Hình học không gian giao điểm của đường với mặt dạng 3

Chú ý: Bài toán tìm tương giao, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài toán 1: “Tìm tương giao”

Bài toán 2: “Quan hệ song song”

Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc”

Bài toán 4: “Bài toán về góc”

Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách”

Bài toán 1: “Tìm tương giao”, bao gồm: Giao điểm của hai đường thẳng, giao

điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng

Chú ý:

Bài toán tìm tương giao, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với

mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai đường thẳng là

mấu chốt cơ bản

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có một điểm chung

duy nhất Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này

DẠNG BÀI TẬP 2

Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Để tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, chúng ta cần trang bị cho bản thân những kiến thức sau:

1 Khi nào thì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d?

Khi mặt phẳng (P) chứa ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng d Hay nói cách khác, đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt của mặt phẳng (P) thì d nằm trên mặt phẳng (P)

2 Làm thế nào để xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Sử dụng phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( đã học ở dạng bài tập 1, các em xem lại nhé)

PHÂN TÍCH PHƯƠNG PHÁP:

Giả sử A là giao điểm của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α), tức là A = Δ ∩ (α) Khi

đó, α Δ β

– A ∈ Δ (1)

– A ∈ (α) (2)

Gọi (β) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ , Δ ⊂ (β) Do đó, từ (1), A ∈ (β) (3)

Từ (2) và (3), suy ra: A ∈ (α) ∩ (β) hay A là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) Như vậy, A thuộc đường giao tuyến a của hai mặt phẳng (α) và (β), A ∈ a (4)

Từ (1) và (4), suy ra: A ∈ Δ ∩ a, hay A là giao điểm của Δ và a

Vậy thực chất của việc tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là tìm giao điểm của đường thẳng với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Với kết luận như trên, ta có được phương pháp tìm giao điểm như sau:

Để tìm giao điểm giữa đường thẳng Δ với mặt phẳng (α), ta thực hiện các bước:

Thuật toán.

Bước 1 Chọn mặt phẳng (β) đi qua đường thẳng Δ

Bước 2.Xác định giao tuyến a=(β)∩(α)

Bước 3 Trong (β) gọi A là giao điểm giữa Δ với a

Bước 4 Kết luận A=Δ∩(α)

Ví dụ 1 Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mp (MNP)

Bước 1 Chọn mặt phẳng (β) đi qua đường thẳng Δ

Chọn mặt phẳng (BCD) đi qua đường thẳng CD.

Bước 2.Xác định giao tuyến a=(β)∩(α)

Xác định giao tuyến a=(BCD)∩(MNP) ( ĐÃ HỌC Ở DẠNG 1)

Ta thấy ngay NP=(BCD)∩(MNP)

Bước 3 Trong (β) gọi A là giao điểm giữa Δ với a

Trong (BCD) gọi E là giao điểm giữa CD với NP ( vì NP và CD không song song với nhau).

Bước 4 Kết luận A=Δ∩(α)

Kết luận E=CD∩(MNP)

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SC lấy một điểm E không trùng với điểm S và C Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mp(ABE)

Bước 1 Chọn mặt phẳng (SBD) đi qua đường thẳng SD

Bước 2.Xác định giao tuyến a=(SBD)∩(AEB).( ĐÃ HỌC Ở DẠNG 1)

Nhắc lại nhé:

1: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

Ta có : (SBD) và (AEB) có chung điểm B

2:

Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa ( bằng cách tìm giao điểm của 2 đường thuộc 2 mặt (SBD) và (AEB)

và cùng thuộc 1 mặt phẳng thứ 3 khác nữa)

Ta có:

 

; AE (

SF AE=G )

SBD

AEB

SF

AE

C















Suy ra BG chính là giao tuyến cần tìm

Bước 3 Trong (SBD) gọi H là giao điểm giữa SD với BG

Bước 4 Kết luận H=SD∩(AEB).

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình bình hành, O là tâm của đáy;

M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mp(P)

Xác định tâm I của SO và (MNB)

Bước 1 Chọn mặt phẳng (SAC) đi qua đường thẳng SO

Bước 2.Xác định giao tuyến a=(SAC)∩(MNB)

Bước 3 Trong (SAC) gọi I là giao điểm giữa SO với MN

Bước 4 Kết luận I=SO∩(MNB).

Xác định tâm K của SD và (MNB)

Bước 1 Chọn mặt phẳng (SDB) đi qua đường thẳng SD

Bước 2.Xác định giao tuyến a=(SDB)∩(MNB)

Nhắc lại nhé:

1: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng

Ta có : (SDB) và (MNB) có chung điểm B

2:

Như vậy, để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này, ta chỉ cần tìm thêm một điểm chung nữa ( bằng cách tìm giao điểm của 2 đường thuộc 2 mặt (SDB) và (MNB) và cùng thuộc 1 mặt phẳng thứ 3 khác nữa)

Ta có :

; MN (

SO =I )

SDB

MNB

SO

MN

C

MN















Nên giao tuyến (SDB) và (MNB) là BI

Bước 3 Trong (SDB) gọi K là giao điểm giữa SD với BI

Bước 4 Kết luận K=SD∩(MNB).

BTVN:

Ví dụ 4 Cho hình bình hành ABCD, điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD) Trên cạnh SC lấy điểm M Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (SBD)

Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và

BC Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD) Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK)