Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)

Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

THÁI NGUYÊN, 5/2018

Mục lục

1.1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ 8

1.1.1 Định nghĩa và các ký hiệu 8

1.1.2 Phép toán trên đồ thị 11

1.1.3 Đồ thị đẳng cấu 12

1.1.4 Bậc của đỉnh trong đồ thị 13

1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH 14

1.3 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ 17

1.4 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT 20

1.4.1 Đồ thị rỗng và đồ thị không 20

1.4.2 Rừng và cây 20

1.4.3 Đồ thị đầy đủ 21

1.4.4 Đồ thị vòng, đồ thị đường và đồ thị bánh xe 21

1.4.5 Đồ thị đều (đồ thị chính qui) 22

1.4.6 Đồ thị hai phần 23

1.4.7 Phần bù của đơn đồ thị 23

2 LIÊN THÔNG ĐỈNH VÀ LIÊN THÔNG CẠNH CỦA ĐỒ

2.1 LIÊN THÔNG CẤP k GIỮA HAI ĐỈNH 25

2.2 ĐỒ THỊ k - LIÊN THÔNG 30

2.3 ĐỈNH KHỚP 32

2.4 LIÊN THÔNG CẠNH CẤP ` GIỮA HAI ĐỈNH 34

3 CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ 39 3.1 DI CHUYỂN TRÊN ĐỒ THỊ 39

3.2 ĐỒ THỊ ĐỒNG BẬC 40

3.3 BÁN NHÂN TỬ 42

3.4 TẬP HỢP TƯƠNG THÍCH LỚN NHẤT 43

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

G + H Tổng của hai đồ thị G và H

P[x,y] Một đoạn của đường đi P từ x tới y

Hình 1.11 Dây cung xy, vòng nhỏ = 4, vòng lớn = 8

Hình 2.1 Đường đậm, đường yếu

Hình 2.2 Không có đường yếu từ a tới b

Hình 2.3 Đặt trạm kiểm soát thuyền bè đi từ vùng núi ra biểnHình 2.4 Tìm đường đi bắt đầu bằng u và tận cùng bằng vHình 2.5 Tìm chu trình sơ cấp qua u và v

Hình 2.6 Số liên thông đỉnh κ(G) và số liên thông cạnh `(G)Hình 2.7 Bản đồ giao thông

Hình 2.8 Đồ thị tương ứng

Hình 3.1 Đường đi xen kẽ và chu trình xen kẽ

Hình 3.2 Bán nhân tử và chu trình Haminton

Hình 3.3 Ví dụ 3.2

Mở đầu

Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ chức củamột cơ quan, trường học đã khá quen thuộc với nhiều người Đó là nhữnghình ảnh sinh động và cụ thể của một khái niệm toán học trừu tượng -khái niệm đồ thị (graph) Tuy nhiên, phải nhấn mạnh ngay là khái niệm

đồ thị ở đây rất khác và không có liên quan gì tới khái niệm đồ thị củahàm số đã biết từ bậc phổ thông

Có thể hiểu đơn giản "đồ thị" là một cấu trúc toán học rời rạc, bao gồmhai yếu tố chính là đỉnh và cạnh cùng với mối quan hệ giữa chúng Đồ thị

là mô hình toán học cho nhiều vấn đề lý thuyết và thực tiễn đa dạng

Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều vấn đề và bài toán có ý nghĩa thựctiễn thiết thực, cùng nhiều phương pháp xử lý và thuật toán giải độc đáo

và hiệu quả, giúp ích cho sự phát triển tư duy toán học nói chung và khảnăng vận dụng trong cuộc sống thường ngày nói riêng

Trong số đó đáng chú ý là các bài toán về giao thông, liên lạc Ta xétmột bài toán cụ thể như sau: Trong một mạng giao thông, hai địa điểm a

và b trong mạng là liên thông khi nào có ít nhất một đường đi nối liền haiđịa điểm ấy Đương nhiên, số đường đi nối a với b càng nhiều thì mức độliên thông càng cao Chẳng hạn giữa hai thành phố càng có nhiều đườnggiao thông với nhau thì sự liên lạc càng thuận tiện Nhận xét đơn giản nàyđưa đến một vấn đề quan trọng về lý luận cũng như thực tiễn: "đánh giátính liên thông của một đồ thị"

