Luyện tập cùng một số phương trình hệ phương trình khó

Mục đích tôi làm ra tài liệu này mong có thể giúp các bạn một phần nào đó trong phần giải phương trình và hệ phương trình. Đây chính là các bài tôi thu thập trên mạng, nhiều nguồn sưu tầm khác nhau như: Pi.love math, tự sáng tác, các tài liệu tôi có được,....Nếu có gì sai sót mong mọi người thông cảm bỏ qua cho ạ. Không nói nhiều nữa sau đây là các vấn đề về nó và lời giải. 1)

𝐿𝑢𝑦ệ𝑛 𝑡ậ𝑝 𝑐ù𝑛𝑔 1 𝑠ố 𝑏à𝑖 ℎệ + 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑘ℎó (𝑛𝑔𝑢ồ𝑛 𝑆ư𝑢 𝑡ầ𝑚)

Mục đích tôi làm ra tài liệu này mong có thể giúp các bạn một phần nào đó trong phần giải phương trình và hệ phương trình Đây chính là các bài tôi thu thập trên mạng, nhiều nguồn sưu tầm khác nhau như: Pi.love math, tự sáng tác, các tài liệu tôi có được, Nếu có gì sai sót mong mọi người thông cảm bỏ qua cho ạ

Không nói nhiều nữa sau đây là các vấn đề về nó và lời giải

𝑐𝑜𝑠𝑥.cos𝑥2) => 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − cos2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥.cos

𝑥

2 +𝑠𝑖𝑛𝑥.sin𝑥

2 ) 𝑐𝑜𝑠𝑥.cos𝑥2

=> 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − cos2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥.cos(

𝑥

2 ) 𝑐𝑜𝑠𝑥.cos(𝑥2)

=> 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − cos2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

=> cos2𝑥 − cos3𝑥 = 0 => cos2𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0 => 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1

𝑏 = 2 => 𝑦 = 4

5 𝑣à 𝑎 = 1 => 𝑥 = 1 𝑣ậ𝑦 ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (1 ,4

5) 6) {

𝑥+√𝑥 2 −𝑦 2

𝑥−√𝑥2−𝑦2 =9𝑥

5 (1)𝑥

=> (5𝑥 − 9𝑥2) + (5 + 9𝑥)√𝑥2− 900𝑥2

(5+9𝑥) 2 = 0 => 𝑥(5 − 9𝑥) + 𝑥(5 + 9𝑥)√1 −(5+9𝑥)900 2 = 0

=> 𝑥 = 0 => 𝑦 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖) ℎ𝑎𝑦 5 − 9𝑥 + √(5 + 9𝑥)2− 900 = 0

=> 𝑥 = 5 => 𝑦 = 3 (𝑡ℎõ𝑎)

𝑣ậ𝑦 ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (5,3)

−1

3 ≤ 𝑘 ≤ 7

6=> 𝑘 = 0,1 𝑣ớ𝑖 𝑡 = −2𝑝𝑖

9 +𝑘2𝑝𝑖

3 ) ( 𝑣ớ𝑖 𝑘 = 0,1)𝑣à 𝑥 = cos (−2𝑝𝑖

9 + 𝑘2𝑝𝑖) (𝑣ớ𝑖 𝑘 = 1) 9)3(√2𝑥2+ 1 − 1) = 𝑥(1 + 3𝑥 + 8√2𝑥2+ 1)

3−8𝑥+10𝑥−3

6 =2𝑥6(𝑙𝑜ạ𝑖) 𝑡=3−8𝑥−10𝑥+36 =6−18𝑥6 =>𝑥=0

𝑣ậ𝑦 𝑥 = 0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝𝑡

10)𝑥7+ 2𝑥6− 5𝑥5− 13𝑥4− 13𝑥3− 5𝑥2+ 2𝑥 + 1 = 0

𝑛ℎậ𝑝 𝑝𝑡 𝑛à𝑦 𝑣à𝑜 𝑡ì𝑚 𝑟𝑎 đượ𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = −1, 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ử 𝑥2− 3𝑥 + 1, 𝑥2+3𝑥 + 1 𝑣à 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ử 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 𝑡ℎì 𝑚ì𝑛ℎ đặ𝑡 𝑥2+ 𝑎𝑥 + 𝑚 𝑑𝑜 𝑛ó 𝑙à 𝑝𝑡 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚

(𝑥 + 1)4+ (𝑥+1)2

√𝑥 2 +2𝑥+10+3 = 0 => (𝑥 + 1)2 = 0 ℎ𝑎𝑦 (𝑥 + 1)2+ 1

√𝑥 2 +2𝑥+10+3=0(𝑝𝑡𝑣𝑛 𝑑𝑜 𝑉𝑇 > 0)

4 − 𝑘𝑝𝑖 => 𝑥 = 𝑝𝑖

8 −𝑘𝑝𝑖

2 𝑠𝑜 𝑣ớ𝑖 đ𝑘 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 𝑛ℎậ𝑛 13)𝑐𝑜𝑠12𝑥 = 5𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 9 tan2𝑥 + cot2𝑥

đ𝑘 {cosx ≠ 0

𝑠𝑖𝑛𝑥 ≠ 0 => 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≠ 0 => 2𝑥 =≠ 𝑘𝑝𝑖 => 𝑥 ≠

𝑘𝑝𝑖 2

𝑣ậ𝑦 𝑥 = 𝑝𝑖

2 +2𝑙𝑝𝑖

3 ( 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ạ𝑜 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑡𝑔 đề𝑢)𝑡𝑎 𝑡𝑖ế𝑝 𝑡ụ𝑐 𝑠𝑜 𝑣ớ𝑖 đ𝑘 𝑝ℎí𝑎 𝑡𝑟ê𝑛 𝑛ê𝑛 𝑥 = −𝑝𝑖

6 + 𝑡2𝑝𝑖 𝑣à 𝑥 =7𝑝𝑖

6 + 𝑡2𝑝𝑖 (𝑡ℎõ𝑎) 14)√𝑥3 2− 2√𝑥3 − (𝑥 − 4)√𝑥 − 7 − 3𝑥 + 28 = 0

cos22𝑥 + 2√(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 => 𝑡𝑎 𝑐ó {√(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0

cos22𝑥 ≥ 0

𝑣ậ𝑦 𝑉𝑇 ≥ 0 𝑑ấ𝑢 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖 ∶ {𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 => {𝑥 = 𝑙2𝑝𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑥 =

𝑝𝑖

2 + 𝑙𝑝𝑖

𝑥 = 𝑘𝑝𝑖 => 𝑥 = 𝑚2𝑝𝑖 𝑙ấ𝑦 𝑥 = 𝑚2𝑝𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 0 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≤ 1 (𝑡ℎõ𝑎)

𝑙ấ𝑦 𝑥 = 𝑚2𝑝𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑜 𝑡𝑖ế𝑝 𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑘 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 0 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1 => (𝑡ℎõ𝑎)

𝑣ậ𝑦 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑔ồ𝑚: 𝑥 = 𝑝𝑖

4 +𝑘𝑝𝑖

2 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 𝑚2𝑝𝑖 16)𝑥2+ 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 3)√𝑥2+ 1

𝑡𝑎 đ𝑜á𝑛 đượ𝑐 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = ±2√2 𝑡ừ đâ𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 √𝑥2+ 1 => 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ử 𝑥2− 8

𝑥2− 8 = (𝑥 + 3)[√𝑥2+ 1 − 3] =(𝑥+3)(𝑥2−8)

√𝑥 2 +1+3

𝑥 = ±2√2 ℎ𝑎𝑦 1 = √𝑥𝑥+32

+1+3 => (𝑝𝑡𝑣𝑛) 17) {

2 + 𝑙2𝑝𝑖(𝑡ℎõ𝑎) 𝑣ớ𝑖(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥−1)

19)2(𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) + 3(𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 5 = 0

𝑐ó 𝑡𝑎𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑡𝑎 đặ𝑡 đ𝑘 𝑐ℎ𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥 {𝑠𝑖𝑛𝑥 ≠ 0

𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0=> 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ≠ 0 => 2 (𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) + 3 (𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥− 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 5 = 0 => 2(𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝑥 +3(𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛.𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5 = 0 => 2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥) + 3𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 5𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 => 2 sin2𝑥 − 2 sin2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 cos2𝑥 − 3 cos2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 5𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

=> sin2𝑥(2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝑥(−3 cos2𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥) + 3 cos2𝑥 = 0

6 =−𝑝𝑖

6 −2𝑥+𝑘2𝑝𝑖 4𝑥+𝑝𝑖

6 =𝑝𝑖+𝑝𝑖

6 +2𝑥+𝑘2𝑝𝑖 => [6𝑥=−

𝑝𝑖

3 +𝑘2𝑝𝑖 2𝑥=𝑝𝑖+𝑘2𝑝𝑖 => [𝑥=−

4)

=> [ 𝑥+

𝑝𝑖

4 =−𝑝𝑖

4 +𝑘2𝑝𝑖 𝑥+𝑝𝑖

4 =𝑝𝑖+𝑝𝑖

4 +𝑘2𝑝𝑖 => [𝑥=−

𝑝𝑖

2 +𝑘2𝑝𝑖 𝑥=𝑝𝑖+𝑘2𝑝𝑖

22)sin10𝑥+cos10𝑥

4 = sin6𝑥+cos6𝑥

4 cos 2 2𝑥+sin 2 2𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑚ũ 10 𝑛ℎư 𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎể 𝑛à𝑜 𝑏𝑖ể𝑛 đổ𝑖 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐á𝑐ℎ 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔 đượ𝑐

=> (sin2𝑥+cos2𝑥)(sin4𝑥−sin2𝑥.cos2𝑥+cos4𝑥)

4 cos 2 2𝑥+sin 2 2𝑥 = 1−3 sin2𝑥.cos2𝑥

10𝑥 ≤ sin2𝑥(𝑑𝑜 sinx ≤ 1)cos10𝑥 ≤ cos2𝑥(𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1) => 𝑉𝑇 ≤ 𝑉𝑃 𝑑ấ𝑢 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖 ∶ {sin

2𝑥(sin8𝑥 − 1) = 0cos2𝑥(cos8𝑥 − 1) = 0 => [

{ 𝑠𝑖𝑛𝑥=0 {𝑠𝑖𝑛𝑥=±1𝑐𝑜𝑠𝑥=0 => [ 𝑥=𝑘𝑝𝑖

𝑏𝑖ế𝑛 đổ𝑖 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔: cos4𝑥 + 1

cos 4 𝑥+ sin4𝑥 + 1

sin 4 𝑥+ 4 = 1 −

2 sin2𝑥 cos2𝑥 +1−2 sin2𝑥.cos2𝑥

sin 4 𝑥.cos 4 𝑥 + 4 = (1 −sin22𝑥

2 ) (1 + 1

sin 4 𝑥.cos 4 𝑥) + 4 =(1 −sin22𝑥

𝑡𝑎 𝑐ó: {sin3𝑥 + cos3𝑥 ≤ 1

2 − sin4𝑥 ≥ 1 => {

sin4𝑥 = 1sin3𝑥 + cos3𝑥 = 1=> 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 => 𝑥 = 𝑝𝑖

{𝑥=

𝑝𝑖

8 +𝑚𝑝𝑖2𝑥=𝑛𝑝𝑖

𝑣ậ𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛: tan2𝑥 + tan2𝑦 + cot2(𝑥 + 𝑦) = cot(𝑥 + 𝑦) 𝑡𝑎𝑛𝑥 +

cot(x + y) tany + tanx tany

𝑥2 = 0 => 𝑥 = 0 30) {𝑥

4− 𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 = 1(1)

𝑥3𝑦 − 𝑥2+ 𝑥𝑦 = −1(2)

𝑙ấ𝑦 (1) − (2): 𝑥4 − 2𝑥3𝑦 + 𝑥2𝑦2 − 𝑥2+ 𝑥𝑦 = 2

6 +𝑘2𝑝𝑖 (𝑛ℎậ𝑛) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 => 𝑥 = −𝑝𝑖

2 + 𝑘2𝑝𝑖(𝑛ℎậ𝑛) 32) cos2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − sin24𝑥 = 1

4

𝑡𝑎 𝑡ℎử ℎạ 𝑏ậ𝑐 𝑛ó 𝑥𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑜 ?:

=> 4 cos3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 sin3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 => 4(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 2(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) + (𝑐𝑜𝑠𝑥 −

2 + 𝑘𝑝𝑖 => 3 tan3𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 +3(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)

cos 2 𝑥 − 4 [cos (𝑝𝑖

2 − 𝑥) + 1] = 0 => 3 tan3𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 +3(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)

6 +𝑘2𝑝𝑖 (𝑛ℎậ𝑛)

√2 )]−𝑝𝑖

4 +𝑘2𝑝𝑖 𝑥=3𝑝𝑖4 −𝑎𝑟𝑐[sin(√2−1

√2 )]+𝑘2𝑝𝑖(𝑛ℎậ𝑛) 38) {7𝑥

3+ 7𝑦3 = (2𝑥 − 𝑦)(𝑦2+ 10𝑥)(1)

2𝑥3+ 𝑦 − 5 = (3 − 𝑦)(𝑥2+ 𝑥)(2) (𝑎𝑛ℎ 𝑁𝑔𝑢𝑦ễ𝑛 𝐻ữ𝑢 𝑇ℎà𝑛ℎ Đạ𝑡) 𝑀ấ𝑦 𝑏ạ𝑛 để ý 𝑡ℎử (2):

=> √3√1 + √1 − 𝑥2(√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥)(2 + √1 − 𝑥2) = 2 + √1 − 𝑥2

=> √3√1 + √1 − 𝑥2(√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥) = 1

=> −[√𝑥 + 2018 − √𝑦 + 2004]2+ 8[√𝑥 + 2018 − √𝑦 + 2004] − 7 = 0 𝑣ớ𝑖 √𝑥 + 2018 − √𝑦 + 2004 = 1

42) 3 + √7𝑥 + 154 = 𝑥 + √2𝑥

đ𝑘: 𝑥 ≥ 0

𝑛ℎư𝑛𝑔 để ý 1 𝑡ý 𝑐ó 𝑡ℎể 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 1 𝑝ℎầ𝑛 𝑛ℎỏ 𝑐á𝑐 𝑏ạ𝑛 𝑔𝑖ỏ𝑖 𝑔𝑖ả𝑖 đượ𝑐 𝑥𝑖𝑛 𝑐ℎú𝑐 𝑚ừ𝑛𝑔 (1) 𝑐ó 𝑣ẻ ℎơ𝑖 𝑚ờ ý 𝑡ưở𝑛𝑔 𝑡ℎử (2)𝑛à𝑜 ‼:

√𝑡 => 𝑡 + 3

√𝑡 + 2 = 0(𝑝𝑡𝑣𝑛 𝑑𝑜 𝑉𝑇 > 0) 𝑣𝑜𝑖 𝑡 = 1 => (√3 + 2)2𝑥 = 1 => 𝑥 = 0

51) tan3(𝑥 −𝑝𝑖

4) = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 đ𝑘: {cos (𝑥 −

𝑝𝑖

4) ≠ 0𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0

𝑝𝑖

4 ) cos(𝑡+𝑝𝑖

𝑡𝑎𝑛𝑡−1 = −2𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑡𝑎𝑛𝑡−1

𝑣ậ𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑡 = 0 ℎ𝑎𝑦 tan2𝑡 = −2

𝑡𝑎𝑛𝑡−1 => tan3𝑡 − tan2𝑡 = −2 => 𝑡𝑎𝑛𝑡 = −1 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑡 = 0 => 𝑥 −𝑝𝑖

