TOAN11 OLYMPIC TONG HOP DE VA DAP AN 25 đề.

Tổng hợp 25 đề thi Toán Olympic lớp 11, có đáp án và thang điểm cụ thể, tài liệu dạy và học bồi dưỡng hay nhất năm 2019.Các bạn và các em hãy tải về để học và nghiên cứu, biên soạn lại cho phù hợp với đối tượng học sinh của mình và mục đích các cuộc thi.

SỞ GD&ĐT ………

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 11

Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 150 phút

Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính

xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1

Bài 4 (2 điểm) Cho hàm số y x 3 3x21 có đồ thị (C)

Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song vớinhau và độ dài đoạn AB = 4 2

==========Hết==========

ĐÁP ÁN LỚP 11

1

+) Điều kiện

+) Tìm được tanx = 1 hoặc tanx = 0

+) Giải đúng và loại nghiệm đúng ĐS: x 4 k

x 

suy ra BPT  (1 x)(1 2 ) x  (1 x)(3 x) 1  x

Chỉ ra nghiệm

1 2

x 

+) Kết luận: BPT có nghiệm

112

x x

2,5 điểm

2,0 điểm

Ta có abcd1 10  abcd  1 3.abcd 7.abcd 1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi

3.abcd 1 chia hết cho 7 Đặt

1

3

h abcd  h abcd h 

là số nguyênkhi và chỉ khi h 3 1t

Khi đó ta được: abcd 7t 2 1000 7 t 2 9999

Bài 4  Giả sử A a a( ; 3  3a2  1), ( ;B b b3  3b2  1) thuộc (C), với a b

Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

Bài 6 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung

điểm của các cạnh AC và SB , Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các

điểm P,Q sao cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1

3,0 điểm

Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song

song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI

Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P

Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q

Vậy PQ // BI

Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI

1 3

SP SA

PQ 

SỞ GD&ĐT ………

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 11

Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 150 phút

Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt phẳng đi qua

M và song song với mặt phẳng ( ACD ').

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một mặt phẳng (P) chứa

AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S Chứng minh rằng:

x k x

u v

x y

là ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội q;

(v n ) là cấp số cộng có công sai d với v1 a v, 3 b v, 9 c

4 3 0

3 10 26

d a

n = 0 thì A 0 = 211 = 3 chia hết cho 31 mà không chia hết cho 3 2

Giả sử A k = 23k 1chia hết cho 3k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (A k = B.3 k+1 ; với B nguyên,

không chia hết cho 3).Ta có:

chia hết cho 3 mà B 23k không chia hết cho 3 (vì B không chia hết cho 3)

nên B2 2.3 k1 23k không chia hết cho 3

 Ak+1 chia hết cho 3k+2, nhưng không chia hết cho 3k+3 Kết luận: 0,5

Câu

III

(3,0đ)

Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên

một số Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là

3 9

C

Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:

TH1 Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5!

hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị

của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả thảy

TH2 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác

trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c

tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị

của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy

1) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B Gọi (P) là mặt

phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD')

a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P).

b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC Một

mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S Chứng

Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N

Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ tại F.

Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q

Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S

Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P 0,50

D'

M

(1,25đ)

Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên

MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’.

 Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng

 Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S1 và gọi diện tích các

Đặt

;

AM k

AB  ta có điều kiện 0k 1 và có:

2 1

k 

S lớn nhất 

12

S

B'

xy  

32

x y xy

Hai đường tròn (O 1 , R 1 ) và (O 2 , R 2 ) (R 1 > R 2 ) cắt nhau tại hai điểm M và M’ Một tiếp

tuyến chung T 1 T 2 của hai đường tròn cắt đường thẳng O 1 O 2 tại P (T 1 thuộc (O 1 ), T 2 thuộc

(O 2 )) Đường thẳng PM cắt (O 1 ) và (O 2 ) lần lượt tại M 1 và M 2 khác M Đường thẳng PM’ cắt

(O 1 ) và (O 2 ) lần lượt tại M 1 ’ và M 2 ’ khác M’ Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MM 1 ,