Để nâng cao khả năng tư duy toán học và tìm hiểu thêm các vấn đềtoán học hiện đại, gần với ứng dụng, tôi chọn đề tài

"Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc

của đồ thị vô hướng"

Luận văn này có mục đích tìm hiểu và trình bày các kiến thức cơ bản về

đồ thị và các kết quả lý thuyết, các định lý liên quan đến tính liên thông,các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng và một số ví dụ ứng dụng cụ thể.Nội dung luận văn được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1] - [6] vàđược trình bày trong ba chương Cụ thể như sau

Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại một số khái niệm cơ bản

về đồ thị: đỉnh và cạnh, đồ thị vô hướng, đồ thị có hướng, đồ thị đẳng cấu,

đồ thị con, bậc của đỉnh và tính chất, đường đi và chu trình, đồ thị liênthông và không liên thông, các thành phần liên thông Một số đồ thị đặcbiệt: rừng và cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ,

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìmhiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã cótheo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong soạnthảo, văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Tácgiả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồngnghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng

dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làmluận văn Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của KhoaToán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên đã giảng dạy và tạomọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, ngày 02 tháng 5 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Phương

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản thường dùng trong lýthuyết đồ thị: các khái niệm đỉnh, cạnh, đồ thị vô hướng, các phép toántrên đồ thị, bậc của đỉnh và tính chất, đường đi và chu trình, đồ thị liênthông và đồ thị không liên thông Cuối chương mô tả một số dạng đồ thịthường gặp Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu[1], [4] và [5]

Trong thực tế ta thường gặp các sơ đồ giao thông (Hình 1.1) hay sơ đồmạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ này được khái quát thành sơ đồ vẽ ở Hình1.3 Từ đó ta đi tới định nghĩa sau

Đồ thị (graph) là một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các điểm, gọi là cácđỉnh (vertex) hay nút (node) và một tập hợp các đoạn (thẳng hay cong)nối liền một số cặp điểm này, gọi là các cạnh (edge) của đồ thị (Số cạnh

có thể bằng 0)

Mỗi đỉnh của đồ thị thường được ký hiệu bằng một chữ cái ( a, b, c, hay A, B, C, ) hoặc chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối liền đỉnh a với đỉnh bđược ký hiệu là (a, b) hay đơn giản là ab (a và b có thể là các chữ số) Mộtcạnh có dạng (a, a), nối đỉnh a với chính nó, gọi là một khuyên (loop).Nếu đồ thị G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E ⊆ V × V (nghĩa là mỗiphần tử của E là một cặp gồm hai phần tử của V ) thì để cho gọn, ta viết

G = (V, E) Ta cũng dùng ký hiệu V (G) để chỉ tập đỉnh và E(G) để chỉtập cạnh của đồ thị G Ký hiệu n = |V (G)| là số đỉnh và m = |E(G)| là

số cạnh của đồ thị G

Đồ thị gọi là hữu hạn (finite), vô hạn hay đếm được là tùy theo số đỉnhcủa nó là hữu hạn, vô hạn hay đếm được Luận văn này chỉ xét các đồ thịhữu hạn

Để dễ hình dung, mỗi đồ thị thường được biểu diễn bởi một hình vẽ trênmặt phẳng, bằng cách vẽ các điểm thay cho các đỉnh và nối hai điểm bằngmột đoạn thẳng (hay cong), nếu hai đỉnh tương ứng thì sẽ tạo nên mộtcạnh Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn một đồ thị có 5 đỉnh: P, Q, R, S, T

và 8 cạnh (mỗi cạnh là một đoạn thẳng nối hai đỉnh) Chú ý rằng điểmgiao nhau của hai cạnh P S và QT trong hình vẽ không phải là một đỉnhcủa đồ thị Hình 1.4 biểu diễn một đồ thị có 7 đỉnh (các đỉnh được đánh

số từ 1 tới 7) và 5 cạnh (đã liệt kê ở hình vẽ)

Đỉnh u gọi là kề đỉnh v nếu có một cạnh của đồ thị nối u với v Nếu kýhiệu cạnh này là e thì ta viết e = (u, v) và nói cạnh e liên thuộc (incident)

u, v hay u, v là hai đỉnh mút (endvertices) hay hai đầu mút (ends) của e

Cạnh (u, v) thường được viết gọn thành uv (hoặc vu) Tập hợp tất cảcác cạnh uv ∈ E sao cho u ∈ X và v ∈ Y được ký hiệu là E(X, Y )

