Bài toán chuyển động một chiều trong cơ học lượng tử

Với vị trí quan trọng đó của phương trình Schrodinger, em chọn đề tài “Bài toán chuyển động một chiều trong cơ học lượng tử I” để xem xét các ứng dụng của phương trình này trên cơ sở giả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐỖ THỊ LAN HƯƠNG

BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin cảm ơn Ths Phạm Ngọc Thư đã tận tình hướng dẫn, giúp

đỡ em trong suốt quá trình tham gia học tập và thực hiện khóa luận

Em xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin, các thầy cô trong Bộ môn Vật lý, khoa Toán - Lý - Tin, trung tâm Thông Tin - Thư viện, trường Đại học Tây Bắc đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, ra đời trong quá trình nghiên cứu thế giới vi mô Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (còn gọi là cơ học cổ điển), là cơ sở của nhiều chuyên ngành vật lý và hóa học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt

Việc nghiên cứu các vấn đề đặt ra trong cơ học lượng tử dựa vào hai phương pháp chính: Phương pháp Schrodinger và phương pháp Heisenberg

Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử - cơ học sóng Về cơ bản, từ phương trình này ta có thể giải thích được hầu hết các hiện tượng lượng tử xảy ra trong phạm vi tương đối tính Những dấu hiệu thành công mang đến sự giải thích hài hòa giữa lý thuyết và thực nghiệm liên quan đến hàng loạt những bài toán về hạt chuyển động trong từ trường và điện trường ngoài, hiện tượng phát xạ lạnh của kim loại, hiệu ứng đường ngầm và một số hiệu ứng quan trọng khác Với vị trí quan trọng đó của phương trình Schrodinger, em chọn đề tài “Bài toán chuyển động một chiều trong cơ học lượng tử I” để xem xét các ứng dụng của phương trình này trên

cơ sở giải thích một số hiện tượng lượng tử quan trọng và một số bài toán tiêu biểu

2 Mục đích của khóa luận:

- Hệ thống lại lý thuyết về phương trình Schrodinger

- Đưa ra cách giải một số bài toán điển hình và giải thích các hiện tượng quan trọng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nhằm xây dựng và phân loại bài tập đối với chuyển động một chiều của hạt vi

mô

4 Đối tượng nghiên cứu:

Tập trung nghiên cứu về các dạng bài tập liên quan đến chuyển động một chiều của hạt vi mô

5 Phạm vi nghiên cứu:

Tập trung phân loại và hướng dẫn bài tập trong chương “Nghiệm phương trình

Schrodinger một chiều”

6 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết kết hợp với giải bài tập

7 Cấu trúc luận văn:

- Mở đầu

- Chương I: Tổng quan về phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

- Chương II: Tổng quan về chuyển động một chiều

- Chương III: Phân loại và hướng dẫn giải bài tập

- Kết luận

CHƯƠNG I:

TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU

1.1 Phương trình Schrodinger [1]

Ta đã biết sóng phẳng của de Broglie mô tả chuyển động của hạt tự do Để mô

tả chuyển động của hạt trong các trường lực, cần tìm hàm sóng mô tả chuyển động của hạt trong trường đã cho Hàm sóng phải xác định được hoàn toàn trạng thái của hệ vật

lý Điều đó có nghĩa là, việc cho hàm sóng tại một thời điểm nào đó không những mô

tả được tính chất của hệ, mà còn xác định được trạng thái của hệ ở những thời điểm sau Yêu cầu này biểu diễn những nguyên lí nhân quả trong cơ học lượng tử Trong trường hợp đặc biệt khi không có trường, nghiệm của phương trình là hàm sóng phải

mô tả chuyển động của hạt tự do Do đó phương trình vi phân cần tìm phải thỏa mãn sóng phẳng de Broglie cũng như chồng chất tùy ý các sóng phẳng đó Về mặt toán

học, những sự kiện nêu trên đòi hỏi giá trị của đạo hàm

t





 của hàm sóng theo thới

gian tại thời điểm đã cho phải được xác định bằng giá trị của chính hàm sóng  tại cùng thời điểm Thêm vào đó theo nguyên lí chồng chất, phương trình vi phân mà hàm sóng thỏa mãn phải là tuyến tính Ta viết được:

( , )x t L x tˆ( , ) ( , )x t t

Trong đó Hˆ là Hamiltonian cho chuyển động tự do của hạt:

Tất nhiên có thể chọn hàm sóng biểu diễn bởi hàm thực làm hàm sóng cho một hạt tự do Tuy nhiên khi đó, ta không thể xây dựng được phương trình bậc nhất theo thời gian, mà nghiệm của nó là một chồng chất tùy ý của các trạng thái như vậy Sự kiện phương trình Schrodinger chỉ chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian

 tại thời điểm ban đầu

Biểu thức của Hˆ khi xét chuyển động của một hạt chuyển động tự do có dạng:

Đối với hệ hạt không tương tác, Hˆ của hệ bằng tổng các Hamiltonian của các hạt thành phần:

2

ˆ2

Ở đây chỉ số a đánh số các hạt, a là toán tử Laplace, trong đó việc lấy vi phân

được thực hiện cho hạt thứ a

Đới với hệ hạt có tương tác với nhau:

2

( , , )2

1.2 Một số tính chất tổng quát của phương trình Schrodinger [1]

Các điều kiện mà nghiệm của phương trình Schrodinger phải thỏa mãn có một đặc tính hết sức tổng quát

+) Trước hết hàm sóng  phải liên tục và đơn trị trong toàn không gian Ngay

cả khi bản thân trường U x y z( , , ) có mặt gián đoạn, hàm  vẫn phải liên tục Trên mặt gián đoạn, không những hàm  , mà cả các đạo hàm của  cũng phải liên tục Tuy nhiên, nếu sau mặt nào đó, thế năng U bằng vô cùng, thì tính liên tục của các đại lượng này không xảy ra Hạt không thể thâm nhập vào một miền không gian, tại đó

U   nghĩa là trong miền này, hàm sóng phải bằng không tại mọi điểm Để cho hàm

 liên tục, thì trên biên của miền này   0, trong trường hợp này các đạo hàm của 

nói chung có bước nhảy

+) Nếu trường U x y z( , , ) không bằng vô cùng, thì hàm sóng cũng phải hữu hạn trong toàn miền không gian

Giả sử Umin là giá trị cực tiểu của hàm U x y z( , , ) Vì Hamiltonian của tổng của toán tử động năng Tˆ và thế năng , nên giá trị trung bình của năng lượng trong một trạng thái tùy ý bằng E T U Nhưng tất cả các trị riêng của toán tử năng lượng Tˆ(trùng với Hamiltonian của hạt tự do) đều dương, do đó tất cả các trị trung bình T  0 Hiển nhiên ta có U Umin, do đó E Umin Vì bất đẳng thức này đúng với mọi trạng thái bất kỳ, nên rõ ràng nó đúng với mọi trị riêng của năng lượng

min

Bây giờ ta xét một hạt chuyển động trong trường có U x y z( , , ) bằng không tại

vô cực Dễ dàng nhận thấy, phổ các trị riêng âm của các năng lượng khi đó sẽ gián đoạn, nghĩa là tất cả các trạng thái với đều là các trạng thái liên kết ở trong một trường bằng không tại vô cực Thực vậy trong các trạng thái dừng có phổ liên tục, tương ứng với chuyển động vô hạn, hạt nằm tại vô cực Nhưng tại những khoảng cách đủ lớn có thể bỏ qua sự có mặt của trường, thì chuyển động của hạt có thể coi như tự do, mà trong chuyển động tự do thì năng lượng của hạt chỉ có thể dương Ngược lại các trị riêng dương lập thành một phố liên tục và tương ứng với chuyển động vô hạn, với 0

E phương trình Schrodinger (trong trường lực đang xét) nói chung không có nghiệm để cho tích phân  2dV hội tụ

Chú ý rằng, trong cơ học lượng tử, khi chuyển động là hữu hạn, hạt có thể ở cả trong những miền không gian, tại đó EU, xác suất tìm thấy hạt mặc dù tiến nhanh đến 0 khi đi sâu vào một miền như thế, nhưng tại tất cả những khoảng cách hữu hạn, xác suất đó vẫn khác 0 Về mặt này có một sự khác biệt căn bản so với cơ học cổ điển, tại đây hạt không thể nào thâm nhập vào một miền EU Lí do là vì, EU thì động năng của hạt sẽ âm, vận tốc của hạt sẽ là ảo trong cơ học lượng tử, các trị riêng của động năng cũng dương, tuy nhiên ở đây chúng ta không gặp mâu thuẫn, vì nếu quá trình

