Về phương trình Diophantine dạng Ax2-Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)

Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)Về phương trình Diophantine dạng Ax2Bx2=C (Luận văn thạc sĩ)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

(Xác nhận)

PGS.TS Nông Quốc Chinh

THÁI NGUYÊN - 2018

Mở đầu 2

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Liên phân số hữu hạn 41.2 Liên phân số vô hạn 81.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn 9

Chương 2 Về phương trình Diophantine bậc 2 dạng Ax2 −

2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy2 = N 122.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By2 = C 162.3 Một số ví dụ áp dụng 34

Mở đầu

Số học là một bộ môn toán học có đối tượng nghiên cứu là các sốnguyên Không có gì đơn giản và quen thuộc hơn đối với chúng ta là các sốnguyên Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và công nghệ, đặc biệt làcông nghệ số hóa, đã đòi hỏi con người không ngừng nghiên cứu và khámphá các quy luật, các thuật giải cho các bài toán liên quan tới số nguyên.Bao hàm trong mảng số học, là giải phương trình nghiệm nguyên hay còngọi là phương trình Diophantine Lớp phương trình này còn tồn tại nhiềubài toán, giả thuyết chưa có câu trả lời Nó luôn là vấn đề thu hút đượcnhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và tìm hiểu Chính việc đi tìmlời giải cho các bài toán hay chứng minh các giả thuyết về phương trìnhDiophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương pháp khác của Toánhọc Lớp bài toán liên quan tới phương trình Diophantine không có quytắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản Đócũng là nguyên nhân để lớp phương trình này thu hút sự khám phá nghiêncứu của các nhà Toán học Trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thihọc sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế, các bài toán liên quan đến phươngtrình Diophantine thường xuyên được sử dụng để đánh giá học sinh

Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nông Quốc Chinh,tôi đã chọn hướng đề tài luận văn của mình liên quan tới lớp phương trìnhDiopantine này Cụ thể là nghiên cứu về tính chất nghiệm và mối liên hệ

của phương trình Diophantine dạng Ax2− By2 = C với biểu diễn liên phân

số liên tục

Luận văn với tên đề tài "Về phương trình Diophantine dạng Ax2−By2 =

C", với mục đích là trình bày kết quả nghiên cứu của Mollin (2002) [8] được

công bố trên tạp chí Acta Math Univ Comenianae năm 2002 Nội dung

luận văn gồm 2 chương Chương 1 tập trung trình bày một số kiến thức

về liên phân số, sẽ được dùng để nghiên cứu các kết quả trong chươngsau Nội dung chương 2 gồm ba phần, cụ thể nghiên cứu về phương trình

Diophantine dạng x2 − Dy2 = N và dạng Ax2 − By2 = C và phần cuối là

một số ví dụ minh họa

Để hoàn thành được luận văn, lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn

sự hướng dẫn tỉ mỉ và tận tình của PGS.TS Nông Quốc Chinh Em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ vàđộng viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoaToán – Tin Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT ToànThắng, Tiên Lãng, Hải Phòng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học

Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bèđồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình họctập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 4 năm 2018

Học viên

Lương Thị Mai Anh

1.1 Liên phân số hữu hạn

Định nghĩa 1.1.1 Liên phân số hữu hạn hay phân số liên tục là một

trong đó a0, a1, , a n là các số thực a1, , a n 6= 0 Một liên phân số như

vậy được ký hiệu là [a0; a1, , a n ].

Từ định nghĩa dễ thấy

[a0; a1, , a k+1 ] = a0 + 1

[a1; a2, , a k+1].

Nếu a0 ∈ Z và a1, , a n là các số nguyên dương thì ta nói [a0; a1, a n] là

một liên phân số hữu hạn có độ dài n Rõ ràng một liên phân số hữu hạn

là một số hữu tỷ Ngược lại ta có:

Định lý 1.1.2 Mỗi số hữu tỷ đều có thể biểu diễn dưới dạng một liên

phân số hữu hạn.

Chứng minh Giả sử x = a b trong đó a, b ∈ Z và b > 0 Đặt r0 = a, r1 = b.

