Giáo án ôn thi đại học môn toán bài giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐTÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ §1.. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số A.. Tóm tắt lý thuyết Để tìm giá trị lớn nhất GTL

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

§1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

A Tóm tắt lý thuyết

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

1 Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)

Giả sử xác định trên Ta có

;

2 Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN,

GTNN của hàm số trên một

đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN của hàm số xác định trên đoạn , ta làm như sau:

 B1 Tìm các điểm , , …, thuộc khoảng mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng hoặc không có đạo hàm

 B2 Tính , , …, , ,

 B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của trên đoạn ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của trên đoạn

Quy ước Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập

nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN

của hàm số trên đoạn

Giải Ta có Lại có ,

Suy ra ,

Nhận xét

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ:

f

D  

 

max

x D



 

 







 

min

x D



 

 





 a b f; 

1

x2

x m x

a b;f0 

 1

f x 2

f x m

f x f a f b   

f

a b;f 

a b; 

ff

2

1

y

x





0; 2

y

0; 2

x

 y   20 173

3

y 0;2  

 0;2 

17 max

3

1

Trang 2

 đồng biến trên ;

 nghịch biến trên

Ví dụ 2 [ĐHB03] Tìm GTLN,

GTNN của hàm số

Giải Ta có

()

Với mọi , ta có

Vậy

được ; , đạt được

Ví dụ 3 [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN

của hàm số trên đoạn

Giải Ta có

Với mọi ta có

Vậy

, đạt được ;

, đạt được

Ví dụ 4 [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của

hàm số trên đoạn

Giải Ta có

0983070744 website: violet.vn/phphong84

f

a b; 

;

min max

x a b













 a bf; 

;

min max

x a b















2

4

y x   x

 2; 2

TXÑ  

2

4 ' 1

y

 2; 2

x  

 2; 2

x  

' 0

y 2

44 xx2 xx0

2 2

0 4

x









 2

x 

     

minymin y 2 ;y 2 ;x  y 22 min 2; 2; 2 2 2

     

maxymax y 2 ;y 2 ;y22 min 2; 2; 2 2 2 2

2

1 1

x y x







1; 2

 

2

1 1

'

x

x x

y





' 0

y  x 1

     

5

 1

x 

     

5

1

x 

2

ln x

y x



3

1;e

2

ln

2ln ln '

x

x y



2

Trang 3

Với mọi ta có

hoặc hoặc ()

Vậy , đạt được

, đạt được

Ví dụ 5 [ĐHD10]

Tìm GTNN của hàm số

Giải , suy ra Ta có

hoặc

Thử lại, ta thấy chỉ có là nghiệm của

, , , đạt được

C Bài tập

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1)

2) trên đoạn

3) trên đoạn

4) trên đoạn

5) trên đoạn

6) trên đoạn

7) trên đoạn

8) trên đoạn

9) trên khoảng

10) trên khoảng

11) trên nửa khoảng

12) trên nửa khoảng

13) trên đoạn

' 0

y 2

2lnxlnlnx  x ln 02x0

1

x 2

x e 2

x e 3

1 1;e

3 2

9 4 miny min y 1 ;y e ;y e min 0; ; 0

e e

1

x 

     

maxy max y 1 ;y e ;y e max 0; ;

 2

x e

TXÑ

x 

2









x x

  









   2;5

TXÑ= 

'

y

' 0

y 







4 x 3x10 x  4x4   x 4x21 4x 12x9



2

51x 104 1x29 0

3

x 29

17

x 

1 3

x  y'

 2 3

y  y 15 4

2 3

y    

 

 min 1y  2 3

x 

2

4

2 2 5

y x2;3 x

2 2 4

yx2; 4 x

3 3 3

y x  3x 3;

2



1

3

y x4;0x x

3 3 2 9 1

y x 4; 4x  x

3 5 4

y x3;1 x

4 8 2 16

y x 1;3 x 

1

y x

x

 

0; 

1 1

y x

x

 



1; 

1

y x

x

 

0;2

2

x y x





2; 4

2

y

x





0;1

3

Trang 4

14)

15)

16)

17)

18)

19)

2

cos 2 sin cos 4

3

sin 3 3sin

2

cos 1

x



4

Trang 5

§2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A Nguyên tắc chung

Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:

