Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng

Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung 2.1 Định lý giá trị trung bình đối với hàm hai biến.. Về cơ bản, ở chương trình Toán phổ thông chỉ đi giảiphương trình có nghiệm là số c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

BÙI THỊ DU

VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

BÙI THỊ DU

VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

(Xác nhận)

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2018

Mở đầu 2

Chương 1 Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 5

1.1 Mở đầu về phương trình hàm 51.2 Tổng quan về phương trình hàm loại giá trị trung bình 71.3 Phương trình hàm và định lý giá trị trung bình Cauchy 12

Chương 2 Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung

2.1 Định lý giá trị trung bình đối với hàm hai biến 222.2 Phương trình hàm loại giá trị trung bình 232.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng 31

Mở đầu

Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn "thể thao trí tuệ"giúp người học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy khi nghiên cứunhững công thức giải toán độc đáo và mới mẻ

Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinhgiỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, các bài toán liên quan đếnphương trình, phương trình hàm chiếm một vị trí đáng kể

Phương trình hàm là bài toán được sử dụng và khai thác từ nhiều khíacạnh của Toán học Về cơ bản, ở chương trình Toán phổ thông chỉ đi giảiphương trình có nghiệm là số cụ thể, còn đối với phương trình mà nghiệmcủa nó là hàm toán học nào đó thì chưa được trình bày, loại phương trìnhnày được gọi là phương trình hàm Tuy nhiên, trong các khía cạnh củaToán ứng dụng, chẳng hạn như phương trình vi tích phân, phương trìnhđạo hàm riêng thì nghiệm của nó chủ yếu là các hàm toán học Trong các

kỳ thi học sinh giỏi Toán, các bài toán về phương trình hàm luôn đượckhai thác, không chỉ vì dễ khai thác tính mới lạ của dạng toán, mà nó còn

có nhiều ý nghĩa trong ứng dụng của Toán học hiện đại

Phương trình hàm loại giá trị trung bình thật đẹp từ nội dung đến cácứng dụng nhiều góc độ trong giải toán nên nó thu hút không ít sự quantâm của người học cho đến những chuyên gia đầu ngành nghiên cứu vềToán một cách sâu sắc và toàn diện Vì lí do đó chúng tôi đã chọn đề tàiluận văn là "Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng" Nộidung của luận văn được chia thành hai chương, được tham khảo từ hai tàiliệu chính là [10] và [12] Các nội dung được tham khảo này đã được tác

giả cố gắng trình bày chi tiết hơn Cụ thể trong Chương 1 của luận văn,tác giả trình bày sơ lược về phương trình hàm, tổng quan về phương trìnhhàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ giữa phương trình hàm và định

lý giá trị trung bình Cauchy Trong Chương 2, tác giả trình bày về phươngtrình hàm hai biến, nội dung xoay quanh phương trình hàm hai biến liênquan tới định lý giá trị trung bình và một số kết quả mở rộng

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học,Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và độngviên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán–Tin Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ côngsức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho nhữngđịnh lý toán học vốn dĩ đã rất đẹp Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lờitri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học –Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán – Tin nói riêng, đã truyềnthụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được làhọc viên của trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão,

An Lão, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học; cảm ơn các anhchị em học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè đồng nghiệp đã traođổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văntại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên

Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủnhiệm lớp Toán K10B1, TS Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉbảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trongsuốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài Chặng đường vừa qua

sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em họcviên lớp K10B1 nói chung và với bản thân em nói riêng Dấu ấn ấy hiểnnhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ haibên và các anh chị em con cháu trong gia đình Xin chân thành cảm ơntất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng

đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Học viên

Bùi Thị Du

Chương 1

Về phương trình hàm loại giá trị trung bình

Việc nghiên cứu về hàm cộng tính có từ thời A.M Legendre là người đầutiên cố gắng tìm nghiệm của phương trình hàm Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y)

với mọi x, y ∈ R Việc nghiên cứu hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng

tính đã được khởi xướng bởi A.L Cauchy trong cuốn sách của ông "Coursdd’Analyse" năm 1821 Các hàm cộng tính là các nghiệm của phương trìnhhàm Cauchy cộng tính Đầu tiên ta phải làm rõ hàm cộng tính là gì? Sau

đó ta bàn về phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng phươngtrình hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính Ngoài

ra ta nghiên cứu cách giải của phương trình hàm không tuyến tính khôngliên tục và chỉ ra chúng biểu diễn một phương diện khác: Các đồ thị củachúng là trù mật trên mặt phẳng

Các hàm cộng tính cũng được tìm thấy ở nhiều nơi trong các cuốnsách của Aczél (1966, 1987), Aczél và Dhombres (1989) và Smital (1988).Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm với hai hay nhiều biến có

thể chỉ ra trong nhiều số hạng của các hàm cộng tính, nhân tính, hàmlogarit và hàm mũ Một vài phần quan trọng của chương được tìm ra bởiAczél (1965) và Wilansky (1967).

