MỘT số ví dụ TÍNH TÍCH PHÂN 3 lớp có lời GIẢI CHI TIẾT

MỘT SỐ VÍ DỤ TÍNH TÍCH PHÂN 3 LỚP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT.

MỘT SỐ VÍ DỤ TÍNH TÍCH PHÂN 3 LỚP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

VD1 Tính tích phân  � �

V

J xydxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi các

mặt x2 y2 z2  4, x �0,y �0,z � 0

VD2 Tính tích phân I= ( 2 2)

V

bëi c¸c mÆt x 2 + y 2 = 1, z = 0 , z = 3

VD3 Tính tích phân  � � 2 2

V

J x y dxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi

các mặt x2y2  2y , z  0,z  3

VD4 Tính

V

I � �xdxdydz trong đó V giới hạn bởi x� 0,y� 0, zx2 y z2 ,  4

V

I � �x y dxdydz trong đó V giới hạn bởi

VD6 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt x2 y2 z z2 ,  1.

VD7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi phần mặt trụ 2 2

4

x y  và hai mặt phẳng

z=0 và z=2

VD8 Tính thể tích vật thể V được giới hạn bởi các mặt z 3,z x 2 y2  1.

VD9 Tính tích phân

V

I � �xdxdydz , trong đó V là miền được giới hạn bởi mặt phẳng

1

x y z   và các mặt tọa độ.

V

V

� � trong đó V là miền giới hạn giíi h¹n bëi c¸c mÆt x 2 + y 2 = 1, z = 0 , z = 2

V

x y z



 

x y z  , x2y2z2 4.

VD13 Tính tích phân

V

J  � �xyzdxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi các mặt x2y2z2  , 1 x �0,y �0,z � 0

VD14 Tính tích phân 2 2

V

J  � �x y zdxdydz , trong đó miền V được giới hạn bởi các mặt x2y2  2y , z  0,z  3

VD15 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:

z x y , z  2x2y2, y x 2 , y x .

V

dxdydz I

x y z

� �



   , V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt

phẳng x + y + z = 1.

VD17 Tính ( 2 2)

V

I ��x  y dxdydz , V giới hạn bởi x2  y2  �z2 R z2; �0.

V

I ��x y z dxdydz , V là miền hình trụ giới hạn bởi các mặt x2 + y 2 = 2y,

z = 0, z = a.

VD19.

VD20.

VD21

VD22

LỜI GIẢI 1.

 � �

V

J xydxdydz Đụ̉i sang tọa độ cầu sin cos sin sin

cos

x r

y r

z r



� 

�



�

� 

�

, khi đó miờ̀n V :

0 ;0 , 0 2

2 2 r

2

( , , )

sin ( , , )

D x y z

 

 � �

V

J xydxdydz

 

( sin sin cos ) sin

32

15



2

Thực hiện đụ̉i biến trong tọa độ trụ đặt

cos sin

x r

y r

z z







�

� 

�

� 

�

Định thức hàm của phép đổi biến là :



Khi đó miờ̀n V’ xác định bởi 0 �r �1 , 0�z�3, 0� �2

do đó

1 2 3

3

0 0 0







3

 � � 2 2

V

J x y dxdydz Đụ̉i sang tọa độ trụ

cos sin ,

x r

y r

z z





� 

�



�

� 

�

khi đó miờ̀n V giới

hạn bởi

0 � <  , 0 � r �2sin , 0 � z � 3

Khi đó

 � � �2sin 3 2  � �2sin 2

3

J d dr r dz d r dr

 



 � 3

0

2sin 1

3

0

3r d



 

