Lý thuyết điều khiển tự độngchương 6 in (5)

• Để thuận lợi hơn trong việc phân tích, giải quyết các bài toán điều khiển, người ta mô tả toán học các phần tử và hệ thống bằng hàm truyền đạt transfer function, phương trình trạng th

C H A P T E R 2

MÔ TẢ TOÁN HỌC CÁC PHẦN

TỬ VÀ HỆ THỐNG ĐKTĐ

OUTLINE OF THIS CHAPTER

Ø  2.1 Hàm truyền đạt

Ø  2.3 Đại số sơ đồ khối

Ø  2.4 Phương trình trạng thái

3

•   Mô hình toán học có thể xác định bằng thực nghiệm, bằng cách đo đầu ra hệ thống đáp ứng như thế nào đối với đầu vào đã biết

•   Để thuận lợi hơn trong việc phân tích, giải quyết các bài toán điều khiển, người ta mô tả toán học các

phần tử và hệ thống bằng hàm truyền đạt (transfer function), phương trình trạng thái (state space),

•   Ta có sơ đồ khối của hệ thống như sau có thể được

mô tả bới phương trình vi phân:

Hệ thống tuyến tính bất biến liên tục

GV: Trần Thị Minh Dung 6

•   Ta có hệ thức liên hệ giữa các lực của đòn bẩy:

•   Nếu ta xem F2 là tín hiệu ra, F1 là tín hiệu vào, ví dụ 1 được mô tả bằng phương trình vi phân của một khâu khuếch đại với hệ số

khuyếch đại k = a/b

Ví dụ 2: Hệ thống điện

Cho mạch điện như trên Biết trước giá trị C, L, R1, R2 Hãy xác định

mô hình mạch điện dưới dạng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào là điện áp r(t) và tín hiệu ra y(t) là điện áp trên R2

1

F b

a 2

F a

b 2 F

•  Các định luật về các linh kiện, ta có:

) t ( i.

R )

t ( u

dt

) t (

di L )

t ( u

dt

) t (

du C )

t ( i

R R

L L

C C

=

=

=

Ví dụ 3: Hệ thống mức chất lỏng

Với:

) V (

d

ρ

− ρ

= ρ

R

h Q

Q

Q dt

dh A

Q

Q dt

) Ah ( d

0

o i

o i

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA VÍ DỤ NÀY LÀ:

•   Phương trình vi phân bậc lớn hơn 2 rất khó giải Phân tích hệ thống dựa vào mô hình toán là phương trinh

vi phân gặp rất nhiều khó khăn Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như không thể thực hiện được trong trường hợp tổng quát

•   Vì vậy cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế hệ thống tự động dễ dàng hơn

1 dt

dh

11

P H É P B I Ế N Đ Ổ I L A P L A C E

HÀM TRUYỀN

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

các bài toán lý thuyết mạch điện, điện tử, cơ học và đặc biệt trong lý thuyết điều khiển tự động

f(t) là :

( )

( )

( t F s f t e dt f

1 )

t ( f )

s ( F

j

st 1

∞

− α

−

CHÚ Ý: HÀM LAPLACE TỒN TẠI KHI TÍCH

PHÂN LÀ HỘI TỤ

•   Hàm f(t) là hàm khả vi, và f(t)=0 khi t<0, thì ta có biến đổi Fourier

Tính chất:

•   Tuyến tính:

•   Ảnh Laplace của đạo hàm các cấp của hàm số f(t)

Với: f(0) là giá trị ban đầu

Tương tự, ảnh Laplace của đạo hàm bậc n của hàm số f(t)

•   Với điều kiện ban đầu bằng 0 thì

t f L a t

f a

i

i

n i

k n k

n n

)

{ f ( ) ( t ) } s F ( s )

•  Ảnh Laplace của tích phân các cấp của hàm số f(t)

•  Định lý trễ :

•  Ảnh Laplace của phép chập

•  Tính cộng :

) (

1 )

(

0

s

F s

d f

d t

f f

d t

f f

t f t f t

f

0

2 1

0

1 2

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

BIẾN ĐỔI LAPLACE CỦA CÁC HÀM

CƠ BẢN

* Hàm nấc đơn vị (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn định hóa

)

t

(

0 )

t ( 1

1 1(t)

∂(t)

1

Bảng biến đổi Laplace

s st

at at

a s a

s

e dt

e e e

L s

) (

} { )

