Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)

Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HỒNG THƯƠNG

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT LIÊN

QUAN ĐẾN SỐ CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2018

Mục lục

Chương 1 Một số tính chất của số cân bằng 3

1.1 Khái niệm về số cân bằng 3

1.2 Khái niệm số tam giác chính phương 4

1.3 Khái niệm số đối cân bằng 5

1.4 Một số dãy liên quan 7

1.5 Một số tính chất 9

1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli 13

Chương 2 Một số phương trình Diophant liên quan đến số cân bằng 24 2.1 Nghiệm nguyên dương của phương trình Pell 25

2.2 Nghiệm nguyên dương của một số phương trình Diophant 26 2.3 Lũy thừa trong dãy các số cân bằng và các số Lucas cân bằng 38

2.4 Lũy thừa trong tích các số hạng của các số cân bằng 45

2.5 Lũy thừa trong tích của các số Lucas cân bằng 49

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Ngô Văn Định, Trường Đạihọc Khoa Học - Đại học Thái Nguyên

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS Ngô Văn Định, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trườngĐại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngườithân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Thương

Mở đầu

Một số tự nhiên n được gọi là số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu

nó là nghiệm của phương trình Diophant

1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r)

Khái niệm về số cân bằng được tìm ra và nghiên cứu đầu tiên bởiBehera và Panda Sau đó, rất nhiều tính chất đẹp của số cân bằng đượctìm thấy (xem [1]) Năm 2012, Keskin và Karaatli [4] đã tìm ra một

số tính chất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương Bên cạnhviệc nghiên cứu các tính chất của số cân bằng, nhiều nhà toán họccũng đã nghiên cứu việc sử dụng các số cân bằng để giải một số dạngphương trình Diophant

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại một số tínhchất mới của số cân bằng, số tam giác chính phương và một số kết quả

về việc sử dụng số cân bằng, số Pell, số Lucas cân bằng trong việc giảiphương trình Diophant

Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1 Một số tính chất mới của số cân bằng Mục đích củaChương này là giới thiệu sơ lược về số cân bằng, số tam giác chínhphương và trình bày lại kết quả của Keskin và Karaatli [4].

• Chương 2 Một số phương trình Diophant liên quan đến số cânbằng Mục đích của Chương này là trình bày lại một số kết quả vềphương trình Diophant có liên quan đến số cân bằng Tài liệu thamkhảo chính của chương này là [2, 3]

Chương 1

Một số tính chất của số cân bằng

Chương này trình bày các khái niệm về số cân bằng, số đối cânbằng, số tam giác, số tam giác chính phương và một số tính chất của

số cân bằng được trình bày trong tài liệu [4]

1.1 Khái niệm về số cân bằng

Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n được gọi là số cân bằng nếu

1.2 Khái niệm số tam giác chính phương

Định nghĩa 1.2.1 Số tam giác là số có dạng 1+2+· · ·+n với n ∈ Z+

Nhận xét 1.2.2 Dễ thấy số N là số tam giác nếu N có thể viết dưới

dạng N = n(n + 1)

Định nghĩa 1.2.3 Số N là số tam giác chính phương nếu nó vừa có

thể viết dưới dạng N = m2 vừa có thể viết dưới dạng N = n(n + 1)

tức là nghiệm nguyên của phương trình

m2 = n(n + 1)

Nhận xét 1.2.4 1 Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ

nếu n2 là số tam giác Do đó n là số cân bằng nếu và chỉ nếu n2

là số tam giác chính phương

2 Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 1 là sốchính phương

1.3 Khái niệm số đối cân bằng

Định nghĩa 1.3.1 Số nguyên dương n được gọi là số đối cân bằng nếu

1 + 2 + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) (1.4)

với một số nguyên dương r nào đó Ở đây r được gọi là hệ số đối cân

bằng ứng với số đối cân bằng n

Ví dụ 1.3.2 Các số 2, 14 và 84 là các số cân bằng với các hệ số đối

cân bằng lần lượt là 1, 6 và 35

Mệnh đề 1.3.3 Nếu n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng

Định nghĩa 1.3.4 Một số được gọi là số pronic nếu nó có thể viết dưới

dạng n(n + 1) với n là số nguyên dương nào đó

Nhận xét 1.3.5 1 Số nguyên dương n là số đối cân bằng nếu và chỉ

nếu n(n + 1) là số tam giác Do đó, n là số đối cân bằng nếu vàchỉ nếu n(n + 1) là số tam giác pronic