Thuật chia Euclide cho ta

r0 = r1q1 + r2, 0 < r2 < r1,

r1 = r2q2 + r3, 0 < r3 < r2,

Ta có điều phải chứng minh

Cho liên phân số hữu hạn [a0; a1, , a n ] Với mỗi k ≤ n liên phân số

C k = [a0; a1, , a k ] gọi là giản phân thứ k của [a0; a1, , a n]

Công thức tính các giản phân được cho bởi định lý sau

Định lý 1.1.3 Cho liên phân số hữu hạn [a0; a1, , a n ] Giả sử hai dãy

số nguyên dương p0, p1, , p n và q0, q1, , q n được xác định truy hồi như sau

.

p k = a k p k−1 + p k−2 , q k = a k q k−1 + q k−2

Khi đó giản phân thứ k là C k = [a0; a1, , a k ] được cho bởi

C k = p k

q k . Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp Với k = 0 ta có

Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được đẳng thức

quan trọng sau giữa các (p k ) và (q k)

Định lý 1.1.4 p k q k−1 − p k−1 q k = (−1)k−1

Hệ quả 1.1.5 (p k , q k ) = 1.

Tiếp theo, ta sẽ mô tả các quan hệ của giản phân

Định lý 1.1.6 Giả sử (C k ) là dãy giản phân của liên phân số hữu hạn [a0; a1 , a n ] Ta có

Từ định lý trên ta thu được kết quả quan trọng sau

Định lý 1.1.7 Ta có

C1 > C3 > C5 > ,

C0 < C2 < C4 >

Chứng minh Từ định lý trên ta thấy nếu k lẻ thì C k < C k−2 và nếu k chẵn thì C k > C k−2 Cũng theo định lý trên, ta có

1.2 Liên phân số vô hạn

Như kết quả mục trên, ta biết rằng mỗi số hữu tỷ sẽ được biểu diễn mộtcách duy nhất bằng một liên phân số hữu hạn Chuyển sang tình huốngcác số vô tỷ, ta sẽ thấy, mỗi số vô tỷ sẽ được biểu thị duy nhất dưới dạngmột liên phân số vô hạn

Định lý 1.2.1 Cho a0, a1, a2 là dãy vô hạn các số nguyên sao cho

Hơn nữa dãy (C 2k+1 ) là dãy giản và bị chặn dưới bởi C0 còn dãy (C 2k) tăng

và bị chặn trên bởi C1 Vậy tồn tại

Định lý 1.2.3 Mỗi số vô tỷ đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

một liên phân số vô hạn.

1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn

Ta gọi liên phân số vô hạn [a0; a1, a2, ] là tuần hoàn nếu dãy (a n) là

tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó, nghĩa là tồn tại số nguyên dương m và

k với mọi n > m ta có a n = a n+k Số nguyên dương k được gọi là chu kỳ.

Trong trường hợp đó ta viết

[a0; a1, a2, , a m−1 , a m , a m+1 , , a m+k−1 ].

Bài toán đặt ra là đặc trưng tất cả các số vô tỷ có biểu diễn liên phân số

vô hạn tuần hoàn Ta có khái niệm sau:

Định nghĩa 1.3.1 Số vô tỷ α gọi là số vô tỷ bậc hai nếu nó là nghiệm

của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên, tức là

aα2 + bα + c = 0, với a, b, c ∈ Z,

Ví dụ 1.3.2 Số vô tỉ α = 2 +√

3 là số vô tỷ bậc hai, vì nó là nghiệm của

x2 − 4x + 1 = 0

Bổ đề 1.3.3 Số thực α là số vô tỷ bậc hai khi và chỉ khi tồn tại các số

nguyên a, b, c với b > 0, c 6= 0 và b không chính phương sao cho

Từ định nghĩa về số vô tỷ bậc hai, ta có các tính chất sau:

Bổ đề 1.3.6. 1 Nếu số vô tỷ bậc hai α là nghiệm của phương trình Ax2+

Bx + C = 0 thì liên hợp của nó cũng là nghiệm của phương trình đó.

2 Giả sử α1, α2 là các số vô tỷ bậc hai thì (α1± α2)0 = α01± α02; (α1α2)0 =

α01α02 và (α1/α2)0 = α10/α02.

Kết quả sau được Lagrange tìm ra

Định lý 1.3.7 Số vô tỉ α có biểu diễn liên phân số tuần hoàn khi và chỉ

khi nó là số vô tỷ bậc hai.

