊂ Rn là một tập mở, f (x) là hàm đã cho Phương trình này

là một phương trình phi tuyến, có vai trò quan trọng trong hình họccũng như trong nhiều lĩnh vực khác Vì thế phương trình đã nhận được

sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới, xem [5]

và các tài liệu trong đó Nhờ sự phát triển của lý thuyết dưới vi phân,

lý thuyết phân bố, lý thuyết nghiệm nhớt, các nhà toán học đã đạtđược nhiều kết quả tốt về phương trình Monge-Ampere Trong khóaluận này chúng tôi tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng và nghiệmnhớt của phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ giữa chúng vàmột số tính chất định tính như các nguyên lý cực đại Alexandrov,Alexandrov-Bakelman-Pucci và nguyên lý so sánh nghiệm; ứng dụngvào nghiên cứu bài toán Dirichlet và hình học Nội dung chính của khóaluận được trình bày trong hai chương Chương 1 trình bày khái niệmánh xạ pháp hay dưới vi phân và một số tính chất của ánh xạ pháp;khái niệm nghiệm suy rộng, nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampere và các nguyên lí cực đại, nguyên lí so sánh Chương 2 trìnhbày kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichletđối với phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ giữa nghiệm nhớt

và nghiệm suy rộng, sự tồn tại của ellipsoid có thể tích nhỏ nhất chứamột tập lồi

Do trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi có những thiếusót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Nghiệm suy rộng của phương

trình Monge-Ampere

Cho Ω là một tập con mở của Rn và u : Ω → R là hàm số xác địnhtrên Ω Trong khóa luận này chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu quenthuộc sau đây:

Với x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn, thì chuẩn của x xác định bởi

là hình cầu tâm x0 bán kính R trong Rn

Ck(Ω) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm đến cấp k liên tụctrên Ω, k = 0, 1, 2, · · · Khi k = 0 ta thường viết đơn giản C0(Ω) bởi

C(Ω) Nếu u ∈ C1(Ω) thì Du(x) = (ux1, · · · , uxn) là gradient của hàm

u tại điểm x ∈ Ω Nếu u ∈ C2(Ω) thì D2u(x) = [uxixj]n×n là (ma trận)Hessian của hàm u tại x ∈ Ω

Với x0 ∈ Ω, một siêu phẳng giá của hàm số u tại điểm (x0, u(x0))

là một hàm affin l(x) = u(xo) + p.(x − x0) sao cho u(x) ≥ l(x) với mọi

Định nghĩa 1.1 Ánh xạ pháp của u còn gọi là dưới vi phân của u,

là hàm đa trị ∂u : Ω → P(Rn) xác định bởi

∂u(x0) = {p : u(x) ≥ u(x0) + p.(x − x0), với mọi x ∈ Ω}

Với E ⊂ Ω, chúng ta định nghĩa ∂u(E) = S

x∈E∂u(x)

Lưu ý rằng, tập ∂u(x0) có thể bằng rỗng Gọi S = {x ∈ Ω : ∂u(x) 6=

∅} Nếu u ∈ C1(Ω) và x ∈ S thì ∂u(x) = {Du(x)} và thường viết đơngiản là ∂u(x) = Du(x) Điều này nghĩa là nếu u khả vi thì ánh xạpháp là gradient Nếu u ∈ C2(Ω) và x ∈ S, thì Hessian của u là matrận xác định không âm, nghĩa là D2u(x) ≥ 0 Điều này chứng tỏrằng, nếu u là C2, thì S là tập các điểm trên đó đồ thị của u là lồi

Thực vậy, theo khai triển Taylor

u(x + h) = u(x) + Du(x).h + 1

2hD2u(ξ)h, hi,trong đó ξ nằm trên đoạn thẳng giữa x và x + h Vì u(x + h) ≥u(x) + Du(x).h với mọi h đủ nhỏ nên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.1 Với hàm khả vi, ta đã biết ánh xạ pháp của nó chính làgradient Ví dụ này sẽ đề cập tới việc tính ánh xạ pháp của một hàmkhông khả vi điển hình, hàm số u có đồ thị là một hình nón trong

