Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Tạ Duy Phượng

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Chương 1 Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các

1.2 Xây dựng phương trình bậc hai mới từ phương trình bậc hai đã biết 11

2.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của các góc

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Xét ba bài toán sau đây

Bài toán 1 (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) Chứng minh rằng

là các nghiệm của phương trình

Hai hệ thức (1) và (2) có thể dễ dàng chứng minh nhờ phép biến đổi lượnggiác Tuy nhiên, từ hai hệ thức này ta khó có thể phát hiện thêm những hệthức tương tự Mặt khác, có thể dễ dàng chứng minh rằng (xem Mệnh đề 1.3.1)

nghiệm của phương trình bậc hai và bậc ba, ta suy ra ngay các hệ thức (1) và(2) (xem các Hệ thức 1.3.1 và 2.4.1b) Từ tính chất nghiệm của phương trìnhbậc hai, bậc ba và bậc bốn, ta có thể dễ dàng phát hiện và chứng minh khá

nhiều hệ thức lượng giác chứa các góc 2π

mà không cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác Đó chính là ý tưởng cơ bản

và chủ đạo của luận văn này

Sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba để phát hiện và chứngminh các hệ thức (hình học và lượng giác) trong tam giác có lẽ lần đầu tiênđược trình bày trong [6] và được phát triển trong [1] Phát hiện và chứng minhcác hệ thức lượng giác nhờ sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậcbốn có lẽ lần đầu tiên được trình bày một cách hệ thống trong [2] và [3]

Như vậy, ta có một nhịp cầu nối Đại số (phương trình và hàm số) với Lượnggiác (các hệ thức của hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt) Đây chính làđiểm mới và khác biệt của luận văn này so với các luận văn đã có về hệ thứclượng giác Ý tưởng sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình đại số đểphát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác có lẽ lần đầu tiên được trìnhbày một cách hệ thống trong [3]

3 Mục đích, đối tượng, phạm vi nguyên cứu

Luận văn có mục đích trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minhcác hệ thức lượng giác

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu là hệ thức lượng giác của các góc có liên quanđặc biệt

4 Mục tiêu của luận văn

Trình bày phương pháp phương trình đại số để phát hiện và chứng minh các

hệ thức lượng giác mới

Ngoài ra nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứngminh thông thường (nhờ biến đổi lượng giác), ở một số bài, luận văn cũng trìnhbày cả các kĩ thuật chứng minh truyền thống

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng công cụ phương trình đại số để nghiên cứu hệ thức lượng giác

6 Nội dung của luận văn

Ngoài phần mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo Luận văn gồm ba chương.Chương 1 Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các hệ thức lượnggiác

Đầu Chương 1 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, sau

đó xây dựng các phương trình bậc hai mới từ các phương trình bậc hai đã có

Từ đó đưa ra các phương trình bậc hai có nghiệm liên quan đến giá trị lượnggiác của các góc đặc biệt rồi đưa ra rất nhiều hệ thức lượng giác

Chương 2 Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượnggiác

Đầu Chương 2 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, sau

đó xây dựng các phương trình bậc ba mới từ các phương trình bậc ba đã có Từ

đó đưa ra các phương trình bậc ba có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giáccủa các góc đặc biệt rồi đưa ra rất nhiều hệ thức lượng giác

Chương 3 Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượnggiác

Đầu Chương 3 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn,sau đó xây dựng các phương trình bậc bốn mới từ các phương trình bậc bốn

đã có Từ đó đưa ra các phương trình bậc bốn có nghiệm liên quan đến giá trịlượng giác của các góc đặc biệt, từ đó phát biểu và chứng minh rất nhiều hệthức lượng giác mới

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sau sắc đến thầy giáo PGS

TS Tạ Duy Phượng Thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫncũng như giải đáp mọi thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn đểtôi hoàn thành luận văn này

Tác giả xin chân thành cám ơn toàn thể thầy cô trong khoa Toán - Tin trườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyền đạtkiến thức trong suốt thời gian học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.Xin được cám ơn nhà trường THPT Quế Võ Số 1, tỉnh Bắc Ninh

Xin được cám ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trongsuốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Kim Anh

Mọi phương trình bậc hai đều đưa được về dạng

x21+ x22 = a2− 2b

Tính chất 1.1.4.