Bổ đề 1.3.8. 1 Giả sử α là số vô tỉ bậc hai Khi đó nó có thể viết dưới dạng

D Nếu r chẵn thì x = p tr−1 , y = q tr−1 với t = 1, 2 là nghiệm của phương trình Pell x2 − Dy2 = 1 Nếu r lẻ

thì x = p 2tr−1 , y = q 2tr−1 , với t = 1, 2, là nghiệm của phương trình Pell

Như vậy nếu n chẵn thì p2kr−1 − Dq2

kr−1 = 1 với mọi k ∈ N, nếu r lẻ thì

s

< 1

2s2 Khi đó r/s phải là một giản phân của α.

Bổ đề 2.1.4 Giả sử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 − Dy2 = n

D Vậy theo bước trước y/x là một

giản phân của 1/√

D Nhưng khi đó x/y = 1/(y/x) là một giản phân của

Nếu r chẵn thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là x = p kr−1 ,

Từ Bổ đề 1.3.8 rút ra (−1)i−1 Q i+1 = 1 Suy ra Q i+1 = ±1 Vì q k+1 6= −1

nên Q i+1 = 1 và i lẻ Theo Bổ đề 2.1.2 ta rút ra tồn tại ki + 1 = kr, kéo theo i = kr − 1 và kr chẵn Thành thử nếu r lẻ thì k chẵn, k = 2t.

Ví dụ 2.1.6 Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 − 13y2 = 1 Ta

= 649180

Vậy nghiệm nhỏ nhất là (649, 180) Trở lại phương trình x2− 61y2 = 1 Tacó

√

76 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]

Chu kỳ n = 11 là số lẻ Ta tính giản phân

= 1766319049226153980

Vậy nghiệm nhỏ nhất là (1766319049, 226153980)

Xét phương trình

Ta có kết quả sau

Định lý 2.1.7 Phương trình x2− Dy2 = −1 có nghiệm khi và chỉ khi chu

D là số lẻ Trong trường hợp ấy các nghiệm của nó là x = p (2tr−r−1) , y = q (2tr−r−1) với t = 1, 2,

Chứng minh Từ Bổ đề 1.3.8 dễ thấy nếu chu kỳ r của biểu diễn liên phân

Từ Bổ đề 1.3.8 ta rút ra (−1)i−1 Q i+1 = −1, suy ra Q i+1 = ±1 Vì Q i+1 6=

−1 nên Q i+1 = 1 và i chẵn Theo Bổ đề 1.3.8 tồn tại k ∈ N sao cho

i + 1 = kr, suy ra i = kr − 1 và kr lẻ Thành thử nếu r chẵn thì kr luôn

chẵn do đó phương trình vô nghiêm

Trong trường hợp r lẻ lý luận tương tự như trong trường hợp phương trình Pell x2 − Dy2 = 1 tất cả các nghiệm phải có dạng x = p kr−1 , y =

q kr−1 trong đó kr lẻ tức là khi k lẻ hay x = p (2tr−r−1) , y = q (2tr−r−1) với

t = 1, 2,

Định lý 2.1.8 Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn gcd(a, b) = 1

và a là số không chính phương và xét c là số nguyên khác không Đặt

D = ab , N = ac Khi đó (u, v) là nghiệm của phương trình

x2 − Dy2 = N

khi và chỉ khi (u/a, v) là nghiệm của phương trình ax2 − by2 = c.

cả hai vế của phương trình này với a ta được (ax)2 − aby2 = ac, suy ra (ax, y) là nghiệm của phương trình dạng x2 − Dy2 = N với N = ac.

Ngược lại, nếu (u, v) là nghiệm của phương trình dạng x2 − Dy2 = N thì từ u2 − abv2 = ac suy ra a | u2 vì a không phải số chính phương nên

a | u Vì vậy u = a1a và (a1a)2− abv2 = ac hay a21a − bv2 = c, tức là (u/a, v

là nghiệm của phương trình ax2 − by2 = c

là nghiệm nguyên thủy nếu nó là nghiệm dương và gcd(x, y) = 1.

Dễ thấy rằng, với hai nghiệm dương x√

Do đó, trong số các nghiệm nguyên thủy của phương trình (2.2), tồn tại

một nghiệm để x có giá trị bé nhất, một nghiệm để y có giá trị bé nhất.