 Xác định ẩn phụ

 Từ giả thiết, tìm miền giá trị của

 Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một

hàm biến trên miền giá trị của

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho , thỏa mãn Tìm GTLN,

GTNN của

Giải Đặt , suy ra Ta có

Xét hàm , với Ta có đồng biến trên

Do đó

 , đạt được khi và chỉ khi

hoặc

GTNN của

Giải Đặt Ta có

, Suy ra Lại có

Ta có với mọi ,, Do

đó

 , đạt được

 , đạt được hoặc

GTNN của

t t tt

x 0

y  4

x y 

txy

 2

4

x y

S

xy3 x y   x y 2 3xy1



3 4 42 3 1

t  t312t t63

  3 12 63

f t' t  t30; 42 12 0t

f t tf t0; 4t  0; 4  

0;4

t



4 0

x y xy











x y ;  4;0

x y ;  0; 4

0;4

t



4 4

x y xy











x y ;  2; 2

x 0

y 

2 2 2

S   x y xy

t t x y0

t  x y t 2x y 

 2

t  x y x t  2y  xy x y 

2; 2

 2  2 2

2

1 1



  1 2

1 2

S f t  t  t

 

f t t  f    22; 2t1

 1 3 2

 

minS f 2 1

2 2

x y







 1 1

x y











  3

2

2 2

1 2

x y







1 3 2

2

x y











2

x y















x 0

y 

2 2 8

S

5

Trang 6

Giải Đặt , ta có

,

Suy ra Lại có

Ta có biến đổi sau đây

Xét hàm với Ta có

,

Suy ra nghịch biến trên Do đó

+) , dấu bằng xảy ra Vậy , đạt

được

+) , dấu bằng xảy ra hoặc

Vậy , đạt được hoặc

GTNN của

Giải Đặt

Ta có

Xét hàm ,

Ta có , đồng biến trên

Do đó

t x y

x y 2 2x t 24y2  2 8 16

x y 2 x2t  y22 22xy x 2y2 8

2 2  t 4

 2  2 2 2

8

S

   



 2   2

1

x y xy



2

8 8 1 2

t t





2

8 2

t



 

  2 8

t

f t





2 2  t 4

       

f t

f

2 2; 4

   

2 2;4

2

3

 

 

   

max f t f 2 2  2

 

2 2;4

4

2 min

3

t

 

 

  2 2 8 

4

x y





x y 4 min

3

S 

x y

 

2 2;4

t

 

 

  2 2 8

2 2

x y







0

2 2

x y











2 2 0

x y

 







max

3

S 

0

2 2

x y











2 2 0

x y

 







 y  x 0 3

x y xy  

S

t x y

2

3

4

t t

  







 



 3

t

 





 



S

   





 





 





3

t



 

3

t



2;3

t 

 

2

t



2;3

t

 f2;3 1

6

Trang 7

 Dấu “” xảy ra

, Đạt được

 Dấu “” xảy ra hoặc

, Đạt được hoặc

GTNN của

Giải

Cách 1 Từ giả thiết

suy ra Do đó, nếu đặt

thì , hay

Ta có , suy ra

Xét hàm với Ta có , có nghiệm

duy nhất

Ta có ,

Do đó

 , đạt được chẳng hạn khi

hoặc

Cách 2 Ta có

 Xét Khi đó

 Xét Chia cả tử và mẫu của cho và đặt , ta được

Xét hàm , ta có

Bảng biến thiên của hàm :

   2 4

5



2

x y xy

x y







x y

min

5

S 

x y

   3 35

6



3

x y xy

x y







 0 3

x y











3 0

x y











 35 max

6

S 

 0 3

x y











3 0

x y











xy

x xy y2  2

Sx  xy y

1

    t32x y  

1

42 3 2 3t 3 ; 3

 2 1 2 1

xy x y   t

 2 3 2 3 2 1 2 2 3

  2 2 3

f t 2 3 2 3 t 

;

 

f t f t'2 3 2 3  t

t   

 0 3

f  f  

1 min

3

S 

2 3 3 1

x y











 2

2 3 3 1

x y









 2 3 3 1 3

x y xy











 ;  1 ; 1

maxS 3

0 1

x y









 2

0

1

x y







1

x y xy











x y  ;  1; 1

x y  ;   1;1

S



 0 

y 1

S 

0

y  y x S2

t y



2

1

S

 

  1 2 2

1

t

f t

 

 

   

2

2 2

'

1

t

f t





 

 

f t

7

Trang 8

Suy ra:

+) , đạt được khi và chỉ khi

hoặc

+) Đạt được khi và chỉ khi

hoặc

Ví dụ 6 [ĐHB09] Cho , thỏa mãn

Tìm GTNN của

Giải Áp dụng bất đẳng thức với ,

ta được

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng

thức , ta có

(do , )

Đặt

Xét hàm , Ta có đồng biến trên

Như vậy , dấu “” xảy ra khi và chỉ

khi

hoặc Vậy , đạt được hoặc

f t

1 3

3

+∞

1 -1

-∞

t

 

2

1 1 1

t

f t

t t

   

