skkn: giải phương trình chứa căn bằng cách đưa về hệ phương trình

A. MỞ ĐẦUI. Đặt vấn đề:Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại học – Cao đẳng trong các năm gần đây cũng như đề thi THPT Quốc Gia thì dạng toán giải phương trình chứa căn thường hay xuất hiện. Chính vì thế, việc dạy cho học sinh giải được dạng toán này là một vấn đề mà các giáo viên cần quan tâm. Đặc biệt, đối với học sinh trường THPT Ngô Mây có chất lượng đầu vào quá thấp thì việc giải phương trình chứa căn được xem là một câu hỏi khó. Chính vì thế tôi xin viết ra một vài kinh nghiệm giải phương trình chứa căn bằng cách đưa về hệ phương trình mà bản thân đã rút ra được trong quá trình giải dạy ở trường THPT Ngô Mây.1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:Hiện nay, Bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia với hai mục đích vừa xét công nhận tốt nghiệp THPT và vừa xét tuyển Đai học – Cao đẳng thì bài toán giải phương trình chứa căn là một câu nằm trong một trong các chủ đề ôn tập mà học sinh cần phải ôn tập. Trong khi đó với sức học yếu của học sinh trường THPT Ngô Mây thì việc lĩnh hội kiến thức của dạng toán này là một vấn đề hết sức khó khăn. Hơn nữa, học sinh cũng không xác định được dạng toán cho từng bài toán. Để giúp học sinh khắc phục được khó khăn này thì bản thân tôi đã đưa ra một số dạng phương trình chứa căn mà học sinh áp dụng để giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:Với đề tài này có ý nghĩa và có tác dụng rất quan trọng đối với học sinh trường THPT Ngô Mây trong lúc ôn thi THPT Quốc Gia vì đề tài này đã rút ra những dạng phương trình cơ bản mà học sinh nhìn vào có thể biết ngay đó là phương trình đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình. Đó là những dạng phương trình chứa căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc bốn,…Không chỉ có một căn, hai căn mà còn có cả ba căn thức. Như vậy, những giải pháp đưa ra đã giúp cho học sinh của tường THPT Ngô Mây đã nắm vững được phương pháp này.3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài:Do không có thời gian và điều kiện không cho phép nên đề tài này chỉ được nghiên cứu và áp dụng cho học sinh trường THPT Ngô Mây. Cụ thể là ở lớp 12A1 năm học 2014 – 2015 và lớp 12A1 năm học 2015 – 2016 trong các tiết dạy theo các chủ đề ôn tập.II. Phương pháp tiến hành:Để hoàn thành đề tài này tôi đã tiến hành nhiều phương pháp như: Phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp so sánh, phương pháp thu thập thông tin, phương pháp thực nghiệm, ….1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp của đề tài:Trong chương trình Toán THPT thì việc giải phương trình chứa căn là một dạng toán khó. Đặc biệt, trong đề thi THPT Quốc Gia thì dạng toán này là một câu thuộc loại câu khó. Chính vì thế để dạy cho học sinh trường THPT Ngô Mây làm được dạng toán này là một việc mà bản thân tôi đã suy nghĩ trong nhiều năm qua. Sự đa dạng về hình thức của bài toán giải phương trình chứa căn đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa loại bài toán này. Phép sử dụng ẩn phụ là một trong những phương pháp nhằm mục đích đó, ngoài ra bài toán còn trở nên gọn gàng, giúp chúng ta định hình hướng đi một cách ổn định nhất. Từ những thực tế đó, tôi đã nghĩ đến việc dùng hai ẩn phụ để đưa phương trình cho trước về hệ phương trình quen thuộc đó là: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, hệ phương trình đối xứng hoặc gần đối xứng,…2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:a. Các biện pháp tiến hành:Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, bản thân đã áp dụng các biện pháp như: Phương pháp thu thập thông tin, phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp thực nghiệm, phương pháp so sánh,…b. Thời gian tạo ra giải pháp: Để hoàn thành đề tài này, tôi đã nghiên cứu và thử nghiệm và viết ra thành tài liệu để áp dụng cho học sinh trường THPT Ngô Mây là hết hai năm đó là năm học 2014 – 2015 và năm học 2015 – 2016.

A MỞ ĐẦU

I Đặt vấn đề:

Trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại học – Cao đẳng trong cácnăm gần đây cũng như đề thi THPT Quốc Gia thì dạng toán giải phương trìnhchứa căn thường hay xuất hiện Chính vì thế, việc dạy cho học sinh giải đượcdạng toán này là một vấn đề mà các giáo viên cần quan tâm Đặc biệt, đối vớihọc sinh trường THPT Ngô Mây có chất lượng đầu vào quá thấp thì việc giảiphương trình chứa căn được xem là một câu hỏi khó Chính vì thế tôi xin viết

ra một vài kinh nghiệm giải phương trình chứa căn bằng cách đưa về hệphương trình mà bản thân đã rút ra được trong quá trình giải dạy ở trườngTHPT Ngô Mây

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:

Hiện nay, Bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia vớihai mục đích vừa xét công nhận tốt nghiệp THPT và vừa xét tuyển Đai học –Cao đẳng thì bài toán giải phương trình chứa căn là một câu nằm trong mộttrong các chủ đề ôn tập mà học sinh cần phải ôn tập Trong khi đó với sức họcyếu của học sinh trường THPT Ngô Mây thì việc lĩnh hội kiến thức của dạngtoán này là một vấn đề hết sức khó khăn Hơn nữa, học sinh cũng không xácđịnh được dạng toán cho từng bài toán Để giúp học sinh khắc phục được khókhăn này thì bản thân tôi đã đưa ra một số dạng phương trình chứa căn màhọc sinh áp dụng để giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phươngtrình

2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới:

Với đề tài này có ý nghĩa và có tác dụng rất quan trọng đối với học sinhtrường THPT Ngô Mây trong lúc ôn thi THPT Quốc Gia vì đề tài này đã rút

ra những dạng phương trình cơ bản mà học sinh nhìn vào có thể biết ngay đó

là phương trình đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Đó là những dạng phương

căn mà còn có cả ba căn thức Như vậy, những giải pháp đưa ra đã giúp chohọc sinh của tường THPT Ngô Mây đã nắm vững được phương pháp này.

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài:

Do không có thời gian và điều kiện không cho phép nên đề tài này chỉđược nghiên cứu và áp dụng cho học sinh trường THPT Ngô Mây Cụ thể là

ở lớp 12A1 năm học 2014 – 2015 và lớp 12A1 năm học 2015 – 2016 trongcác tiết dạy theo các chủ đề ôn tập

II Phương pháp tiến hành:

Để hoàn thành đề tài này tôi đã tiến hành nhiều phương pháp như:Phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp so sánh, phương pháp thu thậpthông tin, phương pháp thực nghiệm, …

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp của đề tài:

Trong chương trình Toán THPT thì việc giải phương trình chứa căn làmột dạng toán khó Đặc biệt, trong đề thi THPT Quốc Gia thì dạng toán này

là một câu thuộc loại câu khó Chính vì thế để dạy cho học sinh trường THPTNgô Mây làm được dạng toán này là một việc mà bản thân tôi đã suy nghĩtrong nhiều năm qua Sự đa dạng về hình thức của bài toán giải phương trìnhchứa căn đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa loại bài toánnày Phép sử dụng ẩn phụ là một trong những phương pháp nhằm mục đích