Cho hàm f : R → R thỏa mãn phương trình

với mọi x, y ∈ R Phương trình hàm này đã được biết là phương trình

hàm Cauchy Phương trình hàm (1.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi A.M.Legendre (1791) và C.F Gauss (1809) nhưng A.L Cauchy (1821) là ngườiđầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát của nó Phương trình (1.1) có

vị trí quan trọng trong toán học Hàm f được gọi là cộng tính nếu thỏa

mãn phương trình (1.1)

Định lý 1.1.1 Cho f : R → R là liên tục và thỏa mãn phương trình (1.1).

Khi đó f tuyến tính, nghĩa là f (x) = cx trong đó c là một hằng số tùy ý.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng một hàm cộng tính nhận giá trị thựctrên Rn có thể được biểu diễn như là tổng của n hàm cộng tính một biến Phương trình (1.1) có thể được tổng quát như sau: Xét hàm số f : R n → Rthỏa mãn

với mọi x, y ∈ R được gọi là phương trình hàm Jensen Hàm f thỏa mãn

phương trình (1.3) được gọi là hàm Jensen

Định lý 1.1.3 Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm

Định lý 1.2.1 Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên

(a, b) Khi đó tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho

Đây là định lý giá trị trung bình Lagrange, một định lý có vai trò quantrọng trong phép tính vi phân Định lý này được đưa ra bởi J L Lagrange

(1736–1813) Nếu hàm f : R → R khả vi và [a, b] là đoạn bất kỳ, khi đó theo định lý giá trị trung bình tồn tại ξ ∈ (a, b) thỏa mãn

f (b) − f (a)

với ξ(x, y là hàm phụ thuộc x, y Câu hỏi đặt ra, là với hàm f như thế nào

để giá trị trung bình ξ(x, y) phụ thuộc vào x, y thỏa mãn phương trình đã cho Từ đẳng thức (1.5) xem như một phương trình hàm với f là hàm chưa biết và cho trước ξ(x, y) Hàm ξ(x, y) có thể là một hàm tổng quát, cũng

có thể là một tổ hợp tuyến tính hoặc phi tuyến của x và y, chẳng hạn

Phương trình hàm (1.10) có thể viết lại như sau

Khi đó, phương trình hàm (1.12) được biểu diễn như sau f [x, y] = g(x + y).

Một cách tổng quát, ta thu được các phương trình hàm dạng sau

Ta trình bày định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.3 Cho n số thực phân biệt x1, x2, , x n, tỉ sai phân bậc

n của hàm f : R → R được xác định truy hồi như sau

Bài toán 1.1 Các hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm

khi và chỉ khi f (x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b, trong đó a, b, c là các

số thực tùy ý.

Lời giải Từ định nghĩa tỉ sai phân của f , có thể viết lại như sau

Nếu f thỏa mãn phương trình (1.18), thì f + b cũng thỏa mãn, với b là hằng số tùy ý Vì vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử f (0) = 0 Đặt

y = 0 trong phương trình (1.18) ta có

Từ (1.18) ta có

Ngược lại, nếu h thỏa mãn phương trình (1.20) thì h + c cũng thỏa mãn, với c là hằng số tùy ý Giả sử h(0) = 0, đặt x = −y trong (1.20), ta được

Do đó h là hàm lẻ, cho y = −y trong (1.20), ta có

So sánh (1.22) và (1.20), ta có

(x − y)h(x + y) = (x + y)h(x − y) (1.23)

và thay u = x + y, v = x − y vào (1.23), ta được vh(u) = uh(v),∀u, v ∈ R

Do đó ta có h(u) = au Nếu không có giả sử h(0) = 0 thì ta có h(u) = au+b, suy ra h(x) = ax + b, ∀x ∈ R Từ (1.19) có f (x) = x(ax + b), nếu không

có f (0) = 0 thì f (x) = ax2+ bx + c, x ∈ R Như vậy ta có điều phải chứng

minh

Từ bài toán trên ta có bài toán sau

Bài toán 1.2 Hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm

2

!

