Bài toán phân cụm dữ liệu và phân cụm mờ

Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng, t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xét trong [9-13]. Cũng giống như toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng có một phạm vi ứng dụng rộng lớn tử trong điều khiển học, trong trí tuệ nhân tạo, đặc biệt là trong các vấn đề về hệ suy diễn và khai phá dữ liệu. Tìm kiếm luật kết hợp là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong khai phá dữ liệu [38]. Bài toán tìm luật kết hợp boolean được giới thiệu lần đầu tiên trong [2]. Ví dụ cho luật này có thể là như sau: “90% số người mua bơ và sữa sẽ mua cả bánh mì”. Đã có nhiều thuật toán được đưa ra nhằm giải quyết bài toán này, như Apriori [3], FP-growth [27,23], Eclat [1]… Bài toán luật kết hợp lượng hoá được nêu ra trong [40]. Lấy ví dụ, một luật kết hợp lượng hoá cho cơ sở dữ liệu với ba thuộc tính về có thể là “ và → ”. Thuật toán đưa ra trong [40] phân hoạch miền giá trị của các thuộc tính thành các khoảng và sau đó kết hợp các khoảng rời nhau để cho lời giải của bài toán. Thao tác này thực chất là chuyển bài toán luật kết hợp lượng hoá về bài toán luật kết hợp boolean. Mặc dù phương pháp phân hoạch dữ liệu cũng giải quyết được một số bài toán tìm luật kết hợp trên cơ sở dữ liệu lượng hoá. Tuy nhiên, cũng có một số vấn đề phát sinh như trong [35] đã chỉ ra. Đó là vấn đề mất mát thông tin nếu như có nhiều giá trị tập trung xung quanh các biên của các khoảng. Việc chia các giá trị gần nhau vào các khoảng khác nhau sẽ dẫn tới việc mất thông tin trong các phân tích về sau. Một phương pháp tiếp cận khác là chia miền dữ liệu thành các vùng có chồng lên nhau. Khi đó, các phần tử nằm gần biên có thể thuộc nhiều hơn một khoảng, và sẽ giải quyết được phần nào vấn đề mất mát thông tin tại các lân cận biên. Tuy nhiên, tiếp cận này vẫn có phần bất hợp lý do việc phần tử gần biên cũng sẽ có vai trò quan trọng trong việc mô tả đặc trưng của khoảng giống như các phần tử gần trung tâm. Tất cả những vấn đề trên chủ yếu xuất phát từ việc sử dụng biên rõ ràng để chia khoảng. Từ đó, trong [35] đã đề nghị sử dụng tiếp cận mờ. Tập mờ cung cấp thay đổi uyển chuyển giữa các vùng dữ liệu, và vấn đề xuất phát từ biên rõ sẽ được loại bỏ. Trong [35], các luật kết hợp mờ có dạng, “Nếu X là A thì Y là B”, trong đó “X là A” được gọi là phần tiền tố của luật, “Y là B” được gọi là phần hệ quả của luật. X và Y là các tập thuộc tính của cơ sở dữ liệu, A và B là các tập từ mô tả X và Y tương ứng. Báo cáo này tập trung nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, đồng thời xem xét một khía cạnh ứng dụng vào bài toán luật kết hợp mờ. Chương 2 của báo cáo tập trung vào các nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, mô tả các khái niệm về lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, cặp hàm sinh của lớp các toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Chương 3 của báo cáo mô tả về bài toán luật kết hợp mờ, vấn đề mờ hóa dữ liệu đầu vào, đồng thời xem xét ứng dụng t-chuẩn có ngưỡng vào việc bài toán luật kết hợp mờ. Phần phụ lục cuối báo cáo cung cấp các lớp toán tử mờ có ngưỡng có tham số, mô tả về chương trình Fuzzy Rules Miner cài đặt thuật toán F-Apriori, cấu trúc các file dữ liệu đầu vào và các kết quả chạy thử nghiệm chương trình.

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thày giáo Bùi Công Cường đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu cũng như hoàn thành báo cáo của mình Sự chỉ bảo tận tình của thày trong suốt quá trình từ những ý tưởng ban đầu cho đến khi báo cáo được hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em

Sau đó, em xin chân thành cảm ơn các thày, cô giáo đã giảng dạy em, đặc biệt là các thày, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Những kiến thức thu nhận được từ các thày, cô đã hỗ trợ em rất nhiều trong quá trình hoàn thành báo cáo này

Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin-KSTN K45, Đại học Bách Khoa Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ và Mạng Nơron, những đóng góp của mọi người đã giúp em có thể hoàn chỉnh được báo cáo

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũ động viên của mọi người là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành được báo cáo này

Em xin phép được sử dụng cụm từ “chúng tôi” trong báo cáo bao gồm em và mọi nguời

MỤC LỤC

GIỚI THIỆU 4

GIỚI THIỆU 4

TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG 7

TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG 7

2.1 Toán tử mờ 9

2.1.1 Phủ định 9

2.1.2 T-chuẩn 9

2.1.3 T-đối chuẩn 10

2.1.4 Kéo theo 10

2.2 Toán tử mờ có ngưỡng 11

2.2.1 t-chuẩn có ngưỡng 11

2.2.2 Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng 19

2.2.3 t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng 23

2.2.4 Kéo theo có ngưỡng 27

2.2.5 Các toán tử mờ tham số 29

2.3 Kết luận 38

LUẬT KẾT HỢP MỜ 39

LUẬT KẾT HỢP MỜ 39

3.1 Giới thiệu 39

3.2 Mô tả bài toán 44

3.2.1 Thuộc tính và cơ sở dữ liệu 44

3.2.2 Từ 44

3.2.3 Mệnh đề 45

3.2.4 Luật kết hợp 47

3.2.5 t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ 49

3.3 Không gian tìm kiếm 49

3.3.1 Tìm mệnh đề 50

3.3.2 Tìm luật 51

3.4 Thuật toán 53

3.4.1 Tìm mệnh đề 53

3.4.2 Tìm luật kết hợp 56

3.5 Vấn đề mờ hoá dữ liệu 57

3.5.1 Bài toán phân cụm dữ liệu và phân cụm mờ 58

3.5.2 Thuật toán FCM 60

3.5.3 Phương pháp chia đều 61

3.6 Kết luận 62

Phụ lục A Các toán tử mờ có ngưỡng tham số 64

Phụ lục A Các toán tử mờ có ngưỡng tham số 64

Phụ lục B Chương trình Fuzzy Rules Miner 77

Phụ lục B Chương trình Fuzzy Rules Miner 77

1 Các Module chương trình 77

1 Các Module chương trình 77

1.1 mdiMain 77

1.2 frmFuzzySetFinder 77

1.3 frmDataMiner 78

2 Cấu trúc các file dữ liệu 79

2 Cấu trúc các file dữ liệu 79

2.1 .CFF 79

2.2 .QDF 79

2.3 .FDF 79

2.4 .TF 79

2.5 .PF 80

2.6 .RF 80

3 Cơ sở dữ liệu chạy thử nghiệm 80

3 Cơ sở dữ liệu chạy thử nghiệm 80

3.1 Mô tả 80

3.2 Kết quả 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

1

GIỚI THIỆU

Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31] Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng, t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xét trong [9-13]

Cũng giống như toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng có một phạm vi ứng dụng rộng lớn tử trong điều khiển học, trong trí tuệ nhân tạo, đặc biệt là trong các vấn

