Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)

“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”;ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018ĐỀ BÀICâu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A.b) Tính giá trị của A khi c) So sánh A với .Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : . b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: Câu 3: (4,0 điểm)a)Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ.Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng: và b) Chứng minh rằng : c) Nếu = thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018.CâuÝTóm tắt cách giảiĐiểm1(4điểm)a2,0đ 0,250,50.250,50,5b1,0đ Ta có 0,250,50,25c1,0đBiến đổi ta được: Chứng minh được với mọi 0,250,250,250,252(4 điểm)a2đ Ta có: Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Dấu = xảy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0,50,50,50,5b2đTa có: (1)Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được: (2) PT có nghiệm x, y nguyên, suy ra nguyên nên x – 1 •x – 1 = 1  x = 0•x – 1 = 1  x = 2Thay x = 0 vào PT(2) ta được: ; Thay x = 2 vào PT(2) ta được: ; Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên .0,250,250,50,250,250,53(4 điểm)a2đTa có a5 a = a( a4 1) = a( a2 1)( a2 + 1) = a( a2 1)( a2 4 + 5) = a( a2 1)( a2 4) + 5 a(a2 1) = a(a 1)(a + 1)(a 2) (a +2) + 5 a( a 1)( a+ 1)Vì a 2; a 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a 2) (a 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 ()Mặt khác 5a(a 1)( a+ 1) chia hết cho 5 ()Từ () và () suy ra a5 – a chia hết cho 5 (1) tương tự có b5 – b chia hết cho 5 (2), c5 – c chia hết cho 5 (3)Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5 Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 50,250,250,50,250,250,5b2đTa có: (vì d 0) Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên là số hữu tỉ.Vậy là số hữu tỉ0,50,250,250,250,250,54(5điểm) a) Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .Suy ra = Từ suy ra b) Tương tự câu a, Từ đó suy ra Suy ra c) Từ Tương tự: ; . Do đó: + + = •Ta chứng minh được: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) ()Áp dụng () ta chứng minh được: Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.0,50,50,50,5110,250,250,250,255(1 điểm) Kẻ tại F, tại G. Theo giả thiết Mà và Suy ra Do đó 0,250,250,250,256(2 điểm)Áp dụng BĐT côsi ta có (Vì x + y + z =1)Chứng minh tương tự: Mà Do đó A Vậy GTLN của A = khi x = y = z = 0,250,250,250,250,50,5Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐMÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa Năm học 2016 2017ĐỀ BÀIBài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.a)Rút gọn biểu thức P.b)Tìm x để .c)So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a)Tìm thỏa mãn: b)Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: chia hết cho 3.Bài 3: (4,0 điểm) a)Giải phương trình sau: b)Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.Bài 4: (6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.a)Chứng minh: CM vuông góc với EF. b)Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.c)Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCDBài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP. Thanh Hóa Năm học 2016 2017.CâuÝNội dungĐiểmBài 15,0đa2 đĐiều kiện : x 0, x 1. 0,50,50,50,5 b 2,0đVới x 0, x 1. Ta có: Vì nên (tm)Vậy P = khi x = 4 0,5 1,00,250,25 c 1,0đVì Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0Vậy P2 2P0.250,250,250,25Bài 24,0đA2 đ Vì x, y Z nên x 1 Ư(1) = +) Nếu x – 1 = 1 x = 2 Khi đó 2y2 y – 2 = 1 y = 1 (tm) hoặc y = Z (loại)+) Nếu x – 1 = 1 x = 0 Khi đó 2y2 y = 1 y = 1 (tm) hoặc y = Z (loại)Vậy 0,50,250,50,50,25b2đa) Từ giả thiết Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0 Vậy với a, b, c Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thứcx3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.0,50,50,50,250,25Bài 34,0đa2đĐkxđ: Vì với 10x – 20 Ta có: Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 0,250,5 0,5 0,50,25b2đx2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0. x + y + 1 = 4 khi x = 5; y = 0 x + y + 1 = 1 khi x = 2; y = 0Vậy Amin = 4 khi x= 5; y = 0 Amax = 1 khi x = 2; y = 0“Tập 20 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c =

Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện:

Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho

BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính  BPE

Câu 6: (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

- Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

0,5

0,5b

1,0đ

Ta có

0,250,50,25c

1,0đ Biến đổi ta được:

0,250,250,250,25

a

2đ

Ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

0,50,5

Vậy phương trình đã cho nghiệm nguyên x y;      0;1 ; 2;1.