Nghiệm như vậy gọi là nghiệm cơ bản Giả sử

N (α) gọi là chuẩn của α.

Ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa các nghiệm cơ bản với biểu diễnliên phân số liên tục đơn Như đã trình bày ở Chương 1, ta đã biết 1 số vô

trong đó j > 0 Để nghiên cứu mối liên hệ với liên phân số liên tục, trước

tiên là chú ý rằng mọi số thực có biểu diễn liên phân số liên tục tuần hoànkhi và chỉ khi nó là số vô tỉ bậc hai (xem [18], Định lý 5.1.3, tr 240) Ngoài

ra, số vô tỉ bậc hai có thể biểu diễn thành liên phân số liên tục vô hạntuần hoàn, ta ký hiệu

α = hq0; q1, , q l−1i

nghĩa là q n = q n+l với mọil n > 0, trong đó l = l(α) là độ dài của biểu diễn liên phân số liên tục đơn Ta đã biết rằng số vô tỉ bậc hai α có biểu diễn thành liên phân số tuần hoàn thuần túy khi và chỉ khi α > 1 và

−1 < α0 < 0 Mọi số vô tỉ bậc hai thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi

là thu gọn (xem [18], Định lý 5.3.2, tr 241) Nếu α là số vô tỉ bậc hai rút gọn, thì với mọi j > 0, ta có

với h ∈ Z, thì ω∆ được gọi là giá trị chính phù hợp với biệt thức

∆ = (ω∆ − ω∆0 )2

Ghi chú: O∆ là vành gồm các phần tử là các số nguyên đại số trong trường

∆) ( một số được gọi là số nguyên đại số nếu nó là nghiệm của

đa thức f (x) ∈ Z[x], trong đó f (x) là đa thức có hệ tử cao nhất bằng 1.

Giả sử [α, β] = αZ + βZ là Z−module Khi đó O∆ = [1, ω∆], là một vành sắp thứ tự trong trường K = Q(√

∆) = Q(√

D0) Khi f∆ = 1, thì

O∆ được gọi là vành sắp thứ tự cực đại trong K Tất cả các phần tử khả nghịch của O∆ tạo thành một nhóm được kí hiệu là U∆ Các phần tử khả

nghịch dương trong U∆ có phần tử sinh là khả nghịch nhỏ nhất lớn hơn 1

phần tử này là duy nhất, được gọi là đơn vị cơ bản của K, ký hiệu là ε∆

Ta có thể chứng minh được rằng bất kì Z−module I 6= (0) của O∆ có biểu

diễn dạng [a, b + cω∆], trong đó a, c ∈ N với 0 6 b < a Ta nhận thấy khi

σa = Q và b = (P − 1)/2 nếu σ = 2, trong khi b = P nếu σ = 1

chỉ nếu α = (P +√

gọn của O∆ nếu I chứa phần tử β = (P +√

D)/σ thỏa mãn I = [N (I), β],

trong đó β > N (I) và −N (I) < β0 < 0 Ta có kết quả sau.

Định lý 2.2.1 ( [16], hệ quả 1.4.2-1.4.4, tr19, tr.23-28) Cho ∆ là một biệt

thức phù hợp với căn D Khi đó I = [Q/σ, b +ω∆] là một ideal trong O∆ rút

Định lý 2.2.2 ([18], định lý 5.5.2, tr 261-266) Giả sử ∆ ∈ N là một biệt

thức, các số P j , Q j được xác định như trong (2.3)-(2.5) và

I j = [Q j−1 /σ, (P j−1+ √

D)/σ]

tại số tự nhiên bé nhất n thỏa mãn I n+j là một ideal rút gọn với mọi j > 0,

và I n+j là các ideal rút gọn tương đương với I1 Nếu l ∈ N là giá trị bé nhất thỏa mãn I n = I l+n , khi đó với j > n − 1,

α j = (P j +

√

D)/Q j tất cả có cùng chiều dài tuần hoàn l = l(α j ) = l(α n−1)

Chú ý 2.2.3 Từ thuật toán liên phân số liên tục, ta thấy rằng nếu

Từ thuật toán về liên phân số liên tục ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.2.4 Cho ∆ là biệt thức phù hợp với căn D và cho c ∈ N thỏa