đó, ngoài ra bài toán còn trở nên gọn gàng, giúp chúng ta định hình hướng đimột cách ổn định nhất Từ những thực tế đó, tôi đã nghĩ đến việc dùng hai ẩnphụ để đưa phương trình cho trước về hệ phương trình quen thuộc đó là: Hệphương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất

và một phương trình bậc hai, hệ phương trình đối xứng hoặc gần đối xứng,…

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp:

a Các biện pháp tiến hành:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, bản thân đã áp dụng các biệnpháp như: Phương pháp thu thập thông tin, phương pháp nghiên cứu tài liệu,phương pháp thực nghiệm, phương pháp so sánh,…

b Thời gian tạo ra giải pháp: Để hoàn thành đề tài này, tôi đã nghiên cứu và

thử nghiệm và viết ra thành tài liệu để áp dụng cho học sinh trường THPTNgô Mây là hết hai năm đó là năm học 2014 – 2015 và năm học 2015 – 2016

II Mô tả giải pháp của đề tài:

1 Một số lý thuyết cơ bản:

1.1 Định nghĩa: Phương trình chứa căn là phương trình chứa ẩn dưới dấu

căn thức

1.2 Một số phương pháp giải phương trình chứa căn:

- Phương pháp nâng lũy thừa

- Phương pháp nhân lượng liên hiệp

- Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương ( hệ phương trình cơ bản, hệphương trình đối xứng, gần đối xứng, …)

1.4.2 Cách giải: Giải bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế.

1.5 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.

Cách giải: Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào

phương trình bậc hai

1.6 Hệ phương trình đối xứng loại I:

1.6.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình mà ta

thay x bởi y và thay y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi

1.6.2 Cách giải:

+ Đặt

+ Đưa về hệ phương trình hai ẩn S, P

+ Giải hệ phương trình tìm S, P

+ Khi đó x, y là nghiệm phương trình:

1.7 Hệ phương trình đối xứng loại II:

1.7.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ phương trình mà ta

thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình thứ nhất trở thành phương trìnhthứ hai và ngược lại

1.7.2 Cách giải: Trừ hai phương trình vế theo vế ta thu được nghiệm x= y và

một số nghiệm khác Sau đó thay lại tìm nghiệm (x, y)

2 Các dạng bài tập mô tả giải pháp:

Dạng 1: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc hai.

Vậy phương trình có nghiệm x= 0

Nhận xét: Cái mới của ví dụ 4 là giải hệ phương trình

không dùng một trong các phương pháp đã học mà nhân hai phương trình (1)

và (2) vế theo vế ta được một phương trình hai ẩn u, v từ đó giải ra tìm

rồi thay biểu thức đã đặt vào hai biểu thức đó để tìm x.

Khi đó x, là nghiệm phương trình

Dạng 2: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc ba.

Nhận xét: Phương trình trong ví dụ 1 và ví dụ 2 đều có dạng 

Đối với dạng này thì ta đặt

Ví dụ 3: Giải phương trình

Giải:

+ Ta thấy x = 0 là một nghiệm phương trình đã cho

+ Nếu thì chia hai vế phương trình cho ta được phương trình

Đặt

Ta được hệ phương trình

Khi đó u, v là nghiệm phương trình

+

+

Ví dụ 4: Giải phương trình

Giải: + Ta thấy không thỏa mãn phương trình đã cho nên

không phải là nghiệm phương trình

+ Nếu thì chia hai vế phương trình cho ta được phương trình

Nhận xét: Phương trình trong ví dụ 3 và ví dụ 4 đều có dạng 

Để giải dạng này thì ta chia hai vế phương trình cho Khi đó ta sẽ được phương trình có dạng toán của

Nhận xét: Phương trình trong ví dụ 5 có dạng

Để giải dạng này ta đặt Khi đó ta thu được một hệ phương đối

đối xứng loại I với hai ẩn x, y.