MM 2 , M’M 1 ’, M’M 2 ’ Chứng minh rằng A, B, C, D nằm trên một đường tròn và đường tròn

này tiếp xúc với

T 1 T 2

1,0

Ta có M, M’ đối xứng nhau qua O1O2

Theo giả thiết suy ra ABDC là hình thang cân, nên ABDC nội tiếp đường

tròn

Gọi O là trung điểm O1O2 suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình

thang cân ABDC

0,5Gọi T là trung điểm T1T2: OT // O1T1

Ta có: OM'1// O2M' , chứng minh tam giác OCT cân tại O

     Vậy, f tuần hoàn 0,25

Tập giá trị của hàm số tsinx

ĐỀ 03.

2 1

3

n n

Tìm số hạng tổng quát của dãy ( ) xn .

b) Cho dãy số xác định bởi : Cho dãy số xác định bởi :

1

* 1

Cho đoạn thẳng AB cố định, M di động trên đoạn thẳng AB Dựng hình vuông AMCD

và MBEF về cùng một phía đối với AB Gọi N là hình chiếu vuông góc của A lên BC

a) Chứng minh A, F, N thẳng hàng

b) Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M di động trên đoạn AB

Câu 6: (3 điểm) Cho tứ diện S ABC. có SA(ABC)và , SB a 2; Góc BSC bằng 450 ; góc ASB= 

a) Tìm điều kiện  để góc giữa (SAC) và (SBC) bằng 600.

b) Xác định khoảng cách giữa AB và SC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 11 THPT

m Câu

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

b)Giải hệ phương trình sau:

Từ hệ pt trên ta có: 2x3 y3 (2y2 x2)(2y x ) với y=0 hệ vô nghiệm

Với y 0 Chia 2 vế phương trình cho y ta được

1.0

2 1

3

n n

u x

* 1

cot 3

Bằng phương pháp quy nạp chứng minh 0x n 2, n  1

Xét x n1 x n 

0 3

L L

a) Cho tập A gồm n phần tử n  4 Tìm số tập con gồm k phần tử của tập A

là lớn nhất Biết số tập con gồm 4 phần tử của A gấp 20 lần số tập con gồm 2 phàn tử của A, k1, ,k n 

b) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đều khác không Lấy ngẫu

nhiên 1 số Tính xác suất để số được lấy ra có đúng 3 chữ số khác nhau 1.5

Ta có   95

Gọi A là biến cố cần tìm.Lúc đó ta có :

- Chọn 3 số khác nhau trong 9 số ta được: C93số

- Chọn 2 chữ số còn lại tạo ra từ 3 chữ số đã chọn, ta xét 2 trường hợp

0.25

0.25

P A 

0.25 0.25

5(3đ

)

Cho đoạn thẳng AB cố định, M di động trên đoạn thẳng AB Dựng hình vuông

AMCD và MBEF về cùng một phía đối với AB Gọi N là hình chiếu vuông góc

của A lên BC, gọi K là giao điểm của BF với AC.

a) Chứng minh A, F, N thẳng hàng

b) Chứng minh đường thẳng MN đi qua một điểm cố định khi M di động

trên đoạn AB

a) Gọi P, Q lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông AMCD và

Khi M di động, giả sử MN đi qua S(x0; y0) cố định lúc đó

(x0+y0)-(1+2y0)m=0 với mọi giá trị m, m  0,1 

Vậy

1 1 ( , )

2 2

0.25

0.5 0.25

0.25 0.25

0.25

0.25

0.25 0.25

0.25 Câu

6(3đ

)

Cho tứ diện S ABC. có SA(ABC)và , SB a 2; Góc BSC bằng 450 ; góc ASB=



a) Tìm điều kiện  để góc giữa (SAC) và (SBC) bằng 600

b) Xác định khoảng cách giữa AB và SC theo  , biết BC = 1

- ((  SAC SBC ),( ))   AKH

- Xét  AKH vuông tại H có

 tan K AH

SA Tan

Xét  SBC vuông tại B có S   450 suy ra SB=BC=1

Xét tam giác SAB có SA= SB.Cos  = Cos  và BC=AM= 1

cos A

0.25

0.25

0.25

SỞ GD&ĐT ………

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 11

Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ 05.

