Dễ hiểu, dành cho học sinh cấp 2 học lý, cấp 3 Toán, lí, Đại học, các giáo viên, giảng viên đều có thể tham khảo. Giải tích cơ bản by Linh Nguyen Ngày 19 tháng 7 năm 2018 1 Phép tính giới hạn • Ta nói hàm số f(t) có giới hạn là ` khi t tiến đến t0 và viết limt→t0 f(t) = ` nếu f(t) có thể gần ` một cách tùy ý với mọi t đủ gần t0 (nhưng khác t0). Nói cách khác, limt→t0 f(t) = ` nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t thỏa mãn 0 < |t − t0| < δ, ta có |f(t) − `| < ε. Chú ý rằng ta không đòi hỏi f(t) xác định tại t0 (nhưng phải xác định trong một lân cận của t0), hơn nữa nếu cả hai giá trị f(t0) và limt→t0 f(t) là xác định thì chúng không nhất thiết bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, ta nói f(t) là liên tục tại t0. • Ta nói hàm số f(t) có giới hạn dương vô cùng khi t tiến...
Trang 1Giải tích cơ bản
***
by Linh Nguyen Ngày 19 tháng 7 năm 2018
1 Phép tính giới hạn
• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn là ` khi t tiến đến t0 và viết
lim
t→t0f (t) = ` nếu f (t) có thể gần ` một cách tùy ý với mọi t đủ gần t0(nhưng khác t0) Nói cách khác, lim
t→t 0
f (t) = ` nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t thỏa mãn 0 < |t − t0| < δ, ta có |f (t) − `| < ε
Chú ý rằng ta không đòi hỏi f (t) xác định tại t0 (nhưng phải xác định trong một lân cận của t0), hơn nữa nếu cả hai giá trị f (t0) và lim
t→t0f (t) là xác định thì chúng không nhất thiết bằng nhau Nếu chúng bằng nhau, ta nói f (t) là liên tục tại t0
• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn dương vô cùng khi t tiến đến t0 và viết
lim
t→t 0
f (t) = +∞
nếu f (t) có thể lớn một cách tùy ý với mọi t đủ gần t0
• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn ` khi t tiến đến dương vô cùng và viết
lim
t→+∞f (t) = ` nếu f (t) có thể gần ` một cách tùy ý với mọi t đủ lớn
Tương tự ta cũng định nghĩa được các khái niệm giới hạn âm vô cùng, giới hạn tại âm vô cùng, giới hạn của dãy số
Một số tính chất của giới hạn
Nếu lim
t→t 0
f (t) = a và lim
t→t 0
g(t) = b thì
1 lim
t→t0(f (t) + g(t)) = a + b
Trang 22 lim
t→t 0
(f (t)g(t)) = ab
3 lim
t→t0
f (t)
g(t) =
a
b nếu b 6= 0.
4 Nếu f (t) ≤ g(t) trong lân cận của t0thì a ≤ b
Số e
• Nếu r = m/n là một số hữu tỉ và a > 0 thì ta có thể định nghĩa
ar= √n
am Nếu r là một số thực thì tồn tại một dãy số hữu tỉ (rn)n≥1 hội tụ về r Khi
đó dãy (ar n)n≥1 hội tụ và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy (rn)n≥1 Ta định nghĩa bởi argiới hạn này
• Giới hạn sau đây tồn tại và được gọi là số e,
e = lim
t→+∞
1 + 1 t
t
= 2.718281828
Với x ∈ R, số thực ex cũng thường được viết là exp(x)
Một số tính chất của hàm exp
1 ex+y= ex· ey
2 lim
x→+∞ex= +∞
3 lim
x→−∞ex= 0
4 lim
x→0
ex− 1
x = 1.
• Nếu y là một số thực dương thì tồn tại duy nhất số thực x sao cho ex= y
Ta ký hiệu x = ln y
Một số tính chất của hàm ln
1 ln(xy) = ln x + ln y
2 ln(xy) = y ln x
3 lim
x→+∞ln x = +∞
4 lim
x→0 +ln x = −∞
5 lim
x→0
ln(1 + x)
x = 1.
