TÀI LIỆU THAM KHẢO PHÂN TÍCH các QUAN điểm LỊCH sử KHOA học về VAI TRÒ của TOÁN học TRONG NHẬN THỨC KHOA học

1. Sự phát triển của các quan điểm trước Mác về vai trò của toán học trong nhận thức khoa học 1.1. Quan điểm của những nhà triết học thời cổ đạiTrong lịch sử toán học, các phát minh của người Hy Lạp cổ đại đã làm thay đổi mạnh mẽ phong cách tư duy lôgíc và phương hướng của toàn bộ tư tưởng toán học. Chính những phát minh đó đã tạo ra các nguyên tắc của tư duy khoa học mà cho đến ngày nay vẫn còn nguyên giá trị. Theo cách đánh giá của Lênin, các giá trị của tư tưởng Hy Lạp cổ đại là ở chỗ, chúng đã tạo ra các hệ thống thử nghiệm của tư duy lý thuyết.

PHÂN TÍCH CÁC QUAN ĐIỂM LỊCH SỬ KHOA HỌC VỀ VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG NHẬN THỨC KHOA HỌC

1 Sự phát triển của các quan điểm trước Mác về vai trò của toán học trong nhận thức khoa học

1.1 Quan điểm của những nhà triết học thời cổ đại

Trong lịch sử toán học, các phát minh của người Hy Lạp cổ đại đãlàm thay đổi mạnh mẽ phong cách tư duy lôgíc và phương hướng của toàn

bộ tư tưởng toán học Chính những phát minh đó đã tạo ra các nguyên tắccủa tư duy khoa học mà cho đến ngày nay vẫn còn nguyên giá trị Theocách đánh giá của Lênin, các giá trị của tư tưởng Hy Lạp cổ đại là ở chỗ,chúng đã tạo ra các "hệ thống thử nghiệm" của tư duy lý thuyết

Những quan niệm đầu tiên về số lượng ở Hy Lạp đã được các nhàtriết học ở Milet phát triển, trong đó nổi bật nhất là phép chứng minh cácđịnh lý hình học đầu tiên của nhà triết học cổ đại nổi tiếng - Talét về chiađường tròn làm đôi bằng đường kính, hai góc ở đáy của tam giác cân bằngnhau, hai tam giác có một cạnh và hai góc bằng nhau thì bằng nhau Phépchứng minh này đã đóng một vai trò to lớn trong việc phân tích bản chấtcủa số lượng trong toán học, đồng thời nó cũng đã đặt cơ sở để xây dựng lýthuyết suy diễn một cách hệ thống về các hình dạng không gian đơn giản nhất

Trong thời kỳ cổ đại một trong những khuynh hướng nổi bật làkhuynh hướng coi toán học và các đối tượng của nó không phải là cái gì đó

xa lạ với thế giới bên ngoài được tri giác cảm tính mà trái lại chúng như lànhững bộ phận cấu thành thế giới đó Quan điểm này thể hiện rõ nhất trong

tư tưởng của trường phái Pitago về số Trường phái này đã coi các số làkhởi nguyên của toàn bộ những cái đang tồn tại Các số ở trường pháiPitago chính là đối tượng của toán học, chúng được xuất hiện như là nhữngthành phần cấu tạo nào đó giúp cho con người khả năng định hướng thếgiới xung quanh Các số đối với trường phái này là nguyên tắc thể thức hóa

các đồ vật nhằm mục đích làm cho ý thức con người nắm được chúng Sốlàm cho con người có thể phân biệt được đồ vật này với đồ vật khác, hợpnhất các đồ vật khác nhau thành nhóm, so sánh chúng và nói chung là xâydựng các đồ vật không chỉ trong đời sống mà trong cả ý thức Đó chính làquan điểm có tính chất nhận thức luận đối với toán học Trong học thuyết

về số của trường phái Pitago, chúng ta nhìn thấy rất rõ cả khuynh hướngkhoa học và tôn giáo thần bí đan xen nhau Chính sự kết hợp đó đã tạo ramâu thuẫn bên trong của phương pháp tư duy của trường phái này Pitago

đã áp dụng các phương pháp số lượng trong lý thuyết âm nhạc, đã tìm rađịnh lý Pitago về tam giác vuông và một loạt các định lý về các số nguyên

tố, về cấp số Có thể nói rằng, những người theo trường phái Pitago đã cốgắng "toán học hóa thực tại", song chủ nghĩa thần bí và chủ nghĩa duy tâmcủa trường phái này đã kìm hãm sự phát triển của toán học Từ lập trường

đó họ đã phủ định tính vô tỉ trong hình học (tức là, tính vô ước của đườngchéo hình vuông với các cạnh của nó), mà chính phát minh này đã dẫn tớicuộc khủng hoảng đầu tiên trong lịch sử của các cơ sở phương pháp luậncủa lý thuyết toán học về số lượng Về thực chất, mâu thuẫn mà phái Pitagonêu ra giữa tính gián đoạn và tính liên tục, giữa số học và hình học, về saunày đã thúc đẩy sự phát triển của các quan niệm về số lượng

Zenon, bằng các nghịch lý của mình đã chỉ ra một cách đầy đủ hơn

và sâu sắc hơn bản chất bên trong và đặc điểm của số lượng Nếu như trước

đó, số lượng được hiểu là số, là cái gì hoàn toàn rời rạc, thì nguyên lý củaZenon đã chỉ ra rằng "số lượng trong tự thân" và "số lượng cho cái khác" làcác dạng, các yếu tố, các phương diện và hình thức thể hiện của số lượng

Trong nghịch lý "Asin và con rùa" Zênon đã phát hiện ra mối liên

hệ bên trong giữa các tập hợp vô hạn khác nhau về đại lượng Thật vậy,giữa tập hợp vô hạn các đoạn thẳng mà Asin đã chạy qua và tập hợp vô hạncác đoạn thẳng mà con rùa đã bò qua, có thể xác lập một sự tương ứng một

- một Kết quả là cả tập hợp vô hạn thì tương đương với một bộ phận thực

sự của nó Nghịch lý này đã phát hiện ra một tình huống ly kỳ là: một "bộ

phận" của thời gian bằng "toàn thể" thời gian đó Điều này thật vô lý Tiên

đề "toàn thể lớn hơn bộ phận" chỉ có nghĩa trong phạm vi các đại lượnghữu hạn, còn trong phạm vi các đại lượng vô hạn thì lại tồn tại nguyên tắc

bộ phận tương đương với toàn thể Nguyên tắc này có giá trị nền tảng trongviệc nhận thức các quan hệ số lượng Công lao lịch sử của Zenon là ở chỗ,ông đã chứng minh được rằng, các khái niệm "bộ phận", "toàn thể" và bằngnhau chỉ có thực trong phạm vi đối tượng hữu hạn, nghĩa là trong lĩnh vựccác đại lượng hữu hạn Khi chuyển sang phạm vi đối tượng vô hạn, cáckhái niệm đó cần được tổng quát hóa

Tuy nhiên, Zenon đã đồng nhất sự tương đương với sự bằng nhau,trong khi đó chúng khác nhau một cách rất cơ bản Cơ sở các nghịch lý củaZenon còn bao hàm khái niệm tập hợp vô hạn, khái niệm này có một giá trịlogic - nhận thức to lớn Với sự xuất hiện của nó thì việc nhận thức cácphương diện số lượng trở thành sâu sắc hơn và khái niệm số nguyên đượctách ra, phân hóa thành khái niệm lực lượng và khái niệm số lượng xác định

Trong sự phát triển của các quan niệm số lượng trong toán học,quan niệm vô hạn đóng vai trò rất quan trọng Có thể nói rằng, thành tựu vĩđại của người Hy Lạp là biến sự đối lập cực đoan của vô hạn và hữu hạnthành công cụ có hiệu lực để nhận thức thực tại Về vấn đề này, trong triếthọc và toán học cổ đại Hy Lạp đã nảy sinh hai quan niệm đối lập nhau về

vô hạn Thứ nhất, quan niệm vô hạn thực tại được nảy sinh trong lòng triết

học, sau đó chuyển sang phạm vi toán học và đã có ảnh hưởng tích cực tolớn đối với toán học Trong quan niệm này đã phản ánh khía cạnh ổn định,tĩnh tại của vô hạn Quan niệm này cho đến ngày nay vẫn còn giữ nguyên

giá trị Thứ hai, quan niệm về vô hạn tiềm năng được nảy sinh trên cơ sở

giải quyết các mâu thuẫn trong hệ thống của Zenon Aristôte là người đầutiên đưa ra quan niệm khoa học về vô hạn tiềm năng Ở đây cần phải hiểurằng, nếu vô hạn thực tại là cái hoàn chỉnh, cái đã hoàn thành, tức là mặt ổnđịnh của vô hạn, thì vô hạn tiềm năng là cái chưa hoàn chỉnh, cái đang hình

mâu thuẫn Chính vì vậy giữa vô hạn thực tại và vô hạn tiềm năng vừa có

sự thống nhất vừa biểu thị sự tách đôi của vô hạn thống nhất và sự nhậnthức các mặt, các bộ phận độc lập của nó

Trong các tác phẩm của Platôn đã thể hiện sự cố gắng nghiên cứuphép biện chứng của cái đơn nhất và cái đa tạp, cái vô hạn và cái hữu hạn,phát hiện bản chất của tri thức lý thuyết Theo Platôn, toán học là công cụ

để phát triển tư duy logic, và ông đã phát hiện ra phương pháp phân tíchtoán học Đối với Platôn, toán học là một trong những nguồn gốc quantrọng của toàn bộ tư duy khoa học Theo ông, toán học phát triển trên cơ sở

sự suy luận nằm ở trung gian giữa cảm giác và tư duy

Platôn đã phân biệt phương pháp nhận thức toán học với cả nhậnthức cảm tính và nhận thức thông qua các ý niệm Ông cho rằng, tri thứctoán học không phải là tri thức trùng với cái đạt được nhờ ý niệm Đồngthời cũng như các ý niệm, các đối tượng toán học là không biến đổi, cáctính chất của chúng không phụ thuộc vào các khuôn mẫu đơn nhất thể hiệnchúng Nhưng đồng thời những cái đó chưa phải là các ý niệm, bởi vì nhàtoán học trong các phép chứng minh của mình đã bắt buộc phải dựa vàocác hình riêng lẻ như họ vẫn thường thực hiện trong hình học Theo Platôn,khi nhà toán học sử dụng các hình được nhận thức một cách cảm tính mà tựông ta vẽ ra, đồng thời suy luận về các hình vẽ đó, thì ông ta tiến hành phépchứng minh không phải đối với các đồ vật được nhận thức một cách cảmtính, mà đối với những hình là đại diện đơn nhất của các đồ vật đó Ví dụ,khi nghiên cứu các hình tam giác, nhà toán học chứng minh các mệnh đềkhông chỉ đúng với hình tam giác vuông vẽ trên giấy, mà còn đúng vớihình tam giác vuông khác, nghĩa là đúng đối với các tam giác vuông nóichung Chính vì vậy Platôn đã coi phương pháp toán học thấp hơn so với trítuệ, vì trí tuệ không cần dựa vào các đồ vật cảm tính, mà chỉ xuất phát từcác giả thiết thôi, vẫn đạt được các nguyên lý của các giả thiết Platôn gọiphương pháp toán học là suy luận và đặt nó ở trung gian giữa trí tuệ thuần

túy và biểu tượng cảm tính Tư tưởng này của trường phái Platôn đã thểhiện rất rõ khi đối lập gay gắt các đồ vật đơn nhất được nhận thức cảm tínhvới các kiến tạo toán học trừu tượng Nhưng trong bối cảnh như vậy, thìcác luận đề toán học lấy từ đâu ra? Platôn đã trả lời câu hỏi đó bằng lýthuyết hồi tưởng của mình Từ lý thuyết hồi tưởng Platôn rút ra kết luậnrằng trong bản thân con người chưa biết về một cái gì đó vẫn tồn tại những

ý kiến đúng về cái mà người ta chưa biết đó Theo ông, cá thể trong quátrình nhận thức liên hệ với các sự kiện thông qua lăng kính của một số kháiniệm, người đó sẽ nhớ lại các sự kiện và chúng chính là sản phẩm của đờisống quá khứ, là tiền thế của nó Như vậy, trong cái vỏ huyền bí mà Platônbao trùm lên các sự kiện đó, có một tư tưởng hợp lý về bản chất xã hội của

tư duy nói chung và tư duy toán học nói riêng

Trong quan điểm của Aristôt, đối tượng của toán học không tồn tạiriêng lẻ, cũng không tồn tại ở bên trong các đồ vật cảm tính Nó được xácđịnh bằng con đường loại bỏ mọi thuộc tính cảm tính và chỉ giữ lại tính xácđịnh về số lượng và tính liên tục Như vậy, theo Aristôt, toán học khôngphải là khoa học về các đồ vật cảm tính, song nó cũng không phải là khoahọc về các đối tượng khác tồn tại ở bên ngoài các đồ vật đó Aristôt đãminh họa quan niệm đó bằng các ví dụ về sự vận động Ông cho rằng, khicác đồ vật chỉ được coi là các đồ vật đang vận động thì đối với chúng cóthể áp dụng nhiều suy luận, bất kể chúng là cái gì Nhưng từ đó không thểkết luận rằng, sự vận động đang tồn tại tách rời các đồ vật cảm tính Từquan điểm đó, chỉ có thể gán cho các đối tượng toán học sự tồn tại độc lập,trong chừng mực ta có thể gán sự tồn tại độc lập không chỉ cho những cái