4 = 𝑘𝑝𝑖 => 𝑥 = 𝑘𝑝𝑖 +𝑝𝑖

4 (𝑛ℎậ𝑛) 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑡 = −1 => 𝑥 −𝑝𝑖

4 = −𝑝𝑖

4 + 𝑘𝑝𝑖 => 𝑥 = 𝑘𝑝𝑖 (𝑛ℎậ𝑛) 52)2𝑐𝑜𝑠𝑥 +1

đ𝑘: 𝑥 ≥ −9

=> 𝑥4+ 18𝑥3+ 88𝑥2+ 197𝑥 + 163 − (𝑥 + 2)(𝑥3 + 16𝑥2+ 55𝑥 + 84) =(√𝑥 + 9 − 𝑥 − 2)(𝑥3+ 16𝑥2+ 55𝑥 + 84)

=> 𝑥2+ 3𝑥 − 5 = −(𝑥2+3𝑥−5)(𝑥3+16𝑥2+55𝑥+84)

√𝑥+9+𝑥+2

𝑣ậ𝑦 𝑥2+ 3𝑥 − 5 = 0 => 𝑥 = −3±√29

2 (𝑛ℎậ𝑛) ℎ𝑎𝑦 √𝑥 + 9 = −𝑥3− 16𝑥2− 56𝑥 − 86

=> 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − (1 − sin2𝑥) + 2 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0

=> 2 sin2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 = 0 => [𝑠𝑖𝑛𝑥=1𝑠𝑖𝑛𝑥=1

2

6 +𝑘2𝑝𝑖

56) cos22𝑥 + 2(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)3− 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3 = 0

=> [(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)]2+ 2(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)3− 3(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 0 => (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)2[(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)2+ 2(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 3] = 0

𝑣ậ𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ℎ𝑎𝑦 − 2 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0

𝑣ớ𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 => sin (𝑥 +𝑝𝑖

4) = 0 => 𝑥 =𝑝𝑖

2 + 𝑘2𝑝𝑖 𝑣ớ𝑖 − 2 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0

đặ𝑡 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =>𝑡2−1

2 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥(đ𝑘 − √2 ≤ 𝑡 ≤ √2) −2 − (𝑡2− 1) + 2𝑡 = 0 => 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1

1 = 0 => 𝑥 = −1+√5

2 (𝑡ℎõ𝑎) 59) {𝑥

𝑛ℎâ𝑛 𝑐ù𝑛𝑔 𝑣ế 𝑣ờ𝑖 2 𝑝𝑡: −(𝑥2− 𝑦2− 1)2(𝑥 − 1)(𝑦 − 1) = 4𝑥2𝑦2(𝑥 − 1)(𝑦 −1)

61) 𝑥2+ 3𝑥 √3𝑥 + 23 − 12 + 2

√𝑥 = 2√𝑥+8

𝑥 đ𝑘: 𝑥 > 0

2 = √𝑝𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥

2 𝑑𝑘: {𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ −𝑝𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥 ≤ 𝑝𝑖 (∗)

68) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − tan2𝑥 =cos2𝑥−cos3𝑥−1

cos 2 𝑥 đ𝑘: 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0

=> 𝑐𝑜𝑠2𝑥 cos2𝑥 − sin2𝑥 = − sin2𝑥 − cos3𝑥

=> 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

=> 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = cos(𝑝𝑖) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos(𝑝𝑖 + 𝑥) => 2𝑥 = ±(𝑝𝑖 + 𝑥) + 𝑘2𝑝𝑖

=> 𝑥 = −𝑝𝑖

3 +𝑘2𝑝𝑖

3 ℎ𝑎𝑦 𝑥 = 𝑝𝑖 + 𝑘2𝑝𝑖 69) √(2 − 𝑥)3 2 + √(7 + 𝑥)3 2 − √(2 − 𝑥)(7 + 𝑥)3 = 3

đặ𝑡 𝑎3 = 2 − 𝑥, 𝑏3 = 7 + 𝑥 => 𝑎3+ 𝑏3 = 9

𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó: 𝑎2 + 𝑏2− 𝑎𝑏 = 3 => { 𝑎3+ 𝑏3 = 9

𝑎2+ 𝑏2− 𝑎𝑏 = 3 𝑙ấ𝑦 𝑑ướ𝑖 𝑡ℎế 𝑡𝑟ê𝑛: (𝑎 + 𝑏)(𝑎2− 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 3(𝑎 + 𝑏) = 9

