PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A – Lý thuyết cơ bản.
Trang 1Teacher nguyễn hoan 101652.07.07.87
PHẦN 1: ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A – Lý thuyết cơ bản
cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên K
+) hàm số đồng biến trên K khi
' 0 ' 0 ' 0
y y y
( y’=0 tại hữu hạn điểm )
+) hàm số nghịch biến trên K khi
' 0 ' 0 ' 0
y y y
( y’=0 tại hữu hạn điểm )
B – Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: tìm m để hàm số bậc ba 3 2
a
y x bx cx d đơn điệu trên tập xác định
' 3a 2
y x bx c
+) để HSĐB trên R khi và chỉ khi
( ')
0 0 0 0
y
a b c a
+) để HSNB trên R khi và chỉ khi
( ')
0 0 0 0
y
a b c a
Dạng 2: tìm m để hàm phân thức y ax b
cx d
đơn điệu trên từng khoảng xác định
ad bc
y
cx d
+) để HSĐB trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi adbc 0
+) để HSNB trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi adbc 0
Trang 2Teacher nguyễn hoan 201652.07.07.87
Dạng 3: tìm m để hàm phân thức y ax b
cx d
đơn điệu trên khoảng (p;q)
ad bc
y
cx d
+) để HSĐB trên khoảng (p;q) khi và chỉ khi
0 0 0 ( ; )
c ad
ad bc d
p q c
+) để HSNB trên khoảng (p;q) khi và chỉ khi
0 0 0 ( ; )
c ad
ad bc d
p q c
Dạng 4: tìm m để hàm phân thức
2
ax bx c y
dx e
đơn điệu trên từng khoảng xác định
HD: giả sử
2 2 '
Ax Bx C y
dx e
+) để HSĐB trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
( ')
0 0 0 0
y
A B C A
+) để HSNB trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
( ')
0 0 0 0
y
A B C A
Dạng 5: tìm m để hàm số bậc 3 3 2
a
y x bx cx dđơn điệu trên đoạn có độ dài cho trước
' 3a 2
y x bx c
TH I: tìm m để hàm số bậc 3 3 2
a
y x bx cx dđơn điệu trên đoạn có độ dài bằng d
Trang 3Teacher nguyễn hoan 301652.07.07.87
+ để HSĐB trên đoạn có độ dài bằng d
0
a b
c
0
a b
TH3: a0 TH4: ( ')
0
3
y
a
d a
+ để HSNB trên đoạn có độ dài bằng d
0
a b
c
0
a b
TH3: a0 TH4: ( ')
0
3
y
a
d a
TH II: tìm m để hàm số bậc 3 3 2
a
y x bx cx dđơn điệu trên đoạn có độ dài chỉ bằng d
+ để HSĐB trên đoạn có độ dài chỉ bằng d khi và chỉ khi ( ')
0
3
y
a
d a
+ để HSNB trên đoạn có độ dài chỉ bằng d khi và chỉ khi ( ')
0
3
y
a
d a
TH III: tìm m để hàm số bậc 3 3 2
a
y x bx cx dđơn điệu trên đoạn có độ dài nhỏ hơn hoặc
bằng d
+ để HSĐB trên đoạn có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng d khi và chỉ khi ( ')
( ')
0 0
3
y
y
a
d a
+ để HSNB trên đoạn có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng d khi và chỉ khi ( ')
( ')
0 0
3
y
y
a
d a
Trang 4
Teacher nguyễn hoan 401652.07.07.87
Dạng 6: tìm m để hàm số bậc ba 3 2
a
y x bx cx d và hàm phân thức
2
ax bx c y
dx e
đơn điệu trên khoảng( ;p ) ( ; )q (p;q)
HD: Giả sử 2
'
y Ax Bx C ( đây là đạo hàm của hàm bậc 3 hoặc tử của y’ của hàm phân thức ) Cách 1: cô lập m nếu y’ chỉ chứa 1 bậc của m
Cách 2: áp dụng tam thức bậc 2 nếu y’ chứa nhiều bậc của m
+) để HSĐB trên khoảng ( ;p )khi và chỉ khi
0
A B
C
TH2:
0 0
A B C p B
TH3:
( ')
0 0
y
A
TH4:
( ')
0 0 '( ) 0
2
y
A
A y p B p A
+) để HSĐB trên khoảng ( ; )q khi và chỉ khi
0
A B
C
TH2:
0 0
A B C q B
TH3:
( ')
0 0
y
A
TH4:
( ')
0 0 '( ) 0
2
y
A
A y q B q A
+) để HSĐB trên khoảng ( ; )p q khi và chỉ khi
0
A B
C
TH2:
0 0
A B C p B
TH3:
0 0
A B C q B
TH4:
( ')
0 0
y
A
TH5:
( ')
0
0 '( ) 0
2
y
A
A y p
B
p A
TH6:
( ')
0 0 '( ) 0
2
y
A
A y q B q A
TH7: ( ')
0 0 '( ) 0 '( ) 0
y
A
A y p
A y q
Trang 5Teacher nguyễn hoan 501652.07.07.87
+) để HSNB trên khoảng ( ;p )khi và chỉ khi
0
A B
C
TH2:
0 0
A B C p B
TH3:
( ')
0 0
y
A
TH4:
( ')
0 0 '( ) 0