có khả năng tồn tại cô lập, mà còn cho cả những cái không có khả năng tồntại như vậy Về vấn đề này, V.I.Lênin đã nhận xét rằng, Aristốt đã giảiquyết một cách tuyệt vời, chính xác, rõ ràng, một cách duy vật những khókhăn của vấn đề trừu tượng hóa toán học Lênin viết: "Toán học và các khoahọc khác trừu tượng hóa một trong những mặt của vật thể, của hiện tượng

Trong khi giải quyết về cơ bản một cách duy vật một số vấn đề triếthọc phức tạp nhất của toán học, Aritốt và các nhà duy vật trước Mác đãphạm tất cả những thiếu sót của chủ nghĩa duy vật cũ, chủ nghĩa duy vậtthụ động, không chú ý đến vai trò tích cực, sáng tạo của chủ thể Các đốitượng toán học trừu tượng là sự phản ánh của thực tại ra bên ngoài vàkhông phụ thuộc vào con người, nhưng không phải là sự phản ánh tiêu cực,thụ động, mà là sự phản ánh tích cực, có định hướng thực tiễn rõ ràng Nhưvậy các đối tượng toán học có những tính chất mà trong tự nhiên không có.Theo nghĩa đó, không thể đồng ý với Aritốt khi ngay từ đầu ông đã giớihạn phạm vi của các nguyên lý xuất phát của toán học vào "những cái tồntại" và không chấp nhận những kiến tạo "thuần túy", "tưởng tượng" màtheo ông là chúng tương đương với những cái ảo tưởng không hề tồn tại.

Trong lịch sử khoa học, tác phẩm "cơ sở" nổi tiếng của Ơclít đượccoi là sự tổng hợp toàn bộ toán học Hy Lạp cổ đại Quan điểm lịch sử xem

"cơ sở" của ơclít là công trình xác định các trình độ và giai đoạn khác nhaucủa tư duy toán học cổ đại là hoàn toàn đúng đắn Công lao - của ơclít là ở

sự tổng quát hóa ở mức độ cao hơn và phát triển các lý thuyết toán học củacác nhà toán học tiền bối và đương thời của mình về số lượng, là sự kết nốilogic của tất cả các lớp quan điểm của toán học Hy Lạp cổ đại Trong tácphẩm "cơ sở" của ơclít đã trình bày số học và hình học, nhưng hình họcđược xây dựng bằng phương pháp tiên đề, còn số học được xây dựng bằngphương pháp sinh thành Như vậy, một mặt ơclít gần với phương pháp luậncủa Acsimét, Platôn và Aristốt, mặt khác ông gần với phương pháp luậncủa Đêmôcrit Việc sử dụng phương pháp tiên đề để xây dựng lý thuyết sốlượng đã chứng tỏ giá trị lịch sử của tác phẩm cơ sở So với tất cả các côngtrình trước đó, lý thuyết về các phép chứng minh trong "cơ sở" đều là mới lạ.Đồng thời, trong tác phẩm "cơ sở" cũng mang đậm dấu ấn về tính hạn chế củaphương pháp tư duy thời cổ đại Các thiếu sót cơ bản của tác phẩm này là cáckhái niệm xuất phát không được định nghĩa trong khuôn khổ của hệ lý thuyết

đó, chúng không rõ ràng và không chặt chẽ Ơclít chưa hiểu biết đầy đủ về

đường thẳng và phép chứng minh lôgic về tính song song của các đườngthẳng chưa được thỏa đáng, do đó "cơ sở" đã phải nhường chỗ cho các hệ

lý thuyết khác phát triển đầy đủ hơn của Lôbasepxki, Bôliai, Rieman v.v

Công trình nổi tiếng của Acsimét về "phép đếm các hạt cát" đã trìnhbày việc xác định số hạt cát trong không gian vũ trụ Trong công trình đó,ông đã chứng minh tính vô hạn của những dãy số Đồng thời Acsimét cũng

đã nêu ra biểu thức gần đúng đối với số , đã phát triển các cơ sở của phéptính vi phân và tích phân