𝑎 = 1 => 𝑥 = 1 70)√𝑥2+ 15 = 3√𝑥3 2+ √𝑥2+ 8 − 2

+ √𝑥3 2 +1

=> 𝑥 = ±1 ℎ𝑎𝑦 1

√𝑥 2 +8+3+ 3

√𝑥 4 3

+ √𝑥3 2+1= 0

=> √𝑥2+15−√𝑥2+8+1

(√𝑥 2 +8+3)(√𝑥 2 +15+4)+ 3

√𝑥 4 3

=> 𝑠𝑖𝑛𝑥(3 + 51 sin2𝑥) = 16(1 − sin2𝑥)3 + 2(1 − sin2𝑥)2

=> (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2)(2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1)(8 sin4𝑥 − 12 sin3𝑥 + sin2𝑥 + 12𝑠𝑖𝑛𝑥 + 9) = 0

6 +𝑘2𝑝𝑖

74) {

4𝑥𝑦 + 4(𝑥2+ 𝑦2) +(𝑥+𝑦)3 2 =85

3 (1)2𝑥 + 1

𝑥+𝑦 = 13

3 (2) đặ𝑡 𝑎 = 𝑥 + 𝑦, 𝑏 = 𝑥 − 𝑦 => 𝑎 + 𝑏 = 2𝑥 𝑣à 𝑎 − 𝑏 = 2𝑦 => 𝑎2 − 𝑏2 = 4𝑥𝑦

𝑡ℎế 𝑣à𝑜 ∶ {

4(𝑥 − 𝑦)2+ 12𝑥𝑦 + 3

(𝑥+𝑦) 2 = 85

3 (1)(𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦) + 1

2+ 3 (𝑎2+ 1

𝑎 2) = 85

3 (1)(𝑎 +1

𝑡 = −7

6

𝑣ớ𝑖 { 𝑏 = 1

𝑡 = 10

3 => [𝑎=

1 3

𝑡 = −7

6(𝑝𝑡𝑣𝑛) 75) {

2𝑥3+6𝑥

𝑦 2− 91 = 0(1)7𝑥2+ (2

𝑦 − 25) 𝑥 + 7

𝑦 2−7

𝑦 = 0(2) 𝐵à𝑖 𝑛à𝑦 𝑐ℎẳ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎 𝑛ó 𝑙ấ𝑦 𝑡ừ ý 𝑡ưở𝑛𝑔 ∶ { 𝑥

3− 𝑦3 = 35(∗∗)2𝑥2+ 3𝑦2 = 4𝑥 − 9𝑦(∗∗∗)

đặ𝑡 𝑎 = 𝑥 + 1

𝑦, 𝑏 = 𝑥 − 1

𝑦 => { 𝑎

3 + 𝑏3 = 91(1)4𝑎2+ 3𝑏2 = 16𝑎 + 9𝑏(2) => 𝑝𝑡(1) − 3𝑝𝑡(2) => (𝑎 − 4)3 = (−𝑏 + 3)3

=> 𝑎 − 4 = −𝑏 + 3 => 𝑎 = −𝑏 + 7

{ 𝑎 = −𝑏 + 7

𝑎3 + 𝑏3 = 91 => (7 − 𝑏)

3+ 𝑏3 = 91 => 𝑏 = 3 ℎ𝑎𝑦 𝑏 = 4 𝑣ớ𝑖 𝑏 = 3 => 𝑎 = 4

𝑣ớ𝑖 𝑏 = 4 => 𝑎 = 3

3− 𝑥2𝑦 + 8𝑥𝑦2− 5𝑦3− 6𝑥 + 15𝑦 = 0(𝛼)

𝑥3𝑦 − 10𝑥2− 𝑥𝑦3− 3𝑥𝑦 + 10𝑦2− 30 = 0(𝜕)

𝑡ừ đâ𝑦 𝑡𝑎 𝑙ạ𝑖 𝑡𝑖ế𝑝 𝑡ụ𝑐 𝑏𝑖ế𝑛 đổ𝑖 ℎệ 𝑚ớ𝑖: {−(𝑥 − 𝑦)

