MỤC LỤCPHẦN I – ĐỀ BÀI4GIỚI HẠN DÃY SỐ4A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP4B – BÀI TẬP4DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA4DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN7GIỚI HẠN HÀM SỐ15A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT15B – BÀI TẬP15DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM15DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 18DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 23DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC27DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC29HÀM SỐ LIÊN TỤC32A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP32B – BÀI TẬP32DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM32DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH37DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH41ÔN TẬP CHƯƠNG IV42PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI50GIỚI HẠN DÃY SỐ50A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP50B – BÀI TẬP50DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA50DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN55GIỚI HẠN HÀM SỐ78A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT78B – BÀI TẬP78DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM78DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 85DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 95DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC106DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC110HÀM SỐ LIÊN TỤC117A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP117B – BÀI TẬP117DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM117DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH125DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH134ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV135
Trang 1MỤC LỤ
Trang 2PHẦN I – ĐỀ BÀI 4
GIỚI HẠN DÃY SỐ 4
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 4
B – BÀI TẬP 4
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 7
GIỚI HẠN HÀM SỐ 15
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 15
B – BÀI TẬP 15
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 15
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 0 18
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 23
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 27
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 29
HÀM SỐ LIÊN TỤC 32
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 32
B – BÀI TẬP 32
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 32
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 37
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 41
ÔN TẬP CHƯƠNG IV 42
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI 50
GIỚI HẠN DÃY SỐ 50
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 50
B – BÀI TẬP 50
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 50
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 55
GIỚI HẠN HÀM SỐ 78
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 78
B – BÀI TẬP 78
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 78
Trang 3DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
0
0 85
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 95
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 106
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 110
HÀM SỐ LIÊN TỤC 117
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 117
B – BÀI TẬP 117
DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 117
DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 125
DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 134
ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV 135
Trang 4PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ
thì a 0 và lim u n a
c) Nếu u n v n
,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim u n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =
11
u q
u v
= 0c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
thì lim
n n
u v
=
n n 0
neáu a v neáu a v
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
thì lim(un.vn) =
00
neáu a neáu a
Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0 .
Để chứng minh limu n ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiênM
n sao cho u n M n n M
Để chứng minh limu n ta chứng minh lim(u n)
Trang 5 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A Nếu limu n
, thì limu n B Nếu limu n
, thì limu n
C Nếu limu , thì lim n 0 u n 0
D Nếu limu n , thì lima u n a
Câu 2 Giá trị của
1lim
n ( k *) bằng:
Câu 4 Giá trị của
2sinlim
n bằng:
Câu 7 Giá trị của
2lim
Trang 6A B C 0 D 1
Câu 15 Giá trị của
2lim2
Trang 7DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản
Khi tìm
( )lim( )
trong đó lim ( ) lim ( )f n g n ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn
+ Dùng các hằng đẳng thức:
a b a b a b; 3a 3b 3a2 3ab3b2 a b
Dùng định lí kẹp: Nếu u n v n
,n và lim vn = 0 thìlim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của
tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu
Câu 1 Cho dãy số u n với n 4n
n u
n bằng:
23
D.1
Câu 4 Giá trị của.
2 2
lim(3 1)
12
1
2
Trang 8Câu 6 Giới hạn dãy số u n với
43
1lim
Trang 9Câu 17 Giá trị của.
4 4
a n a n a D
b n b n b (Trong đó ,k p là các số nguyên dương; a b k p 0) bằng:
Câu 24 Kết quả đúng của
2
2 5lim
Trang 10Câu 28 Giá trị của. 1 1
Trang 11
n B
n n bằng:
Trang 12Câu 52 Giá trị của. 2 2 2
1lim
n
n n T
Câu 62 Tính giới hạn của dãy số 1 2
n u
Trang 13Câu 64 Tính giới hạn của dãy số 2
Câu 65 Tính giới hạn của dãy số 2 3 3 2
D.
112012!
Câu 72 Tìm limu biết n 2
1 1 khi 0( )
Trang 14Câu 73 Tìm limu biết n 2
Câu 80 Tìm giá trị đúng của
Trang 15
0
1lim
nếu L và g x cùng dấu
f x g x nếu L và g x trái dấu
Trang 16+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu ( )f x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0
+ Nếu ( )f x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải)
Câu 1 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
5 1
11
Câu 3 Tìm giới hạn hàm số 1
1lim
Câu 6 Tìm giới hạn hàm số
3lim
Trang 174lim
Trang 18Câu 19 Tìm giới hạn hàm số
2
1
1lim
x bằng định nghĩa.
Câu 23 Tìm giới hạn hàm số 2 2
1lim
x x bằng định nghĩa.
16
x bằng định nghĩa.
