Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Hàm green đa phức và hàm green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ TUYẾT
HÀM GREEN ĐA PHỨC VÀ HÀM GREEN THỰC TRÊN CÁC MIỀN KHẢ
LỒI PHỨC KIỂU HỮU HẠN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 8 46 01 02
Giáo viên hướng dẫn:
TS DƯƠNG QUANG HẢI
Thái Nguyên - Năm 2018
Trang 2Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018Người viết luận văn
Nguyễn Thị Tuyết
Trang 3Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Dương Quang Hải, người thầy tận tình hướngdẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận vănnày
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thểcác thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi nhữngkiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đónggóp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vìvậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và cácbạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Tác giả
Nguyễn Thị Tuyết
Trang 4Mục lục
1.1 Một số khái niệm cơ bản 4
1.2 Hàm Green thực 6
1.3 Hàm Green đa phức 7
1.4 Miền C-khả lồi địa phương kiểu hữu hạn 10
Chương 2 Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên các miền giả lồi chặt trong Cn 13 2.1 Một số đánh giá cận trên đối với hàm Green thực cổ điển 13 2.2 Một số đánh giá cận dưới của hàm Green đa phức 14
2.3 Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên miền giả lồi chặt trong Cn 19
Chương 3 Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền giả lồi yếu 23 3.1 Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền khả lồi địa phương 23
Trang 53.2 Đánh giá thương của hai hàm Green đa phức và hàm Green
thực cổ điển trên một số miền C-khả lồi địa phương kiểu
hữu hạn 33
Trang 6Lời nói đầu
Các hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển là các đối tượngnghiên cứu đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết đa thế vị phức Đó
là các lớp hàm điều hòa và đa điều hòa dưới có nhiều ứng dụng nênđược nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như:Siciak,P Lelong, Zaharjuta, Klimek, Dan Coman, Zeriahi, Magnusson,
và đạt được nhiều kết quả sâu sắc Một số kết quả về hàm Green đa phứcvới các cực logarit trên đa tạp siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữuhạn đã đặc biệt nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều nhà toánhọc như P Lelong, Klimek, Zaharjuta, E Amar, Dan Coman, Demailly,P.J.Thomas,
Tuy nhiên, những tính chất về hàm Green đa phức với nhiều cực vẫn cònđược biết rất ít hoặc chưa được nghiên cứu đầy đủ Đặc biệt, trong nhữngnăm gần đây mối quan hệ giữa hàm Green đa phức với hàm Green thực
cổ điển (là nghiệm cơ bản của bài toán Dirichlet đối với toán tử Laplace)trên các miền bị chặn trong Cn nhận được sự quan tâm nghiên cứu củanhiều nhà toán học như Magnus Carlehed, Bo-Yong Chen, N Nikolov, P
J Thomas Cụ thể, nghiên cứu thương h(x, y) = gD(x, y)/GD(x, y) củahai hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên miền bị chặn D
trong Cn Vì hàm h(x, y) hội tụ đến 0 khi x, y hội tụ đến cùng một điểmtrong D nên hàm h có thể mở rộng thành một hàm liên tục không âmtrong D × D Một câu hỏi được đặt ra là khi nào hàm h sẽ bị chặn trong
D × D? Năm 1997, M Carlehed đã chứng minh được hàm h bị chặn bởihằng số 22n−3/(n − 1) trên hình cầu đơn vị trong Cn Hằng số này là đánhgiá tốt nhất đối với hàm h trên hình cầu đơn vị Tiếp đó, M Carlehedchứng minh tính bị chặn của thương hai hàm Green trên các miền giả
Trang 7lồi chặt Năm 2002, Bo-Yong Chen tổng quát hóa kết quả trên của M.Carlehed trên các miền lồi kiểu hữu hạn.