+ Khi đó u, v là nghiệm phương trình

Giải: Điều kiện

Chia hai vế phương trình cho ta được

Đặt

Ta được hệ phương trình

Giải tương tự ví dụ 2 ta được

+ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Ví dụ 4: Giải phương trình

Giải: Điều kiện

Chia hai vế phương trình cho , ta được

Đặt

Ta được hệ phương trình

Giải tương tự ví dụ 2 ta được

+ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm

Nhận xét: Phương trình trong ví dụ 3 và ví dụ 4 có dạng

Để giải phương trình ví dụ 3 và ví dụ 4 ta chia hai vế phương trình cho và biến đổi ta đưa được về dạng phương trình trong ví dụ 1 và ví dụ 2.

- Phương trình trong ví dụ 3 thu được hệ phương trình dạng

Từ hệ phương trình này ta tìm được một biểu thức

chứa u, v và x rồi thay phần đã đặt của u, v vào biểu thức vừa tìm được để tìm nghiệm x của phương trình đã cho.

Thay (2) và (1) ta có

(nhận)

Vậy phương trình có nghiệm

Nhận xét: Phương trình trong các ví dụ từ ví dụ 4 đến ví dụ 10 sau khi đặt ẩn

phụ đưa về hệ phương trình tạm thời với ba ẩn u, v và x Từ hệ phương trình

đó ta luôn rút ra được một biểu thức có dạng hoặc , với m là hằng số Từ đó ta tìm hai biểu thức chứa u, v rồi ta thay phần u, v đã đặt vào biểu thức vừa tìm được và giải phương trình chứa căn dạng

để tìm nghiệm x của phương trình.

III Thuyết minh tính mới:

Dạng 1: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc hai.

1) Phương trình trong ví dụ 1 có dạng Đối với

4) Cái mới của ví dụ 4 là giải hệ phương trình không dùng

một trong các phương pháp đã học mà nhân hai phương trình (1) và (2) vếtheo vế ta được một phương trình hai ẩn u, v từ đó giải ra tìm

rồi thay biểu thức đã đặt vào hai biểu thức đó để tìm x

5) Phương trình trong ví dụ 5 có dạng Đối vớidạng này thì ta đặt Khi đó ta thu được một hệ phương đối xứngloại I với hai ẩn x, y

Dạng 2: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc ba.

1) Phương trình trong ví dụ 1 và ví dụ 2 đều có dạng

Đối với dạng này thì ta đặt 2) Phương trình trong ví dụ 3 và ví dụ 4 đều có dạng

Để giải dạng này thì ta chia hai vế phươngtrình cho Khi đó ta sẽ được phương trình có dạng toán của ví dụ 1

và ví dụ 2

3) Phương trình trong ví dụ 5 có dạng Để giảidạng này ta đặt Khi đó ta thu được một hệ phương đối đối xứngloại I với hai ẩn x, y

Dạng 3: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc bốn.

1) Phương trình trong ví dụ 1và 2 có dạng

Đối với dạng này thì ta đặt

2) Phương trình trong ví dụ 3 và ví dụ 4 có dạng

Để giải phương trình ví dụ 3 và ví dụ 4 tachia hai vế phương trình cho và biến đổi ta đưa được về dạngphương trình trong ví dụ 1 và ví dụ 2

Dạng 4: Một số bài toán dạng đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình tạm thời.

1) Phương trình trong ví dụ 1 và ví dụ 2 đều đưa được về hệ phương trìnhdạng Từ hệ phương trình này ta giải tìm được một biểu thứcchứa u và x hoặc chứa v và x rồi thay phần đã đặt của u, v vào biểu thức vừa

2) Phương trình trong ví dụ 3 thu được hệ phương trình dạng

Từ hệ phương trình này ta tìm được một biểu thức

chứa u, v và x rồi thay phần đã đặt của u, v vào biểu thức vừa tìm được để tìmnghiệm x của phương trình đã cho

