Chứng minh rằng: Câu IV: 4 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.. Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.. Câu V:4 điểm Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, một
Trang 1UBND HUYỆN THÁP MƯỜI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm có 01 trang)
THI DIỄN TẬP HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 04/3/2018
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: ……… SBD: ………
Câu I: (4 điểm)
2 Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Câu II : (4 điểm)
1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì biểu thức:
C = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương.
2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì:
D = 5m(5m + 1) – 6m(3m + 2m) chia hết cho 91.
Câu III: (4 điểm)
1 Giải phương trình: x2+ 3x +1 = (x+3)
2 Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc) với abc ≠ 0 và a ≠ b Chứng minh rằng:
Câu IV: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Điểm M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC Kẻ ND BC (D BC).
1 Chứng minh : AB2 = BD2 – CD2.
đoạn MN.
Câu V:(4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, một dây CD tùy ý không
vuông góc với AB và cắt AB tại I Vẽ AM và BN cùng vuông góc với CD (M, N CD).
1 Chứng minh:
Trang 22 Chứng minh CM = DN.
3 Tiếp tuyến tại D cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở E và F Kẻ DG AB (G AB) Chứng minh GD là tia phân giác của góc EGF
-HẾT -UBND HUYỆN THÁP MƯỜI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HDC CHÍNH THỨC
(HDC gồm có 03 trang)
THI DIỄN TẬP HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC: 2017 - 2018 Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 04/3/2018
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
I 1
A =
1,0 1,0
2
a) Đk: a > 0 ; a ≠ 4 ; a ≠ 1
b)
GTNN của B là Dấu “=” xảy ra khi
0,25 0,25 - 0,25 0,25
0,5 0,5
II 1 Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z
x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chính phương
0,5
0,5 0,5
0,5
2 D = 5m(5m + 1) – 6m(3m + 2m) = 25m + 5m – 18m – 12m
= (25m – 12m) – (18m – 5m)
= (25 – 12)(25m-1 + … + 12m-1) – (18 – 5)(18m-1 + … + 5m-1)
=13.(25m-1 + … + 12m-1) – 13.(18m-1 + … + 5m-1) 13
0,5 0,5
Trang 3D = 5m(5m + 1) – 6m(3m + 2m) = 25m + 5m – 18m – 12m
=(25m – 18m) – (12m – 5m)
= (25 – 18)(25m-1 + … + 18m-1) – (12 – 5)(12m-1 + … + 5m-1)
= 7.(25m-1 + … + 18m-1) – 7.(12m-1 + … + 5m-1) 7
Vậy D 91
0,5 0,5 III 1 x2+ 3x +1 = (x+3)
x2+1 - x + 3x - 3 =0
( -x) +3(x- )=0 ( -x) ( - 3) = 0
x2+ 1 = 9 ↔ x2 = 8 ↔ x = Vậy nghiệm của phương trình là x =
0,25 0,25 0,25 0,75
0,25 0,25
2 Ta có : (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc)
a2b – b2c –a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2
(a2b – ab2) + (a2c – b2c) = (a2bc2 – ab2c2) + (a3bc – ab3c) (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c)
0,5 0,5 0,5
0,5
IV
1 Xét ∆AHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
AC nên : HN = NC =
∆NHC cân tại N và có ND HC HD = CD Xét ∆ABC vuông tại A có:
AB2 = BH.BC = (BD - HD)(BD + CD) = BD2 – CD2
0,5 0,5 0,5-0,5
2 Áp dụng định lý Pitago trong tam giác: MAC, NAB ta có:
0,5
0,5 0,5
0,5
N M
B
A
C
Trang 4 V
1 Xét ∆AMI và ∆BNI có :
và (đối đỉnh)
∆AMI ∆BNI
0,5 0,5
2 Kẻ OH⏊CD và cắt AN tại K, ta có HC = HD (1)
Xét ∆ABN có : OK // BN và OA = OB KA = KN
Xét ∆NAM có: KH // AM và KA = KN HM = HN (2)
Từ (1) và (2) suy ra : HC – HM = HD – HN CM = DN
0,5 0,5 0,5
3 Ta có AE // DG // BF (cùng vuông góc với AB)
(vì EA = ED ; DF = FB)
Tam giác vuông AEG và tam giác vuông BFG đồng dạng
GD là tia phân giác của
0,5
0,5
0,5
-HẾT Lưu ý: - Nếu HS có cách giải khác đúng vẫn trọn số điểm của câu đó.
- Ở câu IV và câu V nếu HS không có vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm
O G
F
E
K H M N
C
A I B
D