(trường chuyên) 135 câu tích phân nguyên hàm năm 2018 image marked image marked

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D xung quanh trục OX được tính theo công thức y=f x ; y=g x và các đườn thẳng x=a; x=b a b quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể t

Câu 1 (Chuyên Đại Học Vinh)

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x=0, x=1, y=0 và y= 2x 1+ Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục OX được tính theo công thức

y=f x ; y=g x và các đườn thẳng x=a; x=b a( b) quanh trục Ox ta được khối

tròn xoay có thể tích được tính theo công thức: b 2( ) 2( )

dxdx3x 1+

Đáp án B

Phương pháp:

+) Đổi biến và đổi cận để đơn giản biểu thức cần tính tích phân

+) Sử dụng công thức tính tích phân của các hàm cơ bản để tính

Cách giải:

3x 1+ =  =t t 3x 1+ 2tdt=3dx

+) Sử dụng phương pháp từng phần đối với tích phân ( )

−

Đáp án B

Ta có

1 1

Câu 9: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên ( )

tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f 0( )=1 và

3 3

a 11

A b a 1.− = B a2−b2 = − +a b 1. C b2−a2 = − +b a 1. D a b 1.− =

Đáp án C.

a a

Ta có 4 2 4 ( ) 4

0 2

2dx2x 1+

Câu 23: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)

Với cách biến đổi u= 1 3ln x+ thì tích phân

e 1

2

u 1 du

2 1

2 u −1 du D

2 2 1

Câu 24: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho hàm số y=ax4+bx2+c có đồ thị ( )C ,

biết rằng ( )C đi qua điểm A(−1;0) tiếp tuyến d tại A của ( )C cắt ( )C tại 2 điểm

có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị ( )C và 2 đường thẳng x=0; x=2 có diện tích bằng 28

Phương trình tiếp tuyến tại A(−1;0)là ( )d : y=y ' 1 x 1( )( + = − −) ( 4a 2b x 1)( + )

Phương trình hoành độ giao điểm của (*) suy ra ( )( ) 4 2 ( )

I=u u −1 du

 rồi lưu vào A Xét hàm F(X) = A –

XError! Reference source not found

(DoA=a e+b) bằng cách nhập hàm trên vào Mode 7, lấy star: - 4, end: 4, step: 1 Ta sẽ thấy tại ' 2

Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a x, =b a( b) là b ( )

x

=+

1

ln 1 ln 2 ln1 ln 2

21

Câu 34: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho số dương a và hàm số y=f x( )liên tục

trên thỏa mãn f x( ) ( )+ − =   Giá trị của biểu thức f x a x a ( )

Câu 35: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên và có

đồ thị như hình vẽ bên Hình phẳng được đánh dấu trong hình bên có diện

: Đáp án D

Phương pháp: Công thức từng phần:

b a

v2

− C 3

2 D

9

2

Vì diện tích của 3 đường nên ta cần vẽ hình:

PT hoành độ giao điểm giữa 2 đường 2 1 4

Câu 42: (Cụm 5 trường chuyên)Cho hàm sốy=f x( ) liên tục trên  a; b Giả sử hàm số u=u x( ) có đạo hàm liên tục trên  a; b và u x( )     ; x  a; b , hơn nữa

Phương pháp: Tính tổng quát n I( n +In 1+ ) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính unvà

sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn un

e 1

− +

Câu 45: (Cụm 5 trường chuyên) Cho số thực a Giả sử hàm số 0 f x liên tục và ( )

luôn dương trên đoạn  0;a thỏa mãn f x f a( ) ( −x)=  1, x  0;a Tính tích phân

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

a a

Câu 46: (Chuyên Chu Văn An-2018) Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn  a; b

và cắt trục hoành tại điểm x=c a(  c b) (như hình vẽ bên) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) trục hoành và hai đường thẳng

x=a; x=b Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

x 5

dx a ln b2x 2

+

 với a, b là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

1 x

=+

Câu 53: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1)Cho f x là hàm số liên tục trên ( ) và thỏa mãn điều kiện 1 ( ) 3 ( )

Câu 54: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị các hàm số y=xvà y=ex, trục tung và đường thẳng x=1 được tính theo công thức

S e 1 dx

−

1 x 0

S= x−e dx D

1 x 1

I=e dx bằng

2

e 12

−

D e 1

2+

−+ có một

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f x( ), trục hoành và hai

đường thẳng x=a, x=b a( b)được tính theo công thức b ( )

2 0

0 0

.cos x

x s inx cos x x sin x cos x

Câu 63: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Tích phân ( ) 2

Câu 64: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể

giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại các điểm x=a, x=b a( b ,) có diện

tích thiết diện bị cắt bởi hai mặt phẳng vuông với trục Ox tại điểm có hoành độ

Câu 65: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2)Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng

giới hạn bới các đường x= y; y= − +x 2, x= quanh trục Ox có giá trị là kết quả nào 0

sau đây ?