Hệ quả 2.2.5 (xem [15], Bổ đề 3.5, tr 831) Cho ∆ là một biệt thức, và

Q j /σ 6= 1, trong biểu diễn liên phân số liên tục đơn của ω∆ Nếu Q j /σ là ước số không chính phương của ∆, thì l = l(ω∆) = 2j Ngược lại, nếu l là

số chẵn, thì Q l/2 /σ|∆ (trong đó Q l/2 /σ không nhất thiết là số không chính phương)

Tiếp theo, ta trình bày một kết quả quan trọng được sử dụng để chứngminh các kết quả chính ở phần sau.

Định lý 2.2.6 ([18, định lý 6.2.7, tr.302-303]) Cho D ∈ N không là số

D)/Q Nếu P j và Q j với j = 1, 2, , l(α) = l được xác định bởi các phương trình

(2.3)-(2.5) trong biểu diễn liên phân số liên tục đơn của α, thì

ε3∆ = A l−1 + B l−1√

D

Chú ý rằng, mọi nghiệm dương x0 + y0√

b của phương trình (2.11) là lũy

thừa của nghiệm cơ bản Mặt khác, x0 + y0√

b = T k,b + U k,b√

b với k ∈ N

nào đó ([17], định lý 2.3, tr.340-341)

Định lý 2.2.8 ([17], định lý 2.1, tr 221) Cho a, b, c ∈ N, b không là số

với mỗi số nguyên P , và xét |t| ∈ N, là giá trị bé nhất thỏa mãn phương trình a2 − bP2 = ct Giả sử có một trong hai điều kiện sau, hoặc

(a) a|T k,b với mỗi k ∈ N và c < a√b, hoặc

(b) |t| < a√

b.

Khi đó hai khẳng định sau là tương đương

(1) Tồn tại nghiệm nguyên thủy của phương trình

(2) Với một vài số nguyên j > 0 trong biểu diễn liên phân số liên tục đơn

a2b, ta có c = Q j khi (a) thỏa mãn hoặc |t| = Q j khi (b) thỏa mãn.

Chứng minh Trước tiên ta giả sử có (1), khi đó phương trình (2.12) có

nghiệm nguyên thủy α = x0a + y0√

b Nếu (a) thỏa mãn, thì a|T k,b với mỗi

k ∈ N, do đó tồn tại u, v ∈ N sao cho a2u2 − bv2 = 1 Vì vậy, với D = a2b,

ta có

±c = (a2u2 − bv2)(a2x20 − by02) = (a2x0u + bvy0)2 − (x0v + y0u)2D.

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng x = a2x0u + bvy0 và y = x0v + y0u cho

ta một nghiệm nguyên thủy của phương trình x2 − Dy2 = ±c Dễ thấy

x, y ∈ N Nếu p là ước nguyên tố của cả x và y , thì ta có

và

với r, s ∈ Z Bằng cách nhân a2u vào hai vế của (2.14) và trừ đi v lần

phương trình (2.13), ta thu được,

y0(u2a2 − bv2) = p(sa2u − rv),

tuy nhiên a2u2 − bv2 = 1, nên ta có y0 = p(sa2u − rv) Từ đó suy ra p|y0.

Với kỹ thuật tương tự, bằng cách loại bỏ số hạng y0 ở hai phương trình

(2.13)–(2.14), ta chỉ ra được p|x0 Như vậy, mâu thuẫn với tính nguyên

thủy của nghiệm ax0 + y0√

b Vì vậy, (x, y) cho ta một nghiệm nguyên

thủy của phương trình x2− Dy2 = ±c Ta suy ra Hệ quả 2.2.4 Vì c < √

chẵn phương trình vơ nghiêm

Trong trường hợp r lẻ lý luận tương tự trường hợp phương trình Pell x2 − Dy2 = tất nghiệm phải có dạng x = p... nghiệm phương trình ax2 − by2 = c.

cả hai vế phương trình với a ta (ax)2 − aby2 = ac, suy (ax, y) nghiệm phương. .. = ac, suy (ax, y) nghiệm phương trình dạng x2 − Dy2 = N với N = ac.

Ngược lại, (u, v) nghiệm phương trình dạng x2 − Dy2