đề về hệ suy diễn và khai phá dữ liệu

Tìm kiếm luật kết hợp là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong khai phá dữ liệu [38] Bài toán tìm luật kết hợp boolean được giới thiệu lần đầu tiên trong [2] Ví dụ cho luật này có thể là như sau: “90% số người mua bơ và sữa sẽ mua cả bánh mì” Đã có nhiều thuật toán được đưa ra nhằm giải quyết bài toán này, như Apriori [3], FP-growth [27,23], Eclat [1]…

Bài toán luật kết hợp lượng hoá được nêu ra trong [40] Lấy ví dụ, một luật kết hợp lượng hoá cho cơ sở dữ liệu với ba thuộc tính về <tuổi,tình trạng hôn nhân,số

xe> có thể là “<tuổi:30 39> và <đã kết hôn:đúng> → <số xe:2>” Thuật toán đưa ra trong [40] phân hoạch miền giá trị của các thuộc tính thành các khoảng và sau đó kết hợp các khoảng rời nhau để cho lời giải của bài toán Thao tác này thực chất là chuyển bài toán luật kết hợp lượng hoá về bài toán luật kết hợp boolean

Mặc dù phương pháp phân hoạch dữ liệu cũng giải quyết được một số bài toán tìm luật kết hợp trên cơ sở dữ liệu lượng hoá Tuy nhiên, cũng có một số vấn đề phát sinh như trong [35] đã chỉ ra Đó là vấn đề mất mát thông tin nếu như có nhiều giá trị tập trung xung quanh các biên của các khoảng Việc chia các giá trị gần nhau vào các khoảng khác nhau sẽ dẫn tới việc mất thông tin trong các phân tích về sau Một phương pháp tiếp cận khác là chia miền dữ liệu thành các vùng có chồng lên nhau Khi đó, các phần tử nằm gần biên có thể thuộc nhiều hơn một khoảng, và sẽ giải quyết được phần nào vấn đề mất mát thông tin tại các lân cận biên Tuy nhiên, tiếp cận này vẫn có phần bất hợp lý do việc phần tử gần biên cũng sẽ có vai trò quan trọng trong việc mô tả đặc trưng của khoảng giống như các phần tử gần trung tâm

Tất cả những vấn đề trên chủ yếu xuất phát từ việc sử dụng biên rõ ràng để chia khoảng Từ đó, trong [35] đã đề nghị sử dụng tiếp cận mờ Tập mờ cung cấp thay đổi uyển chuyển giữa các vùng dữ liệu, và vấn đề xuất phát từ biên rõ sẽ được loại bỏ Trong [35], các luật kết hợp mờ có dạng, “Nếu X là A thì Y là B”, trong đó

“X là A” được gọi là phần tiền tố của luật, “Y là B” được gọi là phần hệ quả của luật

X và Y là các tập thuộc tính của cơ sở dữ liệu, A và B là các tập từ mô tả X và Y tương ứng

Báo cáo này tập trung nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, đồng thời xem xét một khía cạnh ứng dụng vào bài toán luật kết hợp mờ

Chương 2 của báo cáo tập trung vào các nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, mô tả các khái niệm về lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, cặp hàm sinh của lớp các toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng Chương 3 của báo cáo mô tả về bài toán luật kết hợp mờ, vấn đề mờ hóa dữ liệu đầu vào, đồng thời xem xét ứng dụng t-chuẩn có ngưỡng vào việc bài toán luật kết hợp mờ

Phần phụ lục cuối báo cáo cung cấp các lớp toán tử mờ có ngưỡng có tham

số, mô tả về chương trình Fuzzy Rules Miner cài đặt thuật toán F-Apriori, cấu trúc các file dữ liệu đầu vào và các kết quả chạy thử nghiệm chương trình

2

TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG

Sự ra đời của công nghệ tính toán mờ xuất phát từ các giới thiệu về tập mờ của Zadeh năm 1965 [41] Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong những lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt phương pháp và kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Việc tích hợp các

kỹ thuật của lôgíc mờ với các phương pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh

mẽ Lôgíc mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng dụng Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học, thiết

kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ liệu, chẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức

Đặc biệt, trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng hiệu quả Do tri thức thường con người thường được biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ, bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét Vấn đề đối với việc

xử lý tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng Lôgíc hình thức cổ điển cho

phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai Tuy nhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không muốn nói là phi thực tế Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể tích nhỏ”,

“Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là không hay một là rất khó khăn do các từ “cao”, “nhỏ”, hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất mờ hồ

Từ đó, Zadeh đã mở rộng lôgíc mệnh đề thành lôgíc mờ, trong đó, mỗi mệnh đề P sẽ được gán cho một trị chân lý υ(P), là một giá trị trong đoạn [0,1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó Hay

Để có thể tiến hành các thao tác lôgíc trên các mệnh đề, chúng ta cần phải có các phép toán lôgíc mờ Đó chính là các phép toán t-chuẩn tương ứng với phép hội, t-đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ

Bên cạnh đó, ngưỡng cũng là khái niệm hết sức tự nhiên trong các bài toán của thế giới thực Những suy luận có sử dụng ngưỡng là rất hay gặp trong đời sống Lấy ví dụ, trong công tác chẩn đoán bệnh nhân Nếu một số thông số đầu vào đạt những giá trị ngưỡng, dạng như nhiệt độ trên 41oC, nhịp tim trên 150, … hiển nhiên chúng ta phải có những suy luận khác với khi các giá trị này chưa đạt giá trị ngưỡng Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các toán tử mờ có ngưỡng sử dụng làm công cụ cho quá trình trích rút các luật mờ

Mở đầu của các nghiên cứu về toán tử mờ có ngưỡng chính là t-chuẩn có ngưỡng Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31] Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xét trong [9-13] Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm về toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng, lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng Đồng thời, chúng tôi sẽ tiến hành xem xét một số tính chất đại số của các lớp này Phần cuối chương là các xem xét giải tích đối với các lớp toán tử mờ tham số nhằm làm tiền đề cho việc tạo ra các toán tử mờ

có ngưỡng tham số

Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trưng của chúng.

Toán tử mờ là những phép toán trên lôgíc mờ, nghĩa là những phép toán trên các giá trị lôgíc của các mệnh đề Như thế, một cách tổng quát, các phép toán trên đoạn [0,1] đều có thể là toán tử mờ Trong phần này chúng ta sẽ tìm nhắc lại các định nghĩa và một số tính chất của các phép toán lôgíc cơ bản, đó là phép phủ định, phép hội hay t-norm, phép tuyển hay t-conorm

2.1.1 Phủ định

Định nghĩa 2.1.1[28].

i) Hàm n : [0,1] → [0,1] được gọi là hàm phủ định nếu nó không tăng đồng

thời n(0) = 1 và n(1) = 0

ii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định chặt nếu nó giảm chặt.

iii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định mạnh nếu nó là phủ định chặt,

đồng thời n(n(x)) = x với mọi x ∈ [0,1]

Định lý 2.1.1[28] n là phép phủ định chặt nếu và chỉ nếu tồn tại f thuộc Aut(J) sao

Định nghĩa 2.1.2[28] Một hàm T : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-chuẩn

(tương ứng với phép hội trong lôgíc mệnh đề), nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời T(x,1) = x với mọi x ∈ [0,1]

i) Một t-chuẩn được gọi là liên tục nếu nó liên tục theo từng biến.

ii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn Archimedean nếu nó liên tục, đồng thời:

T(x,x) < x với mọi x ∈ (0,1)

iii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn chặt nếu nó là Archimedean, đồng thời:

không tồn tại x, y ∈ (0,1) sao cho T(x,y) = 0

iv) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn nilpotent nếu nó là Archimedean, đồng

thời: tồn tại x, y ∈ (0,1) sao cho T(x,y) = 0

2.1.3 T-đối chuẩn

Định nghĩa 2.1.3[28] Một hàm S : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-đối chuẩn

(tương ứng với phép tuyển) nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời S(0,x) = x với mọi x ∈ [0,1]

Kết quả sau đây cho ta thấy mối tương quan giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn

Định lý 2.1.2[28] S là t-đối chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại t-chuẩn T và phủ định mạnh

n sao cho S(x,y) = n(T(n(x),n(y))) với mọi x,y ∈ [0,1]

Cặp (T,S) được gọi là đối ngẫu nhau qua phủ định mạnh n.