Trang 3Các hàm hyperbolic
• Ta định nghĩa các hàm hyperbolic sau đây
sinh x = e
x− e−x
2 , cosh x =
ex+ e−x
2 , tanh x =
sinh x cosh x,
coth x = cosh x
sinh x, sech x =
1 cosh x, csch x =
1 sinh x.
• Ta cũng có các hàm hyperbolic ngược,
sinh−1x = ln(x +px2+ 1), cosh−1x = ± ln(x +px2− 1),
tanh−1x = 1
2ln
1 + x
1 − x, coth
−1x = 1
2ln
x + 1
x − 1.
2 Phép tính vi phân
• Cho hàm số f (t) xác định trong lân cận của t0 Đạo hàm của f (t) tại điểm
t = t0 được định nghĩa là
f0(t0) = lim
h→0
f (t0+ h) − f (t0)
h
nếu giới hạn này tồn tại (và hữu hạn) Lúc này, ta cũng nói f (t) là khả vi tại t0
• Ý nghĩa vậy lý: Giả sử ta có một chất điểm chuyển động trên đường thẳng sao cho vị trí của chất điểm tại thời điểm t là f (t), khi đó f0(t0) là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = t0(dấu âm thể hiện chất điểm đang chuyển động ngược chiều dương của trục
• Ý nghĩa hình học: f0(t0) là độ dốc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (t) tại điểm (t0, f (t0))
• Nếu f0(t0) xác định với mọi t0 thì f0(t) lại là một hàm số theo biến t và ta gọi nó là đạo hàm của f (t)
• Ngoài ký hiệu f0(t), ta cũng dùng ký hiệu ˙f để chỉ đạo hàm
• Ta đưa vào ký hiệu hình thức dt để chỉ sự thay đổi rất nhỏ của t Khi đó, f0(t)
có thể ký hiệu một cách hình thức là df
dt hay
d
dtf (t).
Một số tính chất của đạo hàm và vi phân
• Giả sử a, b là các hằng số và f (t), g(t) là các hàm số theo biến t Khi đó
1 a0= 0
2 (af + bg)0= af0+ bg0, d(af + bg) = adf + bdg
3 (f g)0 = f0g + f g0, d(f g) = gdf + f dg
Trang 44 f
g
=f
0g − f g0
g2 , d f
g
=gdf − f dg
g2 tại những điểm t mà g(t) 6= 0
5 Nếu f0(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [a, b], f là hàm tăng trên [a, b]
6 (Bổ đề Fermat) Nếu f tại cực trị địa phương tại t = t0 (nghĩa là f (t0)
là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một lân cận nhỏ của t0) thì
f0(t0) = 0 Chú ý: Đây là điều kiện cần của cực trị chứ không đủ
7 Nếu f0(t0) = 0 và f00(t0) < 0 (tương ứng, f00(t0) > 0) thì f đạt cực đại (tương ứng, cực tiểu) địa phương tại t = t0 Chú ý: Đây là điều kiện đủ của cực trị chứ không cần
• Nếu f là một hàm theo biến x và x là một hàm theo biến t, khi đó f (x(t)) là một hàm theo biến t và đạo hàm của nó được cho bởi
d
dtf (x(t)) = f
0(x(t)) · x0(t), hay df
dt =
df
dx· dx
dt.
• Nếu x = f (t) và t = g(x) là hai hàm ngược của nhau thì
g0(x) = 1
f0(t).
Đạo hàm của các hàm số cơ bản
• Dưới đây, ta luôn hiểu t là biến và lấy đạo hàm theo biến t
1 (ta)0 = ata−1
2 (sin t)0= cos t, (cos t)0= − sin t, (tan t)0= sec2t = 1
cos2t = 1 + tan
2t
3 (et)0= et, (at)0= atln a
4 (ln t)0= 1
t.
5 (sinh t)0 = cosh t, (cosh t)0= sinh t, (tanh t)0= sech2t = 1 − tanh2t
Ví dụ về tính đạo hàm của hàm hợp:
(pt2+ 1)0= 1
2√
t2+ 1 · (t2+ 1)0=√ t
t2+ 1
(ta đã dùng các công thức d
dx
√
x = 1
2√
x và
d
dtt
2= 2t)
Trang 53 Phép tính tích phân
• Giả sử hàm số f (t) xác định trên [a, b] Ta chia đều [a, b] thành n đoạn [ti−1, ti] (i = 1, , n), nghĩa là ti= a +i(b − a)
n Lập tổng
Sn =b − a
n (f (t1) + f (t2) + · · · + f (tn)).
Nếu Sn tiến đến một giới hạn xác định (và hữu hạn) khi n → ∞, ta nói f (t) là khả tích trên [a, b] và gọi giới hạn đó là tích phân của f trên [a, b] và ký hiệu
nó bởi
Z b a
f (t) dt
Định nghĩa trên là đơn giản nhưng chưa hoàn toàn chuẩn xác về tích phân
• Ý nghĩa vật lý: Giả sử ta có một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với vận tốc tức thời f (t) tại mỗi thời điểm t Khi đó
b
Z
a
f (t) dt là độ dời của chất
điểm giữa hai thời điểm t = a và t = b
• Ý nghĩa hình học: Nếu f (t) > 0 thì
b
Z
a
f (t) dt là diện tích của phần mặt phẳng
bị giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f (t), đường thẳng y = 0, đường thẳng t = a
và đường thẳng t = b
Nguyên hàm
• Cho hàm số f (t) Nếu có hàm số F (t) sao cho F0(t) = f (t), ta nói F (t) là một nguyên hàm của f (t) Chẳng hạn, một nguyên hàm của 2t là t2
• Nếu hàm số f (t) có một nguyên hàm F (t) thì nó có vô số các nguyên hàm được cho bởi F (t) + C, với C là hằng số tùy ý
• Định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton-Leibniz): Nếu F (t) là một nguyên hàm của f (t) thì
Z b a
f (t) dt = F (b) − F (a)
Vì lý do này, họ các nguyên hàm của f (t) thường được gọi là tích phân không xác định của f và ký hiệu là
Z
f (t) dt
Trang 6Một số tính chất của nguyên hàm và tích phân
• Nếu a > b, để tránh rắc rối, ta ký hiệu
Z b a
f (t) dt = −
Z a b
f (t) dt
1
Z b
a
f (t) dt +
Z c b
f (t) dt =
Z c a
f (t) dt
2 d
dt
Z t
a
f (τ ) dτ = f (t)
3
Z b
a
(αf (t) + βg(t)) dt = α
Z b a
f (t) dt + β
Z b a
g(t) dt
4 Nếu f (t) ≤ g(t) với t ∈ [a, b] thì
Z b a
f (t) dt ≤
Z b a
g(t) dt
5 Giả sử f là hàm theo biến x và x là hàm theo biến t Ký hiệu hình thức
dx = x0(t)dt cho phép ta đổi biến để tính tích phân một cách thuận tiện,
Z b a
f (x(t))x0(t) dt =
Z x(b) x(a)
f (x) dx
6 Công thức tích phân từng phần:
Z b
a
f (t)g0(t) dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) =
Z b a
f0(t)g(t) dt,
hay ở dạng nguyên hàm,
Z
f dg = f g −
Z
g df
Nguyên hàm của các hàm số cơ bản
1
Z
tadt = t
a+1
a + 1+ C với a 6= −1.
2
Z
sin t dt = − cos t + C,
Z cos t dt = sin t + C
3
Z
etdt = et+ C,
Z
atdt = a
t
ln a+ C với a > 0, a 6= 1.
4
Z
sinh t dt = cosh t + C,
Z cosh t dt = sinh t + C
Trang 7Ví dụ về đổi biến:
Z
et2t dt = 1
2
Z
et22t dt = 1
2
Z
et2dt2=1
2e
t2+ C
Ví dụ về nguyên hàm từng phần:
Z
tetdt =
Z
t det= tet−
Z
etdt = tet− et+ C
Đa số các nguyên hàm không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp, ví dụ
Z dt
√
1 − 2t2 (tích phân elliptic),
Z
e−t2dt (hàm lỗi - erf)