Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ

VỀ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ

VỀ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Hoàng Lê Trường

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 Định lí nhị thức 1

1.2 Lựa chọn với sự lặp lại 5

1.3 Phân hoạch 7

1.4 Đếm lặp 7

1.5 Nguyên tắc trung bình 12

1.6 Nguyên tắc bao hàm loại trừ 15

Chương 2 Đếm nâng cao 19 2.1 Chặn cỡ của các tập giao 19

2.2 Đồ thị không có chu trình độ dài 4 23

2.3 Vấn đề của Zarankiewicz 32

2.4 Tính trù mật của ma trận nhị phân 36

MỞ ĐẦU

Toán học tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng trong giáo dục phổthông Học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán này Vì vậy,tìm hiểu sâu thêm về toán tổ hợp là rất cần thiết Trong toán học tổ hợp, bàitoán đếm là một trong những bài toán cơ bản Phép đếm là một công cụ đắclực trong toán học và là một điều rất tự nhiên trong cuộc sống con người Nhiềukết quả đã biết trong toán học tổ hợp đều có thể được giải thích chỉ bằng phépđếm

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên tài liệu chính để tham khảo là [4] Mụcđích chính của luận văn là trình bày, khẳng định lại các kết quả đã có trongtoán học tổ hợp bằng lí luận đếm từ cơ bản đến nâng cao, phục vụ cho côngviệc giảng dạy môn toán tổ hợp ở bậc THPT

Cấu trúc luận văn gồm 2 chượng

Chương 1 Bài toán đếm Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ bản nhấtcủa bài toán đếm trong tổ hợp, cùng với một số ứng dụng điển hình của chúngthông qua lí luận đếm Đó là định lí khai triển nhị thức NewTon, lựa chọn với

sự lặp lại, phân hoạch, đếm lặp, nguyên tắc trung bình, nguyên tắc bao hàmloại trừ

Chương 2 Đếm nâng cao Trên cơ sở vận dụng các kiến thức cơ bản đã đượctrình bày trong chương 1, chương 2 trình bày một số kết quả nâng cao đã nghiêncứu được từ bài toán đếm Mục đích chính của chương 2 tập trung vào khai thácmột số kết quả quan trọng trong lí thuyết đồ thị Đó là chặn cỡ của các tậpgiao, đồ thị không có chu trình độ dài 4, vấn đề của Zarankiewicz, tính trù mậtcủa ma trận nhị phân

Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn và giúp

đỡ tận tình của tiến sĩ Hoàng Lê Trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc nhất tới thầy.

Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quí thầy cô giảng dạy lớpcao học toán khóa 10, trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đãgiảng dạy và truyền thụ đến cho tác giả nhiều kiến thức và kinh nghiệm nghiêncứu khoa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trườngTHPT Lí Nhân Tông, gia đình và bạn bè đã luôn động viên giúp đỡ và tạo điềukiện cho tác giả về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận vănnày

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Bích Phượng

Chương 1 Bài toán đếm

tử là bài toán cổ nhưng quan trọng với học sinh THPT Con số này (số các tập

Sir Isaac Newton năm 1666, và được biết đến như định lí khai triển nhị thứcNewton

nX

cách tự nhiên chúng ta sẽ thực hiện phép đếm như sau Đầu tiên, ta chọn k thừa

này lại được tiếp tục nhân với nhóm còn lại, gồm (n − k) thừa số(x + y) hay nói

Vì số mũ của x chỉ được phép bằng k nên tiếp theo ta cần chọn xem trong khaitriển

,

ngay rằng, đó phải là các số hạng không chứa x, chỉ chứa y Muốn tìm các sốhạng chỉ chứa y trong khai triển trên, thì chỉ có một cách duy nhất là ta lấy số

Ví dụ 1.1 (Tính chẵn lẻ) Đây là một ví dụ điển hình, hãy chỉ ra tính chất sau

n là số lẻ

n giai thừa kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp đầu tiên,

n! = n(n − 1) · · · 2.1

chung, hệ số nhị thức có thể được viết dưới dạng thương của các giai thừa

k n

n!