Tóm lại, những tài liệu của các nhà khoa học cổ đại đã chứng tỏrằng, tư tưởng Hy Lạp cổ đại đã nêu các vấn đề liên quan tới phép biệnchứng của chất lượng và số lượng, của gián đoạn và liên tục, của hữu hạn

và vô hạn, nhưng toán học về các vấn đề đó lại chưa quán triệt tư tưởng của

vô hạn Đồng thời, mặc dù toán học thời đó có bao hàm yếu tố của vấn đềbiến đổi, của các số vô tỉ, của các đại lượng vô cùng bé, song nó vẫn chỉ ởtrong khuôn khổ của hữu hạn, tức là của các số ở ngoài phạm vi của mâuthuẫn Khi đánh giá các thành tựu của triết học Hy Lạp cổ đại, Lênin đãnhận xét rằng, ở đó có sự công nhận miễn cưỡng, vì bị cưỡng bức sự thốngnhất của các mâu thuẫn, tuy không công nhận phép biện chứng do sự hènnhát trong tư tưởng

Có thể nói rằng, những khó khăn về nhận thức luận nảy sinh ratrong tư duy toán học cổ đại và cơ sở kinh tế nguyên thủy thấp kém của xãhội chính là nguồn gốc của những hạn chế của lý thuyết toán học Hy Lạp

cổ đại về số lượng Ví dụ, trình độ trừu tượng toán học thời đó không chophép người Hy Lạp giải được bài toán cầu phương hình tròn, chia ba mộtgóc, bài toán về sự tồn tại các số vô tỉ v.v Việc tư duy cổ đại sợ hãi mâuthuẫn và vô hạn là xuất phát từ trong đời sống, từ trình độ thấp kém củatoàn bộ các mặt, mà trước hết là của văn hóa vật chất

Việc phân tích số lượng trong tư tưởng Hy Lạp cổ đại cũng đángghi nhận ở sự thống nhất quan điểm triết học và toán học cụ thể, ở sự kết

hợp độc đáo của sự phát triển nhận thức và toán học, của phép biện chứng

và toán học về số lượng Nhìn chung các trường phái triết học cổ đại nhưPitago, Platon, Aristôt đã dành cho toán học một vị trí quan trọng Cáctrường phái này đã lấy toán học làm cơ sở cho phép biện chứng là xuất phát

từ nguyên nhân sâu xa là khi đó mô hình của vận động nói chung là sự vậnđộng cơ học Khuynh hướng quan niệm một cách sinh động và cụ thể vềcác sự vật và khuynh hướng xây dựng cơ sở toán học bên trong phép biệnchứng là đặc trưng cho toàn bộ tư tưởng cổ đại Ở đây, chúng ta nhận thấymối quan hệ hữu cơ giữa phép biện chứng cổ đại và toán học, giữa sự pháttriển của nhận thức và toán học trong việc phân tích vấn đề số lượng Trongmối quan hệ đó, nét đặc trưng là vai trò của toán học trong nhận thức đãkhông ngừng được tăng lên

1.2 Phân tích quan điểm của những nhà triết học thời cận đại

Trong thời kỳ cận đại, toán học và các khoa học có sử dụng toánhọc đã đạt được nhiều thành tựu rất khả quan, đó chính là nguyên nhân làmcho các nhà triết học quan tâm nhiều đến toán học Trong số những nhàtriết học quan tâm đến toán học, đặc biệt nổi lên là các nhà triết học duy lý

mà điển hình là Đêcactơ, Lepnitxơ và Spinơda

Đêcactơ, trong khi đặt nhiệm vụ phổ cập phương pháp toán học vàoviệc nhận thức không chỉ các đại lượng, mà cả các đối tượng khác, đã điđến việc xây dựng "toán học vạn năng" Trong tác phẩm "luận về phươngpháp", Đêcactơ đã "mở rộng đặc trưng "toán học vạn năng" vào tất cả cáctri thức chân thực không trừ một loại nào Ông tin tưởng rằng mọi đốitượng của tri thức chân thực đều có cùng một quan hệ với nhau giống nhưquan hệ giữa các chứng minh toán học vậy Theo ông, tất cả mọi đối tượngcủa tri thức chân thực có thể phân bố trong một dãy như thế này: một thànhphần của dãy trở thành rõ ràng nhờ nhận thức một thành phần khác, thànhphần này lại nhờ thành phần tiếp đó và cứ thế mãi cho đến khi thành phầncuối cùng đã có đầy đủ cơ sở rồi"(2)