Rn+1 Cho Ω = BR(x0) trong Rn, h > 0 và u(x) = h|x − x0|

R Đồ thịcủa u, với x ∈ Ω, là một nón với trục thẳng đứng trong Rn+1 với đỉnhtại điểm (x0, 0) và đáy nằm trên siêu phẳng xn+1 = h Với hàm này tacó

x − x0

|x − x0|, nếu 0 < |x − x0| < R

Bh/R(0), nếu x = x0

Thật vậy, nếu 0 < |x − x0| < R, thì u khả vi tại x nên giá trị của

∂u chính là gradient Nếu x = x0 thì từ định nghĩa của ánh xạ pháp,

p ∈ ∂u(x0) nếu và chỉ nếu h

R|x − x0| ≥ p.(x − x0) với mọi x ∈ BR(x0).Nếu p 6= 0 và chúng ta chọn x = x0 + R p

|p|, thì ta suy ra |p| ≤

h

R Rõràng là nếu |p| ≤ h

R thì p ∈ ∂u(x0) Vậy ta có điều cần chứng minh.Tiếp theo chúng ta sẽ đề cập tới một số tính chất của ánh xạ pháp

|p k |, thì ta cómaxKδ u(x) ≥ minKu(x) + δ|pk|, với mọi k Vì u bị chặn địa phươngnên khẳng định trên được chứng minh Do vậy, tồn tại một dãy conhội tụ pkm → p0 Chúng ta khẳng định rằng p0 ∈ ∂u(K), cụ thể

p0 ∈ ∂u(x0) Thật vậy, ta có u(x) ≥ u(xkm) + pkm.(x − xkm) với mọi

x ∈ Ω và vì u liên tục, bằng cách lấy giới hạn m → ∞ ta nhận đượcu(x) ≥ u(x0) + p0.(x − x0) với mọi x ∈ Ω Vậy p0 ∈ ∂u(x0) và ta cóđiều phải chứng minh

Nhận xét 1.1 Theo chứng minh trên, nếu u chỉ bị chặn địa phươngtrong Ω thì ∂u(E) bị chặn khi E bị chặn và ¯E ⊂ Ω

Nhận xét 1.2 Với x0 ∈ Ω, tập ∂u(x0) lồi Tuy nhiên, nếu K lồi và

K ⊂ Ω thì tập ∂u(K) không nhất thiết là lồi Ví dụ, với u(x) = e|x|2

và K = {x ∈ Rn : |xi| ≤ 1, i = 1, , n} Tập ∂u(K) là tập hình saođối xứng quanh điểm gốc nhưng không lồi, xem Hình 1.1

Hình 1.1: Ảnh ∂u(K) không lồi của một tập lồi K qua ánh xạ pháp

Bổ đề 1.2 Nếu u là một hàm lồi trong Ω và K ⊂ Ω là compact, thì

u Lipschitz đều trong K, nghĩa là, tồn tại một hằng số C = C(u, K)sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| với mọi x, y ∈ K

Chứng minh Vì u lồi, u có siêu phẳng giá tại bất kì x ∈ Ω Đặt

C = sup{|p| : p ∈ ∂u(K)} Theo Bổ đề 1.1, C < ∞ Nếu x ∈ K, thìu(y) ≥ u(x) + p.(y − x) với p ∈ ∂u(x) và với mọi y ∈ Ω Đặc biệt, nếu

y ∈ K, thì u(y) − u(x) ≥ −|p||y − x| Bằng cách thay đổi vai trò của

x và y chúng ta nhận được kết luận của bổ đề

Bổ đề 1.3 Nếu Ω mở và u liên tục Lipschitz trong Ω, thì u khả vih.k.n trong Ω

Chứng minh Xem [4], trang 81

Bổ đề 1.4 Nếu u lồi hoặc lõm trong Ω, thì u khả vi h.k.n trong Ω.