0

8 sin d 32

3

4

Chiếu V lờn mặt phẳng Oxy ta được ẵ hình trũn tõm O bán kính 2

2

2 2

2 4 4

0 0

x

x y





2

2 4

2 2

0 0

x



� �  

=64

Chiếu V lên mặt phẳng Oxy ta được tam giác cân đỉnh O và có cạnh bằng 1

1 1

0 0 0

( )

x y x





1 1

2

0 0

( )

x



� � 

= 1

4

6

Đổi sang tọa độ trụ

cos sin

x r

y r







�

� 

�

� 

�

Khi đó V giới hạn bởi 0 � � 2 , 0 � �r 1,r� �z 1

2 1 1

2

0 0 r





6





7

Ta có thể tích cần tính

V

V � �dxdydz Đổi tọa độ trụ

cos sin

x r

y r







�

� 

�

� 

�

Khi đó V xác định bởi 0� � 2 , 0 � �r 2, 0� �z 2

Do đó

2 2 2

0 0 0





8



8

Giao của hai mặt đã cho được xác định bởi :

32 2

1

z



�

�   

3

4

z



�

� �

�

Vậy, hình chiếu của V xuống mp Oxy là hình tròn tâm O bán kính 2 Ta có

( )V

V � �dxdydz

Đổi biến số trong hệ tọa độ trụ :

os sin

x rc

y r

z z







�

� 

�

� 

�

( , , ) J r  z  Và r

2

r

� � �

� � �

�

�  � �

�

Vậy : V =

2

8

r







9

Ta có

(x, y, z) : 0 x 1, 0 y 1 x, 0 1 

Vậy

1

1 1

x y x

V

 



(1 x y)

x



� �  

1

2

0

(1 x)

10

Chuyển sang hệ tọa cầu

sin os sin sin cos

y r

z r





�

� 

�

� 

�

với



(x y ) dxdydz.

V

sin

a





5

4

15

a





11

Thực hiện đụ̉i biến trong tọa độ trụ đặt

cos sin

x r

y r

z z







�

� 

�

� 

�

Định thức hàm của phép đổi biến là :



Khi đó miờ̀n V’ xác định bởi 0 �r �1 , 0�z�2, 0� �2

do đó

1 2 2

3

0 0 0





12

2 2 2

1

V

x y z



 

Đổi sang tọa độ cầu

sin cos

sin sin ,

cos

x r

y r

z r



� 

�



�

� 

�

Ta có định thức Jacobi: J r2 sin

'

sin

V

I  � �r drd d 

trong đó miền V ' xác định bởi

1� �r 2,0� 2 ,0 � 

Vậy

sin

 

3

2 2 6

2

13

V

J  � �xyzdxdydz Đổi sang tọa độ cầu

sin cos sin sin cos

x r

y r

z r



� 

�



�

� 

�

, khi đó miền V :

0 ;0 , 0 1

2 2 r

2

( , , ) sin

( , , )

D x y z

 

V

J  � �xyzdxdydz

1

( sin cos sin cos ) sin

 

1

 

14

V

J  � �x y zdxdydz Đổi sang tọa độ trụ

cos sin ,

x r

y r

z z





� 

�



�

� 

�

khi đó miền V giới

hạn bởi

0 � <  , 0 � r �2sin , 0 � z � 3

Khi đó

9 2

J d dr r zdz d r dr

 



 � 3

0

2sin

9 1

0

2 3r d



 

0

12 sin d 16

15

Ta có thể tích cần tính V =

V dxdydz

trong đó miền V được xác định bởi

0� �x 1, x2� �y x , x2y2� �z 2x2y2

Do đó

 2 2

2 1

0

x y x

dxdydz dx dy dz







2

1

0

( )

x

x

dx x y dy

1

2 0

1 3

y x

y x



 ���  � �

1

0

3x x 3x dx 35

�

16

Miền V được xác định: 0 � x � 1, 0 � y � 1 – x , 0 � z � 1 – x – y Do đó

2

ln 2

x y x

V

x

x

 





17 Chuyển sang tọa độ cầu, với V’ được xác định: 0 � r � R, 0 �  � 2

0 �  �  /2, ta có

5

4

15

R

V

R



18 Chuyển sang tọa độ trụ, với D là miền tròn giới hạn bởi đường tròn có phương trình x2 + y 2

= 2y hay r = 2sin  Do đó

2 0

2

(1 cos )sin

V

a

d









�

19

20

21.

22