2
y
A
A y p B p A
+) để HSNB trên khoảng ( ; )q khi và chỉ khi
0
A B
C
TH2:
0 0
A B C q B
TH3:
( ')
0 0
y
A
TH4:
( ')
0 0 '( ) 0
2
y
A
A y q B q A
+) để HSNB trên khoảng ( ; )p q khi và chỉ khi
0
A B
C
TH2:
0 0
A B C q B
TH3:
0 0
A B C p B
TH4:
( ')
0 0
y
A
TH5:
( ')
0
0 '( ) 0
2
y
A
A y p
B
p A
TH6:
( ')
0 0 '( ) 0
2
y
A
A y q B q A
TH7: ( ')
0 0 '( ) 0 '( ) 0
y
A
A y p
A y q
Chú ý: +) nếu là hàm phân thức
2
ax bx c y
dx e
e
d
vào các trường hợp tương ứng
+) do nếu xét theo tam thức bậc 2 sẽ có rất nhiều trường hợp nên các bài toán nếu y’ có nhiều bậc của m thì A thường sẽ không chứa m nên không cần nhớ các trường hợp A=0
PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A – Lý thuyết cơ bản
Trang 6Teacher nguyễn hoan 601652.07.07.87
Cho hàm số y f x( )có đồ thị nhƣ sau
+) các điểm màu vàng là cực đại của đồ thị hàm số
+) các điểm màu xanh lá là cực tiểu của đồ thị hàm số
+) cực đại và cực tiểu đƣợc gọi chung là cực trị
Chú ý:
+) khi nói “ điểm cực trị của hàm số ” là đang nói đến x
+) khi nói “ giá trị cực trị của hàm số ” là đang nói đến y
+) khi nói “ tọa độ cực trị” hoặc “ điểm cực trị của đồ thị hàm số ” là đang nói đến (x;y)
+) hàm số đạt cực tiểu tại xo nếu y’ đổi dấu từ “ - ” sang “ + ” khi qua xo
+) hàm số đạt cực đại tại xo nếu y’ đổi dấu từ “ + ” sang “ - ” khi qua xo
+) y’=0 có nghiệm xo là nghiệm bội lẻ thì y’ đổi dấu qua xo
+) y’=0 có nghiệm xo là nghiệm bội chẵn thì y’ không đổi dấu qua xo
8
6
4
2
2
4
6
8
y = f(x)
Trang 7Teacher nguyễn hoan 701652.07.07.87
Định lí: cho hàm số y f x( )xác định và liên tục trên K
+) hàm số đạt cực đại tại x oK nếu '( ) 0
'( ) 0
o o
y x
y x
+) hàm số đạt cực tiểu tại x oK nếu '( ) 0
'( ) 0
o o
y x
y x
+) hàm số đạt cực trị tại x oK nếu '( ) 0
'( ) 0
o o
y x
y x
B – Các dạng toán thường gặp
Dạng 1:tìm m để hàm số bậc 3 3 2
a
y x bx cx d có cực trị thỏa mãn điều điều kiện cho trước
' 3a 2
y x bx c
+) Hàm số không có cực trị
( ')
0 0 0
y
a b a
+) Hàm số có cực trị
( ')
0 0 0 0
y
a b a
+) Hàm số có 2 cực trị ( có cực đại, cực tiểu )
( ')
0 0
y
a
+) Hàm số có 2 cực trị (x CD x CT)
( ')
0 0
y
a
+) Hàm số có 2 cực trị (x CT x CD)
( ')
0 0
y
a
Chú ý: kiến thức cần nhớ về tam thức bậc 2 : 2
( ) A
f x x Bx C
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt trái dấu C 0
A
Trang 8Teacher nguyễn hoan 801652.07.07.87
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0 0
C A
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt cùng dương
0 0 0
C A B A
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt cùng âm
0 0 0
C A B A
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt x1 h x2 A f h ( ) 0
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt 1 2
0 ( ) 0
2
x x h A f h
B h A
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt 1 2
0 ( ) 0
2
x x h A f h
B h A
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt 1 2
0 ( ) 0
2
h x x A f h
B h A
Trang 9Teacher nguyễn hoan 901652.07.07.87
+) 2
Ax Bx C 0có hai nghiệm phân biệt 1 2
0 ( ) 0
2
h x x A f h
B h A
Dạng 2:tìm m để hàm số bậc 4 trùng phương 4 2
a
y x bx c có cực trị thỏa mãn điều điều kiện cho trước
0 ' 4a 2 0
2
x
x a
+) Hàm số chỉ có 1 cực trị
0 0
a b
+) Hàm số chỉ có 1 cực tiểu không có cực đại
0 0 0 0 2
a b a b a
+) Hàm số chỉ có 1 cực đại không có cực tiểu
0 0 0
0 2
a b a b a
+) Hàm số chỉ có 3 cực trị 0
2
b a
+) Hàm số chỉ có 1 cực đại và 2 cực tiểu
0
0 2
a b a
+) Hàm số chỉ có 1 cực tiểu và 2 cực đại
0
0 2
a b a
Trang 10Teacher nguyễn hoan 10 01652.07.07.87
a