3) Phương trình trong các ví dụ từ ví dụ 4 đến ví dụ 10 sau khi đặt ẩn phụ đưa

về hệ phương trình tạm thời với ba ẩn u, v và x Từ hệ phương trình đó ta luônrút ra được một biểu thức có dạng hoặc , với m làhằng số Từ đó ta tìm hai biểu thức chứa u, v rồi ta thay phần u, v đã đặt vàobiểu thức vừa tìm được và giải phương trình chứa căn dạng đểtìm nghiệm x của phương trình

IV Khả năng áp dụng:

Với đề tài này bản thân tôi đã áp dụng thành công năm học 2014 –

2015 và đang áp dụng trong năm học 2015 – 2016 trong các tiết ôn thi THPTQuốc gia vào các tiết học tự chọn

Đề tài này có khả năng giúp cho học sinh nhận dạng được các bài toánđặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Từ đó học sinh không bị lúng túng trongcác cách giải phương trình chứa căn trước đây

Với đề tài này có khả năng áp dụng thích hợp ở trường THPT Ngô Mâycũng như những trường có học sinh đầu vào thấp Bởi vì đề tài này đã tómlượt lại một số bài toán có cùng một dạng để học sinh dễ phân loại và nhậndạng hơn

V Lợi ích kinh tế- xã hội:

Đề tài này đã giúp cho học sinh nhận dạng được một số phương trìnhchứa căn bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình một cách hiệu quả.Học sinh không cảm thấy quá nặng nề khi gặp các dạng toán này Với những

phương trình chứa căn Từ đó học sinh cảm thấy hứng thú học loại toán này.Đồng thời cũng giúp cho giáo viên có tài liệu phục vụ trong công tác giảngdạy và còn có thời gian để nghiên cứu các đề tài khác.

Với đề tài này đã áp dụng và cho kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinhthì cũng thu được một kết quả rất khả quan như sau:

Kết quả kiểm tra:

15(33,3%)

0(0,0%)

20(50,0%)

13(32,5%)

11(26,8%)

0(0,0%)

23(54,8%)

10(23,8%)

Lớp không

sử dụng đề tài

C KẾT LUẬN

Để áp dụng hiệu quả đề tài này thì cần phải nhắc lại các kiến thức cóliên quan trong quá trình giải các dạng toán trong các ví dụ Truyền đạt vớimức độ chậm Sau mỗi ví dụ cần đưa ra nhận xét để học sinh nắm được dạngtoán của ví dụ đó và hình dung ra được cách đặt ẩn phụ để đưa về hệ phươngtrình cho từng bài cơ bản

Đối với đề tài này có khả năng vận dụng rộng rãi ở trường THPT NgôMây và cũng có thể dùng cho các đối tượng học sinh có tỷ lệ đầu vào thấp.Sau khi vận dụng hiệu quả đề tài này thì trên cơ sở đó có thể xây dựng nhiềubài toán cùng loại hơn và cũng có thể xây dựng các giải pháp khác có liênquan đến phương trình chứa căn

Trong thời gian áp dụng đề tài này trong hai năm học 2014 – 2015 vànăm học 2015 – 2016 tôi đã thấy đề tài này cũng mang lại một số hiệu quảnhất định Vì vậy, có thể cho đề tài này sử dụng một cách rộng rãi hơn Đặcbiệt là đối tượng học sinh trường THPT Ngô Mây

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Đại số 10

2 Sách giáo viên Đại số 10

3 Các đề thi Đại học – cao đẳng

4 10 trọng điểm luyện thi Đai học – Cao đẳng môn toán Lê Hoành Phò

5 Phương pháp giải nhanh toán học trọng tâm Phạm Quốc Phong

6 Tuyển tập 750 bài tập toán Đại số 10 Nguyễn Sinh Nguyên

MỤC LỤC

Trang

A MỞ ĐẦU

1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết 1

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu,

2 Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp 2

B NỘI DUNG

Dạng 1: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc hai 6Dạng 2: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc ba 11Dạng 3: Một số bài toán dạng phương trình chứa căn bậc bốn 15Dạng 4: Một số bài toán dạng đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình tạm