Bằng một cách khác ta có thể chứng minh được Ta chọn một tập hợp k phần

Có nhiều đẳng thức hữu ích về mối quan hệ giữa các hệ số nhị thức Trongnhiều tình huống, sử dụng những điều rất tự nhiên thuộc về tổ hợp để chứngminh các đẳng thức đại số giống như mệnh đề trên, chúng ta có thể thu đượckết quả mong muốn một cách dễ dàng Ví dụ khi chúng ta thấy rằng mỗi tậpcon được xác định một cách duy nhất theo phần bù của nó thì ngay lập tức tathu được các đẳng thức

nX

k=0

nX

k=0

Bằng một cách tương tự dùng tổ hợp ta có thể thiết lập được các đồng nhấtthức hữu ích.

i=0

kX

Tiếp theo ta thay t = k

Trong phần trước chúng ta xét số cách chọn r phần tử phân biệt từ một tậphợp có n phần tử Một điều tự nhiên đặt ra là điều gì sẽ xảy ra nếu chúng tachọn những phần tử giống nhau lặp lại Nói cách khác, chúng ta có thể trả lời

Giả sử chúng ta có r cái kẹo cùng loại (giống nhau) chúng ta muốn chia cho

ta phát cho đứa trẻ thứ i Câu hỏi này tương đương với phát biểu ở trên.Câu trả lời phụ thuộc vào chúng ta có bao nhiêu cái kẹo và chúng ta phải

cái kẹo thì một điều tự nhiên là không có sự lặp lại và ta chỉ phát được cho mỗi

trẻ trongn đứa trẻ để mỗi đứa trẻ này nhận được 1 chiếc kẹo Chúng ta sẽ thấy

là chúng ta muốn mỗi đứa trẻ đều nhận được ít nhất một cái kẹo Chúng ta bố

đứa trẻ đầu tiên lấy kẹo từ trái sang phải Sau một lúc, chúng ta dừng lại và đểcho đứa trẻ thứ hai chọn kẹo cứ làm như vậy mãi Việc chia kẹo được xác địnhbằng cách ghi rõ địa điểm, vị trí (giữa các kẹo liên tiếp nhau) của chỗ mà bắt

trí của chúng (đứa trẻ đầu tiên thường bắt đầu ở vị trí đầu tiên, vì vậy chúng

kẹo, thì một tình huống điển hình như thế này:

có nhiều cách chia hơn

Chứng minh Trong tình huống này, chúng ta không công bằng và cho phép rằngmột vài đứa trẻ có thể không nhận được chiếc kẹo nào Với những cách sau đây,chúng ta có thể làm giảm được vấn đề đếm số các cách chia như vậy, chúng tachỉ cần làm như sau Chúng ta mượn mỗi đứa trẻ một chiếc kẹo và sau đó chúng

được ít nhất một cái kẹo Bằng cách này, mọi đứa trẻ đều nhận lại được chiếckẹo mà chúng ta đã mượn chúng và một số đứa trẻ may mắn hơn sẽ được nhận

Chứng minh Chúng ta thấy rằng bất kì một sự sắp xếp nào tức là một hoán

Thật vậy, chúng ta có thể xây dựng một sự sắp xếp của các phần tử như sau:

Ví dụ sau đây là một minh họa cho nguyên tắc cơ bản của phép đếm lặp

Giả sử rằng có một số lượng hữu hạn người gặp nhau trong một bữa tiệc và họbắt tay nhau Giả sử rằng không có một ai tự bắt tay mình và hơn nữa là không

có hai người nào bắt tay nhau hơn một lần

Bổ đề bắt tay: Tại một bữa tiệc, số khách mà mỗi người khách có số lần bắttay là số lẻ, là số chẵn

các cặp bắt tay nhau là

nPi=1

nPi=1

Bổ đề này cũng chính là một hệ quả trực tiếp của trường hợp tổng quát sauđây mà nó chính là một phiên bản đặc biệt cho đồ thị, và đã được chứng minh

Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó, nóđược mô tả hình thức:

G = (V, E)

V gọi là tập các đỉnh và E gọi là tập các cạnh Có thể coi E là tập các cặp (u,v)

người ta có thể phân loại đồ thị thành đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị có hướng và

đồ thị vô hướng.