Chứng minh Suy trực tiếp từ các Từ Bổ đề 1.2 và 1.3

Nhận xét 1.3 Mọi hàm lồi trong Ω đều có đạo hàm riêng cấp haih.k.n trong Ω, xem [4], trang 242

Định nghĩa 1.2 Biến đổi Legendre của hàm số u : Ω → R là hàm

S = {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)}

có độ đo không Điều này có nghĩa là tập các siêu phẳng giá tiếp xúcvới đồ thị của u tại nhiều hơn một điểm có độ đo không

Chứng minh Ta có thể giả sử rằng Ω bị chặn bởi vì nếu trái lại thì taviết Ω = ∪kΩk, trong đó Ωk ⊂ Ωk+1 là các tập mở và Ωk là compact.Nếu p ∈ S, thì tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và

u(z) ≥ u(x) + p.(z − x), u(z) ≥ u(y) + p.(z − y)

với mọi z ∈ Ω Vì Ωk tăng nên x, y ∈ Ωm đối với một m nào đó, và rõ

ràng hai bất đẳng thức trên đúng với z ∈ Ωm Nghĩa là, nếu

Sm = {p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và p ∈ ∂(u|Ωm)(x)∩∂(u|Ωm)(y)}

ta có p ∈ Sm, tức là, S ⊂ ∪mSm và do đó ta chỉ cần chứng minh rằngmỗi Sm có độ đo không

Thật vậy, gọi u∗ là biến đổi Legendre của u Theo Nhận xét 1.4 và

Bổ đề 1.4, u∗ khả vi h.k.n Đặt E = {p : u∗ không khả vi tại p} Ta

sẽ chứng tỏ rằng

{p ∈ Rn : tồn tại x, y ∈ Ω, x 6= y và p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)} ⊂ E

Thật vậy, nếu p ∈ ∂u(x1) ∩ ∂u(x2) và x1 6= x2, thì u∗(p) = xi.p − u(xi),

i = 1, 2 Ngoài ra, u∗(z) ≥ xi.z − u(xi) và u∗(z) ≥ u∗(p) + xi.(z − p)với mọi z, i = 1, 2 Do đó nếu u∗ khả vi tại p thì Du∗(p) = xi, i = 1, 2.Vậy ta có chứng minh của bổ đề

Định lý 1.1 Nếu Ω mở và u ∈ C(Ω), thì lớp

S = {E ⊂ Ω : ∂u(E) là đo được Lebesgue}

là một σ-đại số Borel Hàm tập M u : S → R xác định bởi

là một độ đo, hữu hạn trên các tập compact, được gọi là độ đo Monge

- Ampere liên kết với hàm u

Chứng minh Theo Bổ đề 1.1 lớp S chứa mọi tập con compact của Ω.Ngoài ra, nếu Em là dãy bất kì các tập con của Ω, thì ∂u(∪mEm) =

∪m∂u(Em) Do đó, nếu Em ∈ S, m = 1, 2, thì ∪mEm ∈ S Đặc biệt,

ta có thể viết Ω = ∪mKm với Km compact và ta thu được Ω ∈ S

Để chứng minh S là một σ-đại số, ta cần phải chứng minh rằng nếu

E ∈ S, thì Ω\E ∈ S Ta dùng công thức như sau, nó có hiệu lực vớibất kì tập E ⊂ Ω:

∂u(Ω\E) = (∂u(Ω)\∂u(E)) ∪ (∂u(Ω\E) ∩ ∂u(E)) (1.2)

Theo Bổ đề 1.5, |∂u(Ω\E) ∩ ∂u(E)| = 0 với mọi tập E Do đó từ (1.2)

ta có Ω\E ∈ S khi E ∈ S

Tiếp theo ta chứng minh rằng M u là σ-cộng tính Giả sử {Ei}∞i=1

là một dãy các tập đôi một rời nhau trong S và đặt ∂u(Ei) = Hi Taphải chứng minh rằng

Từ Bổ đề 1.5, |Hn∩ (Hn−1∪ Hn−2 ∪ ∪ H1)| = 0 và ta thu được:

|Hn| = |Hn\(Hn−1 ∪ Hn−2 ∪ ∪ H1)|

Từ đây ta có (1.3), do đó có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.2 Nếu u ∈ C2(Ω) là một hàm lồi, thì độ đo Monge-Ampere

M u liên kết với u thỏa mãn

u(x1) − u(x2) = Du(x1).(x1 − x2) = Du(x2).(x1 − x2)

Theo công thức Taylor,

u(x1) = u(x2) + Du(x2).(x1 − x2)

+

Z 1 0

thD2u(x2 + t(x1 − x2)) (x1 − x2), x1 − x2idt

Do đó tích phân bằng 0 và hàm dưới dấu tích phân phải triệt tiêuvới 0 ≤ t ≤ 1 Vì x2 ∈ A, nên x2 + t(x1 − x2) ∈ A với t đủ nhỏ.

Do đó, x1 = x2 Nếu u ∈ C2(Ω), thì g = Du ∈ C1(Ω) Chúng ta có

M u(E) = |Du(E)| và

Du(E) = Du(E ∩ S0) ∪ Du(E\S0)

Vì E ⊂ Rn là tập Borel, nên E ∩ S0 và E\S0 cũng là các tập Borel

Vì vậy, từ công thức đổi biến và định lý Sard,

M u(E) = M u(E ∩ S0) + M u(E\S0)

=Z

E\S 0det D2u(x)dx =

Z

E

det D2u(x)dx,

điều này cho ta (1.4)

Ví dụ 1.3 Nếu u(x) là hàm có đồ thị hình nón trong Ví dụ 1.1, thì

độ đo Monge-Ampere liên kết với u là M u = |Bh/R|δx0, trong đó δx0

là hàm delta Dirac tại x0

1.3 Nghiệm suy rộng

Định nghĩa 1.3 Cho v là một độ đo Borel được xác định trong Ω,một tập con mở và lồi của Rn Hàm lồi u ∈ C(Ω) là một nghiệm suyrộng, hoặc nghiệm Aleksandrov, của phương trình Monge-Ampere

det D2u = v

nếu độ đo Monge-Ampere M u liên kết với u xác định bởi (1.1) bằngv.

Bổ đề sau suy ra khái niệm nghiệm suy rộng là đóng đối với phépqua giới hạn đều Nghĩa là, nếu uk là các nghiệm suy rộng của D2u = vtrong Ω và uk → u đều trên các tập con compact của Ω, thì u cũng làmột nghiệm suy rộng của D2u = v trong Ω

Bổ đề 1.6 Cho uk ∈ C(Ω) là các hàm lồi sao cho uk → u đều trêncác tập con compact của Ω Chúng ta có

(i) Nếu K ⊂ Ω là compact, thì

(ii) Nếu U mở sao cho U ⊂ Ω, thì

∂u(U ) ⊆ lim inf

k→∞∂uk(U ),trong đó bất đẳng thức đúng tại hầu hết mọi điểm của tập ở phía bêntrái, và theo Bổ đề Fatou

|∂u(U )| 6 lim inf

k→∞|∂uk(U )|

Chứng minh (i) Nếu p ∈ lim supk→∞∂uk(K), thì với mỗi n tồn tại kn

và xkn ∈ K sao cho p ∈ ∂ukn(xkn) Bằng cách chọn một dãy con xj

p ∈ ∂u(U )\S, thì tồn tại duy nhất x0 ∈ U sao cho p ∈ ∂u(x0) và

p /∈ ∂u(x1) với mọi x1 ∈ Ω, x1 6= x0 Đầu tiên chúng ta giả sử rằng ¯U

là compact, l(x) = u(x0) + p.(x − x0), và δ = min{u(x) − l(x) : x ∈

∂U } > 0 nhờ sự hội tụ đều ta có |u(x) − uk(x)| < δ

2 , vô lí Chúng ta khẳng định rằng p là

độ nghiêng của siêu phẳng giá của uk tại điểm (xk, uk(xk)) Thực vậy,

δk = u(x0) + p.(xk − x0) − uk(xk) + δ

2

uk(x) ≥ uk(xk) + p.(x − xk), ∀x ∈ U (1.5)