Bộ ba (T,n,S) được gọi là bộ ba De Morgan.

Một t-đối chuẩn được gọi là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent nếu đối ngẫu của nó là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng

2.1.4 Kéo theo

Định nghĩa 2.1.4[19] Một hàm I: [0,1]×[0,1]→[0,1] là một hàm kéo theo nếu thoả

các tính chất sau:

i) I(x,y) ≥ I(u,y) nếu x ≤ u

ii) I(x,y) ≥ I(x,v) nếu y ≥ v

iii) I(0,x) = 1

iv) I(x,1) = 1

v) I(1,0) = 0

Trong thực tế, người ta thường sử dụng các hàm kéo theo được định nghĩa dựa trên các toán tử khác như t-chuẩn, t-đối chuẩn và hàm phủ định Ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 2.1.3[19] Cho S là t-đối chuẩn, n là hàm phủ định chặt, thế thì I(x,y) =

S(nx,y) là một hàm kéo theo

Mệnh đề 2.1.4[19] Cho T là t-chuẩn, thế thì I(x,y) = supz{T(x,z) ≤ y} là hàm kéo theo

Phần tiếp theo là các khái niệm về toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, đồng thời chúng tôi cũng sẽ nhắc lại một số tính chất của các toán tử mờ sau đó xem xét

mở rộng sang t-chuẩn có ngưỡng

Toán tử mờ có ngưỡng cũng là các toán tử biểu diễn các phép toán trên các giá trị chân lý của các mệnh đề trong lôgíc mờ Bênh cạnh đó, mỗi toán tử thuộc loại này sẽ được gắn thêm các giá trị ngưỡng nhằm biểu diễn sự suy diễn theo ngưỡng mà chúng tôi đã nói đến ở phần đầu chương

α y, α x:

)y ,x ( t

2

yx

1

Định nghĩa 2.2.2 Lớp cỏc t-chuẩn cú ngưỡng đồng dạng là tập cỏc t-chuẩn cú

ngưỡng được xỏc định như sau:

αy ,α x:)y,

x(t )α,y,

x(T

2

y x 1

khác hợp trường

Ta cú thể thấy, việc xỏc định một t-chuẩn cú ngưỡng tương ứng với việc xỏc định hai t-chuẩn t1, t2, và ngưỡng α, việc xỏc định một lớp cỏc t-chuẩn cú ngưỡng đồng dạng tương ứng với việc xỏc định hai t-chuẩn t1 và t2

Ta cũng gọi T(x,y,α) là t-chuẩn cú ngưỡng liờn tục, Archimedean, chặt,

nilpotent, nếu t1, t2 là liờn tục, Archimedeanm chặt, nilpotent tương ứng

Từ cỏc định nghĩa về t-chuẩn nilpotent và t-chuẩn chặt, và ràng buộc t1 ≥ t2,

ta cú thể thấy t-chuẩn cú ngưỡng Archimedean cú thể chia làm ba loại:

i) t-chuẩn cú ngưỡng chặt

ii) t-chuẩn cú ngưỡng nilpotent

iii) t-chuẩn cú ngưỡng hỗn hợp (t1 là chặt và t2 là nilpotent)

Ta cú kết quả sau thu được trực tiếp từ định nghĩa

Mệnh đề 2.2.1[9]: Với mọi α ∈ [0,1], với mọi x,y ∈ [0,1], ta luụn cú t1(x,y) ≥ T(x,y,α) ≥ t2(x,y)

Trong cỏc bài toỏn cụ thể, núi chung, miền ngưỡng α được đưa ra dựa trờn ý kiến của cỏc chuyờn gia, chỳng phụ thuộc vào thế giới đang được xem xột Sau đõy, chỳng tụi sẽ xem xột về cỏc phương phỏp để xõy dựng cỏc lớp t-chuẩn cú ngưỡng

đồng dạng Archimedean, nói cách khác là việc tạo ra các bộ t1, t2 thoả t1(x,y) ≥ t2(x,y) với mọi x,y.

Trước hết, ta nhắc lại phương pháp sử dụng hàm sinh, trong [28], sau đó, ta

sẽ xem xét mở rộng cho t-chuẩn có ngưỡng với cặp hàm sinh

Định lý 2.2.2[28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại f tăng chặt:

[0,1] → [0,1], với f(1) = 1, sao cho:

t(x,y) = f-1(f(x)f(y) ∨ f(0))hàm f được xác định duy nhất sai khác một số mũ dương

Hàm f ở trên được gọi là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn Archimedean t Ta

cũng có thể thấy, nếu t là t-chuẩn chặt thì f(0) = a = 0, còn nếu t là t-chuẩn nilpotent,

ta có f(0) > 0

Bên cạnh việc biểu diễn các t-chuẩn Archimedean thông qua hàm sinh nhân tính, chúng ta cũng có thể sử dụng hàm sinh cộng tính để xây dựng các t-chuẩn này [28]

Định lý 2.2.3 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g liên

tục, giảm chặt: [0,1] → [0,∞], với g(1) = 0, sao cho:

t(x,y) = g-1(g(x)+g(y)∧ g(0))hàm g xác định duy nhất sai khác một hằng số nhân dương

Hàm g được gọi là hàm sinh cộng tính của t-chuẩn t Và nếu t là t-chuẩn

chặt, ta có g(0) = ∞, nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có g(0) < ∞ Kết quả sau cho ta mối tương quan giữa hàm sinh nhân tính và hàm sinh cộng tính

Mệnh đề 2.2.4 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean với g là hàm sinh cộng tính, thế

thì f(x) = e-g(x) là hàm sinh nhân tính của t

Ký hiệu

tf là t-chuẩn sinh bởi hàm sinh nhân tính (cộng tính) f

Ta có thể thấy, lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng được xác định dựa theo hai t-chuẩn thành phần t1, t2 sao cho t1 ≥ t2 Để mở rộng khái niệm hàm sinh, trước hết, ta xem xét các kết quả về so sánh giữa hai t-chuẩn Archimedean thông qua các hàm sinh của chúng

Định lý 2.2.5 [34] Cho t1, t2 là hai t-chuẩn Archimedean với g1, g2 là hai hàm sinh cộng tính tương ứng Khi đó, t1 ≤ t2 khi và chỉ khi h = g1○g2-1 là hàm dưới cộng tính,

nghĩa là:

g1○g2-1(u+v) ≤ g1○g2-1(u) + g1○g2-1(v)với mọi u, v ∈ [0,g2(0)] sao cho u+v ∈ [0,g2(0)]

Định lý 2.2.6 Cho t1, t2 là hai t-chuẩn Archimedean với f1, f2 là hai hàm sinh nhân tính tương ứng Khi đó, t1 ≤ t2 khi và chỉ khi h = f2○f1-1 là hàm dưới nhân tính, nghĩa

là:

f2○f1-1(uv) ≤ f2○f1-1(u)f2○f1-1(v)với mọi u, v ∈ [f1(0),1] sao cho uv ∈ [f1(0),1]