A∈F

PB∈F

đóng góp vào tổng S ở trên là 0 = d(x)2.

chúng

l n

ma trận 0 − 1là ma trận M=(mA,B) mà các dòng của nó được gán nhãn bởi các

Bất đẳng thức cuối này chính là một tính chất khác của hệ số nhị thức

Các ứng dụng của phép đếm lặp sau đây là tới từ lý thuyết số: Có bao nhiêu

Do đó, một điều thú vị là ta xét số trung bình của số các ước số:

trên các cột chúng ta thấy tổng của số lần xuất hiện số 1 trong ma trận là

liên thông nếu nó chỉ chứa một thành phần liên thông, nếu không thì nó là đồ

thị không liên thông.

liên thông

|V |Px∈V

2(n − 1)

Chúng ta đề cập đến một bất đẳng thức quan trọng mà chúng đặc biệt hữuích khi làm việc với những đại lượng trung bình

Một hàm số f(x) nhận giá trị thực là hàm lồi nếu

f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b), ∀0 ≤ λ ≤ 1.

Theo quan điểm hình học, tính lồi của hàm f có nghĩa là nếu chúng ta vẽ

nPi=1

lồi, thì

nX

i=1

nX

i=1

λa + (1 − λ)b

Hình 1.1: Một hàm lồiChứng minh Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp trên n

Giả sử bất đẳng thức đúng với số các số hạng tăng lên đến n, ta sẽ chứng minh

(15)

nX

i=1

nX

i=1

n

nX

i=1

nY

i=1

nX

i=1

nX

i=1

1.6 Nguyên tắc bao hàm loại trừ

Nguyên tắc bao hàm loại trừ (Sàng Eratosthenes) là một công cụ đắc lựctrong lý thuyết liệt kê, lý thuyết số Nguyên tắc này liên quan đến lực lượng củahợp các tập hợp, lực lượng của giao các tập hợp, những lực lượng này chúng ta

có thể tính được một cách dễ dàng

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,

tổng

đi từ (17) tổng

1≤i<j≤n

Nhưng khi đó chúng ta lại thu được một con số nhỏ hơn với số phần tử của

Chúng ta có thể xử lý tình huống này bằng cách cộng thêm tổng

Các ký hiệu sau đây sẽ trở nên tiện dụng: nếu I là tập con của tập chỉ số

i∈I

với quy ước A∅ = X.

I⊆{1, ,n}

Chứng minh Tổng trên là một tổ hợp tuyến tính của các lực lượng của các tập

i=0

Giả sử chúng ta muốn biết khi cho một tập chỉ số I, có bao nhiêu phần tử

huống này

Mệnh đề yêu cầu chúng ta tính số phần tử của X không nằm trong bất cứ tập

Xác suất được tính thế nào nếu n người ngẫu nhiên tìm trong một cái tủ tối

để lấy những chiếc mũ của họ, sao cho không có người nào lấy đúng mũ củamình Sử dụng nguyên tắc bao hàm và loại trừ, có thể thấy rằng xác suất này

Câu hỏi này có thể được chính xác hóa như sau: Một hoán vị là một song

Mệnh đề 1.16 Số xáo trộn của tập {1, , n} là

(22)

nX

i=0

nX

i=0

Chúng ta sẽ ứng dụng công thức bao hàm loại trừ mệnh đề 1.13 Gọi X là tập

phần tử còn lại chọn tùy ý Một hoán vị là một xáo trộn nếu và chỉ nếu nó không

i=0

= n!

nX

i=0

Chương 2.Đếm nâng cao

j6=i

i=1

2

N

NPi=1

Mệnh đề sau đây nói rằng nếu lực lượng trung bình của các tập lớn thì sẽ tồn

Mệnh đề 2.2 Cho X là một tập có n phần tử, và A 1 , , AN là những tập con

cho

Chứng minh Lại một lần nữa chúng ta sử dụng phương pháp đếm Một mặt sử

i=1

NX

Để chứng minh mệnh đề này chúng ta đi chứng minh bài toán tổng

Chứng minh bài toán Ta có nhận xét công thức trên chính là sự tổng quát hóa

minh tương tự, vế phải của công thức có thể viết lại dưới dạng khác như sau

sTj=1

Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có đánh giá sau

d(x) n

Mặt khác, giả sử mệnh đề của chúng ta là sai, tức nghĩa là với mọi bộ gồm

2.2 Đồ thị không có chu trình độ dài 4

là một đồ thị con (Nhắc lại rằng một đồ thị con thu được bằng cách xóa đi một

số cạnh và một số đỉnh) Một câu hỏi điển hình trong lí thuyết đồ thị là:

Chúng ta cùng xét trường hợp khi đồ thị con bị cấm là chu trình Nhắc lại rằng

2

2

ta là tối ưu

có bậc m

Chứng minh Giả sử rằng đồ thị G không chứa một tam giác nào Thế thì những

Lấy tổng trên các cạnh của G, ta có :

mâu thuẫn với giả thiết

√ 4n − 3).

v

u w

Tức là chúng ta cùng đếm số lần xuất hiện của đồ thị trên trong G Với mỗi

u=1

u

có nhiều hơn 1 đỉnh kề chung Do đó, lấy tổng trên tất cả các cặp ta thu được

nX

i=1

nX

i=1

nX

i=1

nX

i=1

nX

i=1

nX

i=1

Theo định lí Euler ta có

nPi=1

Sự xây dựng sau đây chỉ ra rằng chặn trên của |E| trong định lí 2.4 là tối ưu

và khó cải tiến thêm

đỉnh là một cặp (a,b) gồm các phần tử của một trường hữu hạn với điều kiện

3

2 )

phương trình sau chỉ có nghiệm duy nhất

(a,b) và đỉnh (c,d) có đúng một đỉnh kề chung và không có đỉnh kề chung nàonếu a=c hoặc b=d

Tiếp theo ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong lí thuyết đồ thị:

chính là một đơn đồ thị có nhiều cạnh nhất

hai đỉnh nào trong chúng đều không kề nhau Kích thước của S chính là số đỉnh

mà nó chứa

độc lập sao cho, việc thêm bất kì một đỉnh khác vào trong S thì S sẽ trở thànhtập không độc lập

Nhắc lại rằng một đồ thị con cảm sinh là một đồ thị con thu được bằng cáchxóa đi một số đỉnh cùng với các cạnh liên thuộc với nó (xem hình 2.1).

G

như là một đồ thị con (không nhất thiết là đồ thị con cảm sinh) Một cách tựnhiên, chúng ta có câu hỏi:

con cảm sinh?

Chúng ta gọi những đồ thị trong câu hỏi trên là các đồ thị yếu không có chu

chúng ta có kết quả sau của Gyarfas, Hubenko và Solymosi(2002)

Định lí 2.6 Nếu đồ thị n đỉnh G=(V,E) là đồ thị yếu không có chu trình độ

d min (G)là bậc nhỏ nhất của các đỉnh của nó và d ave (G) = 2e(G)/|V |là bậc trung

tổng số bậc của tất cả các đỉnh chia cho tổng số đỉnh

Mệnh đề 2.7 Moị đồ thị G đều có một đồ thị con H với

Chứng minh Chúng ta loại bỏ các đỉnh từng bước như sau Để tránh nguy cơ

2e(G)

tự (S là tập độc lập lớn nhất) hợp các tập của F phải chứa tất cả các đỉnh của

z

(b) (a)

S

u v

Hình 2.2: (a) Nếu u và v không kề nhau, ta sẽ có một đồ thị cảm sinh 4-chu trình

minh

kX

i=1

k+1X

v=1

|I|=v

với AI = T

i∈I

Để chứng minh bất đẳng thức Bonferroni ta đi chứng minh

bài toán tổng quát sau đây:

> |

nSi=1

< |

nSi=1

Tiếp theo, ta đi chứng minh một kết quả sau:

lX

Do đó,

=

lX

đầu tiên của bài toán trên

trong trường hợp này, ta xét 2 trường hợp là l chẵn và l lẻ thì ta sẽ được 2 kếtquả sau của bài toán

Áp dụng bất đẳng thức Bonferroni vừa chứng minh ở trên ta có

n ≥ |

t[

i=1

i<j

Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lí 2.6

và vấn đề này được gọi là vấn đề của Zarankiewicz

Xây dựng công thức cho vấn đề này, liên quan đến đồ thị hai phần Một đồ

thị hai phần cỡ n là một bộ ba G = (V 1 , V 2 , E) ở đây V 1 và V 2 là các tập có n

xác suất, nó có thể được chỉ ra

so với đánh giá tốt nhất có thể, và nó có thể được chứng minh bằng cách sử

Chứng minh Chứng minh là sự tổng quát trực tiếp của lí luận đếm lặp Mục

S(x, B) = {(x, y) ∈ E : y ∈ B}

sao S(x, B) bằng 2 cách Cố định đỉnh x hoặc cố định tập con B.

Do đó

Chúng ta sẽ ước lương vế trái bằng cách sử dụng bất đẳng thức Jensen

có nhiều đồ thị con đầy đủ Để loại bỏ các đồ thị con đầy đủ này, ta có thể thửloại bỏ một số đỉnh của chúng Chúng ta muốn xóa đi tối đa các đỉnh có thể.Định lí sau mô tả điều này

Định lí 2.11 (Ossowski 1993) Cho G=(V 1 , V 2,E) là một đồ thị 2 phần không

ta sẽ sử dụng mệnh đề về mối quan hệ giữa bậc của đỉnh và tổng số đỉnh

y∈N (x)

1

x∈XX

y∈N (x)

f (y) d(y)

y∈YX

F = {(x, y) : y ∈ Yx}.

Tất cả những điều ta phải làm là chứng minh giả thiết của bổ đề 2.12 là thỏa

cột) là α-trù mật nếu ít nhất α phần của tổng số các phần tử trong dòng (cột)

hoặc một dòng rất trù mật hoặc có nhiều dòng đủ trù mật

tính mật độ trù mật của toàn bộ ma trận Khi (b) không xảy ra thì có ít hơn

√

√

dòng hoặc cột của nó là đủ trù mật Câu trả lời được mang đến bởi ước lượngsau đây mà được đưa ra bởi Johan Hastad Kết quả này xuất hiện trong bàibáo của Karchmer và Wigderson(1990) và nó được sử dụng để chứng minh tínhliên thông của đồ thị Một vấn đề mà không thể giải quyết được bằng các thuậttoán đơn giản

Gọi Pi ⊆ Ai là tập tất cả các điểm được ưa chuộng trong tập thứ i là Ai vàxét tích Cartesian của những tập này:

i=1X

kX

i=1X

1 2k

|H|

kX

Kết luận

Sau thời gian học tập tại trường Đại Học Khoa Học - Đại Học TháiNguyên, được các thầy cô trực tiếp giảng dạy và được sự hướng dẫncủa tiến sĩ Hoàng Lê Trường, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài

"Một số vấn đề về bài toán đếm trong tổ hợp" Luận văn đã đạt đượcmột số kết quả sau:

1 Bằng lí luận đếm, luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản nhất

về bài toán đếm trong tổ hợp, cùng những ứng dụng điển hình củachúng Đó là định lí khai triển nhị thức NewTon, lựa chọn với sự lặplại, phân hoạch, đếm lặp, nguyên tắc trung bình, nguyên tắc bao hàmloại trừ Đặc biệt, trong phần đếm lặp, đã đưa ra khái niệm tổng quát

về bậc của một phần tử trong một họ tập hợp cho trước, từ đó tìmđược mối liên hệ với những kiến thức liên quan đến lí thuyết đồ thị

2 Tiếp theo, vận dụng các kiến thức lí thuyết đã trình bày ở trên đểnghiên cứu một số kết quả quan trọng trong lí thuyết đồ thị Đó làchặn cỡ của các tập giao, đồ thị không có chu trình độ dài 4, vấn đềcủa Zarankiewicz, tính trù mật của ma trận nhị phân