Bài 1: (5đ)

1 Giải phương trình sau: cos3 x−3 cos2 x−2 sin 2 x−9sin x +2 cos x+6=0

2 Giải hệ phương trình sau: { 2x 2 +30xy=5 ( x+5y ) √ 5xy−50y 2 ¿¿¿¿

Bài 2(4đ) Cho dãy số  u n

x6 trong khai triển thành đa thức của f (x )=2 (1+x)n+ x(2+x)n+1

2 Một đoàn tàu có 4 toa chở khách với mỗi toa có ít nhất 5 chỗ trống Trên sân ga có 5 hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để trong 5 hành khách lên tàu đó có một toa có 3 khách lên, hai toa có một khách lên và một toa không có khách nào lên tàu

Bài 4(2đ) Tính limx →o

√4+x √31+2 x−2

x

Bài 5 (3đ): Cho tam giác ABC có góc A nhọn, AH là đường cao.Hãy dựng điểm M trên cạnh

AB và N trên cạnh AC sao cho tam giác HMN có chu vi nhỏ nhất

Bài 6(3đ): Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B bằng 600, AB=a, O trung điểm BC Lấy S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) thỏa SB vuông AO, SB=a Gọi M điểm thuộc cạnh AB,

BM=x(0<x<a).Mặt phẳng (R) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA tại N, P, Q.a) Cm: tứ giác MNPQ là hình thang vuông

b) Tính diện tích MNPQ theo a và x; tìm x để diện tích này lớn nhất

1.0

0.25Bài

2 4.0đ *C.m u n 0, n N

Từ hệ thức truy hồi

2 1

2014 2014

n n

0.50.52

2.0đ

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Số cách xếp 5 khách lên 4 toa là n()= 45

0.5

Số cách chọn 3 khách để xếp lên cùng một toa là C53=10

Số cách chọn một toa để xếp 3 người này là C41 =4

Số cách xếp hai người ( mỗi người một toa) vào ba toa còn lại là A32=6

Suy ra n( A )=10.4.6=240

Vậy xác suất cần tìm P ( A )=

n( A )

n()=1564

Dấu '=' xảy ra <=> H',M,N,H'' thẳng hàng -Cách dựng:

0.250.50.25

0.5

B1: Dựng H'=ĐAB(H) ; H''=ĐAC(H).

B2: Dựng M ABH H N' '', ACH H' ''Khi đó M,N là điểm cần dựng

-Cm: Theo phân tích trên ta có M,N thuộc cạnh AB,AC vì góc A nhọn và chu

vi tam giác HMN đạt giá trị nhỏ nhất bằng H'H'' -Biện luận: Bài toán có 1 nghiệm hình duy nhất

ĐỀ 06.

CÂU I

1 (2 điểm) Giải phương trình 6sin2x  sin 2 x 3sinx cosx 3 0   

2 (3 điểm) Giải hệ phương trình :

Cho dãy số ( u n) thỏa mãn điều kiện u0 0;u n1  2016 2015 u n

Chứng tỏ rằng ( u n) là dãy hội tụ, tìm giới hạn đó

CÂU III.(2điểm)Tính giới hạn

Cho hình chóp SABC Gọi A’, B’, C’ lần lược là các điểm trên tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’ ,

SB = bSB’ , SC = cSC’ , trong đó a, b, c là các số thực thay đổi Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’)

đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3

Câu VI.(3điểm)

Cho tam giác ABC và điểm O nằm bên trong tam giác Gọi A’, B’ , C’ lần lược là ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O Ta gọi T là đa giác tạo bởi phần chung của hai tam giác ABC và A’, B’,C’ Tìm vị trí của O sao cho T có diện tích lớn nhất biết rằng T là một lục giác