Chứng minh: Trước hết, ta xét điều kiện đủ Ta có, giả sử

f2○f1-1(uv) ≤ f2○f1-1(u)f2○f1-1(v)với mọi u, v ∈ [0,f1(0)] sao cho uv ∈ [0,f1(0)]

Đặt x = f1-1(u), y = f1-1(v), khi đó

x, y ∈ [0,1], f1(x)f1(y) ∈ [f1(0),1] và u = f1(x), v = f1(y)

Từ giả thiết, ta có:

f2(0) ≤ f2○f1-1(f1(x)f1(y)) ≤ f2(x)f2(y)tức là:

f1-1(f1(x)f1(y)) ≤ f2-1(f2(x)f2(y))Nghĩa là với mọi x, y ∈ [0,f1(0)] sao cho f1(x)f1(y) ∈ [f1(0),1] ta có:

t1(x,y) = f1-1(f1(x)f1(y) ∨ f1(0)) ≤ f2-1(f2(x)f2(y) ∨ 0) = t2(x,y)

Hơn nữa, hiển nhiên, với f1(x)f1(y) ≤ f1(0), thì:

t1(x,y) = f1-1(f1(x)f1(y) ∨ f1(0)) = 0 ≤ t2(x,y)Chứng minh điều kiện cần tương tự như điều kiện đủ, xét với x, y ∈ [0,1] sao cho f1(x)f1(y) ∈ [f1(0),1] □

Bổ đề 2.2.7 Cho f1, f2 là hai hàm tăng chặt [0,1] → [0,1] với f1(1) = f2(1) = 1 sao cho

f2○f1-1(uv) ≤ (f2○f1-1(u)f2○f1-1(v))với mọi u, v ∈ [f1(0),1] sao cho uv ∈ [f1(0),1] Cho g1, g2 là hai hàm sao cho f1 =

Chứng minh: Trước hết, ta có nếu f1(x) = r 1

2 f uv

f − ≤f 2 f (u1))f 2 f 1(vr 1))

1 r 1 2 r 1 1 r 1

2 − − = g2○g1-1(u)g2○g1-1(v) □

Chứng minh tương tự, ta cũng có kết quả sau.

Bổ đề 2.2.8 Cho g1, g2 là hai hàm giảm chặt [0,1] → [0,∞] với g1(1) = g2(1) = 0, sao cho

g1○g2-1(u+v) ≤ g1○g2-1(u) + g1○g2-1(v)với mọi u, v ∈ [0,g2(0)] sao cho uv ∈ [0,g2(0)] Cho f1, f2 là hai hàm sao cho g1 =

r1f1, g2 = r2f2, với r1, r2 > 0 nào đó, thế thì

f1○f2-1(u+v) ≤ f1○f2-1(u) + f1○f2-1(v)với mọi u, v ∈ [0,f2(0)] sao cho uv ∈ [0,f2(0)]

Hệ quả 2.2.9.

i) Cho T(x,y) là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean với các t-chuẩn thành phần là t1, t2 nếu và chỉ nếu tồn tại a1, a2 thuộc [0,1), và (f1,f2) thuộc Aut(J,a1,a2) sao cho

t1(x,y) = f1-1(f1(x)f1(y) ∨ a1) và t2(x,y) = f2-1(f2(x)f2(y) ∨ a2)đồng thời h = f1○f2-1 là hàm dưới nhân tính

ii) Cặp (g1,g2) khác thoả điều kiện này nếu và chỉ nếu f1 = r 1

i) Cho T(x,y) là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean với các t-chuẩn thành phần là t1 và t2 nếu và chỉ nếu tồn tại g1, g2 là các hàm giảm chặt : [0,1]

Định nghĩa 2.2.3 Cặp hàm (f1,f2) là các hàm tăng chặt từ [0,1] → [0,1] sao cho f1○f2-1

là hàm dưới nhân tính có thể biểu diễn một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean T nào đó và được gọi là cặp hàm sinh nhân tính của T

Định nghĩa 2.2.4 Cặp hàm (g1,g2) là các hàm giảm chặt từ [0,1] → [0,∞] sao cho

g2○g1-1 là hàm dưới cộng tính có thể biểu diễn một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean T nào đó và được gọi là cặp hàm sinh cộng tính của T

Các kết quả về các cặp hàm sinh ở đây, sẽ được sử dụng trong việc xây dựng các lớp toán tử mờ có ngưỡng tham số trong phần cuối của tài liệu này

Từ nhận xét trên, ta có các kết quả sau:

Hệ quả 2.2.11 Ký hiệu Tf 1 , f 2 là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean sinh bởi cặp hàm sinh nhân tính (f1,f2), khi đó ánh xạ Tf 1 , f 2 → (R+)2(f1,f2) là tương ứng một-một giữa tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean và phân hoạch {(R+)2(f1,f2) : (f1,f2) ∈ G2} của G2.

Hệ quả 2.2.12 Ánh xạ Tf 1 , f 2 → (R+)2(f1,f2) là tương ứng một-một giữa tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt với phân hoạch {(R+)2(f1,f2) : (f1,f2) ∈ G2} của G2

Các kết quả trên cho ta thấy tương ứng giữa các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng với các lớp cặp hàm sinh nhân tính Sau đây là các kết quả cho ta tương ứng giữa các cặp hàm sinh với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Trước hết, ta xét bổ

đề sau:

Bổ đề 2.2.13 Cho (a1,a2) ∈ (0,1)2 Khi đó, một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sẽ

có duy nhất một cặp hàm sinh nhân tính (f1,f2) sao cho f1(a1) = a1 và f2(a2) = a2

Chứng minh: Cho (f1,f2) ∈ G2 là cặp hàm sinh nhân tính của t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean Tf 1 , f 2 Ta có bổ đề tương đương với có duy nhất một phần

tử (r1,r2)(f1,f2) trong (R+)2(f1,f2) sao cho r 1

Sau đây, ta sẽ xét biểu diễn của các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent Giả sử Tf 1 , f 2 là một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent với cặp hàm sinh nhân tính (f1,f2) Nghĩa là f1, f2 là các song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [b1,1] và [b2,1] tương ứng, với b1, b2 ∈ (0,1) Khi đó, với a1,a2 thuộc (0,1) cho trước, tồn tại duy nhất cặp (r1,r2) thuộc (R+)2 sao cho r 1

1

b = a1 và r 2

2

b = a2 Nghĩa là tồn tại duy nhất cặp (g1,g2) thuộc G2, với g1, g2 là các song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [a1,1] và [a2,1] tương ứng Từ đó, ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.2.16 Cho (a1,a2) thuộc (0,1)2 Khi đó (g1,g2) → Tg 1 , g 2 là tương ứng một giữa các cặp song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [a1,1] và [a2,1] tương ứng với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent

một-2.2.2 Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng

Trước hết, ta xem xét một kết quả trong [28] và một số hệ quả

Định lý 2.2.17[28] Cho t là t-chuẩn, f thuộc Aut(J), khi đó tf(x,y) = f-1(t(f(x),f(y)) cũng là t-chuẩn Hơn nữa, nếu t là t-chuẩn liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent thì tf

cũng là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng

Hai t-chuẩn t và tf được gọi là đẳng cấu thông qua hàm f, và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng

Hệ quả 2.2.18 Cho T(x,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng, khi đó

f

α ) y (f , α ) x (f : )) y (f ), x (f ( t(

f

21

yx

11

là t-chuẩn có ngưỡng α’ := f-1(α) = (f-1(αx),f-1(αy)) Hơn nữa, nếu T là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp, thì Tf cũng là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng

Chứng minh: Từ định lý 2.2.17, ta có

t1’(x,y) = f-1(t1(f(x),f(y))) và t2’(x,y) = f-1(t2(f(x),f(y)))

là các t-chuẩn

Mặt khác, do f là song ánh tăng, nên f-1 là song ánh tăng Mặt khác, ta có

t1(x,y) ≥ t2(x,y) ⇒ t1’(x,y) = f-1(t1(f(x),f(y))) ≥ f-1(t2(f(x),f(y))) = t2’(x,y), vậy

Tf(x,y,α’) là t-chuẩn có ngưỡng

Các tính chất của T(x,y,α’) tương ứng với các tính chất của t1’, t2’, tương ứng với các tính chất của t1, t2, tương ứng với các tính chất của T(x,y,α) □

Hai t-chuẩn có ngưỡng T và Tf được gọi là đẳng cấu với nhau thông qua hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng

Hệ quả 2.2.19 Cho T = {T(x,y,α)} là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng và T f

= {Tf(x,y,α’) : α’ = f-1(α), α ∈ [0,1)} cũng là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Hơn nữa, nếu T là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp thì T f cũng là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng

Chứng minh: Ta có, theo hệ quả 2.2.18, các hàm Tf(x,y,α’) là các t-chuẩn có ngưỡng, hơn nữa, từ f là đẳng cấu trên J, ta có khi αx và αy biến thiên từ 0 tới 1 thì f-1(αx) và f-

1(αy) cũng biến thiên từ 0 tới 1 Từ đó ta có T f cũng là lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Các tính chất của T f tương ứng với các tính chất của T theo hệ quả 2.2.18 □

Hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng T và T f được gọi là đẳng cấu với nhau thông qua hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng

Bây giờ chúng ta sẽ xét một vài tính chất về các đẳng cấu giữa các t-chuẩn

Mệnh đề 2.2.20 Cho hai t-chuẩn có ngưỡng: T1(x,y,α1) = (t1

Mệnh đề 2.2.21 Cho hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng T 1 = (t1

1,t1

2) và T 2 = (t2,t2) h là đẳng cấu giữa T 1 và T 2 nếu và chỉ nếu h là đẳng cấu giữa t1 và t2, đồng thời là đẳng cấu giữa t1 và t2

Chứng minh: Phần nếu là kết quả trực tiếp của mệnh đề 2.2.20 Sau đây chúng ta xét

phần chỉ nếu

Xét T1(x,y,(0,0)) = t1

1(x,y) thuộc T 1, theo định nghĩa, tồn tại T2(x,y,α) thuộc

T 2 sao cho h(T1(x,y,(0,0)) = T2(h(x),h(y),α), vậy α = (h(0),h(0)) = (0,0) Nghĩa là

T2(x,y,α) = t2(x,y), nghĩa là h là đẳng cấu giữa t1 và t2

Tương tự, xét trường hợp khi ngưỡng α = (1,1), ta cũng có h là đẳng cấu giữa t1 và t2 □

Ký hiệu:

i) Aut(J,t1,t2) là tập các đẳng cấu giữa hai t-chuẩn t1,t2

ii) Aut(J,T1,T2) là tập các đẳng cấu giữa hai t-chuẩn có ngưỡng T1, T2

iii) Aut(J,T 1,T 2) là tập các đẳng cấu giữa hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng T 1, T 2

Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất về tự đẳng cấu

Định nghĩa 2.2.5 Xét f thuộc Aut(J)

i) f gọi là tự đẳng cấu của t-chuẩn t nếu và chỉ nếu f(t(x,y)) = t(f(x),f(y)) với mọi x,y

ii) f gọi là tự đẳng cấu của t-chuẩn có ngưỡng T nếu và chỉ nếu f(T(x,y,α) = T(f(x),f(y),f(α))

iii) f gọi là tự đẳng cấu của lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nếu và chỉ nếu T = {T(x,y,α) : α ∈ [0,1]2} = {f-1(T(f(x),f(y),α’) : α’ ∈ [0,1]2}

Ký hiệu

i) Aut(J,t) là tập các tự đẳng cấu của t

ii) Aut(J,T) là tập các tự đẳng cấu của T.

iii) Aut(J,T) là tập các tự đẳng cấu của T

Trên Aut(J), xác định phép toán hợp thành Từ [28] ta đã biết Aut(J) cùng với phép toán hợp thành lập thành một nhóm Từ [12], ta có Aut(J,T) là nhóm con của Aut(J) Kết hợp với mệnh đề 2.2.21 ta có kết quả sau:

Mệnh đề 2.2.22 Aut(J,T) là nhóm con của Aut(J,T)

Dựa trên mệnh đề 2.2.21 và mệnh đề 2.2.22, ta có kết quả sau:

Hệ quả 2.2.23.

i) Aut(J,t1) ∩ Aut(J,t2) ⊆ Aut(J,T)

ii) Aut(J,t1) ∩ Aut(J,t2) = Aut(J,T)

Sau đây, ta sẽ nhắc lại một số kết quả trong [28] cũng như mở rộng của chúng cho t-chuẩn có ngưỡng Chú ý rằng, từ đây về sau, trong các phát biểu về hàm sinh, nếu không có chú thích gì, chúng tôi chỉ đề cập đến các hàm sinh nhân tính

Định lý 2.2.24[28] Cho tf và tg là hai t-chuẩn chặt, thế thì tập các đẳng cấu giữa chúng là g-1R+f

Hệ quả 2.2.25 Cho Tf 1 , f 2 và Tg 1 , g 2 là hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt, thế thì tập các đẳng cấu giữa chúng là g1-1R+f1 ∩ g2-1R+f2

Mệnh đề 2.2.26[28] Cho t là t-chuẩn liên tục, thế thì Aut(J,t) = f-1R+f, với f ∈ Aut(J) nào đó nếu và chỉ nếu t là t-chuẩn chặt

Hệ quả 2.2.27 Cho T là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng liên tục, thế thì Aut(J,T) = f1-1R+f1 ∩ f2-1R+f2 với f1, f2∈ Aut(J) nào đó, nếu và chỉ nếu T là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt

Định lý 2.2.28[28] Cho tf, tg là t-chuẩn nilpotent r > 0, sao cho g(0) = fr(0) Khi đó g

-1rf là đẳng cấu duy nhất giữa tf và tg

Hệ quả 2.2.29 Cho Tf 1 , f 2 và Tg 1 , g 2 là hai lớp t-chuẩn cú ngưỡng đồng dạng nilpotent đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại r1, r2 > 0 sao cho g1(0) = r 1

1

f (0) và

g2(0) = r 2

2

f (0), đồng thời g1-1r1f1 = g2-1r2f2 Khi đú g1-1r1f1 là đẳng cấu duy nhất

Hệ quả 2.2.30 Cho Tf 1 , f 2 và Tg 1 , g 2 là hai lớp t-chuẩn cú ngưỡng đồng dạng hỗn hợp là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại r1, r2 > 0 sao cho g2(0) = r 2

2

f (0), đồng thời g1-1r1f1 = g2-1r2f2 Khi đú g2-1r2f2 là đẳng cấu duy nhất

Định lý 2.2.31[28] Cho t là t-chuẩn nilpotent Khi đú Aut(J,t) = {1}.