Nằm trong tính thời sự này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài “Hàm Green
đa phức và hàm Green thực trên các miền khả lồi phức kiểu hữuhạn” nhằm mục đích nghiên cứu các ước lượng cận dưới các hàm Greennày Đồng thời, nghiên cứu tính bị chặn của hàm thương gD/GD của haihàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên một số miền giả lồiyếu D trong Cn Luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu mới nhấtgần đây năm 2018 của N Nikolov, P J Thomas về so sánh hai hàm Green
đa phức và hàm Green thực cổ điển được trình bày trong tài liệu thamkhảo [9]
Bố cục của luận văn gồm ba chương nội dung chính, trong đó có phầnlời nói đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết đa thế vịphức như hàm nửa liên tục trên, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green thực
và hàm Green đa phức, Trình bày một số hàm giả khoảng cách và một
số định nghĩa về tính chất hình học của các miền trong Cn như miền khả lồi, miền C - khả lồi địa phương kiểu hữu hạn Đây là kiến thức nềntảng phục vụ cho việc nghiên cứu ở các chương sau
C-Chương 2: Hàm Green đa phức và hàm Green thực cổ điển trên cácmiền giả lồi chặt Cn
Trong chương này, chúng tôi trình bày một kết quả về đánh giá cậndưới của hàm Green đa phức trên các miền lồi chặt và giả lồi chặt, bị chặntrong Cn và nghiên cứu tính bị chặn của thương của hai hàm Green đaphức gD/GD trên các miền này
Chương 3: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quảcủa N Nikolov, P J Thomas về so sánh các hàm Green đa phức và hàmGreen thực cổ điển trên một số miền giả lồi yếu trong Cn
Cụ thể, trong chương này chúng tôi nghiên cứu và đánh giá các cậndưới của hàm Green đa phức trên một số miền C-khả lồi địa phương vớibiên kiểu hữu hạn và tổng quát hơn, nghiên cứu nó trên các miền C-khả
Trang 8lồi địa phương kiểu hữu hạn Cuối cùng, chúng tôi cũng nghiên cứu tính
bị chặn của thương của hai hàm Green đa phức gD/GD trên một số miềngiả lồi yếu trong Cn
Trang 9Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Trong chương này, luận văn giới thiệu một số khái niệm cơ bản phục
vụ cho các nghiên cứu ở chương sau
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Trước hết, chúng ta có một số khái niệm của giải tích
Định nghĩa 1.1.1 (Miền Lipschitz) Một miền bị chặn D, compact tươngđối trong Rn được gọi là miền Lipschitz (hay miền với biên Lipschitz) nếu
về mặt địa phương, biên ∂D là đồ thị của một hàm Lipschitz
Một hàm ψ : Rn−1 → R được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu
tồn tại một hằng số M sao cho
|ψ(y0) − ψ(x0)| ≤ M |y0− x0| với mọi y0, x0 ∈ Rn−1
Như vậy, một miền bị chặn D được gọi là Lipschitz nếu gần mỗi điểmbiên p ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận U của p sao cho
D ∩ U = (x0, xn) ∈ U |xn > ψ(x0) ,
với hàm Lipschitz ψ nào đó
Định nghĩa 1.1.2 Cho U là một tập mở trong Cn và u : U → R khả vi
lớp C2(U ) Ký hiệu ∆ là toán tử Laplace, tức là
∆u =
nX
i=1
∂2u
∂x2 i
Trang 10
Một hàm h : U → R khả vi lớp C2(U ) được gọi là hàm điều hòa trên
U nếu ∆h = 0 trên U
Chẳng hạn, hàm h := Ref, với f là một hàm chỉnh hình trên miền
D ⊂ C là một hàm điều hòa trên D
Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X →[−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R
tập mở {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X
Định nghĩa 1.1.4 Giả sửΩ là tập mở trong C Hàmu : Ω → [−∞, +∞)
gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω, u 6≡ −∞ trênbất kỳ một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dướitrung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại % > 0 sao cho với mọi
Ký hiệu P SH_(Ω) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω
Định nghĩa 1.1.6 Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồinếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) saocho với c < 0
Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c} b Ω
Chẳng hạn, mọi miền lồi chặt (hay giả lồi chặt, với biên lớp C2) đều làmiền siêu lồi
Trang 11∆u(x) = 0 trong Ω,u(x) = −p(x − y) trên ∂Ω
Định nghĩa 1.2.1 (Hàm Green thực) Cho Ω là một miền bị chặn trong
RN với biên Lipschitz Hàm
GΩ(x, y) = p(x − y) + hy(x),
với mọi x, y ∈ Ω, được gọi là hàm Green thực (cổ điển) đối với toán tửLaplace, với cực tại điểm y
Hàm Green thực GΩ là hàm đa điều hòa âm trong miền Ω\{y} và hội
tụ đến 0 trên biên ∂Ω Hơn nữa, GΩ là hàm đối xứng, tức là GΩ(x, y) =
GΩ(y, x), với mọi (x, y) ∈ Ω × Ω
Ký hệu U_(Ω, y) là tập các hàm điều hòa dưới u trên miền Ω ⊂ RN,với N ≥ 3 thỏa mãn
u(ζ) ≤ p(ζ − y) + O(1)khi ζ → y
Khi đó, theo phương pháp tính toán của Perron thì hàm Green thực cổđiển có thể cho bởi
Trang 12hàm đa điều hòa dưới hoặc hàm Green đa phức thì D được xét như miềncon của Cn.
