tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý

Chính vìthế nghiên cứu các thuyết Vật lý là con đường không thểthiếu đối với mỗi nhà vật lý lý thuyết cũng như các nhà vật lýthực nghiệm.Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiêncứu qu

LỜI CẢM ƠN

Trên thực tế không có sự thành công nào mà khônggắn liền với những sự hỗ trợ, giúp đỡ dù ít hay nhiều, dùtrực tiếp hay gián tiếp của người khác Trong suốt thời gian

từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, em

đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quýThầy Cô

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, em xin gửi đến quýThầy Cô ở Khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Huế đãcùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốnkiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập tạitrường

Em xin chân thành cảm ơn thầy Đoàn Tử Nghĩa –giảng viên môn Cơ học lý thuyết đã tận tình hướng dẫn,giúp đỡ, tạo điều kiện cho em có thể hoàn thành bài tiểuluận

Cuối cùng, em xin gửi lời lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè

đã đóng góp ý kiến, tạo điều kiện cho em trong suốt thờigian qua để em có thể hoàn thành bài tiểu luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện:

Mai Hoàng

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU ………

3 I. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ ……… 3

II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ……… 3

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ………

4 IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ……… 5

V. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ……… 5

VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ……… 5

B. NỘI DUNG ……… 6

I. KHÁI NIỆM VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ ĐỐI XỨNG……… 6

1. KHÁI NIỆM ……….6

2. MỘT SỐ VÍ DỤ ……….……… 7

II. ĐỐI XỨNG KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN ………8

1. ĐỐI XỨNG KHÔNG GIAN ………8

2. ĐỐI XỨNG THỜI GIAN ……… ………9

III. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II … …

11 1. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE ĐỐI VỚI CƠ HỆ HOLONOM……… 11

2. PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE ĐỐI VỚI CƠ HỆ KHÔNG HOLONOM……….……… 14

IV. THIẾT LẬP CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……… 16

1. BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG ……… … 16

2. BẢO TOÀN MOMEN XUNG LƯỢNG … 16

3. BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG ……….18

V. VAI TRÒ CỦA CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……… 19

VI. VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ……… 19

C. KÊT LUẬN………

… 22

PHẦN A: MỞ ĐẦU

I. Lịch sử đề tài:

Đối xứng đã tồn tại sẵn trong tự nhiên ngay từ khi tựnhiên xuất hiên Tự nhiên xuất hiện khi nào cũng không aitrả lời được Cho đến khi con người xuất hiện với ngôn ngữviết, đối xứng cũng chỉ tồn tại và nảy sinh một cách tự nhiêntrong tâm trí con người Khái niệm đối xứng đó mới chỉ dừnglại ở cảm quan trực tiếp của con người về đối xứng hình họccủa vật thể

Trong quá trình các nhà vật lý nghiên cứu khoa học thấy cácđịnh luật bảo toàn tỏ ra vạn năng đến nỗi sau khi được kháiquát hóa đích đáng chúng đã được áp dụng không chỉ trong

cơ học cổ điển, mà cả vào lý thuyết tương đối và vật lý lượng

tử Nguyên nhân làm cho chúng thành vạn năng thì chưa rõ,cho đến khi thiết lập được mối liên hệ giữa chúng và các tínhchất đối xứng của không gian và thời gian Người đầu tiên chỉ

ra mối liên hệ đó là vào năm 1904, G Gamel, song côngtrình của ông thực sự không được biết tới tring nhiều năm Ởdạng thức tổng quát hơn, bản chất các định luật bảo toàn đãđược vạch ra năm 1918 bởi một nhà toàn học Emmy Noether(1882 – 1935)

II. Lí do chọn đề tài :

Thế kỉ XX là thế kỉ của vật lý, đi tiên phong là Vật Lý lýthuyết Sự ra đời của các thuyết vật lý đã tạo cơ sở, nền tảngcho sự phát triển vững mạnh cho ngành Vật lý học Chính vìthế nghiên cứu các thuyết Vật lý là con đường không thểthiếu đối với mỗi nhà vật lý lý thuyết cũng như các nhà vật lýthực nghiệm.Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiêncứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu củachuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhângây ra chuyển động, sự tương tác của các lực trong khônggian theo thời gian Tất cả các nguyên lý của các ngành cơhọc ứng dụng khác đều dựa trên phương pháp và kết quảcủa cơ học lý thuyết