Như vậy, đối với Đêcactơ phương pháp chung để thu nhận được trithức đúng đắn, chân thực cần phải là phương pháp diễn dịch theo kiểu mẫutoán học, có nghĩa là muốn rút ra chân lý mới thì phải đi từ những chân lý

đã có được từ trước đó

Mọi cố gắng của Lepnitxơ để xây dựng khoa học kí hiệu tổng quát

đã tiến rất gần tới các tư tưởng của Đêcactơ về "toán học vạn năng" Mặc

dù có sự khác biệt cơ bản của các hệ thống triết học của Đêcactơ vàLepnitxơ, nhưng sự quan tâm tới toán học đã làm cho tư tưởng của các ôngxích lại gần nhau Lepnitxơ đã thiết lập một môn lôgíc học mới, đó là mônlôgic học không phải của phép chứng minh, mà là của sự phát hiện cácchân lý và cũng như Đêcactơ, ông chú trọng đến toán học Đêcactơ đã đưa

ra quan niệm chung về ngôn ngữ tổng quát, còn Lepnitxơ đã chỉ ra cácphương pháp xây dựng ngôn ngữ như vậy Bước đầu tiên theo khuynhhướng đó là xác định hệ thống các kí hiệu, thông qua đó cần biểu diễn cácyếu tố đơn giản của các đối tượng cơ sở thành đối tượng của khoa học đãcho Theo Lepnitxơ, các ký hiệu này cần phải ngắn gọn và cô đọng về hìnhthức Mục đích của Lepnitxơ là xây dựng được một ngôn ngữ chung để chophép hình thức hóa toàn bộ tư duy, vì vậy khi cấu tạo bộ chữ cái của tưtưởng con người ta có thể thông qua tổ hợp các kí hiệu của bộ chữ cái đó

mà suy ra các tư tưởng dẫn xuất khác theo những quy tắc xác định Kết quảđược mang lại là những suy luận dài dòng được trình bày dưới dạng cácquy tắc trực quan, điều chỉnh các phép toán với các kí hiệu Theo tư tưởngcủa Lepnitxơ, ngôn ngữ kí hiệu phải được áp dụng không chỉ riêng cho cácsuy luận của các khoa học chính xác, mà cả cho các suy luận nói chung.Theo Lepnitxơ, các công thức bằng kí hiệu cũng tuân theo các định luật,

mà những định luật này tuyệt đối không phụ thuộc vào một kinh nghiệmnào đó Ông đã nhấn mạnh rằng, mặc dù trong thiên nhiên không hề có hai

đồ vật hoàn toàn đồng nhất, nhưng chúng ta có toàn quyền phát triểnnguyên tắc đồng nhất coi như nguyên tắc của lôgic học và toán học Đồng

thời, từ những nguyên tắc này cũng suy ra được tất cả các nguyên tắc toánhọc khác Nhưng khi xuất hiện một vấn đề: Có thể áp dụng các mệnh đềtoán học tổng quát vào các đối tượng thực nghiệm tồn tại ở ngoài lý trí nhưthế nào? Để trả lời câu hỏi đó, Lepnitxơ đã dựa vào định luật về cơ sở đầy

đủ mà ông đưa ra ngoài phạm vi của lôgic học Theo ông, các định luậtlôgic là các định luật áp dụng cho mọi thế giới, trong khi đó ông cho rằngđịnh luật về cơ sở đầy đủ thuộc về thế giới hiện thực Tuy vậy, bản thânđịnh luật này cũng cần phải được luận chứng và khi giải quyết vấn đề thenchốt này, Lepnitxơ bắt buộc nêu ra nguyên tắc hài hòa tiền định để từ đó tìm

ra lối thoát

Spinôda, trái lại với Lepnitxơ trên cơ sở xuất phát từ nguyên tắcđồng nhất của thực tại và tư duy, cho nên ông không nêu vấn đề về quan hệcủa thế giới lôgic - toán học và thế giới thực tại Đó là điểm khác nhau cơbản giữa Lepnitxơ và Spinôda Spinôda tin tưởng vào sự cần thiết áp dụngtoán học vào nhận thức là dựa trên nguyên tắc duy vật cho rằng, trật tự vàliên hệ của các ý niệm cũng giống như trật tự và liên hệ của các sự vật.Theo Spinôda, nếu giả sử trong thiên nhiên đã có một cái gì đó không hề cómối quan hệ nào với các vật khác, thì ý niệm về nó cũng sẽ không có mốiliên hệ nào với các ý niệm khác Nhưng vì trật tự của các vật là sao cho mộtvật này lại kế tiếp một vật kia, cho nên sự nhận thức chân thực biến chuyểncho phù hợp với đối tượng của mình phải tạo thành một dãy suy luận dựavào các nguyên lý không cần phải chứng minh, thông qua các nguyên lýkhác Spinôda nhấn mạnh rằng, trí tuệ của chúng ta, để hình dung được đầy