đo hạt định xứ tại một điểm xác định nào đó của không gian, thì do kết quả của quá trình

đo này, trạng thái của hạt sẽ bị phá hủy sao cho hạt không còn động năng xác định

+) Nếu trong toàn không gian U x y z( , , )  0 (và tại vô cực U0), thì do bất dẳng thức (1.9), ta có E n 0 Mặt khác vì E n 0 phổ năng lượng phải liên tục, nên có thể kết luận rằng trong trường hợp đang xét hoàn toàn không có phổ gián đoạn, nghĩa

là hạt chỉ có thể chuyển động vô hạn

+) Tiếp theo chúng ta có nhận xét: nếu hệ không nằm trong từ trường, thì phương trình Schrodinger cho các hàm sóng  của các trạng thái dừng, cũng như các điều kiện đặt cho các nghiệm của nó, đều là thực Do đó bao giờ cũng có thể cho các nghiệm đó là thực Đối với các hàm riêng của các giá trị năng lượng không suy biến, thì chúng tự động là thực với độ chính xác đến một nhân số pha không quan trọng Thực vậy * thỏa mãn cùng phương trình như  , do đó nó cũng là hàm riêng với cùng giá trị năng lượng, vì thế giá trị này là không suy biến, thì  và * về thực chất phải như nhau, nghĩa là có thể chỉ khác nhau ở thừa số nhân không đổi (có mô đun bằng đơn vị) Các hàm sóng tương ứng với cùng một mức năng lượng không suy biến không nhất thiết phải là thực, nhưng bằng cách chọn thích hợp các tổ hợp tuyến tính của chúng, bao giờ cũng có thể thu được một bộ các hàm thực

+) Còn hàm sóng toàn phần ( , )x t được xác định bởi phương trình, có đơn vị

ảo i trong hệ số Tuy nhiên phương trình này vẫn giữ nguyên dạng của nó, nếu trong

đó đồng thời với việc đổi t thành t ta thay hàm ( , )x t bằng liên hợp phức của nó

Tuy nhiên cần nhớ rằng, tính đối xứng ở đây chỉ được xét cho phương trình thôi, nhưng không được xét cho bản thân khái niệm phép đo

+) Sau cùng, xuất phát từ phương trình Schrodinger, ta có thể suy ra được tính trực giao của các hàm sóng trạng thái với năng lượng khác nhau Thực vậy, giả sử

Nếu lấy tích phân hai vế của phương trình theo toàn không gian rồi dùng định

lý Gauss, vế phải sẽ bằng 0 Cuối cùng ta được:

*

(E mE n) m n dV  0 (1.17) Theo giả thiết E m  E n, ta tìm lại được hệ thức trực giao cho các hàm m và n:

KẾT LUẬN CHƯƠNG I:

Việc xây dựng nên phương trình Schrodinger và tìm ra những tính chất cơ bản của nó đã giúp cho việc giải thích được hầu hết các hiện tượng lượng tử xảy ra trong phạm vi tương đối tính và liên quan đến hàng loạt những bài toán về chuyển động của

hạt, điển hình trong số đó là bài toán chuyển động một chiều

Ta cùng đi vào chương II để tìm hiểu sâu hơn về các tính chất chung và các đại lượng đặc trưng cơ bản của hệ lượng tử trong chuyển động một chiều

CHƯƠNG II CÁC TÍNH CHẤT CHUNG VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA HỆ LƯỢNG TỬ TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU

2.1 Các tính chất chung của chuyển động một chiều [1]

2.1.1 Các tính chất chung của chuyển động một chiều:

Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x

có dạng:

H x  E x với

2 2 2

(2.2) Trong đó U x( ) là thế năng không phụ thuộc thời gian Trạng thái và năng lượng của hạt tìm được bằng cách giải phương trình (2.2) có dạng phụ thuộc vào thế năng U x( )

Khảo sát trường hợp khi thế năng có dạng tổng quát như Hình 1:

động của hạt bị giới hạn về cả hai phía Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng (và đạo hàm theo tọa độ của nó) tại các điểm biên trong khi giải phương trình Schrodinger,

ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn

(2) Trạng thái không liên kết: Khi chuyển động của các hạt bị giới hạn, ta nói

trạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do) Trên sơ đồ thế năng, có hai miền ứng với chuyển động tự do của hạt

hạt là vô hạn về phía x  Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và

không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục x

phổ năng lượng là liên tục và suy biến bậc hai Điều này ứng với một giá trị năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm

chẵn với tọa độ thì Hamiltonian cũng là một hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết

và nghiệm của phương trình Schrodnger (2.2) được phân thành hai lớp: lớp nghiệm chẵn ( ( ) x ( x)) và lớp nghiệm lẻ ( ( ) x ( x))

2.1.2 Chuyển động của hạt tự do:

Ta xét một hạt chuyển động tự do theo trục x Vì thế năng U x( )  0 nên phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng của hạt có dạng:

Be mô tả chuyển động theo chiều âm (sóng phản xạ)

Biểu thức (2.4) có thể viết gọn lại như sau:

k

k E

m

Phổ trị riêng là năng lượng liên tục, có giá trị xác định trong khoảng từ 0 đến 

, trong đó p p x  k là xung lượng của hạt tự do, k k x là thành phần của vectơ

sóng trên trục x

Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng:

2 2

( ) 2

( , )

k

i kx t m

k x t Ae

Thay E bởi giá trị đã có theo (2.6)

Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát

ikx k

Hàm sóng mô tả chuyển động của các hạt nói chung thay đổi trong không gian

và theo thời gian Tuy nhiên, sự thay đổi đó không phải là tùy ý Sử dụng phương trình Schrodinger, ta có thể tìm ra một số định luật bảo toàn

Xét tích phân  2dV là biểu thức cho ta xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V

Lấy đạo hàm tích phân trên theo thời gian, ta có:

 được lấy từ phương trình Schrodinger (1.3) và phương

trình liên hợp của nó Ta được phương trình sóng cuối cùng:

 là mật độ xác suất, còn j được hiểu là vectơ mật độ dòng xác

suất Ý nghĩa vật lý của j là thông lượng trung bình của các hạt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian Tích phân ở vế phải của (2.14) là độ giảm xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bao bởi S trong một đơn vị thời gian Biểu thức

(2.16) có thể coi như biểu thức của định luât bảo toàn số hạt Nếu mở rộng tích phân

ra toàn không gian (V   ) ta thu được:

Từ (2.23) ta nhận thấy phương trình này trùng với phương trình của các hàm riêng của toán tử năng lượng H xˆ ( )

Gọi n,E n là các hàm riêng và trị riêng (ta xét phổ gián đoạn), ta viết được nghiệm cuối cùng có dạng:

E

Kết quả trên đã mở rộng hệ thức de Broglie E n  n, thoạt đầu áp dụng cho một chuyển động tự do, sang các hệ thức tùy ý Các trạng thái như trên được gọi là các trạng thái dừng và phương trình (2.23) được gọi là phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng do phương trình là tuyến tính, nghiệm tổng quát n( , )x t có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất các trạng thái dừng có biên độ tùy ý nhưng không đổi:

Đó là phương trình Schrodinger xác định trạng thái dừng được mở rộng sang cho trường hợp hạt chuyển động trong một trường thế ngoài không phụ thuộc vào t Phương trình (2.23) xác định trị riêng năng lượng của hệ ở trạng thái dừng Trạng thái dừng với năng lượng nhỏ nhất trong tất cả các giá trị năng lượng được gọi là trạng thái cơ bản

Bây giờ ta tính xác suất tìm thấy hạt n( , )x t và mật độ dòng xác suất j x t n( , )

Điều đó chứng tỏ, trong các trạng thái dừng, xác suất tìm thấy hạt cũng như mật

độ dòng xác suất không phụ thuộc vào thời gian Cũng từ những nhận định trên, trong các trạng thái dừng mật độ điện tích trung bình và mật độ dòng điện trung bình không phụ thuộc thời gian.Ta cũng có thể chứng minh dễ dàng rằng trong các trạng thái dừng, xác suất để tìm thấy giá trị nào đó của mọi đại lượng cơ học (không phụ thuộc

rõ vào t) đều độc lập với thời gian và giá trị trung bình của nó cũng không thay đổi