Trong quá trình nghiên cứu các nhà khoa học đã tìm ranhững tính chất chung, phổ biến thậm chí như tất yếu đối vớitất cả các thuyết mà đối xứng và các định luật bảo toàn lànhững tính chung nhất, phổ biến nhất và tất yếu nhất Vàđiều đặc biệt là mọi phép biến đổi đối xứng liên tục của cácđịnh luật vật lý đều ứng với bảo toàn của một đại lượng độnglực học nhất định Các ví dụ quan trọng nhất của phép biếnđổi như thế là dịch chuyển song song trong không gia ( tịnhtiến ), dịch chuyển thời gian và quay trong không gian Cáithứ nhất là một biến đổi đối xứng, vì tính đồng nhất củakhông gian, cái thứ hai là vì tính đồng nhất của thời gian, còncái thứ ba là vì tính đẳng hướng của không gian

Trong lĩnh vực vật lý này các định luật kiểu như vậythường là nguồn thông tin cơ bản và đôi khi là duy nhất vềtính chất đối tượng được nghiên cứu Vậy nên việc tìm kiếm

đối xứng để rút ra những định luật bảo toàn trở nên một loạinhiệm vụ quan trọng bậc nhất của vật lý học hiện đại.

Qua tìm hiểu thấy “tính đối xứng và các định luật bảo

toàn trong vật lý” là một lĩnh vực hấp dẫn, nhiều thú vị,

bản thân là một sinh viên vật lý em quyết định chọn đề tàinày làm đề tài nghiên cứu tiểu luận cho mình

III. Đối tượng nghiên cứu:

Các hiện tượng quá trình, các thuyết, các định luật vàcác phương tiện vật lý

IV. Mục đích nghiên cứu:

Đề tài cần phải nêu và chứng minh được tính đối xứngtrong các định luật, các thuyết vật lý Trên cơ sở đó mởhướng phát triển của các thuyết vật lý, đặc biệt là các thuyếtcho thế giới siêu vi mô

V. Nhiệm vụ nghiên cứu

quá trình vật lý

bảo toàn của các định luật, thuyết vật lý, phươngtrình vật lý tương ứng

đối xứng trong vật lý

VI. Phương pháp nghiên cứu

tầm được

- Hệ thống hóa viết thành tài liệu chuyên khảo về

“tính đối xứng và các định luật bảo toàn trong vật lý”

PHẦN B: NỘI DUNG

I. Khái niệm và các ví dụ về đối xứng:

1. Khái niệm:

với mỗi chúng ta Nếu để ý một chút ta cũng nhận thấyhầy như tất cả các vật thể vật chất đều có hình dạng đốixứng Chúng ta thích nhìn những biểu hiện đối xứng trong

tự nhiên, nhìn các hành tinh và mặt trời có hình cầu đốixứng một cách lý tưởng, nhìn các tinh thể đối xứng, nhìncác hoa tuyết và cả nhưng bông hoa gần như đối xứng

Hình 1 Các hình ảnh mang tính chất đối xứng trong thực tế.

sinh một cách tự nhiên trong tâm trí con người Đối xứng

là gì mà lại có một sức hấp dẫn đặc biệt đến vậy? Dườngnhư đối xứng gợi ra một cảm giác về cân đối, về kiểu mẫu

và đều đặn, về hài hoà và đẹp đẽ, và cuối cùng về thuầnkhiết và hoàn hảo Thông thường, chúng ta chỉ quan sát sựbiểu hiện của đối xứng trục, đối xứng mặt…một định luật,định lý, lý thuyết Vật lý có đối xứng chăng? Để dễ liêntưởng ta xét một ví dụ đối xứng hình học: nhìn vào mộtngười ta thấy nữa bên trái đối xứng với nữa bên phải, ítnhất là hình dạng bên ngoài Một lọ hoa cũng đối xứng nhưvậy hoặc chỉ hơi khác một chút