đủ hình ảnh của tự nhiên, cần xây dựng tất cả các ý niệm, từ ý niệm mô tả

sự khởi thủy và nguồn gốc của toàn bộ tự nhiên, làm sao cho chính ý niệm

đó là nguồn gốc của các ý niệm khác Từ quan niệm đó, Spinôda đã đi tớikết luận: tiêu chuẩn duy nhất và sợi chỉ đỏ của nhận thức là phương phápsuy diễn toán học, bởi vì chính trong phương pháp đó mỗi mệnh đề sau lạitiếp theo một mệnh đề trước và dãy kết luận đó, cuối cùng sẽ dẫn đến cácmệnh đề cơ bản hoặc tiên đề không cần chứng minh

Sai lầm trong nhận thức của Spinôda về phương pháp toán học là ởchỗ, ông đã đồng nhất hóa tuyệt đối các kiến tạo toán học với thực trạngcủa sự vật trong hiện thực Trong sai lầm đó, không những chỉ thể hiện ở tưtưởng của ông về việc tuyệt đối hóa thực trạng của các tri thức toán họcđương thời, mà còn thể hiện ở chỗ ông đã hiểu không đúng về đặc thù củacác hình thức toán học so với các hình thức thực tại Trên thực tế, mỗi mộtsuy luận toán học đều mang tính chất của một tất yếu chặt chẽ và không thểphủ nhận được Tất yếu đó không phụ thuộc vào khoảng thời gian trong đóchúng ta vận động từ kết luận này đến kết luận khác Bản thân các chân lý

mà chúng ta xác lập đều không phải tạm thời Chúng không tự phát sinh vàkhông qua đi trong thời gian, mà chúng tồn tại một cách thực sự Trật tựcủa chúng không có tính chất liên tiếp trong thời gian

Trong việc Spinôda phủ nhận tính khách quan của ngẫu nhiên cũngthể hiện sự đồng nhất hóa những ý niệm về phương diện toán học vớinhững cái tồn tại thực tế Ông cho rằng, toàn bộ tự nhiên qua lăng kính củaphương pháp toán học, là một dãy vô tận của nguyên nhân và kết quả, tạothành một chuỗi liên tục Theo Spinôda, trong mối liên hệ phổ biến đã chocủa các sự vật, không một lực lượng nào có thể phá vỡ mối quan hệ nhânquả và sự tác động của bản thân nó, vì vậy những biến cố ngẫu nhiên làkhông thể tồn tại Theo ông, sở dĩ con người nói về các hiện tượng ngẫunhiên chỉ vì họ không thể hiểu được tất cả và nếu điều ngẫu nhiên đó xảy rathì con người đã thấy mọi cái cũng tất yếu như những cái mà toán học đãchỉ ra

1.3 Phân tích quan điểm của những nhà triết học cổ điển Đức

Các nhà triết học cổ điển Đức đã quan tâm rất nhiều đến toán học,nhưng trong việc đánh giá vai trò của toán học trong nhận thức lại có sựkhác nhau cơ bản Trong số đó nổi bật nhất là tư tưởng của hai nhà triết học

vĩ đại là Kant và Hêghen

Trong triết học của Kant, toán học chiếm một vị trí to lớn đến mức

ta không thể hiểu nổi hệ thống của ông nếu không làm rõ học thuyết củaông về toán học Theo Kant, nhận thức toán học là sự nhận thức thông quaviệc kiến tạo các khái niệm Trong học thuyết của Kant về toán học, lầnđầu tiên đã thể hiện quan điểm rằng nhận thức không phải là một quá trìnhsuy tưởng thụ động mà là sự thâm nhập tích cực, chủ động vào bản chất sựvật Nhưng tính chất tích cực là đặc trưng không chỉ riêng cho nhận thứctoán học mà cả cho các dạng khác của nhận thức khoa học Theo Kant,nhận thức khoa học nói chung được mở rộng theo mức độ mà chính chúng

ta tạo ra các đối tượng của nó Nếu trong các hiện tượng chỉ bao gồmnhững cái do sự kiến tạo hay do sự suy tưởng độc lập tạo ra thì ta hoàn toàn