23sinx cosx+3=0

26

2 22322

3 1 2

x x

Phương trình có nghiệm bội ba   1

 phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát

2.(2,5đ)Cho dãy số ( u n) thỏa mãn điều kiện u0 0;u n1 2016 2015 u n

Chứng tỏ rằng ( u n) là dãy hội tụ, tìm giới hạn đó

CÂU V Cho hình chóp SABC Gọi A’, B’, C’ lần lược là các điểm trên tia SA, SB, SC sao

cho SA = aSA’ , SB = bSB’ , SC = cSC’ , trong đó a, b, c là các số thực thay đổi

Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và

chỉ khi a + b + c = 3

3ĐIỂM

CÂU VI Cho tam giác ABC và điểm O nằm bên trong tam giác Gọi A’, B’ , C’ lần lược là

ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O Ta gọi T là đa giác tạo bởi phần

chung của hai tam giác ABC và A’, B’, C’ Tìm vị trí của O sao cho T có diện tích

lớn nhất biết rằng T là một lục giác

3đ

Trường hợp 1: A’, B’, C’ đêu nằm ngoài tam giác ABC Trong trường hợp này T

là một lục giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau

A'

Gọi S S S1, ,2 3 lần lược là diện tích các tam giác nhỏ bị cắt ra từ tam giác ABC bới

ĐỀ 07.

Q

P C'

A'

B' A

B

C O

4, 14

n n

u

u     n

Chứng minh rằng  u n

là dãy số không đổi.

Câu 4 (3,0 điểm) Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ Chia tổ thành

3 nhóm 4 người.

a Có bao nhiêu cách chia?

b Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên được nhóm nào cũng có nữ.

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có

AC = a, BD = b Tam giác SBD đều Mặt phẳng  

di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC

a Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  

.

b Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.

c Tìm vị trí điểm I để diện tích vừa tính là lớn nhất.

Câu 6 (3,0 điểm) Cho cấp số nhân có số hạng đầu tiên và công bội cùng bằng 10.

Tính tổng 2016 số hạng đầu tiên của cấp số này Suy ra giá trị của tổng sau: 1+11+101+1001+…+100…001(2005 số 0).

Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1.

a) Giải PT: x212 5 3  x x2 (1)5

+ Nhận xét:

5 x>

3 (1)  x212 4 3  x 6 x2 5 3

0.5

1

Chọn

1 30,

C cách

Còn 8 người chọn 4 có

4 8

b.

MNP SBD

3đ

0.5 0.5 0.2 5 0.2 5 0.5 0.2 5

0.2 5 0.2 5 0.2 5

4đ

1

1

 (2016 số 9) (2016 số 1)

Suy ra

1 11 101 1001 100 001

10 100 100 100 00 2017111 1113127

0.5 0.5

SỞ GD&ĐT ………

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 11

Năm học: 2018-2019 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu II: (3 điểm)

Câu III: (3 điểm)

1 Tìm hệ số của x2 trong khai triển đa thức: 2 3 3

Tìm công thức tổng quát của dãy số   un

và tính giới hạn của dãy số đó.

2/ Chứng minh phương trình:

3

8 x  6 x  1 0  có đúng 3 nghiệm thực phân biệt thỏa x  1

Giải tìm 3 nghiệm đó.

Câu V: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC 600, SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Lấy T là một điểm trên cạnh AC sao cho AT = x Gọi (P) là mặt phẳng đi qua T và vuông góc với AB Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) Tìm x để thiết diện có diện tích đạt giá trị lớn nhất.

Câu IV: (3 điểm)Trong mp Oxy, cho 2 đường tròn (C): x + y = 9 và (C’): x + y = 1; Các điểm A, B lần lượt di động trên (C) và (C’) sao cho Ox là phân giác của góc AOB Gọi M là trung điểm của đoạn AB, lập phương trình quỹ tích của M.

0.5 I-2

u v

v v

u v

Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là

2 ;( )1

6sin

26

64 x 

27

27 0

* Xét các số có dạng abcde, kể cả trường hợp a = 0 Có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 1 (1 là a

hoặc 1 là b hoặc 1 là c) Sau đó chọn 4 chữ số trong 7 chữ số của X \  1

để xếp vào 4 vị trí còn lại

Nên có 3x

4 7

1

* 1

12016

; .;

1

12016

20162016

2015

n n

có ba nghiệm phân biệt thuộc 1; 1