cần được xây dựng từ các nguyên lý đối xứng Quả vậy,các qui luật sẽ không tồn tại được nếu các qui luật thay đổi

từ ngày này sang ngày khác, từ thời điểm này sang thờiđiểm khác, thì chúng sẽ không trở thành qui luật nữa Tráilại, như chúng ta sẽ thấy sau này, sự việc diễn biến củacác hệ cô lập không phụ thuộc vào thời điểm và vị trí trongkhông gian sẽ dẫn đến những qui luật vật lý xác định: đó

là các qui luật về bảo toàn năng lượng và xung lượng Rõràng ở đây cái chốt của vấn đề là tính chất tương đươnghay là tính chất đối xứng giữa những thời điểm khác nhau

và những điểm khác nhau của không gian

dầu không được rõ nét sau đó đã được Einstein phát triểncuối cùng đã được mở rộng trong lĩnh vực vật lý lượng tử, ở

đó các nguyên lý đối xứng có liên quan cả đến những hìnhthái tương tác khác nhau của vật chất ( tương tác điện từ,tương tác yếu, tương tác mạnh, tương tác hấp dẫn)

sau:

quan đến các tính chất đối xứng của không gian và thờigian và được gọi là nguyên lý đối xứng hình học

thái tương tác nói trên, được gọi là nguyên lý đối xứngđộng lực

chất trực quan như các nguyên lý đối xứng hình học

tính chất đối xứng là đại số học, nói riêng là lý thuyếtnhóm, trong đó một khái niệm hết sức quan trọng là kháiniệm bất biến

2. Một số ví dụ:

Thân hình đối xứng nghĩa là nếu chuyển nữa ngườibên trái bên phải và ngược lại, tức là đổi chỗ cho hai nữangười cho nhau, thì ta thấy người đó vẫn như cũ Hình

nó giống nguyên như cũ

Bây giờ ta xét tính đối xứng của một định luật Vật lý:Định luật coulomb về sự hút tĩnh điện giữa một electronmang điện âm và một hạt nhân nguyên tử mang điệndương…Ở đây ta có tính đối xứng cầu của điện trường doelectron hay hạt nhân tạo ra, đối xứng Coulomb: khielectron hay hạt nhân di chuyển trong mặt cầu bất ký thìlực Coulomb khôg đổi Ta cũng có đối xứng điện tíchelectron mang điện âm và điện dương của hạt nhân

Đảo 2 vị trí của electron và hạt nhân lực Coulomb Fvẫn giữ nguyên dạng là đối xứng, di chuyển hệ electron vàhạt nhân sang một vị trí khác F vẫn giữ nguyên dạng là đốixứng

Như vậy, đối với trường hợp của chúng ta, một vàitính chất của các định luật, thuyết Vật lý biểu hiện rấtgiống với những tính chất của một số vật đối xứng – biếnđổi nó như thế nào đó thì ta lại được kết quả giống nhưban đầu Ta tìm hiểu đối xứng với ý nghĩa như vậy trongVật lý học

Bây giờ ta hãy nhắc lại định nghĩa đối xứng xủa nhàtoán học Đức Hermann Weyl đưa ra làm cơ sở cho việcxét tính chất đối xứng các định luật, thuyết Vật lý của tamột vật là đối xứng nếu ta có thể làm một thứ gì đó đốivới nó mà sau khi làm xong thì khi đó nó vẫn như trước.Đây là một định nghĩa có tính chất thao tác – nó có thểquyết định Chữ “vật” ở đây là đối tượng quan tâm Cái

mà ta làm đối với nó được gọi là pháp biến đổi đối xứng.Còn “ nhìn vẫn như cũ” cũng chỉ là một cách gọi khác của

sự bất biến “sự bất biến” Chữ “nhìn” tự nó là một tínhchất nào đó, nhận ra được của vật phải được giữ khôngđổi, dưới tác dụng của “nhóm” biến đổi đối xứng Nhưvậy, trong trường hợp của chúng ta, ta cần chú ý rằng cóthể biến đổi các định luật, các thuyết Vật lý hoặc cáccách biểu diễn chúng như thế nào tuỳ ý nhưng khôngđược làm ảnh hưởng tới hệ quả của chúng Ta hãy đi xem

xét, tìm hiểu tính chất như thế trong tất cả các lĩnh vựccủa vật lý học từ cổ chí kim