có thể nhận thức được chúng bằng lý trí thuần túy Kant cho rằng phươngpháp toán học chỉ áp dụng được vào việc phân tích các đối tượng mà ta cóthể kiến tạo, cho nên từ đó ta dễ hiểu vì sao Kant lại đánh giá rất cao vai tròcủa toán học Ông viết: "Trong bất kỳ học thuyết riêng nào về tự nhiên, tachỉ có thể tìm thấy khoa học theo đúng nghĩa, trong chừng mực ở đó cótoán học"(3) Tuy nhiên, Kant biết rất rõ là không có một đối tượng thựcnghiệm nào là đối tượng mà bản thân lý trí lại sản sinh hoàn toàn sự tồn tạicủa nó Trong các hiện tượng có cái gì đó không tham gia vào việc tái tạo,

mà cần phải được nhận thức không phải bằng sự suy tưởng độc lập, màbằng khái niệm Chẳng hạn, khái niệm vật chất khác với khái niệm hìnhthức, tuy nó cũng được hình thành trong suy tưởng của chúng ta, nhưngkhông do sự suy tưởng tạo ra Chúng ta không thể tạo ra khái niệm tồn tại,chúng ta chỉ có thể tư duy về nó hoặc tri giác nó qua thí nghiệm Nhận thứcthông qua khái niệm khác với nhận thức toán học ở chỗ, đó là nhận thứctriết học Chính vì vậy, không thể áp dụng toán học vào triết học, còn việc

áp dụng toán học vào khoa học tự nhiên thì khác nhau trong các ngànhkhác nhau Theo Kant, nhận thức nhờ kinh nghiệm là khoa học tự nhiênthực nghiệm, vì vậy toán học càng được áp dụng nhiều bao nhiêu trong lĩnhvực tri thức nào đó, thì ngành đó càng đi vào phạm vi khoa học thuần túy

của lý trí bấy nhiêu, và ngược lại, toán học càng được áp dụng ít chừng nàothì khoa học tự nhiên có chứa bộ phận đó càng là khoa học thực nghiệmnhiều hơn Trong quan điểm của Kant thể hiện rất rõ sự khác biệt chủ yếugiữa triết học và toán học, theo ông, các con đường nhận thức của cả haikhoa học này là hoàn toàn khác nhau Toán học biểu diễn trực tiếp các đốitượng của mình dưới hình thức trực quan nhờ các công thức đại số, các số

và các hình, trong đó các bộ phận của cái mà chúng biểu diễn đều nhìn thấy

rõ ràng Trong khi đó, các dấu hiệu được khảo sát về mặt triết học luônluôn là những lời lẽ, nhờ đó các khái niệm được biểu diễn dưới hình thứcchung, còn thực trạng của các bộ phận của khái niệm và quan hệ giữachúng thì không được các dấu hiệu chỉ ra Vì vậy, triết học luôn luôn cần

có trước mắt đối tượng của mình mà không có khả năng giảm bớt đáng kểcác nhiệm vụ bằng cách xem xét các dấu hiệu đơn nhất của các khái niệmthay cho các khái niệm chung của bản thân các sự vật Theo Knat, trongtoán học chúng ta thường không có một khái niệm nào về một đối tượngnào đó, nếu như nó chưa được xác định bằng định nghĩa, vì vậy việc nhậnthức về sự vật bao giờ cũng bắt đầu bằng định nghĩa Còn trong triết học thìchúng ta luôn luôn có khái niệm đã cho, dù là dưới dạng tiềm ẩn, điều cốtyếu là làm sao trên cơ sở đó xây dựng được một khái niệm chính xác, cókhả năng phát huy Vì vậy, định nghĩa ở đây không bao giờ có thể là khởiđầu của việc nghiên cứu Triết học có thể bắt đầu bằng việc giải thích cácthuật ngữ, nhưng không phải bằng việc giải thích các khái niệm Sự lẫn lộnhay xảy ra trong triết học là ở chỗ, coi cái thường gặp là cái được nhận thức

và chúng ta tin tưởng vào sự hiểu biết những sự vật mà thực ra không aibiết Triết học có tham vọng đi đến chân lý tuyệt đối, tri thức tuyệt đối,song tri thức đó không có cách nào đạt tới được Trên quan điểm đó, triếthọc không có gì khai thác ở toán học và các khoa học khác, vì các khoa họcnày chỉ cung cấp các chân lý tương đối, trái lại các khoa học thực nghiệmrút được từ triết học những nguyên lý cơ sở của mình Theo Kant, các tư