2 Số nguyên dương n là số cân bằng nếu và chỉ nếu 8n2 + 8n + 1

là số chính phương

1.4 Một số dãy liên quan

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại khái niệm về dãy Fibonaci(Un) và dãy Lucas (Vn)

Định nghĩa 1.4.1 Cho k và t là hai số tự nhiên khác không Dãy số

Fibonaci được định nghĩa như sau:

Các số đầu tiên của dãy (Fn) là 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Các sốđầu tiên của dãy (Ln) là 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,

Trong trường hợp k = 2, t = 1 thì (Un) và (Vn)lần lượt được gọi làdãy Pell và dãy Pell-Lucas và được ký hiệu là (Pn) và (Qn) Như vậy,

ta có

P0 = 0, P1 = 1, Pn+1 = 2Pn+ Pn−1, ∀n > 1và

Q0 = 2, Q1 = 2, Qn+1 = 2Qn + Qn−1, ∀n > 1

Một vài số đầu tiên của dãy (Pn)là 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, Một vài số đầu tiên của dãy (Qn)là 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, Trong trường hợp k = 6, t = −1 ta sẽ ký hiệu lại (Un) và (Vn) lầnlượt bởi các (un) và (vn) Khi đó

u0 = 0, u1 = 1, un+1 = 6un − un−1, ∀n > 1và

1.5 Một số tính chất

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số tính chất của các dãy (Pn), (Qn),(un) và (vn) Các tính chất này sẽ hữu ích trong phần chứng minh cáctính chất mới của dãy (yn) với yn = vn − 2

B0 = 1, B1 = 6 Do vậy, ta dễ dàng suy ra được

Bn = (3 +

√8)n − (3 −√8)n

Từ Định lý 1.5.1 và Định lý 1.5.2 ta dễ dàng thấy rằng Bn = un = P2n

2 ,

Q2n = vn với n là số nguyên dương Do đó, theo tài liệu [4] ta có một

số tính chất đã biết của (Pn), (Qn), (Bn) và (vn) sau đây:

Định lý 1.5.3 Một số tự nhiên x là một số tam giác chính phương nếu

và chỉ nếu x = Bn2 với n là số tự nhiên.

(vn − 2)4

Do đó, có thể thấy x2 = y(y + 1)

2 với x, y là các số nguyên dương nếu

và chỉ nếu x = Bn và y = yn với n là số tự nhiên

Bây giờ ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây

Bổ đề 1.5.4 Dãy số (yn) thỏa mãn hệ thức truy hồi

Một số phần tử đầu tiên của dãy (yn) là 0, 1, 8, 49, 288 Với n =

1, 2, ta ký hiệu bn là số đối cân bằng thứ n và (bn) là dãy các số đốicân bằng Ta thấy chuỗi các số đối cân bằng thỏa mãn hệ thức truy hồiđưa ra trong Bổ đề 1.5.4 Tức là

bn+1 = 6bn − bn−1 + 2, với n ≥ 1,trong đó b0 = 0 và b1 = 2 Một số phần tử đầu tiên của dãy số đốicân bằng là 0, 2, 14, 84, 492, Mối quan hệ mật thiết giữa số đối cânbằng, số cân bằng và dãy (yn) được thể hiện qua các bổ đề sau đây

= 8(B

2 n+1 + Bn2) − 2

= 8(6BnBn−1 + 1) − 2

6

= 8BnBn+1 + 1

Suy ra điều cần chứng minh

Từ tính chất 1.13, ta dễ dàng thu được định lý sau đây

Định lý 1.5.7 Nếu n là số tự nhiên lẻ thì yn = Q

2 n

4 Nếu n là số tự

nhiên chẵn thì yn = Q

2 n

4 − 1.