II. Đối xứng không gian và thời gian:

1. Đối xứng không gian:

Điều đó có nghĩa là vị trí tuyệt đối của một vật thểkhông có nghĩa gì cả Điều có ý nghĩa ở đây là các địnhluật vật lý không thay đổi trong phép tịnh tiến khônggian Xét một cơ hệ chuyển động tại mặt đất, lúc đó đinhluật II Newton cho cơ hệ là:

Định luật vạn ật hấp dẫn của hai vật trong cơ hệ là:

Ta di chuyển cơ hệ này tới một vị trí khác trong khônggian, ví dụ ngoài khoảng không vũ trụ chẳng hạn, thì lúc

đó chuyển động của cơ hệ vẫn tuân theo định luật IINewton

Và lực hấp dẫn giữa hai vật trong cơ hệ vẫn là dạng:

Tất nhiên, tính đồng nhất trong không gian đòi hỏi taphải di chuyển tấtcả những điều kiện ảnh hưởng tới cơ hệcủa ta

Tính đồng nhất của không gian còn thể hiện ở các thínghiệm vật lý diễn ra như nhau tại các vị trí khác nhau.Với điều kiện ta phải kể tới tất cả những gì ảnh hưởng tớithí nghiệm và chuyển tất cả những cái đó đi cùng vớithiết bị thí nghiệm

Ví dụ, ta xét một hệ con lắc và thử di chuyển đi 20nghìn dặm lên trên xa Rõ ràng là nó sẽ hoạt động khôngđúng như trước được, bởi vì con lắc cần tới sức hút củaTrái đất Nhưng nếu ta dịch chuyển cả hành tinh củachúng ta cùng với thiết bị thì sẽ hoạt động y như trước

Tính đẳng hướng của không gian nghĩa là không cómột hướng nào tuyệt đối, mọi hướng là tương đươngnhau Nếu ta tiến hành một thí nghiệm nào đó, rồi quaytoàn bộ thị nghiệm sang một hướng mới và lặp lại thínghiệm đó thì kết quả vẫn như cũ Các quy luật chi phốithí nghiệm vẫn diễn ra như cũ

Ví dụ, ở hướng này, lực hấp dẫn tỷ lệ với tích hai khốilượng m1, m2, tỷ lệ với , thì ở hướng kia ta vẫn có tỷ lệ với

m1.m2 và …Và khi quay thí nghiệm thì ta nhớ quay cảnhững gì ảnh hưởng tới thí nghiệm.

Ví dụ, dao động của con lắc đơn trong đồng hồ ngày

hộp Nhưng nếu ta quay Trái đất đi cùng với nớ thì con lắcvẫn dao động như lúc chưa quay

2. Đối xứng thời gian

Thời gian là đồng nhất, nghĩa là mọi thời điểm đềunhư nhau, không có gốc thời gian tuyệt đối Các định luậtVật lý như nhau ở quá khứ, ở hiện tại, ở tương lai Cácđịnh luật Vật lý cổ điển được phát hiện từ rất lâu đến nay

nó vẫn giữ nguyên, nghiệm đúng cho các hiện tượng, quátrình mà ta xét trước đây Và trong tương lai, với các quátrình, hiện tượng đó, định luật vẫn cho nghiệm đúng NhưNewton phát hiện các hệ quy chiếu quán tính là tươngđương nhau và dùng các thí nghiệm cơ học ta vẫn chứngminh được tính đối xứng của các hệ quy chiếu quán tính

và ở trong tương lai cũng thế

Quả táo rơi xuống đất khi nó rụng theo định luật vạnvật hấp dẫn của Newton Đến nay, khi rụng qua táo cúngvẫn rơi xuống đất và công thức tính lực hấp dẫn vẫn là:

Các hiện tượng vật lý diễn ra với quy luật như nhaukhôn phụ thuộc vào quá khứ, hiện tại, tương lai

