Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số và hình học ở trường THPT

9 Chương 2: SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THPT ..... Nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác, đó là vi

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Giảng viên chính:

T.S Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện khóa luận này Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K55 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận

Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tác giả thêm hoàn thiện

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2018 Người thực hiện khóa luận

Nguyễn Như Hoài Linh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

TS

ĐHSP NXB THPT

L

TM

Tiến sĩ Đại học sư phạm Nhà xuất bản Trung học phổ thông Loại

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Danh mục viết tắt 2

PHẦN I MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn khóa luận 5

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 6

5 Đóng góp của khóa luận 6

6 Cấu trúc khóa luận 6

PHẦN II NỘI DUNG 7

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 7

1.1 Các công thức lượng giác 7

1.1.1 Hệ thức cơ bản 7

1.1.2 Công thức cộng 7

1.1.3 Công thức nhân đôi 7

1.1.4 Công thức nhân ba 7

1.1.5 Công thức hạ bậc 7

1.1.6 Công thức chia đôi 8

1.1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích 8

1.1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng 8

1.2 Phép thế lượng giác 8

1.2.1 Một số phép thế lượng giác chung 9

1.2.2 Một số phép thế lượng giác trong tam giác 9

Chương 2: SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THPT 11

2.1 Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số 11

2.1.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 11

2.1.2 Giải phương trình và hệ phương trình 15

2.2 Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán hình học 22

2.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác 22

2.2.2 Một số bài toán hình học 26

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn khóa luận

Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học, đã tồn tại

và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn

Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, tích phân

Nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác,

đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán

về đại số và hình học Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì đến lượng giác

Qua một thời gian tìm hiểu và nghiên cứu, tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học về lượng giác rất khó tiếp thu và vận dụng cao Vì vậy để giúp học sinh

học tốt nội dung lượng giác lớp 10, tôi đã chọn nghiên cứu khóa luận: “Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán Đại số và Hình học ở trường THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận này hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản của phần Lượng giác được học ở THPT Trên cơ sở đó ứng dụng để giải một số bài toán Đại số và Hình học ở trường THPT Qua đó rèn luyện kỹ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản của phần Lượng giác được học ở THPT

- Sử dụng các kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán về Đại số và Hình học ở THPT

Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học và chuẩn bị tốt các kiến thức trong khi làm những bài tập có tính phân loại cao

trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT quốc gia

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo, nguồn thông tin trên internet có liên quan đến đề tài nghiên cứu của khóa luận) để thu thập thông tin

và tập hợp, phân loại kiến thức và các bài tập phục vụ cho yêu cầu của khóa luận

5 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận này sẽ đem đến những điều thú vị, mới mẻ cho các em học sinh phổ thông trong quá trình học tập, cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán của các em Khóa luận này có thể là một tài liệu tốt giúp các bạn sinh viên có thêm nguồn tư liệu để các bạn học tập tốt hơn cũng như giảng dạy sau này tốt hơn

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, mục lục và các tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 02 chương:

Chương 1: Các kiến thức lượng giác cơ bản

Chương 2: Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán Đại số và Hình học ở trường THPT

sin 2 2sin coscos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

2 tantan 2

1 tancot 1cot 2

a a a

a

1.1.4 Công thức nhân ba

3 3

sin 3 3sin 4sincos3 4cos 3cos

2



a

2 1 cos 2tan

1.1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

cos cossin( )cot cot

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

21cos sin sin( ) sin( )

a) Nếu x a a 0thì có thể đặt:

 

2 2cos ; 0;

1.2.2 Một số phép thế lƣợng giác trong tam giác

a) Nếu xyyzzx1 thì tồn tại các góc , ,   sao cho:

tan , tan , tan

b) Nếu x  y z xyz thì tồn tại các góc , ,   sao cho:

tan , tan , tan

tan , tan , tan

Chương 2 SỬ DỤNG KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số 2.1.1 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

a) Phương pháp giải

Phương pháp đặt ẩn phụ là một trong những phương pháp thông dụng

trong hệ thống các phương pháp giải toán về đẳng thức và bất đẳng thức Ý tưởng chung của việc đặt ẩn phụ là đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc, gần gũi với các bài toán gốc, bài toán mà ta đã quen với cách giải quyết trước đó hoặc nó như là một bước chuyển đổi trung gian để tiếp tục sử dụng được các công cụ khác mà sử dụng lượng giác để chuyển bài toán từ đại số sang

lượng giác là một trong những cách đặt ẩn phụ hiệu quả để giải toán

Nếu x0 thì y0 đẳng thức hiển nhiên đúng

Nếu x0 chia cả hai vế cho x ta được:

Bài 2: Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1) Chứng minh:

sin 5 16sin 20sin 5sin 16 20 5

Đặt xtan , ytan thì sin 2 2 2; sin 2 2 2

Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

      

A B C  x y z

Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc  a c b Chứng minh

ac

Đặt atan ,A ctanC thì btanA C  

Bất đẳng thức được viết lại:

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 8: Cho các số dương a, b, c, d Chứng minh

Lượng giác hóa bài toán

Đứng trước những bài toán giải phương trình và hệ phương trình ta có nhiều hướng giải khác nhau như phương pháp nâng lũy thừa, phương pháp thế, phương pháp hệ số bất định, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp bất đẳng thức,… Tuy vậy không phải lúc nào ta cũng