Hệ quả 2.2.32 Cho Tf 1 , f 2 là lớp cỏc t-chuẩn cú ngưỡng đồng dạng nilpotent (hỗn hợp) Khi đú Aut(J,Tf 1 , f 2 ) = {1}

2.2.3 t-đối chuẩn cú ngưỡng và bộ ba De Morgan cú ngưỡng

Cho s1, s2 là t-đối chuẩn sao cho s1(x,y) ≤ s2(x,y) với mọi x, y thuộc [0,1], β

là ngưỡng, nghĩa là β = (βx,βy), khi đú t-đối chuẩn cú ngưỡng được định nghĩa như sau

Định nghĩa 2.2.6[9] t-đối chuẩn cú ngưỡng S(x,y,β) được xỏc định trờn [0,1]ì[0,1]

s

β y, β x:

)y ,x ( s

2

yx

]1,0[

β, :)y,x

(s

βy, βx :)y,x

(s )β,y,

x(S

khác hợp trường

là lớp cỏc t-đốichuẩn cú ngưỡng đồng dạng

Tương tự như đối với t-chuẩn, t-đối chuẩn có ngưỡng cũng được gọi là t-đối chuẩn liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp theo các tính chất của s1, s2.

Phần tiếp theo, chúng ta sẽ khảo sát tính đối ngẫu của t-chuẩn và t-đối chuẩn

có ngưỡng, trước hết, ta có các kết quả sau

ii) S là lớp các t-đối chuẩn có ngưỡng đồng dạng nếu và chỉ nếu tồn tại T

là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sao cho

S = {n(T(n(x),n(y),α)) : α ∈ [0,1]2}

và ngược lại

Chứng minh của mệnh đề là đơn giản dựa vào định lý 2.1.2, với chú ý là khi n(x) ≥ αx thì x ≤ n(αx) = βx, tương tự cho αy và βy, và khi αx, αy biến thiên từ 0 tới 1 thì

βx = n(αx) và βy = n(αy) biến thiên từ 1 tới 0, tương ứng

S và T, S và T được gọi là đối ngẫu với nhau qua phủ định chặt n

Từ [28], ta đã biết, các t-đối chuẩn Archimedean có thể được biểu diễn thông qua hàm đối sinh nhân tính g là song ánh giảm từ [0,1] vào [b,1] dạng: sg(x,y) =

g-1(g(x)g(y) ∨ b), với g = fn, trong đó f là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn t là đối

ngẫu của s qua phủ định chặt n Tương tự, lớp S các t-đối chuẩn Archimedean đồng dạng có thể được biểu diễn thông qua cặp hàm đối sinh (g1,g2) với g1 = f1n, g2 = f2n, trong đó (f1,f2) là cặp hàm sinh của T là lớp các t-đối chuẩn có ngưỡng đồng dạng đối ngẫu của S qua phủ định chặt n.

Sau đây là kết quả về đẳng cấu giữa các t-đối chuẩn có ngưỡng

Mệnh đề 2.2.35 Cho T1, T2 là hai t-đối chuẩn có ngưỡng đẳng cấu với nhau thông qua hàm f S1, S2 là hai t-đối chuẩn đối ngẫu với T1, T2 qua các phủ định chặt n1, n2

tương ứng Khi đó S1, S2 đẳng cấu với nhau thông qua n2fn1

Chứng minh: Thật vậy, dựa vào định nghĩa và mệnh đề 2.2.34, ta có :

Các bộ ba De Morgan có ngưỡng cũng được gọi là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent nếu t-chuẩn có ngưỡng T là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng.

Lớp các bộ ba De Morgan có ngưỡng đồng dạng Archimedean, cũng có thể được biểu diễn thông qua các cặp hàm sinh đối với t-chuẩn có ngưỡng, hàm sinh đối với phép phủ định và cặp hàm đối sinh ứng với t-đối chuẩn có ngưỡng dạng: (Tf 1 , f 2

ii) q gọi là đẳng cấu giữa hai lớp (T 1,S 1,n1) và (T 2,S 2,n2) nếu và chỉ nếu q

là đẳng cấu giữa T 1, T 2, giữa S 1, S 2, giữa n1, n2

Ta xét mệnh đề 2.2.35, và hệ quả 2.2.36, xét trường hợp f = n2fn1, nghĩa là f(n1(x)) = n2(f(x)), hay n1 và n2 đẳng cấu với nhau qua hàm f Như thế, nếu q là đẳng cấu giữa T1, T2 và giữa n1, n2 thì q cũng là đẳng cấu giữa S1, S2 Tương tự, nếu q là đẳng cấu giữa T 1, T 2 và giữa n1, n2 thì q cũng là đẳng cấu giữa S 1, S 2 Như thế, khi xét các bộ ba De Morgan có ngưỡng, ta chỉ cần xét t-chuẩn và phủ định, tương tự như trong [28], ta cũng gọi (T,n) với T là t-chuẩn có ngưỡng là hệ De Morgan có ngưỡng, và (T,n) là lớp các bộ ba De Morgan có ngưỡng đồng dạng

Định lý 2.2.37.[28]: Cho (tf,ηg) và (tu,ηv) là hai hệ De Morgan đẳng cấu với nhau nếu

và chỉ nếu (tu,ηv) = (tfh,ηgh) với h ∈ Aut(J) nào đó, khi đó h-1 là đẳng cấu duy nhất giữa chúng

Từ định lý 2.2.37 và mệnh đề 2.2.21, ta có:

Hệ quả 2.2.38 Cho (Tf 1 , f 2 ,ηg) và (Tu 1 , u 2,ηv) là hai lớp các hệ De Morgan có ngưỡng đồng dạng Archimedean đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu (tu 1,tu 2,ηv) = (

h

f1

t ,tf2h,ηgh) với h ∈ Aut(J) nào đó, khi đó h-1 là đẳng cấu duy nhất giữa chúng

Từ [28], ta có kết quả sau về tính không duy nhất của phép phủ định đối với hai t-chuẩn và t-đối chuẩn đối ngẫu với nhau

Bổ đề 2.2.39[28] Cho (t,s,n1) và (t,s,n2) là hai bộ ba De Morgan có cùng chuẩn và đối chuẩn, khi đó n1n2∈ Aut(J,t)

t-Kết hợp với hệ quả 2.2.23 và mệnh đề 2.2.34., ta có các kết quả sau

Hệ quả 2.2.40 Nếu (T,S,n1) và (T,S,n2) là hai lớp các bộ ba De Morgan có ngưỡng đồng dạng có cùng lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng và t-đối chuẩn có ngưỡng đồng dạng, khi đó n1n2∈ Aut(J,T)

Hệ quả 2.2.41 Nếu (T,S,n1) và (T,S,n2) là hai lớp các bộ ba De Morgan có ngưỡng đồng dạng nilpotent hay hỗn hợp thì n1 = n2

2.2.4 Kéo theo có ngưỡng

Tương tự như đối với t-chuẩn và t-đối chuẩn Ta cũng có định nghĩa về kéo theo có ngưỡng dựa trên hai phép kéo theo i1(x,y) ≤ i2(x,y) với mọi x,y ∈ [0,1] và ngưỡng γ

Định nghĩa 2.2.10 Kéo theo có ngưỡng γ = (γx,γy) được xác định:

2

yx1

γ y γ x:

)y ,x ( i

γ y, γ x:

)y ,x (i

Ta dễ dàng kiểm chứng được rằng hàm kéo theo có ngưỡng cũng là hàm kéo theo

Sau đây, chúng ta sẽ xét một số kết quả về hàm kéo theo làm tiền đề cho việc tạo phép kéo theo mờ có ngưỡng từ các toán tử mờ khác

Mệnh đề 2.2.42[19] Cho s1 và s2 là hai t-đối chuẩn sao cho s1(x,y) ≤ s2(x,y), khi đó

i1(x,y) = s1(n(x),y) ≤ i2(x,y) = s2(n(x),y)