Do uk lồi trong Ω, U mở, và xk ∈ U, nên (1.5) đúng với mọi x ∈

Ω, nghĩa là p ∈ ∂uk(xk) với mọi k ≥ k0 Điều này chứng tỏ p ∈lim infk→∞∂uk(U )

Cuối cùng, chúng ta bỏ giả thiết U là compact Nếu U mở, và

U ⊂ Ω, thì chúng ta viết U = ∪∞j=1Uj với Uj mở và Uj compact Khiđó

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.7 Nếu uk là các hàm lồi trong Ω sao cho uk → u đều trêncác tập con compact của Ω, thì độ đo Monge-Ampere liên kết M uk hội

sao cho (u − φ)(x) ≤ (≥)(u − φ)(x0) với mọi x trong một lân cận của

hàm thử dùng trong định nghĩa nghiệm dưới nhớt hoặc nghiệm trênnhớt là lớp các đa thức bậc hai lồi chặt Đầu tiên ta chứng minhrằng, nếu với mọi đa thức bậc hai lồi chặt φ và x0 ∈ Ω sao cho(u − φ)(x) ≤ (u − φ)(x0) với mọi x trong một lân cận của x0 ta đều có

det D2φ(x0) ≥ f (x0),

thì u là một nghiệm dưới nhớt của phương trình det D2(u) = f trong

Ω Thật vậy, giả sử φ ∈ C2(Ω) lồi sao cho u − φ có một cực đại địaphương tại x0 ∈ Ω Chúng ta viết

do đó đa thức P lồi chặt Chúng ta có φ(x) − P(x) = o(|x − x0|2) −

|x − x0|2 ≤ 0 nên φ − P có cực đại địa phương tại x0 Do vậy,

u − P có một cực đại địa phương tại x0 Khi đó, det D2P(x0) =det(D2φ(x0) + 2Id) ≥ f (x0) Cho  → 0, chúng ta có bất đẳng thứcmong muốn

Để chứng minh khẳng định đối với nghiệm trên nhớt, lấy φ ∈ C2(Ω)lồi sao cho u − φ có cực tiểu địa phương tại x0 Nếu D2φ(x0) có giátrị riêng 0, thì det D2φ(x0) = 0 ≤ f (x0) Nếu mọi giá trị riêng của

D2φ(x0) là dương và P (x) cho bởi (3.1), thì P(x) = P (x) − |x − x0|2

là lồi chặt với mọi  > 0 đủ nhỏ Tiếp tục như trên, chúng ta nhậnđược u − P có cực tiểu địa phương tại x0 nên det D2φ(x0) ≤ f (x0).Bây giờ, chúng ta so sánh hai khái niệm nghiệm: nghiệm suy rộng

Đặt m = minδ/2≤|x−x0|≤δ{φ(x) − u(x)} Chúng ta có m > 0 Giả sử

0 <  < m và xét tập

S = {x ∈ Bδ(x0) : u(x) +  > φ(x)}

Nếu δ/2 ≤ |x − x0| ≤ δ, thì φ(x) − u(x) ≥ m nên x /∈ S Do vậy,

S ⊂ B/2(x0) Giả sử z ∈ ∂S Khi đó tồn tại xn ∈ S và xn ∈ S/  saocho xn → z và xn → z Do vậy, u +  = φ trên ∂S Do cả hai hàm lồitrong S theo Bổ đề 1.8, nên ta có

Do tính liên tục của f ta suy ra det D2φ(x0) ≥ f (x0).

Lập luận tương tự ta có u là nghiệm trên nhớt Phần đảo của Mệnh

đề 1.1 sẽ Được chứng minh trong mục 2.3

1.5 Nguyên lý cực đại

Trong chương này chúng ta chứng minh hai nguyên lý cực đại và mộtnguyên lý so sánh cho phương trình Monge-Ampère Chúng ta bắtđầu với các bổ đề cơ bản sau

là một siêu phẳng giá của hàm u tại một điểm nào đó trong Ω Vì Ω

bị chặn, nên tồn tại x1 ∈ ¯Ω sao cho a = v(x0) + p.(x1− x0) − u(x1) và

1.5.1 Nguyên lý cực đại Aleksandrov

Đánh giá dưới đây là cơ sở cho việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampere

Định lý 1.3 (Nguyên lý cực đại Aleksandrov) Nếu Ω ⊂ Rn là mộttập bị chặn, mở và lồi với đường kính ∆, và u ∈ C( ¯Ω) lồi với u = 0trên ∂Ω, thì

|u(x0)|n ≤ Cn∆n−1dist(x0, ∂Ω)|∂u(Ω)|,

với mọi x0 ∈ Ω, trong đó Cn là hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều n

Chứng minh Cố định x0 ∈ Ω và giả sử υ là hàm lồi với đồ thị là nón

có trục đứng với đỉnh (x0, u(x0)) và đáy Ω, với υ = 0 trên ∂Ω Vì ulồi nên υ ≥ u trong Ω Theo Bổ đề 1.8,

∂υ(Ω) ⊂ ∂u(Ω)

Để chứng minh định lý, chúng ta sẽ đánh giá độ đo của ∂υ(Ω) từ dưới.Thứ nhất, tập ∂υ(Ω) lồi Điều này đúng bởi vì, nếu p ∈ ∂υ(Ω), thìtồn tại x1 ∈ Ω sao cho p = ∂υ(x1) Nếu x1 6= x0, do đồ thị của υ làmột nón, nên υ(x1) + p.(x − x1) là một siêu phẳng giá tại x0, nghĩa là

p ∈ ∂υ(x0) Vậy ∂υ(Ω) = ∂v(x0) và vì ∂υ(x0) lồi nên ta có điều phảichứng minh

Thứ hai, tồn tại p0 ∈ ∂υ(Ω) sao cho |p0| = −u(x0)

dist(x0, ∂Ω) Điều nàyđúng vì Ω lồi Thực vậy, lấy x1 ∈ ∂Ω sao cho |x1−x0| = dist(x0, ∂Ω) vàgiả sử H là siêu phẳng giá duy nhất của tập Ω tại x1 Tính duy nhất cóđược là vì B|x1−x0|(x0) ⊂ Ω; H có phương trình (x − x1).(x0− x1) = 0.Siêu phẳng trong Rn+1 sinh bởi H và điểm (x0, u(x0)) là một siêu

phẳng giá của υ và có phương trình z = u(x0) + p0.(x − x0) với p0 =u(x0)

|x0 − x1|2(x0 − x1)

Bây giờ chú ý rằng hình cầu B với trung tâm tại điểm gốc và bánkính −u(x0)

∆ chứa trong ∂υ(Ω), và |p0| ≥ −u(x0)

∆ Do vậy, bao lồi của

B và p0 chứa trong ∂υ(Ω) và nó có độ đo lớn hơn hoặc bằng

Cn −u(x0)

∆

n−1

|p0|

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.7 Đánh giá trong Định lý 1.3 chỉ có nghĩa nếu |∂u(Ω)|=

F (u) = {υ : υ(x) ≤ u(x) ∀x ∈ Ω, v lồi trong Ω}

G(u) = {w : w(x) ≥ u(x) ∀x ∈ Ω, w lõm trong Ω}

Chúng ta có u∗ lồi và u∗ lõm trong Ω Chúng ta gọi chúng tương ứng

là bao lồi và bao lõm của u trong Ω, và ta có bất đẳng thức

Xét các tập của các điểm tiếp xúc

C∗(u) = {x ∈ Ω : u∗(x) = u(x)}, C∗(u) = {x ∈ Ω : u∗(x) = u(x)}

Khi đó

Vì u∗ lồi, nên u∗ có một siêu phẳng giá tại x0, với x0 ∈ C∗(u) Hơnnữa u∗(x0) = u(x0) nên siêu phẳng này cũng là một siêu phẳng giácủa u tại điểm đó Nghĩa là,

∂(u∗)(x0) ⊂ ∂u(x0), với x0 ∈ C∗(u),

và do vậy

∂(u∗)(C∗(u)) ⊂ ∂u(C∗(u))