áp đặt một trong các phương pháp nêu trên để giải các bài toán giải phương trình

và hệ phương trình đó Có những hệ phương trình 3 ẩn mà hai phương trình hoặc những hệ phương trình có số mũ rất lớn thì việc sử dụng các phương pháp thông thường dễ dẫn đến ngõ cụt Nhưng thật may mắn thay một số bài giải phương trình và hệ phương trình lại có những điều kiện bó hẹp của biến giúp ta liên tưởng đến một số công thức lượng giác, từ đó mà ta tìm được phép đặt lượng giác phù hợp và giải quyết bài toán dễ dàng hơn

Đặt xcos0   ta được phương trình

2sin cos3 cos3 cos

x x thì vế phải của phương trình không xác

x

t x





Phương trình được rút gọn thành cos cos 2



x x

Bài 4: Cho a b c là ba nghiệm của phương trình 3

z x x x (vô lý)

Do đó x 1 Tương tự ta có: y z, 1

Đặt xcos0   Sử dụng công thức nhân ba ta được:

cos3 , cos9 , cos 27

Ta có:

; 0;1; ;1313

cos cos 27

; 1;2; ;1314

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là:

S  cos ;cos3 ;cos9   với ; 0;1; ;13 , ; 1;2; ;13

Thay vào phương trình (2) ta được: 2  2  2

4sin 2 4 4sin 2 4sin 4

Thay vào phương trình (1) ta được: 2  2  2

4sin 4 4 4sin 4 4sin 8

cos cos cos cos 1 0 (2)

Giải (2): Đặt tcos cos (điều kiện: t  2 )

Bài 12: Giải các hệ phương trình sau

2.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Phương pháp giải: Sử dụng các định lý hàm sin và cosin, định lý về đường trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác

b) Định lý hàm sin, cosin

Cho tam giác ABC có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

S là diện tích tam giác ABC thì:

c) Các ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC, chứng minh:

Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh

Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn

Tam giác ABC cân có

3



nên là tam giác đều

Bài 3: Cho tam giác ABC thỏa mãn cos

Vậy tam giác ABC vuông tại C

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn Gọi m a là trung tuyến ứng với đỉnh A a) Chứng minh m a R1 cos A 

1 cos 2 1 cos 2 cos 1

c

m

Cộng các bất đẳng thức lại, kết hợp với bất đẳng thức tam giác ta có:

Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau trong tam giác ABC

a) 4 sin sin sin

x x

Bài 2: Cho tam giác ABC có tính chất: tồn tại điểm P nằm trong tam giác

sao cho PAB 10 ;PBA 20 ;PCA 30 ;PAC 40 Chứng minh rằng tam giác ABC cân

sin 20 sin sin 40 4sin sin 40 cos10sin10 sin 80 sin 30 sin 80

2sin sin 30 sin 50 sin 1 2cos 40

C

A

B

P

b) Bài tập tự luyện

Bài 3: Cho tam giác cân ABC với AB = AC Giả sử đường phân giác góc

B cắt AC tại D và BCBD AD Tính góc A

Bài 4: Gọi I và O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam

giác ABC Chứng minh rằng AIO 90 khi và chỉ khi 2BC AB AC

Bài 5: Giả sử M là một điểm nằm trong tam giác ABC Gọi A B C lần ', ', '

lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Chứng minh: ' ' 2sin

2

MA

KẾT LUẬN

Khóa luận này tác giả đã trình bày các kiến thức cơ bản về lượng giác đã học ở THPT, như: Các công thức lượng giác gồm: Hệ thức cơ bản; Công thức cộng; Công thức nhân đôi; Công thức nhân ba; Công thức hạ bậc; Công thức chia đôi; Công thức biến đổi tổng thành tích; Công thức biến đổi tích thành tổng;

và các phép thế lượng giác gồm: Một số phép thế lượng giác chung; Một số phép thế lượng giác trong tam giác

Trên cơ sở đó tác giả lựa chọn ứng dụng lượng giác để giải một số bài toán sơ cấp Cụ thể như sau:

Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán đại số Gồm 2 phương pháp: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức và Giải phương trình và hệ phương trình

Sử dụng kiến thức lượng giác trong giải một số bài toán hình học Gồm 2 phương pháp: Hệ thức lượng trong tam giác và một số bài toán hình học khác

Khóa luận chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các Thầy (Cô) và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện tốt hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đặng Hùng Thắng

(2010), Tài liệu chuyên toán Đại số và Giải tích, NXB Giáo dục Việt Nam

[2] Huỳnh Công Thái (2005) Chuyên đề lượng giác, NXB Đại Học Quốc

Gia thành phố Hồ Chí Minh

[3] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2005), Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán: Lượng Giác, NXB Giáo dục Việt Nam

[4] Vũ Dương Thụy (2012) Đại số 10, NXB Giáo dục Việt Nam

[5] Võ Anh Khoa, Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác – một số chuyên

đề và ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam

[6] Võ Thanh Văn, T.S Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2012), Chuyên

đề ứng dụng góc lượng giác và công thức lượng giác trong giải toán THPT,

NXB Đại học Sư Phạm