16
Trang 19Câu 29 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x0
2
2
5 3 2 1 0( )
D 1
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
00
0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Trang 20ax A
Trang 21D 1
Câu 13 Tìm giới hạn
3 4 0
1 1lim
Trang 23Câu 33.Tìm giới hạn
3 4
Trang 24với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhânlượng liên hợp
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
7lim
Trang 25
Câu 7.Tìm giới hạn
1lim1
Trang 26Câu 19.Tìm giới hạn lim416 4 3 1 4 2 2
D 0
Câu 21.Tìm giới hạn
2 2
x x :
4
Trang 272lim cos
nx là:
Trang 28DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC
Phương pháp:
1 Giới hạn một bên :Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương
2 Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa
về dạng
3 Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên
Câu 1 Chọn kết quả đúng của 0 2 3
1lim
1)
x f
D 0
Trang 30DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC
32sin2
tan 2lim
sin( )
m n x
x A
Trang 31Câu 15.Tìm giới hạn
4 4 0
sin 2limsin 3
x
x D
Trang 32Câu 23.Tìm giới hạn
4 4 0
sin 2limsin 3
x
x D
D 0
Câu 28.
2 2
Trang 332 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0
Hàm số y =
( )( )
f x
g x liên tục tại x
0 nếu g(x 0 ) 0.
4.Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b).
Mở rộng:Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m = ;
Trang 35( )1 khi 44
f x
x
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A Hàm số liên tục tại x4
B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x4
C Hàm số không liên tục tại x4
B Hàm số liên tục tại mọi điểm
C Hàm số không liên tục tại x1
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A Hàm số liên tục tại tại x1và x1.
Trang 36B Hàm số liên tục tại x1, không liên tục tại điểm x1.
C Hàm số không liên tục tại tại x1và x1.
Câu 14 Cho hàm số
2 khi 1
x x Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A Hàm số liên tục tại tại tại x0 1
B Hàm số liên tục tại mọi điểm
C Hàm số không liên tục tại tại x0 1.
B Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 0
C Hàm số không liên tục tại x0 0
D Tất cả đều sai
Câu 16 Cho hàm số
khi 11
( )1 khi 13
f x
x
Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A Hàm số liên tục tại x1
B Hàm số liên tục tại mọi điểm
C Hàm số không liên tục tại tại x1
B Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C Hàm số không liên tục tại x0 2
D Tất cả đều sai
Trang 37D 1
Câu 20 Tìm a để các hàm số
2 2
khi 11
( )
khi 13
Trang 38DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH
Phương pháp:
+ Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
+ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Câu 1 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Trang 39x x
x x
B Hàm số liên tục tại mọi điểm
C Hàm số không liên tục trên 2 :
D Hàm số gián đoạn tại điểm x2.
Câu 8 Cho hàm số
3
3
1 khi 11
( )
khi 12
B Hàm số không liên tục trên
C Hàm số không liên tục trên 1:
D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1.
, 0 11
Trang 40Câu 14 Cho hàm số f x( ) 2sin x3tan 2x Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A Hàm số liên tục trên B Hàm số liên tục tại mọi điểm
f x
a khi x Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên
C Hàm số không liên tục trên 1:
D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1.
khi x Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên
C Hàm số không liên tục trên 0; D Hàm số gián đoạn tại các điểm x0.
Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên
C Hàm số không liên tục trên 2;
D Hàm số gián đoạn tại các điểm x2.
Trang 41Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A Hàm số liên tục trên B Hàm số không liên tục trên
C Hàm số không liên tục trên 2;
D Hàm số gián đoạn tại các điểm x1.
Câu 19 Xác định a b, để các hàm số
sin khi
2khi
C
10
D
20
m
Trang 42DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số yf x( )
liên tục trên D và có hai số a b D, sao cho f a f b( ) ( ) 0 .
Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tục
trên D và tồn tại k khoảng rời nhau ( ;a a i i1) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f a f a( ) (i i1) 0 .
Câu 1 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Trang 43ÔN TẬP CHƯƠNG IVCâu 1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?
Trang 44Câu 12
4 4
Câu 18 Nếu limu n thì limL u n 9
có giá trị là bao nhiêu?
Câu 19 Nếu limu n thì L 3
1lim
12
18
L .
Câu 20
4lim
1
n n
Câu 22.
4 4
10lim
n n
có giá trị là bao nhiêu?
Trang 4513
Câu 32 Tổng của cấp số nhân vô hạn
23
Trang 46Câu 36 Tổng của cấp số nhân vô hạn
n
n u
2
n
n u
lim
n n
lim
n n
3 2lim
n n
3 2lim
n n
3
Trang 47Câu 48.
4
3lim
5 C
2.5
5 C
2.5
D
2.3
9 C
3
5.3
Câu 52
4 1
3lim
2
2.7
Câu 53
4 4 2
11
13.6
Câu 54.
2 2
4
C
2.3
D
1.2
Câu 56.