Mệnh đề 2.2.43[19] Cho t1 và t2 là hai t-đối chuẩn sao cho t1(x,y) ≥ t2(x,y), khi đó

i1(x,y) = supz(t1(x,z) ≤ y) ≤ i2(x,y) = supz(t2(x,z) ≤ y)

Mệnh đề 2.2.44[28] Cho t là t-chuẩn nilpotent, khi đó t có thể biểu diễn dưới dạng

t(x,y) = g-1(g(x) + g(y) - 1 ∨ 0) với g ∈ Aut(J) nào đó

g được gọi là hàm L-sinh của t

Ta đã biết, phủ định mạnh có thể được tạo ra từ hàm η(x) = 1 - x và hàm sinh Bên cạnh đó, ta còn có một cách khác để xây dựng phép phủ định dựa vào hàm L-sinh của các t-chuẩn nilpotent [28]

Mệnh đề 2.2.45[28] Cho t là t-chuẩn nilpotent có hàm L-sinh g, khi đó ηg(x) = g-1g(x)) là phủ định chặt và được gọi là phủ định tự nhiên của t

(1-Đặc biệt, t-chuẩn nilpotent, và t-đối chuẩn đối ngẫu qua phép phủ định tự nhiên sẽ tạo ra cùng một phép kéo theo

Mệnh đề 2.2.46 Cho t là t-chuẩn nilpotent có hàm L-sinh g, s là t-đối chuẩn đối ngẫu

với t qua phủ định tự nhiên ηg, khi đó it(x,y) = supz(t(x,z) ≤ y) = is(x,y) = s(ηg(x),y)

Chứng minh: Thật vậy, ta có:

is(x,y) = s(ηg(x),y) = ηg(t(x,ηg(y)) = g-1(1-g(t(x,g-1(1-g(y))))

= g-1(1-g(g-1(g(x)+g(g-1(1-g(y))))-1∨ 0))

= g-1(1-(g(x)-g(y)∨ 0)) = g-1(min(1-g(x)+g(y),1))Trong khi đó:

it(x,y) = supz(t(x,z) ≤ y) = supz(g-1(g(x)+g(z)-1) ≤ y)

= supz(g(x)+g(z)-1 ≤ g(y)) = supz(g(z) ≤ 1-g(x)+g(y))

= g-1(min(1-g(x)+g(y),1))

Vậy, ta có đpcm □

2.2.5 Các toán tử mờ tham số

Trong phần này chúng ta sẽ tiến hành khảo sát tính chất giải tích, quan trọng nhất là tính chất thứ tự của một số họ toán tử mờ tham số kinh điển nhằm làm tiền đề cho việc xây dựng các toán tử mờ có ngưỡng tham số

Ta chú ý rằng, khi xác định một chuẩn có ngưỡng, ta cần xác định hai chuẩn thành phần t1, t2 thoả t1(x,y) ≥ t2(x,y) Trước hết, chúng ta đã có các kết quả về

t-so sánh giữa hai t-chuẩn thông qua các hàm sinh và hàm đối sinh của chúng (định lý 2.2.5 và 2.2.6), giữa hai t-đối chuẩn thông qua t-chuẩn đối ngẫu tương ứng (mệnh đề 2.2.33), giữa hai phép kéo theo xây dựng từ t-chuẩn (mệnh đề 2.4.42), giữa hai phép kéo theo xây dựng từ t-đối chuẩn (mệnh đề 2.4.43) Bên cạnh đó, ta có các kết quả bổ sung sau

Mệnh đề 2.2.47 Cho f ∈ Aut(J), khi đó

t1(x,y) = f-1(f(x)f(y)) ≥ t2(x,y) = f-1(f(x)+f(y)-1 ∨ 0)

Chứng minh: Ta có f(x),f(y) ≤ 1, vậy (1-f(x))(1-f(y)) ≥ 0, do đó f(x)f(y) ≥ f(x)+f(y)-1,

Hệ quả 2.2.48[34] Cho t1, t2 là hai t-chuẩn Archimedean liên tục với các hàm sinh cộng tính tương ứng g1, g2 : [0,1] → [0,∞] Khi đó, t1 ≤ t2 nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn:

i) Hàm g1○g2-1 : [0,g2(0)] → [0,∞] là lõm

ii) Hàm f : (0,g2(0)] → [0,∞]

f(x) :=

x

) x )(

g g ( 1 2

' g

1 2

y y 1 x

x 1 1

Mệnh đề 2.2.50 Họ t-chuẩn Dombi là đơn điệu không giảm theo r.

Chứng minh: Thực vậy, xét t1, t2 là hai t-chuẩn thuộc họ với các hàm sinh cộng tính:

g1(x) = 1

r

x

x 1

1

2 r

1

+ , nghĩa là f(x) = x

) x )(

g g ( 1 2

Định nghĩa 2.2.12 [28] Họ Jane Doe #1-Hamacher

1 r r

r r

y y 1 x x 1 a y y 1 x

x 1 1







 − +

x

− + : a > 0, r > 0

Mệnh đề 2.2.51 Họ t-chuẩn Jane Doe #1-Hamacher là đơn điệu không tăng theo a,

đơn điệu không giảm theo r

Chứng minh: Rõ ràng họ t-chuẩn Jane Doe #1-Hamacher là đơn điệu không tăng theo

a dựa vào công thức định nghĩa của họ tham số

Xét t1, t2 là hai t-chuẩn thuộc họ với các hàm sinh cộng tính

g1(x) = -ln 1 1

1

r r

r

)x1(ax

r

)x1(ax

r − − , giả sử r1 < r2, khi đó f là không giảm

x, vậy t1 ≤ t2 theo hệ quả 2.2.48, ta có đpcm □

Định nghĩa 2.2.13 [28] Họ Aczél-Alsina

1 r

r ( ln y ) ) )

x ln ((

e− − +− : r > 0

1

e

hàm sinh cộng tính (-lnx)r : r > 0

Mệnh đề 2.2.52 Họ t-chuẩn Aczél-Alsina là đơn điệu không giảm theo r

Chứng minh: Xét t1, t2 là hai t-chuẩn thuộc họ với các hàm sinh cộng tính

1 a

1 a 1 a 1

y x

: a > 0, a ≠ 1; xy : a = 1

hàm sinh nhân tính

1 a

x

1− : a > 0

hàm sinh cộng tính xa-1 : a < 0; 1- xa : a > 0; -lnx : a = 0

Mệnh đề 2.2.54 Họ t-chuẩn Schweizer là đơn điệu không tăng theo tham số a.

Chứng minh: Xét hai t-chuẩn t1, t2 thuộc họ với hai hàm sinh cộng tính tương ứng là

g1, g2, ta xét các trường hợp sau:

i) g1(x) = xa 1-1, g2(x) = xa 2-1, a2 < a1 < 0 hoặc 0 < a2 < a1

x − là hàm không giảm, vậy t1 ≤ t2 theo hệ quả 2.2.48.

Định nghĩa 2.2.16 [28] Họ Jane Doe #2

t-chuẩn xye-alnxlny : a > 0; xy : a = 0

hàm sinh nhân tính

x ln a 1

1

−Dựa vào công thức định nghĩa của họ, ta có kết quả sau

Mệnh đề 2.2.55 Họ t-chuẩn Jane Doe #2 là đơn điệu không tăng theo tham số a Định nghĩa 2.2.17 [28] Họ Jane Doe #3

t-chuẩn 1-( ( ( ) ) ( ( ) ) )a

1 a

a 1 1 yx

11

1− − − − − : a > 0

hàm sinh nhân tính 1-(1-x)a : a > 0

Đạo hàm công thức t-chuẩn theo tham số a, ta có kết quả sau

Mệnh đề 2.2.56 Họ t-chuẩn Jane Doe #3 là đơn điệu không tăng theo tham số a.