, x 6= y

Bài toán 1.3 Tìm tất cả các hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình

1998, sẽ được trình bày trong Chương 2 của luận văn

Định lý 1.2.5 [Xem Định lý 1.2.3 trang 6 trong [4], Định lý 2.5 trang 44

trong [10]] Với các tham số thực s, t các hàm f, g, h : R → R thỏa mãn

f (x) − g(y)

với mọi x, y ∈ R, x 6= y khi và chỉ khi

trung bình Cauchy

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số khẳng định về phương trìnhvới định lý giá trị trung bình trong đó giá trị trung bình được xác định cụthể trong miền xác định của hàm số và một số kết quả liên quan

Cho hai hàm số khả vi F, G : R → R, khi đó theo định lý giá trị trung bình Cauchy ta có với bất kì [a, b] ⊂ R, a < b, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

[F (b) − F (a)] g(αa + βb) = [G(b) − G(a)]f (αa + βb). (1.33)

với mọi a, b ∈ R, trong đó α, β ∈ (0, 1) với α + β = 1.

Ở mục này, ta sẽ nghiên cứu phương trình hàm biểu thị mối quan hệ

giữa các hàm F , G trong đó F, G : R → R là hàm khả vi 3 lần với đạo hàm của chúng F0 = f, G0 = g thỏa mãn phương trình

Trước tiên ta trình bày kết quả về Định lý giá trị trung bình Lagrange

với giá trị không đổi Với mọi c ∈ (a, b) có thể viết duy nhất như sau

c = αa + βb với α, β ∈ (0, 1) thỏa mãn α + β = 1 Dễ thấy phương trình

(1.33) thỏa mãn với mọi a, b ∈ R với α cho trước và α 6= 1

F : R → R khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình sau

Khi đó ta có các khẳng định sau

Từ phương trình (1.35), thì f = F0 là khả vi, biểu diễn như một tổ hợp

tuyến tính của hai hàm khả vi, do đó hàm F có đạo hàm cấp 2 Bằng phép quy nạp, thì hàm F là khả vi vô hạn.

Từ phương trình (1.36), lấy đạo hàm theo h, ta được

Tiếp theo ta sẽ trình bày Định lý giá trị trung bình Cauchy với giá trịtrung bình cho trước Cho tập

U f := {x ∈ R : f (x) 6= 0}, U g := {x ∈ R : g(x) 6= 0}, (1.38)

và cùng phần bù của chúng Z f := R \ U f và Z g := R \ U g Nếu U g = ∅ thì

G là hàm hằng trên R, do đó phương trình (1.33) là hiển nhiên với mọi

hàm F khả vi Hiển nhiên, nếu F là hàm hằng trên R, thì phương trình (1.33) cũng đúng với mọi hàm G khả vi Vì vậy giả sử rằng U g 6= ∅ Khi

đó tồn tại dãy tập mở đôi một rời nhau {I σ}σ∈P,P

g(x) 6= 0 trên (p, q), nhưng f (x) = 0 với mọi x ∈ [p, q] Khi đó, bằng cách

đổi biến h = b − a, x = αa + βb, từ phương trình (1.33) ta được

Từ phương trình (1.40) ta thế cho x + αh bởi y với mọi x ∈ [p, q] và h > 0,

ta được F (y) − F (y − h) = 0 nếu (h, y) ∈ L với

Mệnh đề 1.3.2 chứng tỏ rằng điều kiện U f ∩ U g = ∅ chỉ thỏa mãn nếu

ít nhất một trong hai tập U f và U g là tập rỗng Khi đó, ta có trường hợpđơn giản được mô tả trong phần đầu

Mệnh đề 1.3.3 Cho (F, G) là một nghiệm của Bài toán 1 thỏa mãn điều

và giả sử rằng {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên các khoảng I σ1 và I σ2

Khi đó, tồn tại các hằng số A1, A2, B1, B2 ∈ R thỏa mãn

với mọi x ∈ I σ2, h > 0 Nếu đồng thời x − βh ∈ I σ1, thì F (x − βh) =

Đặt y = x + αh, thì x − βh = y − h, và từ phương trình(1.47) suy ra (h, y) ∈ Π với Π xác định như sau

Π := (h, y) : p2 + αh < y < q2 + αh, p1 + h < y < q1 + h.

Vì β ∈ (0, 1) nên từ phương trình (1.42) suy ra Π 6= ∅, và từ phương

trình (1.46) kéo theo

Vì thế tại điểm bất kì của Π, ta có

0 = ∂

Nhưng y − h ∈ I σ1 do (1.47), vì vậy g(y − h) 6= 0 và do đó

Vì σ1, σ2 ∈ P

, kết hợp phương trình (1.48) cùng với (1.43) và (1.44) suy ra

Mặt khác, bằng cách thay đổi vai trò của F và G trong phân tích trên, ta

Vì vậy (1.49) và (1.50) thỏa mãn trên R = U f ∪ Z f = U g ∪ Z g Đặc biệt,

suy ra {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên R.