4 , nếu n là số tự nhiên chẵn thì yn = Q

2 n

4 −1.Theo các bổ đề và định lý trên, ta có nhận xét sau

Nhận xét 1.5.8 1 Vì y2n+1 = 8BnBn+1+ 1 và y2n+1 = Q

2 2n+1

4 nên

BnBn+1 là số tam giác

2 Theo bổ đề 1.5.6 thấy rằng yn là số lẻ nếu và chỉ nếu n là số lẻ và

yn là số chẵn nếu và chỉ nếu n là số chẵn

1.6 Một số kết quả của Keskin và Karaatli

Dựa vào các tính chất đã nêu ở mục trước, trong mục này, chúng tôitrình bày một số tính chất mới của các số cân bằng và các số tam giácchính phương mà Keskin và Karaatli đã tìm ra được trình bày trong tàiliệu [4] Vấn đề quan tâm chính của các kết quả này là liệu tích của hai

số cân bằng lớn hơn 1 có phải là một số cân bằng không? Tích của hai

số tam giác chính phương lớn hơn 1 liệu có phải là một số tam giáckhông? Ta sẽ thấy rằng câu trả lời là không Tương tự, liệu tích của hai

số pronic có phải là một số pronic không? Ví dụ đơn giản: 2 và 6 làhai số pronic Tích của chúng 2 × 6 = 12 và 12 = 3(3 + 1) là một

số pronic khác Tương tự 3 và 15 là hai số tam giác Tích của chúng

3 × 15 = 45 và 45 = 9(9 + 1)

2 là một số tam giác Dễ dàng thấy tích

của hai số pronic liên tiếp là một số pronic vì

[(x − 1)x][x(x + 1)] = (x2 − 1)x2

Trước khi trình bày các kết quả chính của Keskin và Karaatli, chúng

ta nhắc lại một số tính chất sau đây cần thiết cho việc chứng minh saunày

Định lý 1.6.3 Cho m, n ∈ N và m ≥ 2 Khi đó Pm | Pn nếu và chỉ nếu m | n.

Định lý 1.6.4 Cho m, n ∈ N và m ≥ 2 Khi đó Qm | Qn nếu và chỉ nếu m | n và n

Định lý 1.6.9 nói rằng ước chung lớn nhất của hai số cân bằng bất

kỳ lại là một số cân bằng Như một kết luận của định lý, Hệ quả 1.6.10nói rằng ước chung lớn nhất của hai số tam giác chính phương bất kỳ

lại là một số tam giác chính phương Bây giờ ta sẽ xem xét bội chungnhỏ nhất của hai số cân bằng bất kỳ Ta thấy bội chung nhỏ nhất củahai số tam giác bất kỳ có thể là một số tam giác Ví dụ 15 và 21 là hai

số tam giác và [15, 21] = 105 là một số tam giác Chú ý rằng 15 - 21.Tương tự bội chung nhỏ nhất của hai số pronic có thể là một số pronic.Cho một ví dụ đơn giản, 6 và 15 là hai số pronic và [6, 15] = 30 lại làmột số pronic Nhưng điều đó chưa chắc đã đúng với hai số cân bằngbất kỳ Điều đó có thể thấy được từ định lý sau đây

Định lý 1.6.11 Cho Bn > 1, Bm > 1 và Bn < Bm Khi đó [Bm, Bn]

là một số cân bằng nếu và chỉ nếu Bn | Bm.

Chứng minh. Giả sử Bn | Bm Khi đó [Bn, Bm] = Bm là một số cânbằng Ngược lại, nếu ta có Bn > 1, Bm > 1 và Bn - Bm Khi đó theoĐịnh lý 1.6.6, ta có n - m Cho d = (m, n) Khi đó theo Định lý 1.6.9,