0,25

0,250,50,25

0,250,5

= a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1)

Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 sốchia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 (*)

Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra a5 – a chia hết cho 5 (1)tương tự có b5 – b chia hết cho 5 (2), c5 – c chia hết cho 5 (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5

Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

0,250,25

0,50,250,250,5

Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên là sốhữu tỉ.

0,250,250,25

0,5

0,50,50,511

0,250,25

H

(2 điểm)

Áp dụng BĐT côsi ta có

(Vì x + y + z =1)Chứng minh tương tự:

Mà

Do đó A Vậy GTLN của A = khi x = y = z =

0,250,250,250,250,5

0,5

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

a) Giải phương trình sau:

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giaođiểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểmcủa EF

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF

- Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017

0,50,5

c

1,0đ

0,25

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0Vậy P2

  2P

0,250,25

y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)+) Nếu x – 1 = -1 x = 0Khi đó 2y2  - y = 1

y = 1 (t/m) hoặc y = Z (loại)Vậy

0,50,25

0,5

0,50,25

0,50,250,25

0,5

0,50,50,5

C

B A

Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF

1.01,0

B

2 đ

* Vì EDC = FBC ED = FB NCF vuông tại C Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: BC2 = NB.BF

a2 = NB.DE (đpcm)

* CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên

CM = AM M thuộc đường trung trực của AC

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của

SACFE = 3.SABCD

Do x > 0; a > 0  3a + x > 0 x = 2a

A là trung điểm của DE AE = a

Vì AE // BC nên

N là trung điểm của AB

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0.5

0.25

0.5

0,50.25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Câu 4: (5,0 điểm).

Cho đường tròn (O;R), đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác

B và C) Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B.Gọi I là trung điểm HC

a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA

b) Chứng minh: MH vuông góc với IA

c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển độngtrên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định

Câu 5: (2,0 điểm).

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài cácđường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương Chứng minh tam giác ABC đều

Câu 6 (2,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

- Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017

a.

(2,0đ)

Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m 0 (1)

Để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m 1 (2)

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung

=> A(0; m-1) nên độ dài OA = |m-1|

Gọi B là giao điểm của (*) với trục hoành

0,25đ0,25đ0,25đ

0,5đ

0,5đ

(Thỏa mãn đk)

Với m < 0 => m2 - 2m + 1 = -4m

m2 + 2m + 1 = 0 (m + 1)2 = 0

m = - 1 (Thỏa mãn đk)Vậy m

Đối chiếu ĐK của t

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 hoặc x = 4

0,25đ0,5đ

320 => mà x nguyên nên ta có các trường hợp:

+ Nếu x = 0 thì y không nguyên ( loại)

+ Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y không nguyên (loại)

(1,5đ) Vì A thuộc đường tròn đường kính BC nên

Xét 2 tam giác AHM và CIA ta có

0,5đ0,5đ

0,5đ

c.

(2,0đ)

Gọi E là trung điểm của MC Nối AE cắt BC ở N

N là trọng tâm của tam giác AMC

Vì K là trọng tâm của tam giác MBC

Nên K là giao điểm của BE và MO và

(Định lí Ta Lét đảo) (1)

0,5đ

0,5đ

K N

D

I H

Vì BE là đường trung bình của tam giác AMC

Vì N là trọng tâm của AMC nên BN = không đổi

N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4)

Từ (3) và (4) K luôn thuộc đường tròn đường kính BN cố định

0,5đ

0,5đ

Đặt BC = a; CA = b; AB = c; SABC = s;

Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z

(với x, y, z là các số nguyên dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp

ABC Khi đó: SABC =s = 1

Giải ra ta có x = y = z = 3 nên a = b = c = Vậy ABC đều

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ0,5đ

0,5đ

0,5đ

Suy ra:

Vậy A nhỏ nhất bằng 64 khi

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

a Tìm số tự nhiên n sao cho A= n +n+6 là số chính phương

b Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

Chứng minh A = xy chia hết cho 12

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'

a Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B 

b Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho AMCANB 90 0 Chứng minh rằng

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017

Câu a:(2 điểm)

Câu a:(2đ)

0,5

Câu b:(2đ)

Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

Chứng minh A = xy chia hết cho 12

- Xét phép chia của xy cho3

Nếu xy không chia hết cho 3 thì

( Vô lí)

Vậy xy chia hết cho 3 (1)

- Xét phép chia của xy cho 4

Nếu xy không chia hết cho 4 thì

TH1:

(vô lí )

TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1

hoặc -1 Không mất tính tổng quát giả sử

( vô lí)

- Vậy xy chia hết cho 4 (2)

- Từ (1) và (2) : Vậy xy chia hết cho 12

1,0

0,5

0,5

4

Câu a( 2 điểm): Chứng minh AC’C AB’B

Câu b (2 điểm):Chứng minh AM = AN.

- Xét vuông tại M đường cao MB'

- Xét vuông tại N đường cao NC'

- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB

- Do đó: AM = AN

0,5

0,50,50,5

5(2đ)

Bài 5 (2điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

0,5

0,25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 25/11/2015-Năm học 2015 - 2016

0,5 đ

c.

(1,0đ)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4

0,5 đ0,5 đ

0,5 đ

b.

(1,5đ)

+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai

số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm

0,5 đ

(2,0đ) + Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau:

Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ)

+ Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương

Thì (x + 1) và (x + 1) đều phải là số chính phương

+ Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 y = 0 hoặc y = - 1 (Thỏa mãn pt)

Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y)

0,25 đ0,25 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

B M

O A

a.

(2,0đ)

Gọi Q là giao điểm của AB với OM

trong)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Bình Giang - Năm học 2012 - 2013

0.250.25

liên tiếp nên là số chẵn p là số chẵn

Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2

x = 1 hoặc x = - 2(TM)

0.250.50

H F

E O

I là trung điểm của BC (gt)

là trung điểm của HK

O là trung điểm của AK (gt)

là đường trung bìnhcủa

0.25

0.25

0.250.25

(1,0 đ)

r

D E

F

O A B

0.250.25

0.250.50

0.25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Kim Thành - Năm học 2012 - 2013

K

C B

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 27/11/2013-Năm học 2013 - 2014

0,5 đb)

0,5 đc)

0,25 đ

0,25 đb)

thì là một số hữu tỉ

0,5 đ0,5 đ0,5 đ

C

B A

d

a)

1,5 đ Nối OC Vì d là tiếp tuyến của (O) tại C nên OC vuông góc với d

Ta có: AI// BK ( vì cùng vuông góc với d) => ABKI là hình thang

Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vì cùng vuông góc với d)

=> CI = CK ( T/c đường trung bình của hình thang)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ

( Cạnh huyền - góc nhọn)

=> AI = AH Tương tự: BK = BH

Do nội tiếp đường tròn đường kính AB nên vuông tại C

=> CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đ

trung điểm của cạnh AB

0,5 đ0,25 đ0,5 đ

0,5 đ0,25 đ

H

K

M

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được

Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1

0,25 đ0,25 đ0,25 đ0,25 đ

0,25 đ0,25 đ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

a) Cho , tính giá trị của biểu thức:

b) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương

Câu 4 : (5 điểm)

a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)).Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C.Cho A cố định và AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di độngtrên cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi ấy theo a và R

b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC vàcạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I.Tính diện tích tam giác BID

Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

- Hết

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Yên Định, ngày 26/02/2013-Năm học 2012 - 2013

0.25đ

0.5đ0.25đ

0.5đ0.25đ

c Biến đổi

Từ hệ ta có x – y > 0

Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) với 9 rồi đồng

0.25đ0.25đ

nhất sau khi nhân ta được:

17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = 0

Nếu y = 0 thì x = 0 => không thỏa mãn hệ

Nếu y 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2

0.25đ0.25đ

Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy khi P di chuyển trên cung

nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi

=

Ghi chú:

- Không có điểm vẽ hình.

- Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không

được công nhận (không có điểm).

0.25đ0.5đ0.25đ0.5đ

0.25đ0.25đ

b (Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm,

học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu

C

A

B

EI

- Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không

được công nhận (không có điểm).

1.0đ0.5đ0.5đ0.5đ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

1 Tìm các số thực x sao cho và đều là số nguyên

2 Cho ba số thực thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 4: (6,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.

a) Giả sử BPC = 1350 Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2

b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M

và N Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN Chứng minhrằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D

2 Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộccạnh AC Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1

Chứng minh rằng SABC (SABC là diện tích tam giác ABC)

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Triệu Sơn, ngày 28/11/2012 - Năm học 2012 - 2013

2 3 3 2

11 15

x x

x x

3 2 1

2 3 3 1

11 15

x x

x x

 1 3

1 3

2 3 2

3 11 15

x x

x x

x

2 7 5 3

1

3 2

6 7 3 11 15

x x x

x

x x x

x x

=   

5 2 3 1

5 2 1

x

x x

.b) Với x  0; x 1 ta có

0,250,25



0,50,5

0,75

2 Ta có:

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1) Chia cả 2 vế của

phương trình cho x – 1, ta được:

0,250,25

Thay x = 2 vào PT(2) ta được: ;

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên

0,250,25

0,50,25

1 1 1

(vì xyz = 1)

mà x yz  1x 1y 1z (x –1)(y – 1)(z – 1) >0

Nếu cả 3 thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) đều dương  xyz > 1 (loại)

Nếu cả 3 thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) đều âm  (x –1)(y – 1)(z – 1)<0

(loại)

Nếu 2 thừa số dương, 1 thừa số âm  (x –1)(y – 1)(z – 1)<0 (loại)

Nên phải có 2 thừa số âm, 1 thừa số dương  trong 3 số x, y, z có hai số

Lấy điểm E khác phía với điểm P đối với

đường thẳng AB sao cho BPE vuông cân

tại B

Ta có BPC = BEA (c.g.c)

BEA = 1350

Do BEP = 450 nên PEA = 900

AEP vuông tại E Theo định lí Py –Ta – go

ta có:

AP2 = AE2 + EP2 = CP2 + 2BP2

A D

E P

B C

1.b Trước hết ta chứng minh nhận xét sau:

Thật vậy: Giả sử I thuộc đường chéo AC Vì đường chéo của hình chữ

nhật chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau nên S1 =

Giả sử I là điểm nằm trong hình chữ nhật

ABCD Qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ

tương ứng song song với AB, AD Gọi diện

tích hình chữ nhật IPBN là S1, diện tích

hình chữ nhật IQDM là S2

Ta có S1 = S2 khi và chỉ khi I thuộc

đường chéo AC

A P B

M I N

D Q C

Không mất tính tổng quát, giả sử:

Qua P và Q kẻ các đường thẳng song song

với các cạnh của hình vuông Do P thuộc

đường chéo AM của hình chữ nhật ABMR

N F Q H

K P I T

B L M C

A K H

B 1

C 1

B A 1 C

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Vậy min P = 1 khi x = y

0,25

0,250,5

0,5

0,250,25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

x x x

x

x x

Chứng tỏ các giá trị của f(11) và f(7) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Bài 3: (6,0 điểm)

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y

b) Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời :

a) Giả sử AH = 12 cm, BC = 25cm Hãy tính độ dài các cạnh AB, AC

b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H Đường tròn tâm O đường kính MC cắt AC tại D Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Cho BC = 2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo a để diện tích tam giác HDOlớn nhất

Bài 5: (1,5 điểm)

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F Gọi H là hình chiếu của D trên EF Chứng minh góc BHD = góc CHD

- Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 02/12/2011-Năm học 2011 - 2012

x x x

x

x x

b) P = x  x  1 =

4

3 4

3 2







x x

x P

x x

x x

x x

2

5 3 2

5 3

2

5 3 2

5 3

2

5 2

3 2

5 2 3

4

5 ) 2

3 (

x

x x

x x

x x

Vậy

2

2

5 3

0,50,25

0,25

0,5

0,5

0,25Bài 2