3 2 2
C
6
Câu 57
3 1
Trang 48A 0. B
1
3
2.3
Câu 59.
2 2
35
Câu 60.
2 1
3
Câu 61.
3 2 1
1lim
1.3
Câu 62 1
2lim
Câu 63.
3 2 1
10lim
9
11.2
1.2
Câu 68
4
1
1lim
Trang 491
y
y y
4.3
1
1.2
5 C
2
2.5
Trang 50Câu 80.
3 2 1
1lim
D
8.3
Câu 86.
2
1
1lim
1
x
x x
1
5.3
Trang 51Hàm số f x
liên tục tại:
C mọi điểm trừ x 1. D mọi điểm trừ x và0 x 1
Câu 91. Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?
Trang 52thì a 0 và lim u n a
c) Nếu u n v n
,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim u n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =
11
u q
u v
= 0c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
thì lim
n n
u v
=
n n 0
neáu a v neáu a v
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
thì lim(un.vn) =
00
neáu a neáu a
Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0 .
Để chứng minh limu n ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiênM
n sao cho u n M n n M
Để chứng minh limu n ta chứng minh lim(u n)
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Trang 53Câu 1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A Nếu limu n , thì limu n B Nếu limu n , thì limu n
C Nếu limu , thì lim n 0 u n 0. D Nếu limu n , thì lima u n a
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Theo nội dung định lý.
Câu 2 Giá trị của
1lim
Câu 4 Giá trị của
2sinlim
M
M n
Ta có: 2n 1 2n M 1 M n n M lim(2n1).
Câu 6 Giá trị của
21lim n
n bằng:
Hướng dẫn giải:
ChọnB
Trang 54Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n thỏa M
2 1
M M
n
M n
Trang 55Hướng dẫn giải:
Chọn D
Trang 56Với số thực a0 nhỏ tùy ý, ta chọn
11
a
n a
Trang 58DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản
Khi tìm
( )lim( )
trong đó lim ( ) lim ( )f n g n ta thường tách và sử dụng
phương pháp nhân lượng liên hơn
+ Dùng các hằng đẳng thức:
a b a b a b; 3a 3b 3a2 3ab3b2 a b
Dùng định lí kẹp: Nếu u n v n
,n và lim vn = 0 thìlim un = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của
tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu
Câu 1 Cho dãy số u n với n 4n
n u
Trang 59n bằng:
23
lim(3 1)
12
Trang 60n n
Câu 10 Giá trị của
Trang 61Ta có:
3
4 4
51
1lim
Trang 63a n a n a D
b n b n b (Trong đó ,k p là các số nguyên dương; a b k p 0
) bằng:
Trang 64Câu 24 Kết quả đúng của
2
2 5lim
Trang 6532
344
23
44
Trang 66Ta chia làm các trường hợp sau
TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho k
Trang 70
n B
n n bằng:
Hướng dẫn giải:
Trang 71Chọn C.
Ta có:
n n
Trang 72Suy ra
2 3
n
n n T
D.1 2
q q
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: u n qu n q q2q3 q n nq n1
Trang 731(1 )
q
q Suy ra lim n 1 2
q u
n u
Trang 74Từ công thức truy hồi ta có: x n1x n, n 1, 2,
Nên dãy ( )x là dãy số tăng n
Giả sử dãy ( )x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim n x n x
Với x là nghiệm của phương trình : xx2 x x 0 x1 vô lí
Do đó dãy ( )x không bị chặn, hay lim n x n .
D.
112012!
Trang 77Câu 75 Tìm limu biết n dau can
2 2 2
n n
n
1 1 2
Trang 78Hướng dẫn giải:
Trang 80n n A
n A
x x
và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớnhơn)
Trang 8111
Trang 82
0
1lim
nếu L và g x cùng dấu
f x g x nếu L và g x trái dấu
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số
+ Nếu f x( ) là hàm số cho bởi một cơng thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0
Trang 83+ Nếu f x( ) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
Câu 1 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của
5 1
11
Trang 84Câu 6 Tìm giới hạn hàm số
3lim
n
x x
Câu 9 Cho hàm số
2 3
Trang 85x x
n
x x
3lim
Trang 86Câu 16 Tìm giới hạn hàm số lim 2 1
4lim
Câu 20 Tìm giới hạn hàm số 6
2 tan 1lim
Trang 87Câu 23 Tìm giới hạn hàm số 2 2
1lim
x x bằng định nghĩa.
16
x bằng định nghĩa.
16
Trang 88Câu 28 Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2
2
2
1 khi 2( )
a
là giá trị cầntìm
Câu 29 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x0
2
2
5 3 2 1 0( )
Trang 89Hàm số có giới hạn khi 1 lim ( ) lim ( )1 1
Trang 90DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH
00
0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
1lim