) (

3) f t e−at

= ) (

at at

a s

1 )

a s (

e dt

e e e

L )

s ( F

1 1

1 )

(

s

dt

e s s

t dt te

t L s

1 2

1 2

)

( 2

)

sin

ω

ω ω

ω

s

A j

s j

A j

s j

A dt

e e

e j

A t

VÍ DỤ

1 Viết các phương trình vi phân ở các ví dụ trên ở dạng toán tử Laplace

2 Tính hàm Laplace ngược của hàm số

5 2

12

2 )

+ +

+

=

s s

s s

F

3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau:

!! x+2 ! x+5x=3, !! x(0)=0, ! x(0)=0

21

Đ Ị N H N G H Ĩ A H À M T R U Y Ề N

HÀM TRUYỀN

Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:

Biến đổi Laplace 2 vế phương trình, với giả thiết điều kiện đầu bằng 0, ta được:

b0sm + b1sm−1 + + bm−1s + bm

a0sn + a1sn−1 + + an−1s + an

Nếu tính được nghiệm của đa thức B(s) ở tử số, thì ta gọi các nghiệm đó là điểm không (zero), còn các nghiệm của đa thức A(s) ở mẫu số ta gọi là các điểm cực (pole) Cực là nghiệm của phương trình đặc trưng A(s) = 0

CHÚ Ý:

đổi laplace của tín hiệu ra và tín hiệu vào nhưng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào

mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống

HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HT

N H I ỀU TÍN HIỆU VÀO VÀ RA (MIMO)

Nếu HT có p đầu vào và q đầu ra, hàm truyền giữa đầu vào thứ j và đầu ra thứ I được xác định như sau:

Với

Khi tất cả p đầu vào đều tác động, thì đầu ra thứ I được xác định như sau:

CÁC VÍ DỤ VỀ HÀM TRUYỀN

1)

2) Hàm truyền của truyền động ô tô

3) Hàm truyền của bộ giảm chấn ô tô

4) Hàm truyền của cảm biến

5 )

t ( y

2 dt

) t (

dy 3

dt

) t ( y

d

2

2

= +

+

CÁC VÍ DỤ VỀ HÀM TRUYỀN

1)

2) Hàm truyền của truyền động ô tô

5 )

t ( y

2 dt

) t (

dy 3

dt

) t ( y

d

2

2

= +

V(t): vận tốc xe

- Tìm Phương trình vi phân:

- Hàm truyền:

B Ms

1 )

s ( F

) s (

V )

s (

W

+

=

=

3) Hàm truyền đạt của hệ giảm sóc ô tô

ms

1 )

s (

+ +

s (

Nếu cảm biến có trễ, thì hàm truyền là khâu quán tính bậc 1:

s T 1

K )

s (

_

iư

+ _

K dt

) t (

di L R

).

t ( i ) t ( U

) t ( K )

t ( E

) t (

E dt

) t (

di L R

).

t ( i ) t ( U

u u u

u u

u

u

u u u

u u

ω φ +

+

=

⇒

ω φ

=

+ +

=

Áp dụng Phương trình quan hệ về moment trên trục động cơ, ta có:

φ

ω +

ω +

= φ

ω +

=

K

dt

d J B

) t (

M )

t ( i

dt

d J B

) t ( M )

t ( i K

) t ( i K )

t ( M

dt

d J B

) t ( M )

t (

M

t

u

t u

u t

Thay giá trị iư vào phương trình (1), ta có:

) t (

M K

R dt

) t (

dM K

L )

t ( U )

K K

B R ( dt

d ) K

B L J

R ( dt

d ) K

J

L

(

) t ( K

) dt

d J dt

d B dt

) t ( dM ( K

L )

dt

d J B

) t ( M

( K

R )

t

(

U

t u t

u u

u u

u 2

2 u

2

2 t

u t

u u

φ

− φ

−

= ω φ

+ φ +

ω φ

+ +

ω φ

⇔

φω +

ω +

ω +

φ +

ω +

ω

+ φ

=

Ta thấy, Mt(t) là tín hiệu nhiễu Giả sử ở hệ thống này, ta không xét tín hiệu nhiễu:

) t ( U )

K K

B

R ( dt

d ) K

B L J

R ( dt

d )