Đồ thị không có cạnh kép gọi là một đơn đồ thị (simple graph) Trái lại,gọi là một đa đồ thị Hình 1.5 và 1.6 minh họa cạnh kép và khuyên trong

đa đồ thị

Hai đỉnh hay hai cạnh không kề nhau gọi là độc lập (independent) Cũngvậy, một tập hợp đỉnh hay cạnh gọi là độc lập nếu tập đó không chứa hai

phần tử nào kề nhau Các tập đỉnh độc lập còn được gọi là các tập ổn định(stable set).

Một cạnh của đồ thị gọi là cạnh có hướng (directed edge) nếu có quiđịnh rõ một đầu mút của cạnh là đỉnh đầu, mút kia là đỉnh cuối Cạnh cóhướng còn được gọi là một cung

Một đồ thị gồm toàn các cạnh gọi là đồ thị vô hướng (undirected graph),

đồ thị gồm toàn các cung gọi là đồ thị có hướng (digraph) Một đồ thị vừa

có cạnh vừa có cung gọi là đồ thị hỗn hợp (mixed graph) Bằng cách thaymột cạnh bởi hai cung có hướng ngược chiều nhau, ta có thể qui mọi đồthị về đồ thị có hướng Hình.1.7 mô tả một đồ thị có hướng

và E(H) ⊆ E(G) Ta cũng nói G chứa H H gọi là đồ thị con cảm sinh(induced subgraph) của G nếu H là một đồ thị con của G và E(H) ={(x, y) ∈ E(G) : x, y ∈ V (H)} Ở đây H là đồ thị con của G sinh bởi

V (H) Vì thế ta còn viết H = G[V (H)] Đồ thị con H của G gọi là đồ thịcon bao trùm (spanning subgraph) nếu V (H) = V (G), tức là tập đỉnh của

H và của G trùng nhau

Bỏ đỉnh: Với v ∈ V (G), ký hiệu G − v là đồ thị con của G cảm sinhbởi V (G) \ {v}, tức là đồ thị nhận được từ G bằng cách bỏ đỉnh v và cáccạnh liên thuộc v.

Xóa cạnh và co cạnh: Với e ∈ E(G), ta định nghĩa G − e :=(V (G), E(G) \ {e}), tức là đồ thị nhận được từ G bằng cách xóa cạnh

e (không xóa hai đầu mút của e) Ta cũng định nghĩa G \ e là đồ thị nhậnđược bằng cách co cạnh e thành một đỉnh duy nhất Hình 1.9 minh họacác đồ thị G, G − e và G \ e

Tương tự, ký hiệu G + e = (V (G), E(G) ∪ {e}) là đồ thị nhận được khithêm vào G một cạnh mới e Cho hai đồ thị tuỳ ý G và H, ta ký hiệu

G + H là đồ thị với tập đỉnh V (G + H) = V (G) ∪ V (H) và tập cạnhE(G + H) là hợp rời nhau của E(G) và E(H) (có thể xuất hiện cạnh kép)

và số cạnh như nhau và có phép tương ứng một - một giữa tập đỉnh của

này khi và chỉ khi hai đỉnh tương ứng trong đồ thị kia cũng được nối vớinhau bởi một cạnh và ngược lại Hình 1.10 vẽ các đồ thị đẳng cấu với đồthị vẽ ở Hình 1.3 Các cạnh của hai đồ thị ở Hình 1.10 chỉ gặp nhau ởđỉnh Các đồ thị đẳng cấu được xem là tương đương (cùng biểu diễn một

đồ thị)

1.1.4 Bậc của đỉnh trong đồ thị

Cho một đồ thị khác rỗng G = (V, E) Tập các đỉnh kề với đỉnh v trong

U ⊂ V thì các đỉnh trong V \ U kề với các đỉnh thuộc U được gọi là cácđỉnh lân cận (neighbours) của U , ký hiệu là N (U )

Bậc (degree) của đỉnh v trong đồ thị vô hướng G là số cạnh hay số đỉnh

kề v (tức d(v) := |N (v)|), ký hiệu là d(v) Đỉnh có bậc 0 gọi là đỉnh cô lập(isolate), đỉnh có bậc 1 gọi là đỉnh treo (end-vertex)