2(2𝑥 + 5𝑦) = 3(2𝑥 − 5𝑦)(𝛼)(𝑥𝑦 − 10)(𝑥2− 𝑦2) = 3(𝑥𝑦 + 10)(𝜕) 𝑛ℎâ𝑛 𝑐ℎé𝑜 𝑐ả 2 𝑝𝑡:

125(4𝑥 − 5𝑦)(3𝑥3+ 10𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦2− 5𝑥 − 25𝑦) = 0

𝑣ậ𝑦 4𝑥 − 5𝑦 = 0 ℎ𝑎𝑦 3𝑥3+ 10𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦2 = 5𝑥 + 25𝑦(𝜀)

𝑣ớ𝑖 4𝑥 − 5𝑦 = 0 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑣ớ𝑖 𝑝𝑡(𝛽): { 4𝑥 − 5𝑦 = 0

10𝑦2− 4𝑥2 = 60 => {

2− 4𝑥2 = 603𝑥3+ 10𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦2 = 5(𝑥 + 5𝑦)

𝑣ớ𝑖 𝑦 = 𝑥 (1 + 3

√5) 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑣ớ𝑖 𝑝𝑡(𝛽): { 𝑦 = 𝑥 (1 +

3

√5)10𝑦2− 4𝑥2 = 60

đặ𝑡 𝑎 = √𝑥+𝑦

2 , 𝑏 = √𝑥−𝑦

2 (đ𝑘: 𝑎, 𝑏 ≥ 0) => 𝑎2+ 𝑏2 = 𝑥 𝑣à 𝑎2− 𝑏2 = 𝑦 𝑣à 2𝑎𝑏 = √𝑥2− 𝑦2

𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1): {2(𝑎

2+ 𝑏2)(𝑎2− 𝑏2) + 2𝑎𝑏(𝑎2− 𝑏2) = 14(𝑎 + 𝑏)(1)

𝑎3 + 𝑏3 = 9(2) 𝑉ậ𝑦 𝑎 + 𝑏 = 0(𝑙𝑜ạ𝑖) ℎ𝑎𝑦 2(𝑎2+ 𝑏2)(𝑎 − 𝑏) + 2𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) = 14

3 5

𝑡√2𝑡2+ 1 = 4𝑡2− 1

=> { 𝑥 ≥ −

3 5

𝑉ậ𝑦 𝑥 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖) ℎ𝑎𝑦 𝑥3+ 3𝑥2 = 4𝑥√𝑥 + 3 − 4

𝑣ớ𝑖 (𝑥√𝑥 + 3)2 = 4𝑥√𝑥 + 3 − 4 => (𝑥√𝑥 + 3 − 2)2 = 0 => 𝑥√𝑥 + 3 = 2 => 𝑥 = 1(𝑡ℎõ𝑎) => 𝑦 = 2(𝑡ℎõ𝑎)

=> 𝑥(𝑥 + 3) + 5𝑦2− 4𝑥√𝑥 + 3 + 4 = 0 => (𝑥√𝑥 + 3 − 2)2 + 5𝑦2 =

0(𝑝𝑡𝑣𝑛)

81) { 2(𝑥

3+ 𝑦2) + 𝑦 = 0(1)4𝑥 − 1 = 8(𝑦3+ 𝑥2) + 6𝑦(2𝑦 + 1)(2)

𝑝𝑡(2): 4𝑥 − 1 = 8𝑦3+ 8𝑥2+ 6𝑦(2𝑦 + 1)

=> 4𝑥 = (1 + 2𝑦)(1 − 2𝑦 + 4𝑦2) + 6𝑦(2𝑦 + 1) + 8𝑥2

=> 4𝑥 = (1 + 2𝑦)3+ 8𝑥2

=> {(2𝑦 + 1 − 1)(2𝑦 + 1) + 4𝑥3 = 0(1)(để ý ℎệ 𝑠ố 𝑘ℎ𝑢𝑦ế𝑡 𝑏ậ𝑐 3)

(1 + 2𝑦)3+ 8𝑥2− 4𝑥 = 0(2) => {2(2𝑦 + 1)

