Chương I. §1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số Địa chỉ tải về: https://tailieutui.blogspot.com... Hàm số y = fx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng a; b được gọi chung là đơn điệu trên khoảng

Sự đồng biến và nghịch biến của

hàm số

Địa chỉ tải về:

https://tailieutui.blogspot.com

1 Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

- Nếu x 1 , x 2  (a; b) và x 1 < x 2 mà f(x 1 )<f(x 2 ) thì hàm số y =

f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b).

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)

- Nếu x 1 , x 2  (a; b) và x 1 < x 2 mà f(x 1 )>f(x 2 ) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (a; b) được gọi chung là đơn điệu trên khoảng đó.

f(x 1 ) < f(x 2 ) nên  x > 0 và y > 0 vì vậy:

0

y

x



 



f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

0

y

x



 



f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

Hay:

f(x) biến trên khoảng (a; b) nếu:

f’(x) = 0 trên khoảng (a; b).

0

lim

x

y x

 





nghịch đồng





Nếu x 1 < x 2 và f(x 1 ) > f(x 2 ) nên  x > 0 và y < 0 vì vậy:

Định lý Lagrange sau được thừa nhận:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c  (a; b) sao cho: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) hay:

( ) ( )

f b f a

b a





Gọi cung AB là một đoạn đồ thị của hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) và B(b; f(b))  hệ số góc của cát tuyến

AB là:

( ) ( ) '( ) f b f a

f c

b a







O a c

b

f(b) f(c)

f(a)

B C

A

Đẳng thức: f’(c) = là hệ số góc

của tiếp tuyến của cung AB tại điểm (c; f(c))

( ) ( )

b a





Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên

khoảng (a; b).

a. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a; b) thì hàm số y

= f(x) đồng biến trên khoảng đó.

b. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a; b) thì hàm số y

= f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên

khoảng (a; b) Nếu f’(x)  0 (hoặc f’(x)  0) và

đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của hàm số: y = x 2 – 2x + 3

-Tập xác định: D = R.

-Ta thấy: y’ = 2x – 2  y’ < 0 khi x < 1 và y’ > 0 khi x

> 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

-∞ +∞

2 y

- 0 + y’

-∞ 1 +∞

x

Hàm số Đ/Biến trên (1; +∞) và N/Biến ((1; +∞) và N/Biến -∞; 1)

x

- TXĐ: D = R\{x = 0}

- Đạo hàm:

2

y



Dấu của y’ là dấu của x 2 – 1 mà x 2 – 1 = 0  x =  1 

với x = 1 thì y = 11, với x = -1 thì y = -1 Nên ta có bảng biến thiên như sau:

-1

11

y

+ 0 – – 0 +

y’

-∞ -1 0 1 +∞

x

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -1) 

và x 0  (a; b) Điểm x 0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc

x

  

Ví dụ 1: Xét hàm số:

Có tập xác định là: D = R\{x = 0}

Có đạo hàm là: 2

y



y’ triệt tiêu khi x = 1 và kxđ tại x = 0 nhưng do 0

 D nên h/s chỉ có 2 điểm tới hạn là: x = 1

Xét hàm số: f x ( ) 3 x x2 (  5)

Tập XĐ: D = R.

Đạo hàm: 3 2

'( )

f’(x) không xác định tại x = 0 và triệt tiêu tại x

= 2  hàm số có hai điểm tới hạn là:

x = 0 và x = 2.

tục trên khoảng xác định của nó Vì thế, giữa hai điểm tới hạn kề nhau x 1 và x 2 , f’(x) giữ

nguyên một dấu.

Thật vậy, nếu trong khoảng (x 1 , x 2 ) mà f’(x)

đổi dấu thì f’(x) phải triệt tiêu tại tại một điểm nào đó trong (x 1 , x 2 ) nhưng điều này là không thể vì x 1 , x 2 là hai điểm tới hạn kề nhau.

Quy tắc tìm các khoảng biến thiên của hàm số:

1 Tìm các điểm tới hạn:

a Tìm đạo hàm của f(x).

b Cho f’(x) = 0 giải phương trình.

c Tìm các điểm tới hạn

2 Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng

xác định bỡi điểm tới hạn.

3 Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi

khoảng

3 2

f x  x x  Có đạo hàm là:

 Bảng biến thiên :

3

'( )

3

x

f x

x



 Có 2 điểm tới hạn là: x = 0 và x = 2

0

y

+ – +

y’

-∞ 0 2 +∞

x

3

3 4



- Cần nắm vững quy tắc để tìm sự đồng biến

và nghịch biến của một hàm số.

- Cách vẽ bảng biến thiên của một hàm số.

- Làm các bài tập: 1, 2, 3, 4 tràng 52, 53 sách giáo khoa.