= ω φ

+ φ +

ω φ

+ +

ω φ

Với

) t ( U

a dt

d a dt

d a

K K

B

R a

; K

B L J

R a

; K

J

L a

u 2

1 2

2 0

u 2

u u

1

u 0

= ω +

ω +

ω

⇒

φ

+ φ

= φ

+

= φ

=

Biến đổi Laplace phương trình vi phân trên:

2 1

2 0 u

u 2

1

2

0

a s

a s

a

1 )

s ( U

) s

( )

s ( W

) s ( U )

s ( ) a s

a s

a

(

+ +

+ +

Hàm truyền đạt của một số thiết bị khác

Lò nhiệt:

1 Ts

K )

s (

W

+

=

Băng tải: W ( s ) = Ke−sτ

ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

SƠ ĐỒ KHỐI

•   Sơ đồ khối của hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống

•   Sơ đồ khối gồm có 3 thành phần chính là:

•   Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào

•   Bộ tổng (summing point): tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào

•   Điểm rẽ nhánh (branch point): tất cả tín hiệu tại điểm rẽ nhánh đều bằng nhau

- +X(s) E(s)

Z(s)

Tìm hàm truyền của các hệ thống đơn giản dựa trên sơ đồ khối

s ( W

s ( W

Hệ thống hồi tiếp âm Hệ thống hồi tiếp dương

E(s) -

) s ( H ).

s ( W 1

) s (

W )

s (

Wk

+

=

) s ( H ).

s ( W 1

) s (

W )

s (

+X(s)

D(s)

PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA SƠ ĐỒ

KHỐI

Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp,

ta thực hiện các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

để làm xuất hiện các dạng ghép nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp 1 vòng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngoài

Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và ra như nhau

+B/W

W -

- KHÔNG ĐƯỢC CHUYỂN VỊ TRÍ ĐIỂM RẼ NHÁNH VÀ BỘ TỔNG

- KHÔNG ĐƯỢC CHUYỂN VỊ TRÍ 2 BỘ TỔNG KHI GIỮA 2 BỘ TỔNG CÓ ĐIỂM RẼ

s ( H ) s ( W ) s ( W )

s ( H ) s ( W ) s ( W 1

) s ( W ) s ( W ) s (

W )

s

(

W

3 2

1 2

3 2

1 2

1

3 2

1

+ +

−

=

MỘT SỐ NHẬN XÉT

giản

mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác của người giải bài toán

phép tính trên các phân thức đại số, đối với các hệ thống phức tạp các phép tính này hay bị nhầm lẫn

hợp để tìm hàm truyền tương đương của các hệ thống đơn giản

quả hơn, đó là phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu

PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI

truyền đạt

hàm truyền

ĐỊNH NGH Ĩ A

•   Trạng thái

•   Vector trạng thái

Trạng thái của một HT là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái)

mà nếu giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t > t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của HT tại mọi thời điểm t ≥ t0

HT bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải biến vật lý

Vector trạng thái được biểu diễn như sau:

Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển PTVP bậc n mô tả

++ +

•  Nếu A là ma trận thường, ta gọi (*) là PTTT ở dạng thường

•  Nếu A là ma trận chéo, ta gọi (*) là PTTT ở dạng chính tắc

Đối với các HTĐK hiện đại, người ta cần một hệ PT phản ánh những mối quan hệ giữa các tín hiệu vào-ra mà còn có các quan hệ ràng buộc giữa

các trạng thái bên trong của đối tượng PT như vậy gọi là PTTT

v Không gian có n biến trạng thái được gọi là không gian trạng thái Trong không gian trạng thái, PT thứ nhất là PTTT , PT thứ hai là PT quan sát

v Có thể thấy được ưu điểm nổi bật của PTTT so với hàm

truyền là nó dùng được cho cả hệ có nhiều loại tín hiệu

vào-ra (MIMO) mà không phải thay đổi cấu trúc cũng như không cần phải có giả thiết rằng hệ có tất cả các trạng thái đầu = 0 v Giúp khảo sát trực tiếp trạng thái của HT x(t), vì vậy ta có thể hiểu kĩ, sâu hơn bản chất động học của HT

v Giả sử Một hệ MIMO có n bộ tích phân và có r tín hiệu vào

r1(t), r2(t), …, rr(t) và m tín hiệu ra y1(t), y2(t), …, ym(t) Xác

định n tín hiệu ra như là biến trạng thái x1(t), x2(t),…,xn(t)

Vậy hệ có thể được mô tả như sau:

Các PT được rút gọn như sau:

CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG 3

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG DKTD