Tính chất 1.1.5

x41+ x42 = a4− 4a2b + 2b2.Tính chất 1.1.6



1σ2+ 2σ22

Chứng minh các tính chất này đã được trình bày ở chương 2 trong [3].

nghiệm của phương trình

nghiệm của phương trình

nghiệm của phương trình

Chứng minh các Mệnh đề trên có thể xem mục 2.2 Chương 2 trong [3]

Nhận xét Từ Mệnh đề 1.2.1 đến 1.2.4 và các tính chất trong 1.1, ta có thể tiếptục xây dựng nhiều phương trình bậc hai mới và từ đó có thể chứng minh đượcrất nhiều đẳng thức lượng giác mới

1.3 Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị

4π 5

1.3.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của 2π

5 ,

4π 5

4π5

⇔ (t − 1) 4t2+ 2t − 1
= 0

√54

!

√54

Chứng minh Vì sin2α = 1 − cos2α nên trong (1.8) thay t bởi 1 − t ta đượcMệnh đề 1.3.6.

Từ các phương trình trên và các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai ta

4π5

8π5

Chứng minh 2 Theo công thức góc nhân ba và Hệ thức 1.3.1 ta có



4π5

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.15) ta được Mệnh đề 1.4.2.

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.15) ta được Mệnh đề 1.4.3

1.4.2 Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của góc π

Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.17) ta được Hệ thức 1.4.6.

 14

Chứng minh Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.17) ta được Hệ thức 1.4.11

Nhận xét Ta có thể sử dụng các đẳng thức về mối quan hệ giữa các giá trịlượng giác và các công thức lượng giác để phát hiện ra nhiều phương trình bậchai nhận giá trị lượng giác của các góc làm nghiệm Từ các phương trình trên

ta lại có thể suy ra nhiều hệ thức lượng giác của các góc khác nữa (xem thêmchương 2 trong [3])

Chương 2

Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượng giác

Một bộ ba góc có thể không tạo thành tam giác, nhưng giá trị lượng giác củachúng có thể là ba nghiệm của một phương trình bậc ba Sử dụng phương phápphương trình bậc ba, ta suy ra khá nhiều hệ thức thú vị cho giá trị lượng giáccủa các góc này, mà không cần chứng minh bằng biến đổi lượng giác phức tạp,thậm chí một số hệ thức không thể chứng minh bằng biến đổi lượng giác

Mọi phương trình bậc ba đều đưa được về dạng

Từ ba tính chất cơ bản trên và sử dụng các tính chất đối xứng của nghiệm, tasuy ra rất nhiều tính chất khác của nghiệm phương trình bậc ba, rất có lợi chonghiên cứu phương trình bậc ba và trong chứng minh các hệ thức lượng giác.Tính chất 2.1.4.

x2 1

x2 2

x2 3

2.2 Xây dựng phương trình bậc ba mới từ phương

trình bậc ba đã biết

dàng tạo ra nhiều phương trình bậc ba mới với các nghiệm có nhiều tính chấthay Điều này rất có ích khi phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giáctrong các mục tiếp theo

là ba nghiệm của phương trình

Chứng minh các Mệnh đề trên có thể xem trong Mục 3.2, Chương 3 của [3]

2.3 Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 vào (2.6) , ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.2.4 vào (2.6) ta có điều phải chứng minh

2.3.2 Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của các góc

Nhờ việc tính giá trị các biểu thức sau ta có thể dùng nó chứng minh nhiều

Chứng minh 2 Ta sử dụng công thức biến tích thành tổng, hạ bậc,

12

2

12

= 294



1





1

= 331776

• Áp dụng công thức tan α = cotπ

3π

5π7

là các nghiệm của phương trình

3α + 4α = (2k + 1) π, k ∈ Z, nên cos 3α + cos 4α = 0 Mà

Do đó 8 cos4α + 4 cos3α − 8 cos2α − 3 cos α + 1 = 0

Ta có

π7

⇒ P (x) có nghiệm hữu tỉ, điều này không xảy ra.

Do đó đa thức đó phải đồng nhất bằng không

 

5π7

 

π7



8.

Hệ thức 2.4.9.

3π7

Chứng minh Áp dụng hệ quả 2.1.2 của tính chất 2.1.12 vào (2.11) ta có Hệthức 2.4.13.