Vậy, hàm Green thực cổ điển trên miềnD ⊂ Cn,n ≥ 3 với cực tại điểm
ω ∈ D có thể được định nghĩa như sau
GD(z, ω) = sup u(x); u ∈ SH_(D), u = | · −w|−m+2 + O(1) ,
trong đó SH_(D) ký hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên D
1.3 Hàm Green đa phức
Cho D là miền bị chặn trong Cn, n ≥ 2 Ký hiệu V (D, y) là tập cáchàm đa điều hòa dưới trên D thỏa mãn
u(ζ) ≤ log |ζ − y| + O(1) khi ζ → y
Định nghĩa 1.3.1 Cho Ω là một miền trong Cn và a ∈ Ω Nếu hàm u
là một hàm đa điều hòa dưới trên Ω, ta nói rằng hàm u có cực logarit tạiđiểm a nếu hàm z 7→ u(z) − log |z − a| bị chặn trên trong một lân cận củađiểm a
Nếu Φ : Ω1 → Ω2 là một ánh xạ chỉnh hình vàu là một hàm chỉnh hìnhtrên Ω2 với cực logarit tại điểm Φ(a) thì u ◦ Φ là hàm chỉnh hình trên Ω1với cực logarit tại điểm a
Khi đó, năm 1985 Klimek [7] đã đưa ra định nghĩa về hàm Green đaphức như sau
Định nghĩa 1.3.2 Cho D là miền bị chặn trong Cn, n ≥ 2 Hàm Green
đa phức trên miền D, với cực tại điểm y ∈ D được cho bởi
gD(x, y) = sup{v(x); v ∈ V (D, y), v ≤ 0}
Chúng ta thường ký hiệu gD(z, ω) hàm Green đa phức trên miền D ⊂
Cn, n ≥ 2, với cực tại điểm ω ∈ D:
gD(z, w) = supu(z) : u ∈ P SH_(D), u = log| · −w| + O(1) ,
Trang 13trong đó P SH−(D) là tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên D Trongtrường hợp n = 1 thì gD chính là hàm Green thực cổ điển đối với toán tửLaplace trên R2.
Trong đề tài luận văn, đôi khi ta ký hiệu g mà bỏ đi ký hiệu D hàmGreen đa phức khi miền D ta đang xét đã định nghĩa rõ ràng
Cho u là đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ Cn Ký hiệu d = ∂ + ∂ và
∂G, kéo theo v ≤ u trên ∂G
Trong Klimek [7, Hệ quả 3.1.9] đã chứng minh được rằng: Nếu u là mộthàm đa điều hòa dưới lớp C2 trên một tập con mở Ω ⊂ Cn thì u là cựcđại khi và chỉ khi (ddcu)n = 0 trên Ω
Khi đó, hàm Green đa phức gD có một số tính chất sau đây:
Hàm x 7→ gD(x, y) là một hàm đa điều hòa dưới âm, cực đại trên miền
D\{y} Tức là, ddcgDn = 0 trên miền D\{y}
Hàm Green đa phức gD tiến tới 0 trên biên ∂D của D khi và chỉ khi D
là miền siêu lồi Gần cực điểmy, hàm Green đa phức xấp xỉ hàmlog |x−y|.Hàm Green đa phức gD là đối xứng, tức là gD(x, y) = gD(y, x) nếu D
là miền lồi chặt Trong trường hợp tổng quát, E Berdford - J-P Demailly
đã chứng minh hàm Green đa phức là không đối xứng
Hơn nữa, dễ thấy hàm Green đa phức gD là một đa điều hoà dưới hàm
âm trên D nên gd thỏa mãn tính chất sau đây
Trang 14Mệnh đề 1.3.5 Giả sử D là miền siêu lồi, bị chặn trong Cn, cho S ={a1, a2, , aN} là một tập hữu hạn các điểm trong D Khi đó, ta có cácbất đẳng thức sau
NX
z1 − a
1 − az1
j=1
log
z1 − aj
1 − ajz1
... cácmiền giả lồi yếu Cụ thể, chứng minh tính bị chặn thương
gD/GD hai hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển
số miền khả lồi địa phương kiểu hữu hạn. .. 3
Hàm Green đa phức hàm Green thực cổ điển số miền giả lồi yếu
3.1 Đánh giá thương hai hàm Green đa phức< /h3>
và hàm Green thực cổ điển số miền khả lồi địa phương...
Φ(D ∩ U ) miền C -lồi
Người ta chứng minh rằng: Mọi miền giả lồi chặt miềnkhả lồi địa phương
Tiếp theo, có định nghĩa miền khả lồi địa phương kiểu
m -hữu hạn Trước hết,