Tương tự, trong đồ thị có hướng ta gọi bậc ra (bậc vào) của đỉnh v là số

ước: khuyên tại một đỉnh được tính 2 lần Ví dụ trong đồ thị vẽ ở Hình1.8 ta có d(P ) = d(S) = d(U ) = d(V ) = 2; d(Q) = d(R) = 3 và d(T ) = 4(có khuyên ở T )

Nếu mọi đỉnh của đồ thị G đều có bậc k thì G gọi là đồ thị đều bậc khay đồ thị k - chính quy (k - regular) Đồ thị đều bậc 3 gọi là đồ thị lậpphương (cubic)

Dễ dàng chứng minh các tính chất sau đây về bậc của đỉnh trong đồthị:

a) Trong một đồ thị vô hướng, tổng số bậc của mọi đỉnh bằng hai lần

số cạnh của đồ thị và số đỉnh có bậc lẻ bao giờ cũng là một số chẵn.b) Trong một đồ thị có hướng, tổng các bậc vào của mọi đỉnh bằng tổngcác bậc ra của mọi đỉnh và bằng tổng số cung trong đồ thị Nhiều tínhchất của đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng các cung trong đồ

thị Vì thế, khi bỏ qua hướng trên các cung (đổi cung thành cạnh) ta sẽnhận được một đồ thị vô hướng, gọi là đồ thị nền của đồ thị có hướng đãcho.

Cùng với bậc của đỉnh, ta còn dùng các khái niệm sau:

Số δ(G) := min{d(v)|v ∈ V } gọi là bậc nhỏ nhất (minimum degree) của

G, số 4(G) := max{d(v)| ∈ V } gọi là bậc lớn nhất (maximum degree)của G và bậc trung bình (average degree) của G là số

Đường đi (path) P từ đỉnh u tới đỉnh v là một dãy liên tiếp các cạnh có

v và k ≥ 1

đỉnh u và đỉnh v Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của P Một đường đi nối một đỉnh với chính nó (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi

là một chu trình (cycle) Độ dài (length) của đường đi (chu trình) thôngthường được định nghĩa là số cạnh của đường đi (chu trình) đó

Ví dụ: đồ thị ở Hình 1.10 có đường nối đỉnh P và đỉnh S là [P, T, Q, R, S]với độ dài 4 và có các chu trình [P, Q, R, S, T, P ], [P, S, T, P ] với độ dài lầnlượt là 5 và 3, v.v

Một đường đi (nói riêng chu trình) được gọi là sơ cấp, nếu nó không

đi qua đỉnh nào hai lần trở lên, đơn giản nếu nó không đi qua cạnh nàohai lần trở lên Các đường đi trong đồ thị nối đỉnh u và đỉnh v 6= u gọi

là tách biệt hay độc lập (independent) nếu từng đôi một chúng không có

đỉnh chung nào khác u và v.

Độ dài nhỏ nhất của chu trình trong đồ thị G gọi là vòng nhỏ (girth)của G, ký hiệu g(G) Độ dài lớn nhất của chu trình trong G gọi là vònglớn hay chu vi (circumference) của G Nếu đồ thị không chứa chu trìnhthì đặt vòng nhỏ g(G) = ∞ và vòng lớn bằng 0

Một cạnh nối hai đỉnh của một chu trình sơ cấp và không thuộc chutrình là một dây cung (chord) của chu trình đó

Mệnh đề sau cho thấy một đồ thị có bậc nhỏ nhất lớn (tức δ(G) lớn)thì nó có đường đi và chu trình dài

Mệnh đề 1.1 Mọi đồ thị G chứa một đường đi (sơ cấp) với độ dài δ(G) vàmột chu trình (sơ cấp) với độ dài ít nhất δ(G)+1 (với điều kiện δ(G) ≥ 2)