1 min

3

S 

1

x y













 ;  1 ; 1

x y    

maxS 3

1

x y













x y  ;  1; 1

x y  ;   1;1

xy

x y 34xy2

4

2

a x 2

b y

4

x 9y2x y22  2x 2y

4

 2

4xy x y

x y 3x y2 2

x y  1  x y 22x y 2 0

x y 

x y 22x y  y2x x y 12 1 0

2 2

t xy

 

2

1

9

2 1 4

x y t







  9 2

2 1 4

f t  t1 t

2

t 

  9

2

f t  t1 

2

t

 1f t 

; 2









f t f   

 

1 2

t

  9 16

S 

2 2 1

2













 ;  1 1;

2 2

x y  

 ;  1; 1

x y    

9 min

16

S 



 ;  1 1;

2 2

x y  

 ;  1; 1

x y    

Trang 9

Ví dụ 7 [ĐHB12] Cho các số thực , ,

thỏa mãn các điều kiện và Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

Giải Từ suy ra , thay vào đẳng thức thứ

hai của giả thiết, ta được

Do đó, nếu đặt thì ta có

, Biến đổi

Xét hàm , với Ta có

có hai nghiệm là

Ta có , , ,

Vậy , đạt được chẳng hạn khi ,

Ví dụ 8 Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN

của biểu thức

Giải Đặt Ta có và

Suy ra

Lại có

,

x y z  

2 2 2 1

x y5 z5 5

P x y z

0

x y z   

z x y 

z x y

 2  2  2  2  2

t x y

2

3 1

2t 6 6

;

t  

2

t

5 5

x3 y3 x2 y2 x y x y2 2  x y5

x y3 3xy x y  x y2 2xy x y x y2 2  x y5

2

5 2

  5 3 

2 4

f t  6 t6 t

;

t  

  5 2 

4

f t 6 t6  6

;

f  

f  

f  

f  

min

36

6

x y 6

3

z 

xy 0

2

x y z  

2 2 2

3

t 0t  xyz

3

2   x y z xyz

 1 2

t 

1 0;

2

t   

2 2 2 33 2 2 2 3 2

3

2 3

1 3

t

9

Trang 10

Xét hàm với Ta có , suy ra

nghịch biến trên Vậy , đạt được

khi và chỉ khi

Ví dụ 9 [ĐHA03] Cho , , thỏa mãn .

Chứng minh rằng:

Giải Xét , , , ta có

Từ suy ra

Đến đây ta có

hai cách đi tiếp:

Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

,

Do đó

, với

Ta có

Xét với Ta có

nghịch biến trên

(ĐPCM)

Cách 2

  2

3

1

t

 1 0;

2

t   

 

5



0;

2

   

f1

0;

2

S  f   

 

2

xyz

 











2

x  y z

xy 0

x y z  

82

1

;

a x x

;

b y y

;

c z z

;

  

a b c  a b c  

2 2

3

x y z   xyz

3

x y z  xyz

 1 9 9

t

3 2

2

1 0

x y z

  9 9

t

 1 0;

9

t   

  92

f t

t

  1  0;

9

   

 

f t10;

9

  

  1 82

9

f t f   

 



 1 ( ) 82

2

x y z



2

10

Trang 11

Từ đó suy ra điều phải

chứng minh

C Bài tập

Bài 1 [ĐHD09] Cho , thỏa mãn Tìm

GTLN, GTNN của

Bài 2 Cho , thỏa mãn Tìm

GTLN, GTNN của

Bài 3 Cho , thỏa mãn Tìm GTLN,

GTNN của

GTLN, GTNN của

GTLN, GTNN của biểu thức

GTNN của biểu thức

Bài 7 [ĐHD12] Cho , thỏa

mãn Tìm GTNN của

Bài 8 [ĐHA06] Cho , thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 9 [ĐHB08] Cho , thỏa mãn Tìm

GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 11 Cho , thỏa mãn Tìm GTNN

của biểu thức

 18.9 – 80 82

x 0

y  1

x y 

x 0

y  1

x y 

S

x 0 

y  1

x y 

x 0

x y xy  

6

S

x2 y2xy 1 xy 

4 4 2 2

Sx y  x y

xy

2 2 1

xy

x 42y 422xy32

A x y  xy x y 

0

x 0

y 

x y xy x   2y2 xy

3 3

A

xy

2 2 1

2

P





 xy 

x y xy

S x  xy y

xy

2 2

2x y xy1

2 2

S x y

11

Trang 12

Bài 12 Cho , , thỏa mãn Tìm GTNN

của biểu thức

Bài 13 [ĐHB10] Cho , , thỏa

mãn Tìm GTNN của biểu thức

Bài 14 Cho , ,

thỏa mãn Tìm

xy 0

2

x y z  

1 1 1

   a b c  c  ab 0 1 

xy 0

2

x y z  

P

12

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,42 MB