2− 2(2𝑦 + 1) + 8𝑥3 = 0(1)(1 + 2𝑦)3 + 8𝑥2− 4𝑥 = 0(2)

=> √(√2𝑥 − 1)2+ 2 + √(√2𝑥 − 1) = √𝑥 − 1 + √(𝑥 − 1)2+ 2

𝑥é𝑡 𝑓(𝑡) = √𝑡2+ 2 + √𝑡 => 𝑓′(𝑡) = 2𝑡

2√𝑡2+2+ 1

2√𝑡(đ𝑘 𝑡 > 0) 𝑣ậ𝑦 𝑓(𝑡)đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑡ă𝑛𝑔 𝑡𝑟ê𝑛 𝑅 => √2𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 => 𝑥 = 2 + √2

88) { 9𝑥

2+ 9𝑦2 + 6𝑦 − 6𝑥 − 23 = 0(1)(𝑥 + 𝑦)(50 − 9𝑥𝑦) = 185

3 + 6𝑦2+ 39𝑥2(2)

2− 6𝑥 + (9𝑦2+ 6𝑦 − 23) = 0(1)(39 + 9𝑦)𝑥2+ (9𝑦2− 50)𝑥 + (6𝑦2 − 50𝑦 +185

=> (𝑦 − 4

3) ([45 − 9𝑥]𝑦 + [144 − 12𝑥 − 9𝑥2]) = 0 𝑉ậ𝑦 𝑦 = 4

=> 𝑓′(𝑡) = 4𝑡3+2𝑡

2√𝑡 4 +𝑡 2 = 2𝑡2+1

√𝑡 2 +1 > 0 𝑣ậ𝑦 𝑓(𝑡)đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 => √𝑥 + 3 = 𝑦

𝑣ậ𝑦 𝑙ấ𝑦 √𝑥 + 3 = 𝑦 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑝𝑡(2): { 𝑦

2 − 𝑥 − 3 = 0(𝑦 ≥ 0)8𝑥2𝑦2 = 24𝑥2+ 6𝑦2 − 17 => 8𝑥2(𝑥 + 3) = 24𝑥2+ 6(𝑥 + 3) − 17 => 2(4𝑥3− 3𝑥) = 1

đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑥(đ𝑘 − 1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑡 ≤ 1)

=> 2(4 cos3𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡) = 1 => 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = 1

2 => 𝑐𝑜𝑠3𝑡 = cos (𝑝𝑖

3)

2(𝑥−3)𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1):

√7𝑦 (1 − 1

𝑥+𝑦) = 4√2(2) đ𝑘: 𝑥, 𝑦 ≥ 0

𝑥+𝑦 = 4

3𝑥−32

7𝑦 => 21𝑥𝑦 = (𝑥 + 𝑦)(7𝑦 − 3𝑥) => (𝑦 − 6𝑥)(7𝑦 + 4𝑥) = 0 => 𝑦 = 6𝑥

𝑣ớ𝑖 𝑦 = 6𝑥 𝑘ế𝑡 ℎợ𝑝 𝑣ớ𝑖 𝑝𝑡(1): {1 +

1 𝑥+𝑦= 2

√3𝑥

𝑦 = 6𝑥 => 1 +

1 7𝑥 = 2

𝑣ớ𝑖 𝑥 = 2 => 𝑦 = 15

99) {(𝑥 − 𝑦)2(√3𝑥2− 𝑥𝑦 + 2𝑦2− 3 + 1) = 4(1)

2𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 2(2) 𝑝𝑡(1): (√3𝑥2− 𝑥𝑦 + 2𝑦2− 3)3− (2𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2−

2 [(√2𝑥2+ 𝑦2 + 1 − 𝑥)2− 1]

2

= (√2𝑥2+ 𝑦2+ 1 − 𝑥)2− 1 đặ𝑡 𝑡 = (√2𝑥2+ 𝑦2+ 1 − 𝑥)2− 1 => 2𝑡2 = 𝑡

6

3

𝑣ớ𝑖 𝑥 = √

√17 √ √73 4 3

4

3

=> 𝑦2 =

(

1 + √

√17 √ √73 4 3