được định nghĩa là độ dài đường đi ngắn nhất trong G nối x và y Nếu

giữa hai đỉnh bất kỳ trong G gọi là đường kính (diameter) của G, ký hiệu

là diam(G) Đường kính và vòng nhỏ có mối liên hệ như sau

Mệnh đề 1.2 Mọi đồ thị G chứa chu trình thỏa mãn

g(G) ≤ 2 × diam(G) + 1Chứng minh Giả sử C là một chu trình ngắn nhất trong G, tức C

có độ dài g(G) Nếu như g(G) ≥ 2 × diam(G) + 2 thì C có hai đỉnh vớikhoảng cách trong C ít nhất bằng diam(G) + 1 Trong G hai đỉnh này

có khoảng cách nhỏ hơn (vì theo định nghĩa diam(G) là khoảng cách lớnnhất giữa hai đỉnh bất kỳ trong G); vì thế bất kỳ đường đi ngắn nhất Ptrong G nối hai đỉnh ấy không thể là một đồ thị bộ phận của C Do vậy

P chứa một đường đi có tính chất:

1) Nối hai đỉnh nào đó x và y thuộc C;

2) Đường đi ấy gồm toàn các cạnh không thuộc C

Kết hợp đường đi này với đường đi ngắn hơn trong C nối x và y, tanhận được một chu trình mới ngắn hơn so với chu trình C và gặp mâuthuẫn!

Một đỉnh là tâm (central) của đồ thị G nếu khoảng cách xa nhất từ mộtđỉnh bất kỳ khác tới nó là nhỏ nhất Khoảng cách này là bán kính (radius)của G, ký hiệu là rad(G) Như vậy,

Có thể thấy rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2 × rad(G)

Nếu không để ý tới số đỉnh của đồ thị thì bán kính và đường kính của

đồ thị không có liên hệ gì tới bậc nhỏ nhất, bậc trung bình và bậc lớn nhấtcủa đồ thị Tuy nhiên, mệnh đề sau đây cho thấy rằng các đồ thị có đườngkính lớn và bậc nhỏ nhất lớn sẽ có nhiều đỉnh (số đỉnh lớn) và các đồ thị

có đường kính nhỏ và bậc lớn nhất nhỏ sẽ có ít đỉnh (số đỉnh nhỏ)

Mệnh đề 1.3 a) Một đồ thị với đường kính k và bậc nhỏ nhất d sẽ có ítnhất khoảng kd/3 đỉnh (k, d lớn thì số đỉnh sẽ lớn)

b) Đồ thị G với bán kính ≤ k và bậc lớn nhất ≤ d (d ≥ 3) sẽ có không

Một đồ thị (hay đa đồ thị) vô hướng G gọi là liên thông (connected)nếu có đường đi trong G nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị Trái lại, đồ thịgọi là không liên thông (disconnected) Đồ thị không liên thông sẽ bị táchthành một số đồ thị con liên thông, đôi một không có đỉnh chung Mỗi đồthị con liên thông như thế gọi là một thành phần liên thông (connectedcomponent) Đôi khi ta đồng nhất thành phần liên thông với tập đỉnh của

nó Tập đỉnh X được gọi là liên thông nếu đồ thị con sinh bởi X là liênthông

Ví dụ: đồ thị vẽ ở Hình 1.6 là liên thông, trong khi đó đồ thị vẽ ở Hình1.8 là không liên thông (gồm 2 thành phần liên thông)

Định nghĩa 1.1 Đỉnh v gọi là đỉnh khớp (cut vertex) nếu đồ thị G − v (bỏkhỏi G đỉnh v và các cạnh liên thuộc v) có nhiều thành phần liên thônghơn G

Định nghĩa 1.2 Cạnh e gọi là một cầu (bridge) nếu đồ thị G − e (xóakhỏi G cạnh e, không xóa hai đầu mút) có nhiều thành phần liên thônghơn G

1.13

Trong đồ thị có hướng có các khái niệm liên thông yếu và liên thôngmạnh, tuy nhiên ta sẽ không đi sâu tìm hiểu các khái niệm này.

Mệnh đề 1.4 Đồ thị vô hướng G là liên thông khi và chỉ khi N (X) 6= ∅với mọi ∅ 6= X ⊂ V (G) (N (X) - tập đỉnh trong V (G) \ X kề với các đỉnhthuộc X)

Mệnh đề 1.5 Các đỉnh của một đồ thị liên thông G có thể được đánh số,

thông với mọi i = 1, , n

Ví dụ đồ thị vẽ ở Hình 1.10 có thể đánh số các đỉnh theo thứ tự

P, Q, R, S, T và rõ ràng các đồ thị con cảm sinh [P ], [P, Q], [P, Q, R], [P, Q, R, S]

và [P, Q, R, S, T ] là liên thông

Có thể hiểu đồ thị liên thông theo nghĩa tương đương như sau Ghép

1.14)