C 4 D 2

Đáp án B

Phương pháp: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính giới hạn của hình phẳng Cách giải:

Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là y=x2−4x 3+

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 x 1

2 1

V= x dx C

4 2 1

V=  xdx D

4 1

cos x

1 6

26

24

Suy ra tổng của các nghiệm của phương trình g x( )= là -3 0

Câu 74: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn

 a; b Thể tích V của khối nón tròn xoay thu được khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

đồ thị của y=f x , x( ) =a, x=b a( b) khi quay xung quanh trục Ox tính bằng công thức:

Câu 76: (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm sốy=x2−4x+4, trục tung, trục hoành Giá trị của k để đường thẳng d đi qua

( )

A 0; 4 có hệ số góc k chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau là

A k= − 6 B k= −2 C k= − 8 D k= −4

Đáp án A

Phương pháp: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ), trục

hoành và hai đường thẳng x=a; x=bđược tính theo công thức : b ( )

a

S= f x dx Cách giải: Phương trình đường thẳng d đi qua A 0; 4 có hệ số góc k ( )

Câu 77: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Cho hàm số y = f x( ) liên tục trên

đoạn  a;b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x ,( ) trục hoành và hai

đường thẳng x = a, x = b a(  b ) Diện tích hình phẳng D được tính bởi công thức

Câu 80: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) : Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có

bán kính bằng 1 (hình vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có hoành độ x (−   1 x 1) thì được thiết diện là một tam giác đều Tính thể tích V của vật thể đó

A V= 3 B V 3 3= C 4 3

V 3

Đáp án C

Ta có 4

0 0

Câu 83: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn − 6;5

có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ Tính giá trị

f x 1+ 4 x khi 2 x 2 2x 1

khi 2 x 5 3

V=x e dx B

1 x 0

V=xe dx C

Thể tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=f x , y( ) =g x , x( ) =a, x= khi b

quay quanh trục Ox được tính bởi công thức: b 2( ) 2( )

a

V=  f x −g x dx Cách giải:

Áp dụng công thức ta có thể tích hình phẳng bài cho là: 1( ) 1

Câu 87 (Chuyên Đại Học Vinh-2018) Một cổng chào có dạng

hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m Người ta

căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình

giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem

6

6

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: 2 x 0

Câu 90: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Cho hàm số y = f x , y( ) = g x( ) liên tục trên

 a; b Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f x ,( ) y = g x( ) và các đường thẳng

x = a, x = b. Diện tích (H) được tính theo công thức

Câu 92: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f ' x( ) liên tục trên và thỏa mãn f ' x( ) − 1;1 với   x ( )0; 2 Biết f 0( ) ( )= f 2 = 1. Đặt 2 ( )

2 D ln 6 Đáp án C

Phương pháp giải:Nguyên hàm cơ bản của hàm phân thức hoặc bấm máy tính

Lời giải: Ta có

2

2 1 1

Câu 95: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Biết 1 ( )

0

a b3

Câu 96: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi

trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol

đó tại điểm A(2; 4), như hình vẽ bên Tính thể tích khối tròn xoay tạo

bởi hình phẳng (H) khi quay xung quanh trục Ox

Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: 2

x =4x−  =4 x 2 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng ( )H giới hạn bởi 1 ( )P , y=0, x=0, x= 2

( ) ( ) ( )3

2 2

Suy ra f x( )=f ' x( )=cos xdx=sin x+C mà f 0( )=  = 0 C 0

 là diện tích hình thang cong ABMN

Câu 99: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1

4 4

2

1 1

Câu 102: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho hình phẳng ( )D được giới hạn

bởi các đường x=0,x=,y =0 và y= −sinx Thể tích V của khối tròn xoay tạo

thành khi quay ( )D xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

27

f x dx= f x dx=

23x 1

f x dx

số nguyên , b là số nguyên dương và a

b là phân số tối giản Tính a b c− +

e dt e e e

1 1 2 2

0 0

Câu 109: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3) Gọi S là diện tích miền hình phẳng được

tô đậm trong hình vẽ bên Công thức tính S là

A S 1 f x dx( ) 2f x dx( )

−

Câu 114: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho hàm số f x( ) liên tục trên

và  x 0; 2018, ta có f x ( ) 0 và f x f( ) (2018−x)=1 Giá trị của tích phân

1( )

Câu 116: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Cho hàm số

21

x m y

x

−

=+ (với m là

tham số khác 0) có đồ thị là (C) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và hai trục tọa độ Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S = 1?

x ln x +16 dx,

x 3 t 252

Câu 118: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay

xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=0, y= x , y= −x 2

Câu 121: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Biết

1 2 0

b5x 4

=+

0

55x 4

I=  2ax+b e + + dx

A I=x2−x1 B x2 x1

I4

−

I2

Câu 124: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho hàm số f x có đạo hàm ( )

không âm trên [0;1] thỏa mãn ( ) 4 ( ) 2( 2 ) ( ) 3

f x f ' x x + = +1 1 f x

với  x [0;1], biết f 0( )= Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2.

không âm trên [0;1] thỏa mãn ( ) 4 ( ) 2( 2 ) ( ) 3

Câu 130 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) : Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn

có bán kính bằng 1 (hình vẽ) Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−   thì được thiết diện là một tam giác đều Tính thể tích V 1 x 1)của vật thể đó

Lấy nguyên hàm 2 vế được ( )

( )

( ) ( )

2 2

Câu 132: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f x có đạo hàm liên ( )

1dx2x 1+

Câu 135: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho hàm số f liên tục trên đoạn

−6;5 có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ Tính giá trị

f x 1+ 4 x khi 2 x 2

2x 1 khi 2 x 53