Lý thuyết điều khiển tự độngchương 6 in (4)

Một hệ thống được gọi là ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ cũng bị chặn Bounded Input –... Giải PTVP khi giữ nguyên vế phải, ta thu được nghiệm Trong đó: ①

TÍNH  ỔN  ĐỊNH  CỦA  HỆ  THỐNG  ĐiỀU  

•  3.1 Định nghĩa về tính ổn định

•  3.2 Mối liên hệ giữa nghiệm PTDT và tính ổn định

•  3.3 Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz

•  3.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

-   Định ngh ĩ a

-  Trạng thái cân bằng là trạng thái đứng yên nếu không có lực tác dụng nào khác lên nó

-  Ổn định là sự trở về trạng thái cân bằng ban đầu khi mất tác động kích thích

-  Một hệ thống ĐKTĐ cần phải giữ được trạng thái cân

bằng (làm việc bình thường) khi có các tác động nhiễu khác nhau tác động lên nó Hay nói một cách khác, chế độ làm việc cho trước phải ổn định

Một  hệ  thống  được  gọi  là  ổn  định,  nếu  với  tín  hiệu  vào  bị   chặn  thì  đáp  ứng  của  hệ  cũng  bị  chặn  (Bounded  Input  –  

3.2  Mối  liên  hệ  giữa  PTĐT  

1  Giải  PTVP  khi  vế  phải  =  0,  ta  thu  được  nghiệm  tổng  

2  Giải  PTVP  khi  giữ  nguyên  vế  phải,  ta  thu  được  nghiệm  

) ( )

( )

Trong đó:

①  yxl(t): luôn ổn định vì năng lượng của một hệ luôn có giới hạn

②  yqd(t): đặc trưng cho quá trình quá độ

p i

qd ( t ) c e i

y

0

)

n n

n

s a s

A

Hay để hệ ổn định thì điều kiện cần và đủ là tất cả các nghiêm

cực đều có phần thực âm Re{pi  }<0, i = 1 , n

Điều kiện cần Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn Hurwitz

Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ

số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và

cùng dấu

Tiêu chuẩn này dùng cho cả hệ hở và hệ kín

4 32 22

3 22 12

4 33 23

)

Trong bảng Routh có n+1 hàng

-  Nếu trong cột 1 của bảng có 1 trị số âm thì hệ không ổn định

Trong trường hợp này số lần đổi dấu bằng số nghiệm phải của

phương trình đặc trưng

- Nếu có 1 trị số = 0 thì hệ nằm ở biên giới ổn định, PTDT có 1

cặp nghiệm phức

-  Nếu trị số gần cuối của cột 1 bằng 0 (C1n = 0) thì có nghĩa là

nghiệm kép thuần ảo

-  Nếu trị số cuối của cột 1 bằng 0 (C1n+1 = 0) thì phương trình đặc

trưng có 1 nghiệm 0 vì an = 0

- Nếu các hệ số của 1 hàng bằng 0, hệ có một nghiệm phải hay trên

trục ảo

0 1

6 6

18 6

12 s5 + s4 + s3 + s2 + s + =

s3 + 5s2 + 8s + 4

Bô  điều  khiển  có  hàm   GC = KP

(  tìm  độ  hiệu  chỉnh  giữa  các  tham  số  của  bộ  điều  

Ứng dụng cho cả hệ hở và hệ kín

0

0 0

0

0

0 0

0

0

0 0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0 1

2 0

3 1

4 2

0

5 3

1

6 4

2 0

7 5

3 1

a a

a a

a a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a a

1 2 3

a a

a

0

3 4

5

>

a a a

Định thức Hurwitz lập từ ma trận hệ số theo quy tắc sau:

- Phía trên đường chéo, các hệ số tăng dần, phía dưới giảm dần

Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định với a0>0 là các định thức Hurwitz đều dương

Tiêu  chuẩn  này  dùng  cho  hệ  thống  hở,  và  kín,  có  bậc  nhỏ  

0 5

4 2

12 s3 + s2 + s + =

Nguyên lý góc quay Tiêu chuẩn Mikhailov Tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Bode

n n

n

j a j

)(

( )

( j a0 j p1 j p2 j pn

n

p p

j − ω thay đổi +π ->đối với nghiệm trái, −π đối với nghiệm phải

Giả sử trong n nghiệm của pt có n- m nghiệm bên trái mặt phẳng phức, m- nghiệm phải;

cho tất cả các nghiệm đều là nghiệm thực thì khi thay đổi ω từ -∞ đến+ , góc của vector

j

A

1

) arg(

) (

arg ω ω

m n

p −

m

p

m n

p

π π

π

ω

ω

) 2 (

) (

) (

) (

n

i

i

p j

j

A

1

) (

arg )

(

arg ω ω

ω ω

π ω

ω

ω

) (

arg

) (

arg

m

m n

p j

p j

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là biểu đồ vector đa thức đặc tính A(jω) xuất

phát từ trục thực dương quay n góc phần tư ngược chiều kim đồng hồ khi ω thay đổi

từ 0 đến + ∞ ( n là bậc của PTDT)