Hầu hết các đồ thị thường gặp là đồ thị ghép Một đồ thị được gọi làliên thông nếu nó không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai hay nhiều

đồ thị Trái lại, đồ thị gọi là không liên thông Rõ ràng là bất cứ một đồthị không liên thông G nào cũng biểu diễn được dưới dạng hợp của các đồthị liên thông, mỗi đồ thị liên thông đó gọi là một thành phần liên thôngcủa G Chẳng hạn, một đồ thị gồm ba thành phần liên thông được vẽ ởHình 1.15

Khi cần chứng minh một kết luận nào đó cho các đồ thị nói chung, tathường chứng minh kết quả tương ứng cho các đồ thị liên thông, sau đó

áp dụng kết quả thu được cho từng thành phần liên thông riêng lẻ của đồthị

Mọi đồ thị liên thông với n > 1 đỉnh đều có độ liên thông k = 1 Đôikhi ta quan tâm tới độ liên thông cao hơn, giả sử k ≥ 2 Một đồ thị vôhướng gồm hơn k đỉnh gọi là k - liên thông (k - connected) hay có độ liênthông bằng k, nếu bỏ ít hơn k đỉnh bất kỳ thì đồ thị vẫn còn liên thông

Đồ thị vô hướng gồm ít nhất hai đỉnh gọi là k liên thông cạnh (k edge connected) hay có độ liên thông cạnh bằng k, nếu bỏ ít hơn k cạnhbất kỳ mà đồ thị vẫn còn liên thông Như vậy, một đồ thị liên thông bất

-kỳ với ít nhất ba đỉnh là 2 - liên thông (2 - liên thông cạnh) khi và chỉkhi đồ thị không có đỉnh khớp (cầu) Vấn đề này sẽ được đề cập kỹ hơn ởchương sau

là các đỉnh cô lập (đỉnh bậc 0).

Một đồ thị vô hướng không có chu trình gọi là một rừng (forest) Mộtrừng liên thông gọi là một cây (tree), tức cây là một đồ thị liên thông vàkhông chứa chu trình Ví dụ phả hệ của một họ tộc là một cây (cây phảhệ) Rừng có thể gồm nhiều thành phần liên thông khác nhau, mỗi thànhphần liên thông là một cây

Như vậy, rừng gồm nhiều cây Đỉnh có bậc 1 trong cây gọi là một lá(leaf) Đồ thị hình sao là một cây có duy nhất một đỉnh không phải là lá(Hình 1.16c)

Một đồ thị con, không chứa chu trình của đồ thị G gọi là một cây của

G Một đồ thị con bao trùm của G mà là một cây được gọi là một câybao trùm (spanning tree) của G Một số tính chất đặc trưng của cây: cây

n đỉnh có đúng n − 1 cạnh, trong một cây, bao giờ cũng có một đường điduy nhất nối một cặp đỉnh bất kỳ của cây

Các ví dụ về rừng và cây được vẽ ở Hình 1.16

1.4.3 Đồ thị đầy đủ

Một đơn đồ thị trong đó mọi cặp đỉnh (khác nhau) đều kề nhau, gọi là

Một đồ thị liên thông và mọi đỉnh bậc 2 gọi là một đồ thị vòng (cycle

cách bỏ đi một cạnh bất kỳ gọi là một đồ thị đường (path graph) n đỉnh,

Một ví dụ điển hình về đồ thị bậc 3 là đồ thị Petersen (Petersen graph),

1.4.6 Đồ thị hai phần

Nếu tập đỉnh của đồ thị có thể chia tách thành hai tập rời nhau A và

B sao cho mỗi cạnh của G nối một đỉnh thuộc A với một đỉnh thuộc B,thì G được gọi là một đồ thị hai phần (bipartite graph) (Hình 1.20) Nóimột cách khác, đồ thị hai phần là đồ thị mà có thể tô các đỉnh của nóbằng hai màu đen và trắng sao cho mỗi cạnh nối một đỉnh đen (trong A)

G khi và chỉ khi chúng không kề nhau trong G Chẳng hạn, Hình 1.22 vẽ

đồ thị G và phần bù G của nó Có thể thấy rằng phần bù của một đồ thị