Giả sử rằng [Bn, Bm] là số cân bằng Ta có [Bn, Bm] = Br với r

là một số tự nhiên Theo công thức (1.26) ta có BnBm

Bd = Br Suy ra

BnBm = BdBr Do đó Bn

BdBm = Br nên Bm | Br Suy ra r = mt với

t là số tự nhiên theo Định lý 1.6.6 Giả sử t là một số nguyên lẻ Khi

đó t = 4q ± 1, q ≥ 1 Do đó ta có

theo công thức (1.22) Điều đó cho thấy Br ≡ ±Bm(modB2m) Vì

B2m = Bmvm (theo công thức (1.14) nên

Bd ≥ vm và do đó vm ≤ Bn

Bd ≤ Bn Vì n < m, tađược vn < vm ≤ Bn Do vậy vn < Bn (điều này không xảy ra theo1.11 )

Từ định lý trên, ta có hệ quả trực tiếp về bội chung nhỏ nhất của hai

số tam giác chính phương bất kỳ Phần chứng minh của hệ quả này sửdụng tính chất

[a2, b2] = a

2b2(a2, b2) =

a2b2(a, b)2 =

ab(a, b)

2

= [a, b]2,trong đó a, b là các số nguyên dương

Hệ quả 1.6.12 Cho Bn > 1, Bm > 1 và Bn < Bm Khi đó [Bn2, Bm2 ]

là một số tam giác khi và chỉ khi Bn2 | B2

m.

Định lý sau đây trả lời cho câu hỏi chính về tích của hai số cân bằng

Định lý 1.6.13 Cho n > 1, m > 1 và m ≥ n Khi đó không có số

nguyên r nào thỏa mãn BnBm = Br.

Chứng minh. Giả sử rằng m > 1, n > 1 và BnBm = Br với r > 1.Khi đó Bm | Br và m | r (theo Định lý 1.6.6) Do đó r = mt với t là

số nguyên dương Giả sử t là số nguyên chẵn Khi đó t = 2k nên suy

theo (1.22) Điều đó cho thấy BmBn ≡ ±Bm(modB2m) Vì B2m =

Bmvm, ta được BmBn ≡ ±Bm(modBmvm) Suy ra Bn ≡ ±1(modvm)

nên vm | Bn ± 1 và do đó vm ≤ Bn ± 1 Vì vn > 2Bn và m ≥ n tađược

Bn + 1 ≥ Bn ± 1 ≥ vm ≥ vn > 2Bn.Suy ra Bn + 1 > 2Bn Khi đó Bn < 1 (mâu thuẫn)

Vì số tam giác chính phương là bình phương của số cân bằng, định

lý trên nói rằng tích của hai số tam giác chính phương lớn hơn 1 khôngphải là số tam giác Say đây là hệ quả đơn giản của định lý trên

Hệ quả 1.6.14 Chỉ có một nghiệm nguyên dương thỏa mãn hệ phương

rõ ràng m = 0 hoặc n = 0 không thỏa mãn Từ đó suy ra điều phảichứng minh

Định lý sau đưa ra một tính chất mới của dãy (yn) Nó nói về tíchcủa hai phần tử lớn hơn 1 của dãy yn

Định lý 1.6.15 Cho n > 1, m > 1 Khi đó không có số nguyên r nào

thỏa mãn ynym = yr.

Chứng minh. Giả sử ynym = yr Vì yk là số lẻ khi và chỉ khi k là số

lẻ và yk là số chẵn khi và chỉ khi k là số chẵn, ta thấy m, n, r đều làcác số lẻ hoặc r và ít nhất một trong hai số m và n là số chẵn Giả sửrằng n, r là số chẵn Khi đó n = 2k và r = 2t với k, t là các số nguyêndương Theo Bổ đề 1.5.6 ta có yn = y2k = 8Bk2 và yr = y2t = 8Bt2 Từ

đó, ta có

ym = yr

yn =

8Bt28Bk2 =

 Bt

Bk

2

.Nếu m là số chẵn thì m = 2l với l là số nguyên dương Suy ra ym =

y2l = 8Bl2 và ta có Bt

Bk

2

= 8Bl2 Điều này không thể xảy ra Do vậy

mlà số lẻ Khi đó, theo Định lý 1.5.7, suy ra ym = Q

2 m

Do vậy Pn > Pms và suy ra n > ms Khi đó 2n > 2ms nên 2n > r =

nu, suy ra u < 2 dẫn đến u = 1 Vì u = 1 ta được r = nu = n (điềunày không xảy ra) Giả sử m, n và r đều là số lẻ Vì ynym = yr ta được