) (

arg

0

π ω

ω

n j

l

A1

A2

a) Khái niệm bao vây

- Nếu một điểm M không rơi vào đường cong kín, ta nói

đường cong L không bao điểm M

Từ M kẻ 2 tiếp tuyến với L

Từ A1 à A2 vector MA quay một góc -ϕ

Từ A2 à A1 vector MA quay một góc +ϕ

Như vậy đầu mút A của vector MA trượt trên cả đường cong kín

Theo chiều mũi tên thì góc quay tổng là -ϕ + ϕ = 0

- Nếu điểm M rơi vào một đường cong L ta nói đường cong L bao điểm M

Nếu vector MA có đầu mút chạy trên cả đường cong L theo chiều mũi tên thí góc quay tổng là 2π

Nếu đường cong L bao điểm M 2 lần thì góc quay tổng là 4π (2 vòng kín)

Để sử dụng tiêu chuẩn Nyquist, trước hết cần đánh giá tính ổn định của hệ hở (có thể dùng tiêu chuẩn đại số)

- Tiêu chuẩn Nyquist đánh giá tính ổn định của hệ kín trên cở sở

đặc tính tần biên pha của hệ hở (hệ kín có hồi tiếp đơn vị)

Điều kiện cần và đủ để cho hệ kín ổn định khi hệ hở ổn định là đường cong Nyquist không bao vây lấy điểm có tọa độ (-1,j0)

arg )]

( )

( [ arg )

(

ω ω

ω

j A j

B j

A j

<

<

∞

− +∞

Δ

= Δ

π

ω

ω

n j

π ω

ω

ω

n j

B j

( [ arg

0 ) (

Re O

-1

1 3

2

ω = 0 ReW(jω)jImW(jω)

* Khi hệ hở không ổn định:

Hệ hở có m nghiệm bên phải và (n – m) nghiệm bên trái

Nếu chỉ xét phần tần số dương thì

π ω

π π

π ω

ω

ω

2

2 )

( arg

) 2 (

) (

) (

arg

0

m

n j

A

m n

m m

n j

A

−

= Δ

B j

2 2

) (

arg

0

m m

m n

n j

Điều kiện cần và đủ để cho hệ kín ổn định khi hệ hở không ổn định là đường cong

Nyquist bao vây lấy điểm có tọa độ (-1, j0) m/2 lần theo chiều dương mà m là số nghiệm phải của phương trình đặc trưng của hệ hở

ω=0 -1

He thong nay se

on dinh neu m=2

ReW(jω) jImW(jω)

- Trong trường hợp hệ hở có khâu tích phân ứng với hệ hở ở biên giới ổn định, có thể xem khâu tích phân như giới hạn của khâu quán tính:

G(s) = k

s

B(s) A(s) = limβ →0

k

và tiêu chuẩn Nyquist có thể áp dụng như khi hệ hở ổn định

ω = 0 tren tat ca duong vong cung

-1

jImW(jω)

ReW(jω) R=∞

Xét  hệ  thống  tự  động  có  hàm  truyền  W(s)  có  thể  phân  tích  thành  tích  của  các  hàm  truyền  

Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn định và khi đặc tính biên độ Logarit L(w) dương,

đặc tính logarit pha không cắt đường thẳng đi qua trị số

hay cắt với số lần chẵn

ω

ωcϕ(ω)

L(ω)

-π

à ổn định

c) Độ dự trữ ổn định

Với độ dự trữ ổn định nhỏ, hệ có thể từ ổn định trở thành mất ổn định khi thong số vì lý

do nào đó thay đổi đáng kể

Độ dự trữ ổn định được đánh giá theo khoảng cách của đặc tính tần biên pha hệ hở W(jω)

so với điểm giới hạn B có tọa độ (-1,j0)

)( j c

Tại giao điểm ấy là tần số cắt

Với độ dự trữ pha càng lớn thì độ dự trữ ổn địn càng lớn Độ dựu trữ ổn định về pha bảo đảm khả năng ổn định khi tăng quán tính trong giới hạn đã cho

Độ dự trữ ổn định của hệ điều chỉnh tự động không những bảo đảm khả năng ổn định

của hệ khi thong số thay đổi mà còn ảnh hưởng đến tính chất quá trình của hệ

thống

Back

Định nghĩa Quy tắc vẽ QDNS à Dùng để phân miền ổn định của hệ thống trong tọa độ thay

đổi thông số của nó à Ứng với một giá trị cố định của thông số biến đổi, hệ thống

có một trạng thái ổn định nào đó

•  Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ

thống khi có một thong số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 à ∞

2 Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số:

Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương PTDT về dạng:

Quy tắc 2:

G(s)

G(s)

•  Khi K=0: các nhánh của QDNS xuất phá từ các cực của

•  Khi K tiến đến +∞: m nhánh của QDNS tiến đến m zero của , n-m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác địn bởi quy tắc 5,6

Quy tắc 3: QDNS đối xứng qua trục thực

) 1 2

α

Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định bởi:

m n

z p

m n

zero

poles OA

n i

m i

i i

Giao điểm của QDNS với trục ảo có thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn

Routh-Hurwitz hoặc thay s=jω vào PTDT

i j

i j

1

1 1

Quy tắc 10:

Quy tắc 11:

K P(s) Q(s) = 1

Back