5π7

π7

7+

5π7

Chứng minh Áp dụng tính chất 1.2.20 vào (2.11) ta có Hệ thức 2.4.20a.

Hệ thức 2.4.20b (THTT, bài 8/159, năm 1988, trang 7)

5π7

π7

= 2

Chứng minh Áp dụng tính chất 2.1.20 vào (2.14) ta có Hệ thức 2.4.26.Nhận xét Ta có thể sử dụng các đẳng thức về mối quan hệ giữa các giá trịlượng giác để suy ra nhiều phương trình bậc ba nhận giá trị lượng giác của cácgóc làm nghiệm và nhiều hệ thức lượng giác khác nữa (xem thêm Chương 3trong [3]).

Chương 3

Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượng giác

Chương này trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn

Từ đó phát hiện và chứng minh một số hệ thức lượng giác

x2 2

x2 3

x2 4

Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong Mục 4.1, Chương 4 của [3]

trình bậc bốn đã có

dễ dàng tạo ra nhiều phương trình bậc bốn mới với các nghiệm có nhiều tínhchất hay Điều này rất có ích khi phát hiện và chứng minh các hệ thức lượnggiác trong các mục tiếp theo

Chứng minh các Mệnh đề trên có thể xem trong Mục 4.2, Chương 4 của [3]

3.3 Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá

3.3.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.3 vào (3.6) ta được Mệnh đề 3.3.3

Nhận xét Nếu áp dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn vào(3.7) ta được các hệ thức rất phức tạp nhưng thực ra giống các hệ thức khi ápdụng tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn vào (3.6)

Chứng minh Áp dụng các công thức tan5π

Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.2 vào (3.6) ta được Mệnh đề 3.3.5

3.3.2 Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc

+



5π8

+ tan π



5π8

Chứng minh 1 Áp dụng tính chất 3.1.2 vào (3.5) ta được Hệ thức 3.3.2.Chứng minh 2 Áp dụng công thức tan α = − tan (π − α), ta có

 

7π8

1 +

√22

8+

8+

= 1.Chứng minh Áp dụng tính chất 1.2.7 vào (3.7) ta được Hệ thức 3.3.31

Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.4 vào (3.8) ta được Hệ thức 3.3.38.

8

8



1





1

3.4 Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị

3.4.1 Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các

 

13π16



9π16

 

9π16

π4

Chứng minh 1 Áp dụng tính chất 3.1.6 vào (3.10) ta được Hệ thức 3.4.2.Chứng minh 2 Sử dụng các đẳng thuéc lượng giác, công thức haj bậc, ta có

= −79.Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.7 vào (3.10) ta được Hệ thức 3.4.7

16+

Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.11 vào (3.10) ta được Hệ thức 3.4.11.

16+

Chứng minh Áp dụng tính chất 3.1.5 vào (3.13) ta được Hệ thức 3.4.23.

Trình bày phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượng giác.Đưa ra một số phương trình bậc ba có nghiệm là giá trị lượng giác của các góc

có liên quan đặc biệt Từ đó suy ra các hệ thức lượng giác với chứng minh nhờcác tính chất nghiệm của phương tình bậc ba

Trình bày phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượnggiác Đưa ra một số phương trình bậc bốn có nghiệm là giá trị lượng giác củacác góc có liên quan đặc biệt Từ đó suy ra các hệ thức lượng giác với chứngminh nhờ các tính chất nghiệm của phương tình bậc bốn

Nội dung luận văn viết dựa trên mục 5.1 của cuốn sách [1] và cuốn sách [3],trong đó tác giả luận văn là đồng tác giả của cuốn sách [3] Một số phần trong[3], thí dụ mục Chương 2 (tương ứng mục 1.3, Chương 1 của luận văn), mụcChương 4 (tương ứng mục 3.3, Chương 3 của luận văn) và tính chất 2.1.20 cùngmột số bài trong Chương 2 của luận văn là tìm tòi của tác giả

Tài liệu tham khảo

[3] Hoàng Minh Quân, Tạ Duy Phượng, Nguyễn Thị Kim Anh (2018), Phát hiện

và chứng minh các đẳng thức lượng giác nhờ phương trình đại số (Bản thảo).[4] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