Trong phần này, chúng tôi xét trường hợp không đối xứng, tức là trongphương trình (1.33) chọn

Mệnh đề 1.3.4 Cho cặp hàm (F, G) là nghiệm của Bài toán 1 với α, β

thỏa mãn điều kiện (1.51) và I = (p, q), −∞ ≤ p < q ≤ +∞ là một khoảng

mà ở đó đạo hàm g(x) không triệt tiêu Khi đó, nếu F, G liên tục khả vi cấp hai trên I, thì {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên I.

Chứng minh Bằng cách đổi biến h = b − a, x = αa + βh, từ phương trình

Vì vậy, với β2− α2 = 1 − 2α 6= 0 do điều kiện (1.51), ta có f0(x)g(x) =

g0(x)f (x) với mọi x ∈ I = (p, q) Ta có thể chia cả hai vế cho g2(x) ta thu được (f /g)0 = 0 trên I Điều này kéo theo f /g = A với hằng số A ∈ R nào đó, và F0(x) = f (x) = Ag(x) = AG0(x), x ∈ I Lấy tích phân ta được

F (x) = AG(x) + B(x), x ∈ I.

Định lý sau đây là kết quả chính của phần này.

Định lý 1.3.5 Cho (F, G) là một nghiệm của Bài toán 1 với α, β thỏa

mãn (1.51) Nếu F, G có đạo hàm cấp hai liên tục trên R, thì {F, G, 1}

là phụ thuộc tuyến tính trên R, tức là tồn tại hằng số A, B, C ∈ R không đồng thời bằng không sao cho ta có

tuyến tính trên R

2 U g 6= ∅, nhưng U g ∩ U f = ∅

Trong trường hợp này, từ Mệnh đề 1.3.2 suy ra F là hàm hằng trên R

và thỏa mãn phương trình (1.33) với mọi hàm khả vi G Do đó, thỏa mãn điều kiện (1.54), chẳng hạn, với A = 1, B = 0, C = −F và do đó {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên R.

3 U g ∩ U f 6= ∅

Trong trường hợp này, theo Mệnh đề và Mệnh đề 1.3.4 ngay lập tức

có nghĩa là {F, G, 1} lại phụ thuộc tuyến tính trên R.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi xét bài toán mô tả tất cả các cặp (F, G)

của các hàm trơn mà giá trị trung bình thỏa mãn phương trình (1.33) làtrung điểm của khoảng

Mệnh đề 1.3.6 Giả sử các hàm F, G : R → R khả vi cấp ba với F0 =

f, G0 = g Xét I ⊂ R sao cho g(x) 6= 0, ∀x ∈ I và phương trình (1.34) thỏa

mãn với mọi x ∈ I Khi đó tồn tại hằng số A, K ∈ R và x0 ∈ I sao cho

[F (x + h) − F (x − h)]g(x) = [G(x + h) − G(x − h)]f (x) (1.57)

với mọi x, h ∈ R thỏa mãn x, x + h, x − h ∈ I Lấy đạo hàm đẳng thức này

ba lần theo biến h ta được

Từ đây suy ra (1.56) tương đương với (1.34).

Ví dụ minh họa dưới đây chỉ ra hàm không tầm thường thỏa mãnphương trình (1.56) trên R

Ví dụ 1.3.7 Xét hàm g(t) = e t trên I = R và xét A = 0, K = 1, x0 = 0khi đó điều kiện tích phân trong phương trình (1.56) trở thành

hai biến

Định lý 2.1.1 Giả sử hàm f : R2 → R có các đạo hàm riêng f x , f y liên

đoạn thẳng nối hai điểm (x, y) và (u, v) sao cho

Đặt h = u − x và k = v − y Gọi L là đoạn thẳng nối hai điểm (x, y) và (u, v) Khi đó tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc L có dạng (x + ht, y + kt)

với t ∈ [0, 1] Ta xét hàm F : [0, 1] → R xác định bởi

F (t) = f (x + ht, y + kt)

khi cố định x, y, u, v Ta có đạo hàm của F là

F0(t) = hf x (x + ht, y + kt) + kf y (x + ht, y + kt), (2.2)

với f x và f y là các đạo hàm riêng của hàm f tương ứng theo các biến x và

y Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm F ta thu được

hay f (u, v) − f (x, y) = (u − x)f x (η, ξ) + (v − y)f y (η, ξ), với (η, ξ) ∈ L.

Ý nghĩa hình học của Định lý 2.1.1 là sai phân của hàm tại hai điểm

(u, v) và (x, y) bằng vi phân của hàm tại điểm (η, ξ) ∈ L Ngoài ra, nếu

f có đạo hàm riêng theo từng biến và nhận giá trị 0 tại mọi điểm thì

Từ phương trình (2.1) ta thu được phương trình hàm dạng

với mọi x, y, u, v ∈ R với (u − x)2+ (v − y)2 6= 0 Trong phương trình (2.4),

các đạo hàm riêng f x và f y tương ứng được thay bằng các hàm đã biết g