1 a

x 1

phủ định tự nhiên 1-( )a

1 a

)x1(

1− − : a > 0

hàm sinh cộng tính (1-x)a

Mệnh đề 2.2.57 Họ t-chuẩn Yager là đơn điệu không giảm theo tham số a

Chứng minh: Xét hai t-chuẩn t1, t2 thuộc họ với hai hàm sinh cộng tính:

hàm sinh cộng tính 1-loga((a-1)x+1) : a > 0, a ≠ 1; 1-x : a = 1

Mệnh đề 2.2.58 Họ Jane Doe #4 là đơn điệu không giảm theo tham số a

Chứng minh: Xét hai t-chuẩn t1, t2 thuộc họ với hai hàm sinh cộng tính g1, g2 tương ứng, ta xét các trường hợp sau

i) g1(x) = 1-loga 1((a1-1)x+1) và g2(x) = 1-loga 2((a2-1)x+1), với a1 < a2 < 1 hoặc 1 < a1 < a2

1 1

aln)1a(

aln)1a(

−

−

1x)1a(

1x)1a(

ii) g1(x) = 1-x và g2(x) = 1-loga((a-1)x+1) : a > 1.

hàm sinh cộng tính loga((a-1)(1-x)+1) : a > 0, a ≠ 1; 1-x : a = 1

Mệnh đề 2.2.59 Họ t-chuẩn Weber là đơn điệu không tăng theo tham số a

Chứng minh: Xét hai t-chuẩn t1, t2 thuộc họ với hai hàm sinh cộng tính g1(x), g2(x) tương ứng, ta xét các trường hợp sau:

i) g1(x) = loga 1((a1-1)(1-x)+1) và g2(x) = loga 2((a2-1)(1-x)+1), với a1 > a2 >

1 1

aln)a1(

aln)a1(

−

−

1)x1)(

1a(

1)x1)(

1a(

ii) g1(x) = 1-x và g2(x) = loga((a-1)(1-x)+1) : a < 1

iii) g1(x) = loga((a-1)(1-x)+1) : a > 1 và g2(x) = 1 - x

1 a

1 a a

: a > 0, a ≠ 1; (x+y-1 ∨ 0), a = 1

phủ định tự nhiên loga(a-ax+1)

hàm sinh cộng tính

1-1 a

1

a x

−

−

Mệnh đề 2.2.60 Họ t-chuẩn Jane Doe #6 đơn điệu không tăng theo tham số a

Chứng minh: Xét hai t-chuẩn t1, t2 với các hàm sinh cộng tính

g1(x) =

1-1 a

1 a

1

x 1

−

−

và g2(x) =

1-1 a

1 a

2

x 2

1 2 1

1 2

a

a a ln ) 1 a (

a ln ) 1 a (

Chứng minh: Giả sử t1 là t-chuẩn Yager với hàm sinh cộng tính g1(x) = (1-x)a, t2 là chuẩn Schweizer với hàm sinh cộng tính g2(x) = 1-xa, ta có:

x 1

Từ [28], ta có họ t-chuẩn Jane Doe #3 có hàm sinh 1-(1-x)a, họ Yager có

hàm L-sinh 1-(1-x)a, họ Frank có hàm sinh

1 a

1

a x

−

−, họ Jane Doe #6 có hàm L-sinh

Mệnh đề 2.2.63 Cho t1 là t-chuẩn Jane Doe #3, t2 là t-chuẩn Yager có cùng tham số a, khi đó t1 ≥ t2.

Mệnh đề 2.2.64 Cho t1 là t-chuẩn Frank, t2 là t-chuẩn Jane Doe #6 có cùng tham số a, khi đó t1 ≥ t2

Mệnh đề 2.2.65[39] Xét hai t-chuẩn sau:

t-chuẩn min tm(x,y) = min(x,y)

:0

1 )y ,x max(

:) y, x min(

Thế thì, với mọi t-chuẩn, ta luôn có tm(x,y) ≥ t(x,y) ≥ tz(x,y)

Trong chương này chúng tôi đã tổng kết lại các nghiên cứu về toán tử mờ có ngưỡng Các khảo sát về cặp hàm sinh sẽ được sử dụng trong việc tạo ra các toán tử mờ có ngưỡng tham số Các xem xét giải tích về các họ toán tử mờ tham số ở cuối chương

là tổng kết các tính chất về thứ tự của các toán tử này và có thể sử dụng để tạo ra các t-chuẩn có ngưỡng tham số

3

LUẬT KẾT HỢP MỜ

Chương này tóm tắt lại một số khái niệm cơ bản của bài toán luật kết hợp mờ, khảo sát sơ lược một số vấn đề về không gian tìm kiếm, việc sử dụng các toán tử mờ và toán tử mờ có ngưỡng trong bài toán tìm luật kết hợp mờ Chúng tôi cũng đưa ra thuật toán F-Apriori để giải bài toán tìm luật kết hợp mờ

Sự phát triển của công nghệ thông tin, công nghệ về thu nhận, lưu trữ và phân phối

dữ liệu đã dẫn tới sự bùng nổ về thông tin và dữ liệu Thách thức lớn nhất đối với các

tổ chức cũng như các cá nhân ngày nay không chỉ là ở việc có ngày càng nhiều dữ liệu càng tốt mà còn ở việc trích rút từ kho dữ liệu khổng lồ thu nhận được ra các tri thức hữu ích

Vấn đề này đã tập hợp nhiều nhà nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như thống kê, máy học, cơ sở dữ liệu, … vào một lĩnh vực nghiên cứu mới, đó là

khai phá dữ liệu (Data Mining).

Khai phá dữ liệu thường được xét đến như là một khâu trong một quá trình

lớn hơn đó là Phát hiện tri thức trong cơ sở dữ liệu (Knowledge discovery in

databases-KDD) [17] Bài toán này bao gồm:

• Tìm hiểu về lĩnh vực ứng dụng, các tri thức đã có trước đó, và mục tiêu của người sử dụng

• Lựa chọn loại tập dữ liệu tiến hành quá trình phát hiện tri thức, thực hiện công tác chuẩn hoá và chuyển đổi dữ liệu nếu cần

• Lựa chọn hình thức khai phá dữ liệu, giải thuật, và quyết định mô hình cũng như các tham số có thể có

• Thực hiện quá trình khái phá dữ liệu, trích ra các mẫu và mô hình

• Hiển thị, diễn giải và hợp nhất các tri thức được phát hiện

Quá trình này được tiến hành lặp đi lặp lại do một bước có thể dẫn đến những sửa đổi của bước đã được tiến hành trước đó Quá trình lặp cũng do người dùng có thể giới hạn lại khối lượng công việc của hệ thống trong phạm vi mà anh ta thực sự quan tâm

Bước khai phá dữ liệu là công việc trích rút các thông tin, một cách tự động

từ dữ liệu Các thông tin này có thể có giá trị đối với người sở hữu kho dữ liệu Định nghĩa vắn tắt về thao tác này được đưa ra trong [24]:

Khai phá dữ liệu là phân tích tập dữ liệu (thường là lớn, thậm chí

rất lớn) thu nhận được nhằm tìm kiếm các mối quan hệ chắc chắn và

tổng hợp dữ liệu theo một hình thức mới để trở nên hiểu được và hữu

dụng đối với chủ của dữ liệu

Để phân tích dữ liệu, một vài dạng công việc khác nhau đã được phân biệt, tương ứng với mục tiêu của quá trình phân tích, và quan trọng hơn là tương ứng với sản phẩm dự kiến Những công việc này có thể được phân loại như sau [24]