2 Qm ≡ ±2Qn

2

modQ2n

2

.Điều này cho thấy Qm ≡ ±2

modQ2n

2

 Vì m ≥ 2 ta được Qm > 2

Q2n + 2 + Q2m+ 2 ≤ 2Qm + 2Qn + 8

Suy ra

Q2 + Q2 ≤ 2Qm + 2Qn + 4

Do đó

Q2n + Q2m − 2Qm − 2Qn ≤ 4

Khi đó ta được

Qn(Qn − 2) + Qm(Qm − 2) ≤ 4

Nghĩa là Qn + Qm < 4 Điều này mâu thuẫn vì m > 1 và n > 1

Ta có hệ quả trực tiếp sau

Hệ quả 1.6.16 Chỉ có duy nhất một nghiệm nguyên dương thỏa mãn

hệ phương trình Diophant x(x + 1) = 2u2, y(y + 1) = 2v2 và xy(xy +

Vậy tổng của hai số tam giác có thể là một số tam giác, tổng củahai số pronic có thể là một số pronic khác Nhưng tổng của hai số tamgiác chính phương không phải là một số tam giác chính phương bởi vì

Bn2 + Bm2 = Br2 không có nếu n ≥ 1, m ≥ 1 Không có số nguyêndương r nào để Bn+ Bm = Br và bn+ bm = br với n ≥ 1, m ≥ 1 Mặtkhác, tích của hai số đối cân bằng lớn hơn 1 không là một số cân bằngbởi vì không có số nguyên r nào để bnbm = br với n ≥ 1, m ≥ 1 Hơnnữa, phương trình yn + ym = yr với n ≥ 1, m ≥ 1 không có nghiệm.

Chương 2

Một số phương trình Diophant liên quan đến

số cân bằng

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả của Karaatli

và Keskin [3] và của Dey và Rout [2] về một số phương trình Diophantliên quan đến số cân bằng

Trước tiên, chúng tôi trình bày các kết quả của Karaatli và Keskin

về nghiệm nguyên dương của một số phương trình Diophant như

(x + y − 1)2 = 8xy,(x + y + 1)2 = 8xy,(x + y)2 = 4x(2y ± 1),(x + y)2 = 2x(4y ± 1),(x + y ± 1)2 = 8xy + 1,

và số cân bằng.

2.1 Nghiệm nguyên dương của phương trình Pell

Trước tiên, ta nhắc lại định lý sau đã được trình bày trong tài liệu[3]

Định lý 2.1.1 Cho Z[√2] = a + b√2 | a, b ∈ Z và γ = 1+√2 Khi

đó tập hợp các phần tử khả nghịch của vành Z[√2] là {±γn | n ∈ Z}.

Định lý sau đây cho ta biết về nghiệm của phương trình Pell

Định lý 2.1.2 Tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình Pell

x +√

2y = γn = γPn + Pn−1theo Định lý 2.1.1 Từ

γPn + Pn−1 = (1 +√

2)Pn+ Pn−1 = Pn + Pn−1 + √

2Pn

2 , y = Pn Ngượclại, nếu (x, y) =  Qn

2 , Pn

, với n ≥ 1, thì từ tính chất (1.10) ta có

x2 − 2y2 = ±1

Sử dụng tính chất (1.10) và Định lý 2.1.2 ta có các hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1.3 Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình Pell

(x + y + 1)2 = 8xy,(x + y)2 = 4x(2y ± 1),(x + y ± 1)2 = 8xy + 1,

x2 + y2 − 6xy = ±1,

x2 + y2 − 6xy ± x = 0

và một số phương trình tương tự khác Nghiệm của các phương trìnhnày liên quan đến số tam giác chính phương, số cân bằng, số đối cânbằng và dãy số (yn), ở đây yn được xác định bởi B2

Ngoài ra, Potter đã chỉ ra rằng (yn + yn+1 − 1)2 = 8ynyn+1

Định lý 2.2.1 Tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình

Dio-phant (x + y − 1)2 = 8xy được xác định bởi

(x, y) = (yn, yn+1)