Ta xem mối quan hệ giữa phổ trị riêng của năng lượng trong trạng thái dừng với đặc tính chuyển động của hệ Phổ trị riêng của năng lượng có thể gián đoạn hoặc liên tục Trong trạng thái dừng của phổ gián đoạn bao giờ cũng ứng với chuyển động hữu hạn của hệ, nghĩa là chuyển động trong đó hệ hay một phần nào đó của hệ không đi ra

xa vô cực Thực vậy, đối với các hàm riêng của phổ gián đoạn, tích phân  2dV lấy trong toàn không gian là hữu hạn Trong mọi trường hợp, điều đó có nghĩa mọi bình phương 2

 giảm đủ nhanh và bằng không tại vô cực Nói một cách khác, xác suất của các giá trị tọa độ vô cùng đều bằng không, nghĩa là hệ thực hiện một chuyển động hữu hạn, hay hệ ở trong trạng thái liên kết

Đối với hàm sóng có phổ liên tục, tích phân 2

dV



 phân kỳ Bình phương môđun hàm sóng  2 ở đây không xác định trực tiếp xác suất của các giá trị tọa độ khác nhau và chỉ được coi như một đại lượng tỉ lệ với xác suất đó Tích phân  2dV

bao giờ cũng phân kì, đó là do  2 tại vô cực không bằng không Do đó có thể khẳng định rằng, tích phân 2

dV



 lấy trên miền không gian ở bên ngoài với một mặt kín hữu hạn, nhưng lớn tùy ý, vẫn sẽ phân kì Điều đó có nghĩa là, trong trạng thái đang xét (hay một phần nào đó của hệ) nằm tại vô cực

KẾT LUẬN CHƯƠNG II:

Trong chương II, đã tìm hiểu các tính chất chung của chuyển động một chiều, chuyển động của hạt tự do và các đại lượng cơ bản của hệ lượng tử trong chuyển động một chiều, như mật độ dòng xác suất, trạng thái dừng,… Nhưng câu hỏi đặt ra là chúng ta sẽ áp dụng những lý thuyết về phương trình Schrodinger và chuyển động một chiều như thế nào vào việc giải bài tập Chúng ta sẽ cũng nghiên cứu ở chương III về phân loại và hướng dẫn giải những dạng bài tập cơ bản, đặc trưng trong chuyển động một chiều của hạt

CHƯƠNG III:

PHÂN LOẠI VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 3.1 Biết hàm sóng, xác định: năng lượng, trạng thái, xác suất chuyển mức, xác suất đo một đại lượng [2]

3.1.1 Kiến thức liên quan:

- Nếu thế V x( ) là hàm hữu hạn thì hàm sóng ( )x và đạo hàm bậc nhất   ( )x

liên tục tại mọi điểm

- Nếu V x( )  thì V x( )có dạng hàm delta dirac: V x( ) C( )x

+) Tồn tại hàm sóng ( )x liên tục tại mọi điểm

+) Đạo hàm   ( )x tồn tại điểm bất thường a

Bước 1: Nếu V x( ) có dạng delta dirac (V x( )C( )x ) thì:

+) Viết phương trình Schrodinger trong thế một chiều

+) Lấy tích phân hai vế đến  và lấy giới hạn khi  0

+) Cho hai giới hạn đó bằng nhau, tìm được C, từ đó tìm được dạng cụ thể của

( ).

V x

Bước 2: Tìm xác suất đo xung lượng, năng lượng:

+) Khai triển hàm sóng ( )x trong không gian xung lượng với hàm riêng 1

a dx



 chính là xác suất đo hạt có giá trị xung lượng trong khoảng p p dp

3.1.3 Bài tập minh họa:

Bài 1: Xét một hạt khối lượng m chuyển động một chiều trong trường thế V x( )

Ae x

( )

x x

x x

A Ae x

d x

Ae x

   nên hàm sóng không có đạo hàm tại x0

Suy ra: V x( )không phải là hàm hữu hạn V x( ) có dạng delta dirac:

Phương trình Schrodinger trong thế một chiều:

2 2 2

( )

( ) ( ) ( ) 2