Ta phóng một hành tinh quay quanh mặt trời, theomột hướng xác định Và giả sử ta có thể phòng nó một lầnnữa sau hai năm và trong lần thứ hai này, cách phóng từđiểm xuất phát cũng như vị trí tương đối của hành tinh vàmặt trời lúc bắt đầu phóng hoàn toàn giống như lần trước,thì chuyển động nó vẫn diễn ra

Tính đối xứng của thời gian còn thể hiện ở tính thuậnnghịch vủa thời gian Nghĩa là một hiện tượng quán tínhdiễn ra thì nó có thể diễn ra theo chiều ngược lại Tínhchất này của thời gian được quan sat nhiều trong thế giới

vi mô, các quá trình “thuận” và “nghịch” có xác suất nhưnhau Các phân tử trong một thể tích khi nhỏ do va chạmnên khi thì chạy dồn lại với nhau, khi lại chạy đi tứ tánlàm cho mất độ phân tử chỉ tính trung bình mới là khôngđổi

III. Các phương trình lagrange loại II:

Phép tính biến phân ( biến thiên )

Tính chất 2: δ =

IV Thiết lập các định luật bảo toàn:

1. Bảo toàn động lượng:

Định luật này được quy ra từ tính đồng nhất của khônggian

Không gian là đồng nhất,nghĩa là mọi điểm của khônggian là bình đẳng như nhau Từ đó nếu hệ tịnh tiến đếnmột vị trí mới thì tính chất vật lí của hệ sẽ không thay đổi,

do đó hàm Lagrange mô tả hệ phải bất biến trong phéptịnh tiến này

→ + thì δL = 0

Mà L = L ( , , t ) i = 1, 2, …, n

δL = + + = 0

Suy ra: = 0

Theo phương trình Lagrange:

=

Nên ta có:

=

Đặt P = : gọi là xung lượng của hệ

P = const

2. Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ :

Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ kín liên hệchặt chẽ với tính đẳng hướng của không gian Không gianđược gọi là đẳng hướng nếu mọi hướng của không gian của

nó đều đóng vai trò như nhau về mặt vật lý Điều đó có ýnghĩa rằng khi quay toàn bộ cơ hệ kín xung quanh một trụcbất kì với một góc ( mọi chất điểm của cơ hệ đều cùng quay

nguyên về độ lớn vầ chỉ thay đổi về chiều) thì mọi tínhchất vật lý của cơ hệ kín không thay đổi và do đó hàmLagrange của hệ kín là bất biến, nghĩa là :

toàn bộ cơ hệ kín quanh một trục nào đó với một góc Trụcquay và góc quay hoàn toàn tùy ý Từ hình (3) dễ thấy rằng

điểm O

bang0

Như vậy, đối với cơ hệ kín thì momen xung lượng của cơ

hệ đối với gốc O bất kì là đại lượng được bảo toàn.

Thực hiện phép tính đạo hàm theo thời gian đẳng thức

hệ đối với gốc O bất kì bằng không

Trong đó : được gọi là momen xung lượng của hệ

= const

3. Định luật bảo toàn cơ năng :

Theo cơ học cổ điển cho rằng định luật bảo toàn nănglượng được phát biểu như sau :

Trong một hệ cô lập năng lượng có thể chuyển đổi

từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng toàn phần thì không đổi.

Phương trình biểu diễn tổng quát :

khác ) = 0

Nhưng nếu lực tác dụng xuyên qua biên của hệ và thựchiện công W trên các vật trong hệ thì hệ không không còn côlập, và không thể áp dụng phương trình trên nên phươngtrình được viết lại :

E = ∆K + ∆U + ∆Eint

Còn theo cơ học lý thuyết thì :

Định luật bảo toàn năng lượng của cơ hệ kín liên hệ chặtchẽ với tính đồng nhất của thời gian Thời gian được gọi làđồng nhất nếu mọi thời điểm đểu tương đương với nhau về

hàm Lagrange của cơ hệ không thay đổi, nghĩa là :

) – L( t,) = = 0 (49)

Lấy đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm